等腰三角形第4课时等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质

第一章三角形的证明1等腰三角形第4课时等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质目录CONTENTSA知识分点练B能力综合练C拓展探究练

知识点1

等边三角形的判定1.

（2024·西安校级月考）在△ABC中，∠A＝60°，添加下列一个条

件后，仍不能判定△ABC为等边三角形的是（

C

）A.

AB＝ACB.

∠A＝∠BC.

AD⊥BCD.

∠B＝∠CC12345678910112.

如图，池塘旁边有一条笔直的小路BC和一棵小树A.

测得的相关数

据如下：∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，BC＝48

m.由上述数据可知

AC＝

m.48

12345678910113.

（教材P13习题T3变式）如图，△ABC是等边三角形，DF⊥AB，

DE⊥CB，EF⊥AC.

求证：△DEF是等边三角形.证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠CAB＝60°.∵DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，∴∠DAB＝∠CBE＝∠ACF＝90°，∴∠FAC＝∠BCE＝∠DBA＝30°，∴∠D＝∠E＝∠F＝180°－90°－30°＝60°，∴△DEF是等边三角形.1234567891011[变式]

位置关系→数量关系如图，△ABC是等边三角形，点D，E，F分别在边BC，AB，CA的

延长线上，且BE＝AF＝CD.

求证：△DEF是等边三角形.证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝60°，AB＝AC＝BC，∴∠EAF＝∠EBD＝120°.∵BE＝CD，∴BE＋AB＝CD＋BC，即AE＝BD.

在△BDE和△AEF中，∵BE＝AF，∠EBD＝∠FAE，BD＝AE，∴△BDE≌△AEF（SAS），∴ED＝EF.

同理可得EF＝FD，∴EF＝ED＝FD，∴△DEF是等边三角形.1234567891011变式题知识点2

含30

°角的直角三角形的性质4.

（教材P11做一做变式）一个含30°角的直角三角尺ABC如图1所

示，用两个完全相同的这种三角尺恰好能拼成一个如图2所示的等边三

角形.若BC＝6，则AB的长为（

C

）A.3B.

6

C.12D.9C12345678910115.

2024年5月24日－26日，中国图象图形大会（CCIG

2024）在陕西省

西安市召开.在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中一个等腰三

角形模型的示意图如图所示，它的顶角为120°，腰长为12

m，则腰上

的高是

⁠.

[变式]

（教材P11例4变式）若一个等腰三角形腰上的高等于腰长的一

半，则该等腰三角形的底角的度数是

⁠.15°或75°

12345678910116.

（2024·西安期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝

60°，CD是△ABC的高，BC＝4，求AD的长.

1234567891011变式题

7.

如图，上午8时一艘轮船从A地以25海里/时的速度向南偏西40°的方

向行驶，上午10时到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶50海里

到达C地，则A，C两地相距（

C

）A.30海里B.40海里C.50海里D.60海里C12345678910118.

（2024·西安阎良区期中）如图，在边长为10的等边三角形ABC中，

点M在边AB的延长线上，点N在边AC上，且MN＝MC.

若AM＝16，

则CN的长为（

B

）A.3B.4C.5D.6B12345678910119.

（2024·西安校级月考）如图，在△ACD中，∠ACD＝90°，∠A＝

30°，AC＝b，CD＝a，以点C

为圆心，CD的长为半径画弧，交斜

边AD于点B，AB＝c，则下列说法正确的是

.（填序号）①△BCD是等边三角形；②a＋c＜b；③a＝c；④b＝2a.①③

123456789101110.

如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，垂足分别为

D，E，AE，BD相交于点O，连接DE.

（1）判断△CDE的形状，并说明理由；

1234567891011（2）求证：S△AOB＝2S△OBE.

1234567891011

11.

如图，在△ABC中，AB＝BC＝AC＝12.现有两点M，N分别从

点A，B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为每秒1个单

位长度，点N的速度为每秒2个单位长度.当点M第一次到达点B时，

M，N两点同时停止运动.（1）点M，N运动几秒后，M，N两点重合？解：（1）设点M，N运动x秒后，M，N两点重合.由题意，得x＋12＝2x，解得x＝12.∴点M，N运动12秒后，M，N两点重合.1234567891011（2）点M，N运动几秒后，可得到等边三角形AMN？（2）设点M，N运动t秒后，可得到等边三角形AMN，如图1所示.由题意，得AM＝t，AN＝AB－BN＝12－2t.∵△AMN是等边三角形，∴t＝12－2t，解得t＝4，∴点M，N运动4秒后，可得到等边三角形AMN.

1234567891011（3）当点M，N在边BC上运动时，是否存在以MN为底边的等腰三角

形AMN？若存在，请求出此时M，N运动的时间.（3）存在.如图2所示.∵△AMN是等腰三角形，∴AN＝AM，∴∠AMN＝∠ANM，∴∠AMC＝∠ANB.

∵AB＝BC＝AC，∴△ACB是等边三角形，∴∠C＝∠B.

在△ACM和△ABN中，∵∠AMC＝∠ANB，∠C＝∠B，AC＝AB，1234567891011∴△ACM≌△ABN，∴CM＝BN.

假设当点M，N在边BC上运动时，存在以MN为底边的等腰三角形

AMN，此时M，N运动的时间为y秒，则CM＝y－12，NB＝36－2y.由题意，得y－12＝36－2y，解得y＝16.故假设成立.∴当点M，N在边BC上运动时，存在以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M，N运动的时间为16秒.1234567891011谢谢观看第3题变式变式1

（2024·西安校级月考）如图，点P，M，N分别在等边三角

形ABC的各边上，且

MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于

点N.

（1）求证：△PMN是等边三角形；解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C.

∵MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC，∴∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，∴∠PMB＝∠MNC＝∠APN，∴∠NPM＝∠PMN＝∠MNP，∴△PMN是等边三角形.（2）若AC＝12

cm，求CM的长.（2）根据题意，得△PBM≌△MCN≌△NAP，∴PA＝BM＝CN，

PB＝MC＝AN，∴BM＋PB＝AB＝AC＝12

cm.∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴2PB＝BM，∴2PB＋PB＝12

cm，∴PB＝4

cm，∴CM＝4

cm.变式2

（2023·咸阳秦都区期中）如图，在△ABC中，∠A＝120°，

AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足.求

证：△DEF是等边三角形.

第6题变式变式1如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠BAD＝

30°，BD＝1，则BC＝（B

）A.3B.4C.

2

D.5变式1题图B变式2

（2024·西安校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，

∠B＝30°，AD⊥BC，则下列等式成立