完全平方公式课件～北师大版数学七年级下册

3乘法公式第3课时完全平方公式2024～2025学年北师大版数学七年级下册课时目标素养达成1.理解完全平方公式的推导过程,了解完全平方公式的几何背景几何直观、抽象能力2.理解完全平方公式的本质,并会运用完全平方公式进行简单的计算运算能力1.计算:(2x-1)2等于()A.4x2+1 B.4x2-2x+1C.4x2-4x-1 D.4x2-4x+12.若(x-2)2=x2+mx+n,则m,n的值分别是()A.4,4 B.-4,4C.-4,-4 D.4,-4DB3.运用完全平方公式计算:(1)(4m+n)2.

(2)(-a+b)2.【解析】(1)(4m+n)2=16m2+8mn+n2.(2)(-a+b)2=a2-2ab+b2.

完全平方公式的几何背景(几何直观、推理能力)【典例1】(教材再开发·P20“思考·交流”强化)如图所示,分别以长方形ABCD的BC,CD为边向外作正方形BEFC和正方形DCGH,延长EF,HG交于点I.若正方形BEFC和正方形DCGH的面积和为13,长方形ABCD的面积为6,则正方形AEIH的周长为

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【自主解答】设正方形BEFC的边长为a,正方形DCGH的边长为b,因为正方形BEFC和正方形DCGH的面积和为13,长方形ABCD的面积为6,所以a2+b2=13,ab=6,又因为(a+b)2=a2+b2+2ab=13+2×6=25,所以a+b=5或a+b=-5(舍去),所以4(a+b)=20,即正方形AEIH的周长为20.答案:20(2024·深圳期中)[阅读材料]我们知道,图形也是一种重要的数学语言,它直观形象,能有效地表现一些代数中的数量关系,而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题.在一次数学活动课上,张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片,其中甲种纸片是边长为x的正方形,乙种纸片是边长为y的正方形,丙种纸片是长为y,宽为x的长方形.并用甲种纸片一张,乙种纸片一张,丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形.[理解应用](1)观察图2,用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式,请你直接写出这个等式.[拓展升华](2)利用(1)中的等式解决下列问题.①已知a2+b2=10,a+b=6,求ab的值;②已知(2023-c)(c-2021)=-2022,求(2023-c)2+(c-2021)2的值.【解析】(1)题图2中阴影部分的面积=(x+y)2-2xy,题图2中阴影部分的面积=x2+y2,所以(x+y)2-2xy=x2+y2.(2)①当a2+b2=10,a+b=6时,代入(1)中的等式,得36-2ab=10,解得ab=13.②因为(2023-c)(c-2021)=-2022,且(2023-c)+(c-2021)=2,根据(1)中的等式,得4-2×(-2022)=(2023-c)2+(c-2021)2,所以(2023-c)2+(c-2021)2=4048.

1.(2024·广州白云期中)计算(x-1)2=()A.x2-1 B.x2-x+1C.x2-2x+1 D.x2+2x+1【解析】(x-1)2=x2-2x+1.C2.(2024·佛山顺德期末)计算:(3x-y)2=______________.

【解析】(3x-y)2=9x2-6xy+y2.

9x2-6xy+y2

1.下列运算结果正确的是()A.2a+3a=5a2

B.(-ab2)3=-a3b6C.a3·a3=a9

D.(a+2b)2=a2+4b2【解析】A.2a+3a=5a,原计算错误,故此选项不符合题意.B.(-ab2)3=-a3b6,原计算正确,故此选项符合题意.C.a3·a3=a6,原计算错误,故此选项不符合题意.D.(a+2b)2=a2+4ab+4b2,原计算错误,故此选项不符合题意.B2.计算:(-x-3y)2=______________.

【解析】(-x-3y)2=[-(x+3y)]2=(x+3y)2=x2+9y2+6xy.

x2+9y2+6xy

3.计算:(1)(3a-2b)2.

(2)(-x2-y)2.【解析】(1)原式=(3a)2-2×3a×2b+(2b)2=9a2-12ab+4b2.(2)原式=x4+2x2y+y2.知识点1

完全平方公式的几何背景1.(2024·深圳龙华期末)下列图形阴影部分的面积能够直观地解释(x-1)2=x2-2x+1的是()【解析】选项A中的阴影部分的面积可以用(x-1)2=x2-2x+1来解释.A知识点2

完全平方公式的应用2.下列计算结果正确的是()A.(x+y)2=x2+y2B.(x-y)2=x2-2xy-y2C.(x+2y)(x-2y)=x2-2y2D.(3x+y)2=9x2+6xy+y2【解析】A.原式=x2+y2+2xy,错误;B.原式=x2-2xy+y2,错误;C.原式=x2-4y2,错误;D.原式=9x2+6xy+y2,正确.D3.若4x2+4x+m=(2x+1)2,则m的值为()A.4 B.1 C.-1 D.-4【解析】(2x+1)2=4x2+4x+1,所以m=1.B4.(2024·深圳福田质检)若(x+2)2=x2+kx+4,则k的值为______.

【解析】(x+2)2=x2+4x+4,则k=4.

4

6.(2024·梅州五华期末)已知(a+b)2=14,ab=3,则a2+b2=()A.4 B.8

C.11

D.20【解析】因为a2+b2=(a+b)2-2ab,(a+b)2=14,ab=3,所以a2+b2=14-2×3=8.B7.如图所示,四个等腰直角三角形拼成一个正方形,则阴影部分的面积为()A.a2+b2

B.a2-b2C.2ab

D.4ab【解析】整体是边长为a+b的正方形,因此面积为(a+b)2,四个等腰直角三角形的面积和为a2+b2,所以阴影部分的面积为(a+b)2-a2-b2=2ab.C8.若(x+2y)2=(x-2y)2+A,则代数式A为________.

【解析】因为(x+2y)2=(x-2y)2+A,所以A=(x+2y)2-(x-2y)2=(x+2y+x-2y)(x+2y-x+2y)=2x·4y=8xy.

8xy

9.已知实数a,b满足a-b=2,则2a2-4ab+2b2的值为______.

【解析】因为a-b=2,所以(a-b)2=a2-2ab+b2=4,所以2a2-4ab+2b2=2(a2-2ab+b2)=2×4=8.

8

11.(2024·珠海金湾期末)【综合探究】实践:把一张长方形纸片进行两次连续对折后得到边长为a,b(a>b)的小长方形(图1),再展开还原(图2)沿着折痕(虚线部分)剪开,拼成一个大正方形(图3).

(1)猜想:①图3中间小正方形的边长为

;(用含a,b的式子表示)

②根据材料,直接写出式子ab,(a-b)2,(a+b)2之间的等量关系

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(2)应用:若x+y=7,xy=2,求(x-y)2的值.【解析】(1)①由题图3可得中间小正方形的边长为a-b.答案:a-b②题图3大正方形的面积可以表示为(a+b