北京市东城区2023-2024学年高二下学期期末统一检测数学试题

东城区2023-2024学年度第二学期期末统一检测本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试第一部分(选择题共40分)(1)已知集合M={0,a,a²},N={-2,-1,0,1,2},若1∈M,则MNN=(A){0,1}(B){-I,0,1}(2)某校学生科研兴趣小组为了解1～12岁儿童的体质健康情况，随机调查了20名儿(A)肺活量(B)视力(C)肢体柔韧度(D)BMI指数(3)已知x,y∈R,且x>y,则下列不等式中一定成立的是(C)In.x>Iny4)袋中有10个大小相同的小球，其中7个黄球，3个红球.每次从袋子中随机摸出一个球，摸出的球不再放回.则在第一次摸到黄球的前提下，第二次又摸到黄球的概率为高二数学第1页(共6页)(5)已知2⁴=3,log₄5=b,则2a-2的值为(6)A,B,C三所大学发布子面向高二学生的夏令营招生计划，每位学生只能报一所大学.某中学现有四位学生报名.若每所大学都有该中学的学生报名，则不同的报名方(7)2024年3月20号，我国成功发射鹊桥二号中继卫星，其通过一个大型可展开的星载天线，实现了月球背面与地球之间的信号传输.星载天线展开后形成一把直径(口(A)2.25m(8)已知直线l:mx-y-2m+5=0被圆(x-3)²+(y-4)²=4截得的弦长为整数，则满足条件的直线l共有(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件法进行了深入的研究.现给出一个同余问题：如果a和b被m除得的余数相同，么称a和b对模m同余，记为a=b(modm).若a=C2o₂+Co₂×3+C2o₂×3+C2824×32024,a=b(mod5),则b的值可以是(A)2023(B)2024第二部分(非选择题共110分)二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。(11)函数的定义域是______.(12)已知双曲线C的焦点为(-2,0)和(2,0),一条渐近线方程为y=√3z,则C的方程(13)已知二项式(2x+1)"=a"+a-1x⁻¹+…+a₁x+a。的所有项的系数和为243,(14)某学校要求学生每周校园志愿服务时长不少于1小时.某周可选择的志愿服务项岗位器材收纳校史讲解食堂清扫图书整理时长20分钟20分钟25分钟30分钟40分钟合方式共有种.(15)设a∈R,函数给出下列四个结论：①当a=0时，函数f(x)的最大值为0;③若函数f(x)存在两个零点，则0<a<1;④若直线y=ax与曲线y=f(x)恰有2个交点，则a<0.其中所有正确结论的序号是.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。(16)(本小题13分)某次乒乓球比赛单局采用11分制，每赢一球得一分.每局比赛开始时，由一方进行发球，随后每两球交换一次发球权，先得11分且至少领先2分者胜，该局比赛结束；当某局比分打成10:10后，每球交换发球权，领先2分者胜，该局比赛结束.已知甲、乙两人要进行一场五局三胜制(当一方赢得三局比赛时，该方获胜，比赛结束)的比赛.(I)单局比赛中，若甲发球时甲得分的概率为,乙发球时甲得分的概率为,求甲4:0领先的概率；(Ⅱ)若每局比赛乙获胜的概率为,且每局比赛结果相互独立，求乙以3:1赢得比赛的概率.高二数学第3页(共6页)(17)(本小题13分)设函数f(x)=ae²+x,其中a∈R.曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为(Ⅱ)求f(x)的单调区间.(18)(本小题14分)近年来，我国新能源汽车蓬勃发展，极大地促进了节能减排.遥遥计划在A₁,A₂,A₃,A₄,As,A₆这6个国产新能源品牌或在B₁,B₂,B₃,B₁这4个国产燃油汽车品牌中选择购车.预计购买新能源汽车比燃油车多花费40000元.据测算，每行驶5公里，燃油汽车约花费3元，新能源汽车约消耗电1千瓦时.如果购买新能源汽车，遥遥使用国家电网所属电动汽车公共充电设施充电，充电价格分为峰时、平时、谷时三类，具体收费标准(精确到0.1元/千瓦时)如下表：充电时间段充电价格(元/千瓦时)充电服务费(元/千瓦时)峰时10:00—15:00和18:00-21:00平时7:00—10:00,15:00—18:00和谷时当日23:00—次日7:00(I)若遥遥在6个新能源汽车品牌中选出2个品牌作比较，求品牌A₁被选中的(Ⅱ)若遥遥选购新能源汽车，他在18:00,18:30,19:00,19:30,…,23:30这12个时间点中随机选择一个时间点给车充电，每次充电30千瓦时(用时不超过半小时).设X为遥遥每次充电的费用，求X的分布列和数学期望；(Ⅲ)假设遥遥一年驾车约行驶30000公里，按新车使用8年计算，如果只考虑购车成本与能源消耗支出，计算说明选择新能源汽车和燃油汽车哪个的总花要(19)(本小题15分)(20)(本小题15分)已知函数f(x)=x²-alnx-1(a∈R).(Ⅲ)证明：若f(x)在区间(1,+0)上存在唯一零点xo,则xo<e-(其中e=2.71828…).(21)(本小题15分)已知n项数列An:a₁,az,…,an(n≥3),满足Vi≠j有a₁≠a;.对于变换T满足Vi∈{1,2,…,n},有T(a;)∈{a₁,az,…,an},且Vi≠j有T(ai)≠T(a;),称数列T(An):T(a₁),T(a₂),…,T(an)是数列A,的一个排列.Vi∈{1,2,…,n},记T(a;)=T'(a;),T*+¹(a;)=T(T*(a;))(k∈N"),如果k是满足Th(a;)=an+1-;的(Ⅱ)证明：对于4项数列A₄,不存在3阶逆序变换；(Ⅲ)若n项数列A,存在3阶逆序变换，求n的最小值.东城区2023-2024学年度第二学期期末统一检测高二数学参考答案及评分标准2024.7一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分)二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)(11)(1,十○)(12).三、解答题(共6小题，共85分)(16)(共13分)解：(I)设事件A:单局比赛中甲4:0领先，所以单局比赛中甲4:0领先的概率是…………………6分(Ⅱ)设事件B:乙以3:1赢得比赛，(17)(共13分)令f'(x)<0,得x>-1n2,所以f(x)在区间(-1n2,+○)上单调递减.所以f(x)的单调递增区间为(一～,-In2),单调递减区间为(-In2,+～)13分(18)(共14分)解：(I)设事件A:遥遥在6个新能源汽车品牌中选出2个品牌作比较，品牌A₁被选中，则所以遥遥在6个新能源汽车品牌中选出2个品牌作比较，品牌A₁被选中的概率是……4分高二数学参考答案及评分标准第1页(共4页)(Ⅱ)12个整点或半点中，“峰时"有6个，“平时”有4个，“谷时”有2个.X的所有可能取值为36,45,54.所以X的分布列为XP9分…………9分……(Ⅲ)按新车使用8年计算，燃油汽车使用的燃油费新能源汽车使用电费最多为因为购买新能源汽车比燃油车多花费40000元，所以144000-40000-86400=17600(元).新能源汽车至少比燃油汽车总花费少17600元，所以选择新能源汽车总花费更少.…14分(19)(共15分)因为,所以c=1.所以E的方程为…………………5分(Ⅱ)设直线PQ的方程为x=my+1.所以△=(6m)²+36(3m²+4)=144m²+144>0.直线AP的方程为令x=4,得点M的纵坐标为同理可得点N的纵坐标为高二数学参考答案及评分标准第2页(共4页)高二数学参考答案及评分标准第3页(共4页)(20)(共15分)当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下表所示：X1(1,十∞)—0十单调递减0单调递增①当a≤2时，因为x∈(1,+○),所以2x²-a>0.所以f'(x)>0.所以f(x)在区间(1,+一)上单调递增.故f(x)>f(1)=0,满足题意.②当a>2时，令f'(x)<0,得所以f(x)在区间上单调递减，所以,不符合题意.(Ⅲ)当a≤2时，由(Ⅱ)知，对任意x∈(1,+一),f(x)>0恒成立，所以f(x)在区间(1,+∞)没有零点，不符合题意.当a>2时，因为f(x)在区间上单调递减，且f(1)=0,所以f(x)在上无零点.因为f(x)在区间(1,十∞)上存在唯一零点xo,所以.因为当时，f'(x)>0,所以函数f(x)在上单调递增.要证xo<ea-2,只要证f(xo)<f(ea-2),即只要证f(ea-2)>0.f(e-2)=e²a-4-a(a-2)-1,令t=a-2>0,只要证e²¹-t(t+2)-1>0.令g(x)=e²ˣ—x(x+2)-1(x>0),g'(x)=2e²-2所以g'(x)在区间(0,+一)上单调递增，则有g'(x)>g'(0)=0.所以g(x)在区间(0,+∞)上单调递增，则有g(x)>g(O)=0,于是f(e²-²)>0得证.高二数学参考答案及评分标准第4页(共4页)(21)(共15分)T³(A₄):2,4,1,3,T⁴(A₄):1,2,3,44分(Ⅱ)对数列A₄的任意变换T,①若存在i∈{1,2,3,4},有T(a;)=a;,则T³(a;)=ai≠as-;,则T不是A₄的3阶逆序变换.②若对{i,j,s,t}={1,2,3,4},有T(a;)=a;,T(a;)=a;,T(a₅)=a,,T(a₂)=as,则T³(a;)=T²(a;)=T(a),T³(a所以T³(A₄)和T(A₄)是相同的数列.若T³(A₄)是A₄的逆序排列，则T(A₄)也是A₄的逆序排列.所以T不是3阶逆序变换.③若对{i,j,s,t}={1,2,3,4},有T(a;)=a;,T(a;)=as,T(a则T³(a;)=T²(a;)=T(a)=a,,T³(a,)=T²(a;)所以T不是A₄的3阶逆序变换.综上