2024-2025学年下学期高一数学北师大版同步经典题精练之从位移的合成到向量的加减法

第19页（共19页）2024-2025学年下学期高中数学北师大版（2019）高一同步经典题精练之从位移的合成到向量的加减法一．选择题（共5小题）1．（2024秋•呼和浩特期末）已知O为△ABC内一点，且4OA→+3OB→+5OC→=0→A．(13，1) B．(0，23)2．（2024•河东区学业考试）如图，在△ABC中，D为BC的中点，下列结论中正确的是（）A．AB→=AC→ B．BD→=CD→3．（2024秋•石家庄校级期中）设P是▱ABCD对角线的交点，O为空间任意一点（不在平面ABCD上），则OA→A．4OP→ B．6OP→ C．2OP→ 4．（2024春•金安区校级期末）若四边形ABCD是平行四边形，则下列结论错误的是（）A．AD→=BC→ B．DA→+DC→5．（2024•黑龙江）已知向量a→，bA．3a→-2b→ B．2a→二．多选题（共4小题）（多选）6．（2024春•镇雄县校级期中）给出下面四个推论，其中正确的是（）A．若线段AC＝AB+BC，则向量AC→B．若向量AC→=AB→+BC→C．若向量AB→与BC→共线，则线段AC＝AB+D．若向量AB→与BC→反向共线，则|AB→-BC（多选）7．（2024春•新都区期末）△ABC的内心为P，外心为O，重心为G，若|AB|＝|AC|＝5，|BC|＝6，下列结论正确的是（）A．△ABC的内切圆半径为r=3B．6PA→+5PB→C．6OA→+5OB→D．|OG|=（多选）8．（2024春•仓山区校级期末）△ABC的重心为点G，点O，P是△ABC所在平面内两个不同的点，满足OP→A．O，P，G三点共线 B．OP→C．2OP→=AP→+BP（多选）9．（2024春•北京期末）在直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，1），B（﹣2，3），C（﹣3，2），且OP→A．若OP→⊥BC→，则B．若PA→+PB→+PC→=C．若点P在直线BC上，则3m+3n＝5 D．若AP→在AC→方向上的投影向量的坐标是（2，﹣1），则m﹣n三．填空题（共3小题）10．（2024春•光山县校级期中）设O为△ABC内一点，且满足关系式OA→+2OB→+3OC→=3AB→+2BC→+CA→，则11．（2024秋•龙岗区校级期中）(AB→-CB→)+12．（2024春•麒麟区期末）在复平面内，复数2+4i与1+5i所对应的向量分别为OA→和OB→，其中O为坐标原点，则AB→对应的复数为四．解答题（共3小题）13．（2023秋•裕安区校级期末）化简．（1）5(2a（2）1214．（2023秋•双清区校级期末）化简：（1）AB→（2）(AB（3）OA→（4）AB→（5）AB→15．（2024春•喀什市期中）化简下列各式：（1）(AB（2）AB→（3）OA→

2024-2025学年下学期高中数学北师大版（2019）高一同步经典题精练之从位移的合成到向量的加减法参考答案与试题解析题号12345答案CDADC一．选择题（共5小题）1．（2024秋•呼和浩特期末）已知O为△ABC内一点，且4OA→+3OB→+5OC→=0→A．(13，1) B．(0，23)【考点】平面向量的加减混合运算．【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．【答案】C【分析】根据平面向量的线性运算，结合题设，即可求得结论．【解答】解：设AO→=m可得OB→因为4OA即4(-整理可得(3-由AB→，AC→不共线，可得3﹣12m＝5﹣12n＝即AO→=1又因为点M在△OBC内（不含边界），设OM→=x可得OM→则AM=(1可得λ=14且0＜x+y＜1，可得λ+所以λ+μ的取值范围是(2故选：C．【点评】本题考查平面向量的线性运算，属中档题．2．（2024•河东区学业考试）如图，在△ABC中，D为BC的中点，下列结论中正确的是（）A．AB→=AC→ B．BD→=CD→【考点】平面向量的加减混合运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】D【分析】利用相等向量的定义，以及向量的运算可判断结论．【解答】解：在△ABC中，∵D为BC的中点，∴BD→=DC→，AB→+BD故B，C错误，A显然错误．故选：D．【点评】本题考查相等向量的定义，考查向量的运算，属基础题．3．（2024秋•石家庄校级期中）设P是▱ABCD对角线的交点，O为空间任意一点（不在平面ABCD上），则OA→A．4OP→ B．6OP→ C．2OP→ 【考点】平面向量的加法．【专题】平面向量及应用．【答案】A【分析】OA→=OP→+PA→，OB【解答】解：如图，OA→=OPOC→=OP因为P是平行四边形ABCD对角线的交点，所以PA→与PC→、PB→所以OA=OP=4OP=4OP故选：A．【点评】本题考查向量的加法运算，将向量转化为两个向量的和，然后抵消掉相反向量是解题的关键，属基础题．4．（2024春•金安区校级期末）若四边形ABCD是平行四边形，则下列结论错误的是（）A．AD→=BC→ B．DA→+DC→【考点】平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则．【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】D【分析】作出平行四边形ABCD，再利用平面向量的加法和减法法则，结合平行四边形的性质，即可得到答案．【解答】解：如图所示：对于A，平行四边形ABCD对边平行且相等，所以AD→=BC对于B，利用向量加法的平行四边形法则得DA→+DC对于C，利用向量减法的三角形法则得AB→-AD对于D，∵AD→与BC→是相等的非零向量，∴AD→故选：D．【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．5．（2024•黑龙江）已知向量a→，bA．3a→-2b→ B．2a→【考点】平面向量的加减混合运算．【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．【答案】C【分析】利用向量的线性运算计算可得．【解答】解：原式=4a故选：C．【点评】本题考查了向量的线性运算，是基础题．二．多选题（共4小题）（多选）6．（2024春•镇雄县校级期中）给出下面四个推论，其中正确的是（）A．若线段AC＝AB+BC，则向量AC→B．若向量AC→=AB→+BC→C．若向量AB→与BC→共线，则线段AC＝AB+D．若向量AB→与BC→反向共线，则|AB→-BC【考点】平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则．【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．【答案】AD【分析】由线段AC＝AB+BC，且点B在线段AC上，即可判断A选项，根据已知条件，结合三角形的性质，即可判断B选项，根据向量共线的性质，即可判断CD选项．【解答】解：∵线段AC＝AB+BC，∴点B在线段AC上，∴AC→=AB在△ABC中，AC→=AB→+BC→，但由三角形的性质可知，AC向量AB→与BC→反向共线时，则AC≠AB+BC，故选项向量AB→与BC→反向共线，|AB→-BC故选：AD．【点评】本题考查了向量的相等，以及向量共线时长度的变化，属于基础题．（多选）7．（2024春•新都区期末）△ABC的内心为P，外心为O，重心为G，若|AB|＝|AC|＝5，|BC|＝6，下列结论正确的是（）A．△ABC的内切圆半径为r=3B．6PA→+5PB→C．6OA→+5OB→D．|OG|=【考点】平面向量的加减混合运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】ABD【分析】取BC边的中点E，得内心P、外心O、重心G都在中线AE上，且AE⊥BC，由三角形面积相等求出r可判断A；求出PE→=-35PA→可判断B；由余弦定理得cosA，平方关系求出sinA，得△ABC的外接圆半径|AO|利用OE→=-725OA→可判断C；利用|OG【解答】解：取BC边的中点E，连接AE，因为|AB|＝|AC|＝5，所以内心P、外心O、重心G都在中线AE上，且AE⊥BC，|AE|=|对于A，由S△得12×4×6=12r对于B，因为|PE|=32，6PA=6PA→-对于C，由余弦定理得cosA=0＜A＜π，所以sinA=所以△ABC的外接圆半径|AO|OE|=4-所以6=6OA→-对于D，△ABC的外接圆半径|AO|AG|=23|故选：ABD．【点评】本题主要考查平面向量的线性运算，余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．（多选）8．（2024春•仓山区校级期末）△ABC的重心为点G，点O，P是△ABC所在平面内两个不同的点，满足OP→A．O，P，G三点共线 B．OP→C．2OP→=AP→+BP【考点】平面向量的加减混合运算；三点共线．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】AC【分析】根据三角形重心的性质，向量共线的判定及向量的线性运算即可判断．【解答】解：∵点G为△ABC的重心，∴GA→OP→=3OG→+∴O，P，G三点共线，故A正确，B错误；∵OP→∴AP=(AO∴(AO即2OP→=∵OP→=3OG→，∴点故点P不一定在△ABC的内部，故D错误．故选：AC．【点评】本题考查向量的线性表示，属于中档题．（多选）9．（2024春•北京期末）在直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，1），B（﹣2，3），C（﹣3，2），且OP→A．若OP→⊥BC→，则B．若PA→+PB→+PC→=C．若点P在直线BC上，则3m+3n＝5 D．若AP→在AC→方向上的投影向量的坐标是（2，﹣1），则m﹣n【考点】平面向量的加减混合运算．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．【答案】AC【分析】根据已知条件，结合平面向量的坐标运算法则，即可求解．【解答】解：A（﹣1，1），B（﹣2，3），C（﹣3，2），则AB→所以OP→若OP→⊥BC→，则PA→所以PA→+PB→+PC→=(-6+3m+6n，OP→则PB→=(-2+m+2n，3-2m-n因为AP→在AC→方向上的投影向量是（2，﹣所以AP→⋅AC→=AC→⋅(2，-1)，所以﹣2（1﹣m﹣2n）+2m+n﹣1故选：AC．【点评】本题主要考查平面向量的坐标运算，属于基础题．三．填空题（共3小题）10．（2024春•光山县校级期中）设O为△ABC内一点，且满足关系式OA→+2OB→+3OC→=3AB→+2BC→+CA→，则S△BOC：【考点】平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则．【专题】作图题；数形结合；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】3：2：1【分析】化简可得（OA→+OB→）+（2OA→+2OC→）=0→，设M，N分别为AB【解答】解：由题可得OA→+2OB→+3OC→=3（OB→-OA→）+2（OC即（OA→+OB→）+2（OA设M，N分别为AB、AC的中点，∵OA→+OB→=2则OM→=-2ON→，设S△ABC如图所示，∵MN为△ABC的中位线，∴S△BOC=12∵M是AB的中点，∴S△CAM=12又ON：OM＝1：2，∴S△COA=13S△CAM=∵N是AC的中点，∴S△ANB=12又ON：OM＝1：2，∴S△AOB=23S△ANB=故S△BOC：S△AOB：S△COA＝3：2：1．【点评】本题考查平面向量的综合运用，考查三角形面积比的求解，考查数形结合思想，属于中档题．11．（2024秋•龙岗区校级期中）(AB→-CB→)+【考点】平面向量的加减混合运算．【专题】常规题型；转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】AC【分析】根据题意，利用平面向量的加减运算法则化简，可得答案．【解答】解：(AB故答案为：AC【点评】本题主要考查平面向量的加减法则及其应用，考查了概念的理解能力，属于基础题．12．（2024春•麒麟区期末）在复平面内，复数2+4i与1+5i所对应的向量分别为OA→和OB→，其中O为坐标原点，则AB→对应的复数为﹣1+【考点】平面向量的减法；复数对应复平面中的点．【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】﹣1+i．【分析】首先求出OA→和OB→的坐标，从而求出【解答】解：∵复数2+4i与1+5i所对应的向量分别为OA→和OB∴OA→=(2，∴AB→=OB→-OA故答案为：﹣1+i．【点评】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．四．解答题（共3小题）13．（2023秋•裕安区校级期末）化简．（1）5(2a（2）12【考点】平面向量的加减混合运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．【答案】（1）-2a→-2【分析】进行向量的数乘运算即可．【解答】解：（1）原式=10a（2）原式=1【点评】本题考查了向量的数乘运算，属于容易题．14．（2023秋•双清区校级期末）化简：（1）AB→（2）(AB（3）OA→（4）AB→（5）AB→【考点】平面向量的加减混合运算．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．【答案】（1）0→；（2）AB→；（3）（4）0→；（5）CB【分析】根据平面向量的加法与减法的运算法则，对每一个小题进行化简计算即可．【解答】解：（1）原式=AC（2）原式=AB（3）原式=OA（4）原式=AB（5）原式=AB【点评】本题考查了平面向量的加法与减法的运算问题，属于基础题．15．（2024春•喀什市期中）化简下列各式：（1）(AB（2）AB→（3）OA→【考点】平面向量的加减混合运算；平面向量的加法．【专题】计算题；转化思想；定义法；平面向量及应用；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】（1）（2）（3）可按照平面向量的加法、减法法则计算，即得答案．【解答】解：（1）(AB（2）AB→（3）OA→【点评】本题考查了平面向量的加、减法运算问题，是基础题．

考点卡片1．平面向量的加法【知识点的认识】向量的加法运算求几个向量和的运算叫向量的加法运算，其运算法则有二：（1）三角形法则：设a→与b→不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作AB→=a，BC→=b，则向量叫做a特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点．（2）平行四边形法则：如图2所示，ABCD为平行四边形，由于AD→=BC→，根据三角形法则得AB→+AD特征：有共同起点的两个向量相加，其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线．（首尾相接，结果为首尾）（3）向量的加法性质①a→+0→=0→②a→③（a→+b→）2．平面向量的减法【知识点的认识】向量的减法及其几何意义：求两个向量差的运算叫向量的减法运算．法则：以将向量a与向量b的负向量的和定义为a→与b→的差，即a→设a→=OA→，b特征；有共同起点的两个向量a→、b→，其差a→-b→仍然是一个向量，叫做a→与b3．平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则【知识点的认识】三角形法则：设a→与b→不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作AB→=a，BC→=b，则向量叫做a特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点．4．平面向量的加减混合运算【知识点的认识】1、向量的加法运算求几个向量和的运算叫向量的加法运算，其运算法则有二：（1）三角形法则：设a→与b→不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作AB→=a，BC→=b，则向量叫做a特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点．（2）平行四边形法则：如图2所示，ABCD为平行四边形，由于AD→=BC→，根据三角形法则得AB→+AD特征：有共同起点的两个向量相加，其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线．（首尾相接，结果为首尾）（3）向量的加法性质①a→+0→=0→②a→③（a→+b→）2、向量的减法运算．求两个向量差的运算叫向量的减法运算．法则：以将向量a与向量b的负向量的和定义为a→与b→的差，即a→设