数学 第二册（五年制高职）教案全套 第1-5章 数列 - 简单几何体

江苏省五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学》（第二册）教案课题6.1.1数列的定义授课时间学习目标1.通过生活实例，感知生活中的数列，识记数列的有关概念；2.知道数列的分类及各种表示方法；3.认识数列项的序号与项的对应关系，体会数列是一种特殊的函数.教学重点数列的概念及表示方法.教学难点理解数列中存在的函数关系.教学准备PPT教学过程教学内容一、问题探究二、抽象概括（一）数列的定义（二）数列项的定义（三）数列的一般形式教师活动在日常生活中，经常需要把数按一定的次序排列.例如，（银行）排队机输出的号码排成的一列数，清楚地表明了客户办理相关业务的先后顺序.（1）某学习小组某时段学习平台积分排名如图所示，请写出排名前5的学员的总积分数.（2）《庄子·天下篇》中提到“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，那么每日所取棰长依次是多少?问题（1）中，根据总积分排名，第1名的总积分数是28109，第2名的总积分数是27843，……前5名学员的总积分得到一列数：28109，27843，27698，27684，27521.问题（2）中，“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思为:一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完.如果将“一尺之棰”长度视为1，那么“日取其半”每日所取的长度依次为.以上问题中的两列数都是按照一定次序排列的.二、抽象概括（一）数列的概念1数列的定义：像这样按照一定次序排成的一列数称为数列.2数列项的定义：数列中的每个数都称为这个数列的项.3数列的一般形式：数列的一般形式，简记作.其中称为数列的第1项(或首项)，称为数列的第2项，…，数列的第n项称为数列的通项，n称为的序号.学生活动观察思考，讨论交流，找出规律.识记数列的有关概念，领会要点.教学过程教学内容教师活动学生活动（四）数列的分类三、例题讲析（一）数列与函数的关系4数列的分类：项数有限的数列称为有穷数列，项数无限的数列称为无穷数列.例如：数列（1）项数为5，是有穷数列；数列（2）项数无限，是无穷数列.三、例题讲析例1按照探究问题（1）的学习平台中总积分排名，分别写出前5名学员所选时段积分、10月累计积分所构成的数列.解：前5名学员所选时段积分构成的数列是354，364，362，431，368;前5名10月积分构成的数列是998，1027，988，1158，1003.例2数列1，3，5，7，9和数列9，7，5，3，1是同一个数列吗?为什么?解：这两个数列都是5项，而且都含有1，3，5，7，9这几个数.但这5个数在两个数列中次序不同，所以它们不是同一个数列.例3分别写出以下数列的首项、第4项和第7项.（1）3.1，3.14，3.141，3.1415，3.14159，3.141592，3.1415926;（2）10,6,2，-2，…;….解：（1）首项为3.1，第4项为3.1415，第7项为3.1415926；（2）首项为10，第4项为-2，根据前4项的规律，知第7项为-14；（3）首项为，第4项为，根据前4项的规律，知第7项为.在数列中，对于每一个正整数n(或，，都有一个数与之对应（如图6-2），因此，数列也是一类特殊的函数.类似于函数，数列还可以用列表法和图象法表示.数列（1）可以分别用表6-1和图6-3来表示.见教材表6-1和图6-3通过例题理解数列的定义，思考并回答，例2进一步巩固对数列定义的理解.体会数列的项感受数列与函数的联系.了解数列的不同呈现形式教学过程教学内容教师活动学生活动（二）数列的分类四、合作交流五、课内练习六、课堂小结如果一个数列从第二项起，每一项都大于它的前一项，这样的数列称为递增数列，如例3第(1)题中的数列为递增数列；如果一个数列从第二项起，每一项都小于它的前一项，这样的数列称为递减数列，如例3第(2)题中的数列为递减数列.四、合作交流请用项的序号n表示…的第n项.五、课内练习1.举出两个生活中数列的例子.2.有两列数:(1)3，3，3，3，3，3，3;(2)3，3，3，3，3，3，3，3.它们是否是数列?如果是数列，它们是否相同?为什么?3.写出正奇数1，3，5，7，…的倒数依次排成的数列，并说出它的首项和第7项.4.某病人住院10天，住院期间每天量取一次体温以观察病情变化.将体温(℃)按时间顺序得到数列39.2，39.8，38.1，38.7，38，37.8，38.2，38，37.2，37.6.请用列表法表示这个数列.5.将数列看作是一种特殊的函数，那么它的自变量和因变量分别是什么？试用列表、描点的方法画出这个数列的图象.课堂小结1.数列、数列项的概念2.数列的一般形式3.数列的分类4.数列与函数知道思考、讨论、交流，培养学生的逻辑推理能力，为下节课学习做铺垫独立完成归纳、总结、记忆课后作业教后记教案课题6.1.2数列的通项授课时间学习目标1.了解数列的通项公式；2.理解数列通项公式的含义并能解决有关问题；3.通过学习，逐步提升数学运算、逻辑推理、数学抽象等数学核心素养.教学重点数列的通项公式及其应用教学难点会根据数列的前几项写出它的通项公式教学准备PPT教学过程教学内容一、问题探究二、抽象概括（一）数列的通项公式三、例题讲析教师活动如何用项的序号n来表示数列的第n项？在数列中，，，，…，不难发现，该数列的第n项可以用项的序号n表示为.一般地，如果数列{an}的第n项an与项的序号n之间的关系可以用一个式子表示，那么这个式子称为这个数列的通项公式.例如，数列的通项公式为.例4已知数列的通项公式，写出它的首项、第3项和第35项.解:根据，首项，，.学生活动思考找规律领会定义体会根据数列的通项公式，可以写出数列中的任何一项.教学过程教学内容教师活动学生活动四、思维拓展五、课内练习六、课堂小结例5分别写出以下数列的一个通项公式:(1);(2)-1，1，-1，1，-1，…;(3).解:(1)数列的一个通项公式是，(n=1，2，3，4，5);数列的一个通项公式是;(3)数列的一个通项公式是.例6已知数列{an}的通项公式为，写出该数列的第5项，第n-1项和第n+1项.解:根据通项公式,；；.如图，绿色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式.教材练习1、2、3数列的通项公式要求对比较简单的数列，会根据前几项的特征写出它的一个通项公式.思考分析解决交流思考计算思考问题提高逻辑推理和数学抽象能力.思考交流课后作业教后记教案课题6.2.1等差数列的概念授课时间学习目标通过实例，认识等差数列及其特点；能描述等差数列的定义并能判断一个数列是否为等差数列；能运用等差数列的定义解决有关问题.教学重点等差数列的定义.教学难点运用等差数列的定义解决有关问题.教学准备PPT教学过程教学内容一、问题探究二、抽象概括（一）等差数列的定义教师活动一、问题探究观察以下数列：（1）万年历中，某月份星期日的日期依次为1,8,15,22,29.

（2）第26届到第32届奥运会的年份依次为1996，2000，2004，2008，2012，2016，2020.（3）北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为9，18，27，36，45，54，63，72，81.(4)安全无小事，每到汛期，水位线就备受关注.某水库汛限水位附近的水位线刻度数（单位：厘米）从上至下依次为300，290，280，270，260，250，240，230，….这四个数列从第2项起，每一项与前一项的差是多少？这四个数列有何共同特征？(1)从第2项起，每一项与它前面一项石板数的差都等于7；(2)从第2项起，每一项与它前面一项年份的差都等于4；(3)从第2项起，每一项与它前面一项日期的差都等于9；(4)从第2项起，每一项与它前面一项刻度的差都等于-10.上述四个数列的共同特征是，数列从第2项起，每一项与它前面一项的差都等于同一个常数.二、抽象概括一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么称这个数列为等差数列，这个常数称为公差，通常用d表示.因此，数列(1)是首项为1、公差为7的等差数列；数列(2)是首项为1996、公差为4的等差数列；数列(3)是首项为9、公差为9的等差数列；数列(4)是首项为300、公差为-10的等差数列.学生活动观察思考口答总结四个数列的共同特征掌握等差数列的定义；思考公差的可取范围.教学过程教学内容教师活动学生活动三、例题讲析四、合作交流五、思维拓展六、课内练习由定义可知，若数列是公差为的等差数列，则有an+1三、例题讲析例1下列数列是否是等差数列？若是等差数列，写出其首项及公差.(1)2，5，8，11，14;(2)-2，-2，-2，-2，-2;(3)1，0，-1，0，1，0，-1，0，….例2求出下列等差数列中的未知项：（1）3，x，17;y，6，14，z.例3以下数列是否是等差数列？请说明理由.（1）;（2）.四、合作交流请写出两个等差数列，并在平面直角坐标系中分别作出它们的图象.这些图象有什么特征？五、思维拓展你知道“麦田怪圈”吗?麦田怪圈是在麦田或其他农田上，透过某种力量把农作物压平而产生出的几何图案，下图就是其中的一种，这个麦田圈由一组同心圆构成，如果最里面的圆半径为1m，其他的圆半径依次增加1m.那么，这些同心圆的半径、周长、面积由内向外依次排成的数列都是等差数列吗?课内练习1.已知下列数列都是等差数列，填出所缺的项，并求其公差.(1)7，3，_______，_______，_______，…;(2)5，_______，_______，_______，25，….2.下列数列是否是等差数列?若是，写出其首项及公差.(1)2，9，16，23，30;(2);掌握等差数列的符号定义式学会判断一个数列是否为等差数列等差数列定义的灵活运用等差数列符号定义式的理解运用体会等差数列与函数的关系思考交流，体会等差数列在现实生活中的无处不在.通过练习及时查漏补缺独立完成教学过程教学内容教师活动学生活动七、课堂小结-1，-1，-1，-1，-1.3.如图，请写出由空心圈个数构成的数列.它是等差数列吗?若是，写出其首项及公差.（1）（2）（3）课堂小结等差数列的文字定义等差数列的符号定义思考分析课后作业教后记教案课题6.2.2等差数列的通项公式授课时间学习目标通过实例了解等差数列通项公式的推导过程；识记等差数列的通项公式，掌握公式的运用；培养学生观察、归纳、分析、推理的能力，渗透特殊到一般的思想.教学重点等差数列的通项公式及其运用.教学难点等差数列通项公式的推导过程、公式的运用.教学准备PPT教学过程教学内容复习二、问题探究教师活动复习提问：等差数列的定义？二、问题探究为了达到较好的音响效果，剧场的座位大多排成圆弧形。某剧场座位的排列规律是第一排有30个座位，从第2排起，后一排比前一排多6个座位，各排的座位数构成一个数列，（为第n排的座位数）,这个数列的第20排有多少个座位？某饮料的品牌推广策划方案，需要在超市搭建景观墙。从上至下每层的易拉罐数构成数列。其中=3，公差d=2.如果计划摆放30层，那么最底层需要多少个易拉罐？如果数列是等差数列，它的公差为d，那么这个数列的第n项是什么？讨论：（1）数列是等差数列，首项，公差d=6，由等差数列的定义可知，即，，，…以此类推，第20排的座位数为.学生活动口答思考讨论教学过程教学内容教师活动学生活动三、抽象概括四、例题讲析（2）类似地，数列最底层的易拉罐数为.（3）等差数列的公差为，则,,,….以上n-1个等式的等号左右两边对应相加，得,即.三、抽象概括一般地，如果数列是公差为的等差数列，那么它的通项公式为.从等差数列的通项公式可以得出，即等差数列中第n项与首项相差n-1个公差。四、例题讲析例4已知等差数列的首项为1，公差为3，求第11项.例5求等差数列-13，-9，-5，-1，…的第56项.例6已知等差数列中，，，求数列的通项公式.紧扣等差数列的定义，推导等差数列通项公式，让学生亲身经历“不完全归纳法”这一研究过程.理解并掌握等差数列通项公式中共有四个量，只要知道其中的任意三个量，就可以求出另外的一个量。能灵活运用通项公式求等差数列指定的项；方程思想求等差数列的通项公式。教学过程教学内容教师活动学生活动五、合作交流六、课内练习七、课堂小结五、合作交流如果是等差数列，数列是等差数列吗?六、课内练习1.已知等差数列的首项为7，公差为2，求.2.求等差数列17，14，11，8，…的第10项.3.已知等差数列中，，求数列的通项公式.4.已知数列是等差数列.（1）若（2）若.七、课堂小结等差数列的通项公式思考讨论独立完成归纳总结课后作业教后记教案课题6.2.3等差数列的性质授课时间学习目标1.了解等差数列性质的推导过程；2.掌握等差数列的性质；3.学会用等差数列的性质解决有关问题.教学重点等差数列的性质.教学难点等差数列性质的运用.教学准备PPT教学过程教学内容一、复习二、问题探究三、抽象概括四、例题讲析教师活动复习等差数列的定义？等差数列的通项公式？等差数列是一种特殊的数列，根据等差数列的概念，可以进一步研究等差数列中各项之间的关系.二、问题探究（1）如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的等差中项.如何用x和y表示A？（2）等差数列的通项公式为，试求.你有什么发现？（3）等差数列中,如果正整数m，n，s，t满足，那么之间有什么关系？三、抽象概括一般地，对于等差数列，有如下结论：（1）除去首末两项，其他任意一项都是它前后两项的等差中项，即;（2）如果正整数m，n，s，t满足，那么.四、例题讲析例7求出下列等差数列中的未知项:5，A，15;31，b，11，c;，p，.学生活动复习巩固思考讨论交流提高抽象概括能力，理解等差数列的性质.掌握等差中项公式的运用教学过程教学内容教师活动学生活动五、合作交流六、课内练习七、课堂小结例8已知等差数列首项为2，公差为4，（1）将这个数列中的每一项都乘以3，所得的新数列是等差数列吗？如果是等差数列，它的首项和公差分别是多少？（2）这个数列中的所有奇数项，按原来的顺序组成的新数列是等差数列吗？如果是等差数列，它的首项和公差分别是多少？抽象概括：由例8可以看出，等差数列中的每一项乘以同一个常数，所得的数列仍然是等差数列；等差数列中，间隔相同的项构成的数列仍然是等差数列.例9等差数列中，，试求.合作交流等差数列中，已知是方程的两个根，求的值.六、课内练习教材练习1、2、3、4七、课堂小结等差数列的性质：1.除去首末两项，其他任意一项都是它前后两项的等差中项.2.如果正整数m，n，s，t满足，那么3.等差数列中的每一项乘以同一个常数，所得的数列仍然是等差数列.4.等差数列中，间隔相同的项构成的数列仍然是等差数列.等差数列性质的进一步研究讨论交流理解等差数列的性质掌握等差数列的性质的运用独立完成归纳总结课后作业教后记教案课题6.2.4等差数列的前n项和公式授课时间学习目标1.通过实例了解等差数列前n项和公式的推导过程及方法；2.识记等差数列前n项和公式，掌握公式的运用；3.会用等差数列前n项和公式解决实际问题，提高逻辑推理、数学建模等核心素养.教学重点等差数列的前n项和公式及其运用.教学难点等差数列的前n项和公式的运用.教学准备PPT教学过程教学内容一、问题探究①②两式相加，得这种求等差数列前n项和的方法，称为倒序相加法.教师活动一般地，数列从第1项起到第n项止的各项之和称为数列的前n项和，记作，即.如何求等差数列的前n项和？一、问题探究（1）搭建6.2.2问题探究中的超市景观墙，共需多少个易拉罐？（2）如何用等差数列的项与项数表示该数列的前n项和？问题（1）摆放该景观墙需要易拉罐个.问题（2）中，设等差数列公差为d，前n项和为Sn，则由等差数列的定义①再把项的次序倒过来，有，即②由此得出等差数列前项和公式学生活动思考交流解决方法理解倒序相加法教学过程教学内容教师活动学生活动二、抽象概括三、例题讲析四、合作交流五、思维拓展六、课内练习七、课堂小结二、抽象概括一般地，如果等差数列的公差为d，则其前项和公式为根据等差数列的通项公式，可得三、例题讲析例10已知数列为等差数列.(1)若，求;(2)若，d=，求.例11求正奇数数列1，3，5，7，…前100项之和.例12在等差数列中，已知，求其前13项和.四、合作交流某种卷筒卫生纸（如图），开启时中空部分的直径为40mm，外沿的直径为120mm.已知卫生纸的厚度为0.1mm，则一卷该卫生纸的总长度大约是多少?(精确到0.1m)五、思维拓展等差数列中，首项，公差d=-3，当n为何值时，前n项和最大？课内练习教材练习1、2、3、4课堂小结等差数列的前n项和公式识记公式，四个量，解决知三求一问题.例10弄清等差数列两个求和公式的特征，根据条件正确选择公式求和.例11掌握两种方法求解.思考分析课后作业教后记教案课题6.3.1等比数列的概念授课时间学习目标1.通过实例，认识等比数列及其特点；2.能描述等比数列的定义，会判断一个数列是否为等比数列；3.会求等比数列的首项及公比.教学重点等比数列的概念教学难点等比数列的判别教学准备PPT教学过程教学内容一、问题探究抽象概括等比数列的定义教师活动一、问题探究下面两个数列有哪些共同特点？如图6-10，一个细胞在分裂过程中,1个分裂为2个,每次分裂前的细胞总数构成数列:1,2,4,8,16,….6-10数列：观察数列和数列，发现这两个数列从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数.数列从第2项起，每一项与前一项的比都等于2；数列从第2项起，每一项与前一项的比都等于.二、抽象概括等比数列的定义公比q可以为正数和负数，但不可以为零.一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项之比都等于同一个不为零的常数，那么称这个数列为等比数列，这个常数称为公比，通常用表示(q≠0).公比q可以为正数和负数，但不可以为零.问题探究中，数列是首项为1、公比为2的等比数列，数列是首项为、公比为的等比数列.学生活动观察思考；讨论交流理解掌握结合实例学习等比数列的定义，应强调q为1的等比数列是常数列，但常数列不一定是等比数列教学过程教学内容教师活动学生活动三、例题讲析四、合作交流五、课内练习七、课堂小结判定一个数列是否是等比数列，可用等比数列的定义.如果数列中有一项为0，则肯定不是等比数列.由等比数列的定义可知，若数列是公比为（q≠0）的等比数列，则有判定一个数列是否是等比数列，可用等比数列的定义.如果数列中有一项为0，则肯定不是等比数列..三、例题讲析例1下列数列是否是等比数列？若是，写出其首项及公比.(1)-1，-5，-25，-125，-625，…;(2)1，，2，，4;(3);(4)0，-1，-4，-16，-64.例2已知以下数列都是等比数列，填写所缺的项，并求其公比.(1)1，，______，______，…;(2)，______，______，，…;(3)3，______，______，3，….四、合作交流《增删算法统宗》中的“诵课倍增”歌：“有个学生心性好，一部《孟子》读了三日，每日添增一倍多，问君每日读多少？”这个学生三日里各读多少？（《孟子》全书为34685字，“一倍多”指一倍．）五、课内练习1.下列数列是否是等比数列?若是，写出其首项及公比.(1)1，-1，1，-1，…;(2);(3)1000，10，，，…;(4)0，0，0，0，….2.已知下列数列都是等比数列，填写所缺的项，并求其公比.(1)，-2，______，______，…;(2)81，______，______，3，….3.诸葛统兵：诸葛统领八员将，每将又分八个营.每营里面排八阵，每阵先锋有八人.每人旗头俱八个，每个旗头八队成.每队更该八个甲，每甲该有八个兵.请你仔细算一算，孔明共领多少兵.七、课堂小结1认识等比数列及其特点；2.会判断一个数列是否为等比数列；3.会求等比数列的首项及公比.学习体会思考分析通过例题进一步理解等比数列的定义.讨论、交流练习，进一步巩固所学知识学生回忆总结课后作业教后记教案课题6.3.2等比数列的通项公式授课时间学习目标1.通过实例，了解等比数列通项公式的推导过程及方法，能描述等比数列通项公式；2.理解等比数列的通项公式，会运用公式求中，已知三个量，求第四个量.教学重点等比数列的通项公式及其运用教学难点等比数列的通项公式的推导过程，等比数列的通项公式的运用教学准备PPT教学过程教学内容一、问题探究教师活动一、问题探究1.数列：3,6,12,24,48，…的通项如何表示？2.数列的第10项是多少？3.如果等比数列的公比是，那么数列的第n项是什么？不难看出，数列和都是等比数列。在数列中，首项，公比q=2，由等比数列的定义可知公比，即，，，……以此类推，该数列的通项为.类似地，数列（2）中的第10项是学生活动思考、交流结合实例，感受等比数列前一项与后一项之间的关系，从而类推出每一项与首项之间的关系。教学过程教学内容教师活动学生活动二、抽象概括等比数列的通项公式三、例题讲析四、合作交流五、课内练习六、课堂小结数列是一个等比数列，首项为，公比是，则，，，….以上n-1个等式等号左右两边对应相乘，得,即.二、抽象概括等比数列的通项公式一般地，设数列是一个等比数列，首项为，公比为q，则其通项公式为.从等比数列的通项公式可以得出，即等比数列中第n项与首项的比等于公比的n-1次方.三、例题讲析例3已知等比数列2，6，18，54，…，求此数列的通项公式.例4已知等比数列的通项公式，求其首项及公比.例5在等比数列中，，.求这个数列的通项公式及.四、合作交流如图6-11，将一个边长为1的正三角形(1)的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图形(2).如此继续下去，得图形(3).试用n表示出第n个图形的边数.图6-11五、课内练习求等比数列1，0.3，0.09，0.027，…的通项公式.求通项为an=2×的等比数列的首项与公比.已知等比数列中，，，求.在等比数列中，（1）已知；（2）已知；（3）已知.六、课堂小结1等比数列的通项公式.2等比数列中，四个量，已知三个量，求第四个量.学生感受等比数列通项公式推导的过程，渗透由特殊到一般的数学思想方法，同时，学生初步感受累乘法.学习体会通过例3、例4，使学生会直接利用通项公式进行求解例5结合方程组练习，加深对通项公式的理解思考、交流、练习思考、动手、求解及时掌握学生情况查漏补缺讨论交流课后作业教后记教案课题6.3.3等比数列的性质授课时间学习目标通过实例，感受等比数列两个性质的推导过程；理解等比数列的两个重要的性质即等比中项的定义、等比数列的项与项的序号的特殊关系；会运用性质解决问题.教学重点等比数列两个性质的理解与掌握教学难点等比数列两个性质的运用教学准备PPT教学过程教学内容一、引入二、问题探究教师活动等比数列是一种特殊的数列，根据等比数列的概念，可以进一步研究等比数列中项与项之间的关系.二、问题探究1.如果x，G，y是等比数列，那么称G为x与y的等比中项.如何用x和y表示G？2.等比数列{an}的通项公式为ana33.等比数列{an}中,如果正整数m，n，s，t满足，那么am实际上，对于问题1，如果x，G，y三个数成等比数列，根据等比数列的定义可知，，因此，即等比中项G是它前后两项x与y积的平方根.对于问题2，根据等比数列通项公式求出，且a3·a10=a对于问题3，由等比数列通项公式，=，=.因为，所以.学生活动思考、交流通过实例，感受发现等比数列的项与项的序号之间的特殊关系学习、体会教学过程教学内容教师活动学生活动三、抽象概括等比中项的定义四、例题讲析五、合作交流六、课内练习七、课堂小结三、抽象概括等比中项的定义一般地，对于等比数列，有如下结论：注意：等比数列的等比中项有两个，且互为相反数.（1）除去首末两项，其他任意一项都是它前后两项的等比中项，即an注意：等比数列的等比中项有两个，且互为相反数.（2）如果项的序号m，n，s，t满足，那么.四、例题讲析例6求出下列等比数列中的未知项:，G，16;.例7已知等比数列首项为3，公比为2.（1）将这个数列中的每一项都乘以5，所得的新数列是等比数列吗？如果是等比数列，它的首项和公比分别是多少？（2）将这个数列中的所有奇数项，按原来的顺序所组成的新的数列是等比数列吗？如果是等比数列，它的首项和公比分别是多少？例8等比数列{an}中，a五、合作交流在等比数列{an}中，已知a5和a12六、课内练习1.求出下列等比数列中的未知项:（1）4，x，9;（2），y，;（3）1，m，9，n.2.已知两个数k+2和2k-3的等比中项是k，求k.3.已知是公比为q的等比数列，新数列也是等比数列吗？如果是，公比是多少？4.已知一个等比数列的首项为a1，公比为q.（1）将数列的前m项去掉，其余各项依次构成的数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别为多少？（2）取出数列中的所有偶数项，依次构成一个新的数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别为多少？（3）取出数列中的所有项的序号是3的整数倍的各项，依次构成一个新的数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别为多少？5.在等比数列中，若.七、课堂小结（1）等比中项an（2）如果项的序号m，n，s，t满足，那么.领会要点理解、掌握例6学会求等比中项；例7学会等比数列每一项乘以某个非零常数，得到的新的数列依然是等比数列；将等比数列中的奇数项或偶数项按原来的顺序所组成的新的数列，依然是等比数列;例8学会等比数列项与项的序号之间的关系通过例题的学习，进一步理解、掌握等比数列的性质，加深对等比数列的理解讨论、交流、解决问题练习及时掌握学生情况查漏补缺讨论、回忆、交流课后作业教后记教案课题6.3.4等比数列的前n项和公式授课时间学习目标1.通过实例了解等比数列前n项和公式的推导过程及方法；2.能描述等比数列前n项和公式，会用公式由已知的三个或三个量求.教学重点等比数列前n项和公式及其运用教学难点等比数列前n项和公式的运用教学准备PPT教学过程教学内容一、问题探究教师活动一、问题探究1.传说古希腊国王要嘉奖数学家阿基米德.阿基米德的要求是在国际象棋棋盘（如图6-12）的方格上，第1个方格放1颗麦粒，第2个方格放2颗麦粒，第3个方格放4颗麦粒，第4个方格放8颗麦粒，…每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直至放满64格，棋盘上的麦粒就是他的奖品.假设每1000颗麦粒的重量为40克，请问国王有能力满足阿基米德的要求吗？2.已知等比数列{an}的公比为q，如何用该数列的项与项数表示它的前对于问题1，要知道国王是否有能力满足阿基米德的要求，需要知道棋盘上共有多少麦粒.容易看出，棋盘上每个方格中的麦粒数构成首项为1，公比为2的等比数列，则放满棋盘方格的麦粒数就是这个等比数列的前64项的和，即.观察得到，上式中等号右边从第2项起，每一项都是它前一项的2倍，根据这个特点，在上式两边同乘以2得到.两式相减得，即.学生活动讨论交流，借助有趣的数学故事激发学生学习兴趣。思考交流引导学生从趣味故事中抽象出等比数列模型,培养利用数学知识分析、解决问题的能力.学习体会“错位相减法”推导出前n项和公式，培养和提升归纳分析能力教学过程教学内容教师活动学生活动二、抽象概括等比数列的前n项和公式三、例题讲析四、思维拓展五、课内练习六、课堂小结是一个天文数字，，奖品的总质量约为，很显然国王没有能力满足阿基米德的要求。对于问题2，设等比数列前n项和为SnSn即Sn=上式两边同时乘以q，得这种求等比数列前n项和的方法，我们称为错位相减法.qS这种求等比数列前n项和的方法，我们称为错位相减法.①②两式相减，得(1−q)S当q≠1时，.因为，所以上式还可以写为.当q=1时，.因为，所以上式还可以写为.当q=1时，.二、抽象概括等比数列的前n项和公式若等比数列的首项为，公比为q，则其前n项和公式为弄清等比弄清等比数列两个求和公式的特征，根据条件正确选择公式求和。根据等比数列的通项公式可得，三、例题讲析例9已知数列为等比数列(1)若，求S11;(2)若，求S4;(3)若，求S8.(4)若为6，6，6，6，···，求S100.例10已知等比数列的前n项和为Sn，公比q=2，S100a1+四、思维拓展解决《白话九章算术》中“女子善织”问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几何．”题目的意思是“一女子是织布能手，每天织的布都是前一天的2倍．已知她5天里共织布5尺．问这位女子每天织布多少？”五、课内练习1.已知数列{an}是等比数列.（1）若，，求;（2）若，，求;（3）若，求.2.求等比数列的前10项的和.3.《增删算法统宗》中的“行程减半”：三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关；要见每朝行里数，请君仔细详推算．课堂小结1等比数列前n项和公式；2.会用公式由已知的三个或三个量求分析思考观察特征进一步学习体会“错位相减法”推导出前n项和公式，加深理解领会要点学习理解理解、记忆思考、分析例9是巩固性练习，使学生掌握公式，能直接利用公式求解.例10是理解性练习，学生正确理解等比数列奇数项和，偶数项和，并掌握它们之间的联系，从而解决问题.讨论交流，解决问题思考动手求解及时掌握学生情况查漏补缺回忆反思课后作业教后记教案课题6.4.1数列在经济生活中的应用授课时间学习目标1.巩固等差数列、等比数列通项公式，前n项和公式及其运用；2.让学生经历数学建模的过程，培养学生应用数学的能力；教学重点等差数列、等比数列的运用教学难点等差数列、等比数列的运用教学准备PPT教学过程教学内容一、引入二、例题讲析教师活动数列是反映自然规律的基本数学模型。例如，存款贷款、购物分期、资产折旧、效益提升等问题都与其相关。等差数列、等比数列这两种特殊的数列模型可以帮助我们解决这类实际问题。例题讲析例1某人制定5年存款方案，计划每年生日当天存10000元，每年存款到期后自动转存，到第五年存款到期后连本带利一起取出,银行年利率为2%，.问:此人共可取回多少钱（精确到0.01元）?解由题意得，第一年存入银行的10000元，到期的利息为1000×（元）；第二年存入银行的10000元，到期的利息为1000×（元）；……第五年存入银行的10000元，到期的利息为1000×（元）.这些利息构成了首项为1000×，公比为，末项为1000×的等比数列.它们的和为(元)，因此到第五年底，此人可从银行连本带利取回53081.21元钱.例2：分期付款是当今经济生活中与老百姓息息相关的事，买房、买车、甚至购买数码产品都用上了分期付款，如何根据自己的实际经济情况，学生活动观察思考讨论交流从实际问题中抽象出数学问题，建立等比数列模型，借助等比数列前n项和公式，计算本利和，让学生体会储蓄的优越性,同时进一步锻炼学生分析问题、解决问题的能力.教学过程教学内容教师活动学生活动二、例题讲析三、合作交流四、课内练习五、课堂小结选择恰当的分期付款方式是每一个参与经济活动的公民的迫切需要。小明同学采用分期付款的方式(（如图6-13）购买一台5000元的笔记本电脑，在购买一个月后第一次付款，且每月等额付款，在购买后的第12个月将货款全部付清，月利率0.5%，按复利计算（即指上月利息要计入下月本金），该顾客每月应付款多少元（精确到1元）？（1.00512≈1.06）图6-13解把5000元存入银行12个月，月利0.5%，按复利计算，则本利和为5000×（1+0.5%）12=5000×（1.005）12=5000×1.06=5300，每月存入银行a元，月利0.5%，按复利计算，则本利和为a+a（1+0.5%）+a（1+0.5%）11.由题意知12a=5300，解得a≈442（元）．即每月还款大约为442元．三、合作交流某学生创业社团打算购买一台数码设备售价为1万元，若采取分期付款，则需在1年内将款全部还清，商家提供下表所示的几种付款方案.按各种方案付款每次需付款额分别是多少？方案付款次数付款方式16次购买后2个月第1次付款，再过2个月第2次付款……购买后12个月第6次付款212次购买后1个月第1次付款，过1个月第2次付款……购买后12个月第12次付款33次购买后4个月第1次付款，再过4个月第2次付款，再过4个月第3次付款注：（1）每种方案中每次所付款额相同；（2)规定月利率为0.5%，每月利息按复利计算。四、课内练习1.某产业学院为职业学校勤工俭学学生提供助学计划，每月向资助卡存入500元，共存4年，月利息为0.2%，4年后该学生可以从银行获取升学创业资金多少？（精确到1元）2.小王想用分期付款的方式购买一套价值50万元的商品房，首付15万元，贷款期限为20年，银行住房贷款年利率为4.9%，按复利计息，如果小王按年还款，每年还款的数额相同，那么每年需要还款多少元？小王购买此房共要付房款多少元？五、课堂小结等比数列在经济生活中的运用思考交流解决问题思考分析练习讨论、交流、记忆课后作业教后记教案课题6.4.2数列在生态建设中的应用授课时间学习目标1.巩固等差数列、等比数列通项公式，前n项和公式及其运用；2.让学生经历数学建模的过程，培养学生应用数学的能力.教学重点等差数列、等比数列的运用教学难点等差数列、等比数列的运用教学准备PPT教学过程教学内容一、例题讲析教师活动一、例题讲析例3依照国家“节能减排“的规划纲要，某汽车集团大力发展新能源汽车，2023年全年生产新能源汽车5万辆。如果在后续的五年中，预计每一年的产量都比前一年增长30%，那么从2023年到2028年底该集团一共生产新能源汽车多少万辆？（精确到0.01万辆）解根据题意，该集团2023年生产新能源汽车5万辆，以后每年产量比上一年增长30%，那么从2023年到2028年的新能源汽车产量构成等比数列，其中，q=1+30%=1.3，n=6,则.所以从2023年到2028年底该集团一共生产新能源汽车约63.78万辆.例4资料表明，工业废弃垃圾每吨占地１平方米．环保部门每回收或处理１吨废旧物资，相当于消灭４吨工业废弃垃圾．2023年某地区环保部门回收处理了10万吨废旧物资，且以后每年的回收量递增．（1）2035年预计回收废旧物资多少万吨(精确到0.01)，预计可节约土地多少平方米(精确到１平方米)？（2）到2035年底，预计共回收废旧物资多少万吨(精确到0.01)？解（1）环保部门每年对废旧物资的回收量构成一个等比数列，首项为，公比为q=1+20%=1.2．所以，2035年预计回收的废旧物资为,预计可节约土地.（2）到2035年底，预计共回收的废旧物资总量为.学生活动观察思考讨论交流从实际问题中抽象出数学问题，建立等比数列模型，借助等比数列前n项和公式解决问题，让学生感受等比数列模型在生活中的重要性.观察思考讨论交流例4进一步锻炼学生分析问题、解决问题的能力.教学过程教学内容教师活动学生活动二、课内练习课堂小结二、课内练习某校数控专业实习基地的一台车床价值360万，第一年的折旧率为20%，以后每年的折旧率为10%.第10年末该设备价值为多少?(精确到1万元）在校园就业招聘会上,王同学被甲公司录用,李同学被乙公司录用.甲公司承诺第一年的年薪是60000元,以后每年的年薪比上一年增加6500元;乙公司承诺第一年的年薪是60000元,以后每年的年薪比上一年增加10%.假设聘期为5年,那么这两名同学5年的总收入有没有差别?差别是多少.三、课堂小结等比数列通项公式，前n项和公式及其在生活中的运用.思考练习解决问题讨论、交流、记忆课后作业教后记教案课题数列复习课授课时间学习目标1.全面梳理、归纳本章知识点，系统复习数列的概念，公式；2.运用所学的数列知识解决问题，提高综合运用知识的能力.教学重点归纳总结本章知识点及各公式的运用教学难点数列知识的综合运用教学准备PPT教学过程教学内容一、知识框图二、内容要点教师活动二、内容要点1.数列的概念按一定次序排列的一列数称为数列.数列是一种特殊的函数，可以用解析法、列表法、图象法来表示.2.等差数列(1)一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么称这个数列为等差数列，这个常数称为公差，通常用d表示.即.(2)一般地，如果等差数列的公差为，那么它的通项公式为.学生活动回忆、交流归纳总结教学过程教学内容教师活动学生活动三、课内练习四、课堂小结(3)在等差数列中，除去首末两项，其他任意一项都是它前后两项的等差中项，即(4)在等差数列中，如果正整数m，n，s，t满足，那么，即在等差数列中，下标和相等的两项，和也相等.(5)一般地，如果等差数列中的公差为d，那么它的前项和公式为.3.等比数列(1)一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项之比都等于同一个不为零的常数，那么这样的数列称为等比数列，这个常数称为公比，通常用表示(q≠0).即.(2)一般地，如果等比数列的公比为q，那么它的通项公式为.(3)在等比数列中，除去首末两项，其他任意一项都是它前后两项的等比中项，即.(4)在等比数列中，如果正整数m，n，s，t满足m+n=s+t，那么.(5)一般地，如果等比数列的公比为q，那么它的前n项和公式为或4.数列的实际应用利用数列的有关知识可以解决一些简单的实际问题.三、课内练习本章复习题A组（详见书本）四、课堂小结1本章知识点总结2易错题、重点题型的归纳整理.学生练习讨论、交流、记忆课后作业教后记教案课题7.1.1平面向量的定义授课时间学习目标通过实例,体会平面向量的由来.识记向量的定义,会用字母和有向线段表示向量.识记向量模的定义,会用字母和线段表示向量的模.知道零向量、单位向量的概念.教学重点平面向量的定义及其表示.教学难点平面向量的定义及其大小、方向的整体性.教学准备PPT教学过程教学内容一、引入二、问题探究教师活动在现实生活中，有些量在选定度量单位后，只用一个实数就能表示，这种只有大小的量叫做数量（也称为标量），如身高、距离、质量、面积等；还有一些量，仅用数值无法准确表示它们，它们不但有大小，还有方向.如：力、速度、位移、加速度等．怎样表示这些既有大小又有方向的量呢？二、问题探究：如图7-1，小明在400米运动场上的点A（1道）处出发，沿跑道跑完200米到达终点B处．（1）小明所经过的路程是多少？发生的位移是什么？（2）小明从点B出发按逆时针方向沿跑道跑了200米，经过的路程是多少？位移是什么？（3）位移和路程这两个量有什么差别？图7-1学生活动思考并回答,引出平面向量的概念，体会平面向量的由来教学过程教学内容教师活动学生活动三、抽象概括四、例题讲析在问题（1）中，小明从点A沿跑道到达点B所经过的路程是200米，发生的位移大小为A、B间的直线距离，方向为由A指向B；类似的，在问题（2）中，小明从点B出发，按逆时针方向沿跑道跑200米将到达点A，所经过的路程是200米，发生的位移大小为B、A间的直线距离，方向为由B指向A.通过比较发现，路程只有大小，位移既有大小又有方向.在数学里，通常用带箭头的线段来表示位移，线段的始点是位移的起点，线段的终点是位移的终点，箭头的方向表示位移的方向，线段的长短表示位移的大小；这种规定了起点和终点，并在终点处标上箭头的线段叫作有向线段.三、抽象概括：1．平面向量的定义在数学中，把既有大小又有方向的量称为向量（也称为矢量）．上面提到的力、速度、位移等都是向量．一般地，用一条有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．以A为起点、B为终点的向量（如图7－2（1）），记为．向量也可以用小写黑体字母表示，如、、等（如图7－2（2）），手写时写成带箭头的小写字母，如：、、等.（1）（2）图7－2向量的大小称为向量的模（或称为向量的长度）．向量的模记作；向量的模记作，手写时可以写成．向量的模是一个数量，是非负实数．长度为0的向量称为零向量，记作0．零向量的模为0，方向为任意方向.长度为1个单位长度的向量称为单位向量，记作.四、例题讲析例1：如图7-3所示，每个小正方形的边长均为1个单位长度.以A、B、C中的一个点为起点，另一个点为终点，可以构成哪些向量？用有向线段表示这些向量，并求出它们的模.图7-3图7-4理解并识记平面向量、平面向量的模、零向量和单位向量的定义及其表示思考，分析，解答，进一步巩固平面向量的相关概念及其表示教学过程教学内容教师活动学生活动五、合作交流六、思维拓展七、课内练习解：如图7-4，以A、B、C中的一个点为起点，另一个点为终点可以构成以下向量：，它们的模分别为：例2:如图7-5，在□ABCD中，AB=2,BC=1,其所有的边能构成哪些向量？这些向量的模分别是多少？图7－5解：□ABCD的所有边可以构成以下向量：、、、、、、、．它们的模分别为：,五、合作交流你能举出一些向量的例子吗？零向量有什么特点？与的大小和方向有什么关系？六、思维拓展在如图7-5所示的□ABCD：向量与向量有什么关系？满足这样关系的向量还有哪些？向量与向量有什么关系？满足这种关系的向量还有哪些？七、课内练习1.判断下列说法是否正确，并说明理由．(1)大小和方向是确定向量的两个要素．(2)向量的模表示了向量的大小．(3)零向量是一个向量,所以它的方向是确定的．(4)零向量的长度不确定．(5)单位向量没有方向．(6)因为．(7)单位向量都相等.(8)0和0相等.合作交流并回答，进一步巩固向量的相关概念思考、讨论、交流，为下节课的相关概念学习做准备口答教学过程教学内容教师活动学生活动七、课内练习八、课堂小结2.如图所示，每个小正方形的边长均为1个单位长度.以点A、B、C、D中的一个点为起点，另一个点为终点，可以构成哪些向量？画出这些向量并求出它们的模.(第2题)八、课堂小结1.平面向量的定义及其表示.2平面向量的模的定义及其表示.3.零向量、单位向量的定义及其表示.思考、动手求解回忆、反思课后作业教后记教案课题7.1.2相等向量、相反向量与平行向量授课时间学习目标识记相等向量、相反向量、平行（共线）向量的概念,并会用字母和有向线段表示.能根据给定的向量，识别是否为相等向量、相反向量、平行（共线）向量.教学重点相等向量、相反向量及平行（共线）向量的概念.教学难点区分相等向量、相反向量、平行向量.教学准备PPT教学过程教学内容一、引入二、问题探究三、抽象概括教师活动数量之间可以比较大小，也可以进行代数运算.向量既有大小又有方向，它们之间不可以比较大小，但也可以进行其他方面的比较.二、问题探究：图7-6中每个小正方形的边长均为1个单位长度，观察向量与，它们之间有什么关系？与呢？与呢？怎样来刻画它们之间的关系呢？FEFE图7-6探究发现，向量与长度相等且方向相同;向量与长度相等且方向相反;与长度不相等，方向相反.三、抽象概括在数学中，长度相等且方向相同的向量称为相等向量（或同一向量）．向量与相等时，记为=．长度相等且方向相反的向量称为相反向量．向量与相反时，记为=-．如果两个非零向量方向相同或相反，就说这两个向量互相平行，这两个向量称为平行向量（或共线向量）（图7-7）．当向量与平行时，记为：∥．学生活动思考、分析、回答,引出相等向量、相反向量的概念领会、理解、识记相等向量、相反向量及平行（共线）向量的概念教学过程教学内容教师活动学生活动四、例题讲析图7-7规定：零向量与任何向量平行，即对于任意向量，0∥．四、例题讲析例3：如图7-8所示，在4×5方格纸中有一个向量，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与相等的向量有多少个？图7-8图7-9解：如图7-9所示，当向量的起点是图中以实心圆点标出的格点时，可以作出与相等的向量.这样的格点共有8个，除去点A外，还有7个，所以共有7个向量与相等.例4：如图7-10，设是正六边形的中心，在以中任意一点为起点，另一点为终点的向量中，找出与相等的向量、相反的向量、平行的向量．图7-10解：与相等的向量有：与相反的向量有：与平行的向量有：思考、分析、交流、解决，巩固相等向量、相反向量及平行（共线）向量的概念教学过程教学内容教师活动学生活动五、合作交流六、课内练习七、课堂小结五、合作交流（1）相等向量是平行向量吗？相反向量呢？（2）任何一组平行向量是否都可以平移到一条直线上？六、课内练习1.图中3×4方格纸中有一个向量，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与相等的向量有多少个？（第1题）2.如图，四边形为菱形，相交于点,在以中任意一点为起点，另一点为终点的向量中找出与、相等的向量、相反的向量、平行的向量.（第2题）3.物体从点A出发，先向东移动3米到达点B，然后向南移动4米到点C.（1）试用向量表示该物体的这两次位移；（2）如果物体从点A出发向南移动4米到点D，能否说与相等？为什么？七、课堂小结1.相等向量的概念及其表示.2.相反向量的概念及其表示.3.平行（共线）向量的概念及其表示.合作、交流思考、动手求解、交流回忆、反思课后作业教后记教案课题7.2.1向量加法的三角形法则授课时间学习目标能描述向量的加法运算法则，会用三角形法则作出两个向量的和向量.掌握加法运算的代数式特点，能用代数式表示两个向量的加法运算.知道向量加法运算的交换律和结合律.教学重点向量加法的三角形法则.教学难点向量加法的三角形法则.教学准备PPT教学过程教学内容一、引入二、问题探究三、抽象概括教师活动数可以进行加、减、乘、除等运算，那么向量之间也可以运算吗？二、问题探究：如图7-11所示，在实现上海与台北直航前，由上海（点A）到台北（点C），需先经香港（点B），再到台北，位移是由A到B，再由B到C；实现直航后由上海直接到台北，位移是由A到C．在图中用向量表示每一次的位移．飞机由上海飞往至香港，再由香港飞至台北位移的结果与飞机直接由上海飞至台北的位移结果相同吗？从上海到香港的位移可以表示为，从香港到台北的位移可以表示为，从上海到台北的位移可以表示为.实现直航前由上海出发经香港到台北的两次位移的结果，与实现直航后由上海直接到台北的位移结果相同.三、抽象概括：一般地，对已知向量和，如图7-12所示，在平面内任取一点A，作，，则向量称为与的和（或和向量），记作．即学生活动思考、分析、解决，联系实际，让学生感知向量加法的三角形法则的实际意义教学过程教学内容教师活动学生活动四、例题讲析图7-12求两个向量和的运算称为向量的加法．根据向量的加法定义，将两个向量依次首尾顺次相接，则两个向量的和向量即为以第一个向量的起点为起点，以第二个向量的终点为终点的向量.这种和向量的方法，称为向量加法的三角形法则．对于任一向量，有向量的加法满足交换律、结合律，即+=，四、例题讲析例1：如图7-13所示，已知向量，，用向量的三角形法则作和向量+.（2）图7-13解：(1)当两向量，首尾相接时，其和向量是以向量的起点为起点，向量的终点为终点的向量，如7-14（1）所示．在平面内任取一点A,作，，则向量即为与的和，即+=,如图7-14（2）所示.（1）（2）图7-14结合图形思考、领会、理解思考、分析、交流、解决，进一步巩固向量加法的三角形法则教学过程教学内容教师活动学生活动五、合作交流六、思维拓展例2：如图7-15，已知两个共线向量与，用三角形法则求它们的和向量.（2）图7-15解：(1)当两向量，同向时，在平面内任取一点A，作，，则向量即为与的和，即+=．如图7-16（1）所示．（2）当两向量，反向时，在平面内任取一点，作，，则向量即为与的和，即+=．如图7-16（2）所示.（1）（2）图7-16五、合作交流如果平面内有个向量依次首尾连接组成一条封闭折线，那么这个向量的和是什么？六、思维拓展周未早晨，小明骑车从家（A点）出发，先去拉面馆（B点）吃了早饭，再到鸭血粉丝汤店（C点）给父母买了两笼包子，接着去超市（D点）买了一袋米后，回到家中（如图7-17）.（1）在图中用向量表示小明活动的位移.（2）这些向量的和是什么？讨论、交流教学过程教学内容教师活动学生活动七、课内练习八、课堂小结七、课内练习1.如图，已知向量，，作出+．（1）（2）（第1题）2.如图，已知向量，，作出+．（1）（2）（第2题）如图，已知四边形为平行四边形，填空．（第3题）(1);(2);(3);(4);(5);(6).八、课堂小结1.向量加法的定义.2.向量加法的三角形法则,会用三角形法则作两个向量的和向量.3.向量加法满足的运算律.4.能用代数式表示两个向量的加法运算.思考、动手作图、交流回忆、反思课后作业教后记教案课题7.2.2向量加法的平行四边形法则授课时间学习目标能描述向量的加法运算法则，会用平行四边形法则作出两个向量的和向量.掌握加法运算的代数式特点，能用代数式表示两个向量的加法运算.教学重点向量加法的平行四边形法则.教学难点用平行四边形法则求两个向量的和向量.教学准备PPT教学过程教学内容一、引入二、问题探究三、抽象概括教师活动利用向量加法的三角形法则可以求两个向量的和向量，如果这两个向量的起点相同，它们的和向量可以怎样表示呢？二、问题探究：小明从家O点出发到学校B点，周边的道路如图7-18所示，四点O、A、B、C构成▱OABC．（1）如果向量=，向量=，与向量，分别相等的向量有哪些？（2）根据向量加法的三角形法则，向量与向量的和向量+是图中的哪个向量？（3），，+之间位置关系如何？图7-18根据平行四边形的性质及相等向量、相反向量的定义可知，==,==．根据向量加法的三角形法则，=+=+=+.三、抽象概括：图7-18表明，对于两个不共线的非零向量，，还可以作平行四边形来求两个向量的和，以任意点0为起点分别作，，以为邻边作平行四边形，则向量就是向量与的和．这种求两个向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则．平行四边形法则不适用于共线向量.学生活动思考、分析、回答,在加法的三角形法则的基础上探究出平行四边形法则思考、领会、理解教学过程教学内容教师活动学生活动四、例题讲析五、合作交流六、思维拓展四、例题讲析例3：如图7-19所示，已知向量与，用平行四边形法则求作向量+.图7-19解：如图7-20所示,以任意一点O为起点分别作，，以为邻边作平行四边形，则以为起点的对角线就是向量与的和．ABOC图7-20五、合作交流向量加法的平行四边形法则与三角形法则有怎样的关系?六、思维拓展利用平行四边形法则可以解决物理学中求合力的问题．如图7-21，一张拉紧的弓箭，受到两个方向的力F1，F2，最终形成合力F，使箭向耙心飞行，把F1+F2记作合力F.用平行四边形法则作出弓箭所受两个方向的力F1，F2的合力F的示意图.如果力F1，F2的大小分别为100N，它们的夹角为90°,那么它们的合力F的大小是多少？（1）（2）图7-21思考、分析、解决，巩固平行四边形法则讨论、交流思考、讨论、交流、体会平行四边形法则的实际应用教学过程教学内容教师活动学生活动七、课内练习八、课堂小结七、课内练习1.如图，已知向量与，用平行四边形法则求作向量+.（1）(2)（第1题）2如图，已知四边形为平行四边形，则：（第2题）(1)(2)3.如图，为正六边形的中心，则：(1)=；(2)=；(3)=；(4)=.（第3题）八、课堂小结1.向量加法的平行四边形.2.会用平行四边形法则作出两个向量的和向量.3.能用代数式表示两个向量的加法运算.思考、动手作图、交流回忆、反思课后作业教后记教案课题7.2.3向量的减法授课时间学习目标识记向量的减法运算法则，会将减法运算转化为加法运算.掌握减法运算的代数式特点，能用代数式表示两个向量的减法运算.能用三角形法则求两个向量的差向量.教学重点用代数式、三角形法则求两个向量的差向量.教学难点向量减法定义的理解.教学准备PPT教学过程教学内容一、引入二、问题探究三、抽象概括教师活动由数的减法运算法则知道，减去一个数等于加上这个数的相反数，减法是加法的逆运算．类比数的减法，平面向量的减法与加法有什么关系呢？如何定义向量的减法法则？二、问题探究：如图7-22所示，在长江南岸某渡口A处，江水以6km/h的速度向东流，小船以8km/h的速度垂直驶过长江到达渡口C处.小船的静水速度是多少？小船的航向如何确定？试用水流速度和小船实际速度来表示小船的静水速度.图7-22由向量加法的平行四边形法则知道，小船的实际速度向量是水流速度向量与船速向量的和向量.根据条件，由平行四边行中边长及对角线之间的数量关系可以得到小船的静水速度及航向.由向量的加法的三角形法则得：=+=+(-)=-.三、抽象概括：一般地，已知向量，，如图7-23，在平面内任取一点O，作=，，由向量求和的三角形法则，得+=.向量叫做向量与的差，记作-，即=-=.学生活动思考并回答,结合实际引出向量的减法教学过程教学内容教师活动学生活动四、例题讲析五、合作交流图7-23求两个向量差的运算，称为向量的减法.向量的减法是向量加法的逆运算：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.即-=+(-).当向量，的起点相同时，两个向量的差-是减向量的终点到被减向量的终点的向量.四、例题讲析例4：如图7-24，已知向量，求作向量，．图7-24图7-25解：如图7-25，在平面内任取一点O，作=，，=，作=－，=-.例5：如图7-26，在▱ABCD，，，用，分别表示.图7-26解：由向量加法的平行四边形法则,有＋.由向量减法定义,得-.合作交流试画图说明-=+(-)．观察、思考、领会、理解思考、分析、解决、交流，进一步巩固向量减法的三角形法则，体会向量减法的几何意义思考、分析、交流，巩固向量加法的平行四边形法则及减法法则教学过程教学内容教师活动学生活动六、课内练习七、课堂小结六、课内练习1．如图，已知向量，共线，求作向量-．（１）（２）2．如图，已知向量，不共线，求作向量-.（1）（2）3．填空：；；；．4．如图，在矩形ABCD中，已知=，，在图中画出向量＋与－．课堂小结1.向量减法的定义.2.向量减法的三角形法则，能用三角形法则求作两个向量的差向量.3.能用代数式表示两个向量的减法运算.动手画图思考、动手求解、交流回忆、反思课后作业教后记教案课题7.2.4向量的数乘运算授课时间学习目标识记向量数乘运算的定义，会用代数式表示向量的数乘运算.认识向量数乘的几何意义.识记向量数乘的运算律，会用运算律进行向量数乘运算.教学重点向量数乘运算的定义及用代数式进行向量的数乘运算.教学难点向量数乘的几何意义.教学准备PPT教学过程教学内容一、引入二、问题探究教师活动如果是正整数，个实数相加的和是,对于向量，如果有个向量相加，那么如何来求这个和向量呢？二、问题探究：如图7-27所示，某质点从点A出发向东做匀速直线运动，其１s内的位移所对应向量用表示.如何用向量表示该点在3s时的位移？该向量的大小、方向与向量有什么关系？如果质点从A出发向西以相同的速率做匀速直线运动，试回答（1）（2）中的问题.（4）质点从A出发向东或向西在3s时的位移还有其他表示形式吗？如图7-28，该质点第1秒、第2秒、第3秒位移所对应的向量分别为，根据向量的加法定义，在3s时的位移所对应的向量为，的长度是的3倍，方向与相同，可以记作3．ABCD图7-28如图7-29，如果该质点从A出发向西以相同的速率运动，在3s时的位移可以用表示，的长度是的3倍，方向与相反，可以记作-3．DCBA图7-29学生活动思考、分析、解决，结合实际引出向量数乘的定义教学过程教学内容教师活动学生活动三、抽象概括四、例题讲析三、抽象概括：一般地，实数与向量的积仍是一个向量，记作，它的长度和方向有如下规定：(1)(2)当时，与方向相同；当时，与方向相反；当时，．实数与向量的乘法运算，叫做向量的数乘运算．可以验证，对于任意向量、b及任意实数，向量数乘运算满足如下法则：(1)）＝=)；(2)＝＋；(3)＝＋．一般地，＋（均为实数）叫做向量、的一个线性组合.如果向量=＋，则称向量可以用向量、线性表示.向量的加法、减法、数乘运算都称为向量的线性运算.四、例题讲析例6：如图7-30,已知向量和向量，求作向量1.5，-2,2－3．图7-30解：如图7-31（1）,向量1.5的长度是向量的长度的1.5倍，方向与向量相同．如图7-31（2）,向量-2的长度是向量的长度的2倍，方向与向量相反．如图7-31（3），以为起点，分别作2，3，连接BA，则2-3．(1)(2)(3)图7－31理解、领会、记忆思考、分析、解决教学过程教学内容教师活动学生活动五、合作交流六、思维拓展七、课内练习例7：计算：（1）（-3）；（2）5（）－2（）；（3）（＋4）－（2－3－5）．解：（1）（-3）=（-3）＝－12；（2）5（）－2（）＝5＋5－2＋2＝3＋7；（3）（＋4）－（2－3－5）＝＋4－2＋3＋5＝－＋7＋2．五、合作交流1.根据数乘向量的定义，对于两个非零向量，如果存在一个实数，使得，那么向量平行吗？反之如何？2.“向量平行”是“（）”的什么条件？六、思维拓展如图7-32,已知平行四边形的两条对角线相交于点，，，试用，表示.图7-32七、课内练习1.如图，已知向量，作向量使=2，=-3，=3．（第１题）2.如图，点将线段四等分，则（第２题）（1）=；（2）=；（3）=；（4）=．思考，分析，解决，巩固向量数乘的运算律，体会数与向量的乘法运算和数与字母的乘法运算的类似性讨论、交流思考、分析、解决、交流，加深对向量运算法则及其几何意义的理解作图思考、动手求解、交流教学过程教学内容教师活动学生活动八、课堂小结3．计算：（1）（-5）；（2）3（2）-4（3）；（3）（2-3）-（3＋2－）．4.已知是一个非零向量，将下列各题中的向量表示为实数与向量的乘积．（1）=2，=8；（2）=3，=-6．八、课堂小结1.向量数乘运算的定义.2向量数乘运算的运算律.回忆、反思课后作业教后记教案课题7.3.1向量内积的定义授课时间学习目标1.识记平面向量所成角的概念及其取值范围[0,π]，感受两个向量之间的夹角与向量位置之间的关系；2.识记两个平面向量同向、反向、垂直时所成角；3.识记平面向量内积的定义，会运用公式求两个向量的内积和夹角.教学重点平面向量内积的定义；求两个向量的内积.教学难点平面向量所成角的表示；对平面向量的内积是数的理解.教学准备PPT教学过程教学内容一、问题探究二、抽象概括（一）平面向量所成角的概念（二）平面向量内积的定义教师活动一、问题探究如图所示，一个物体在力F的作用下发生了位移S，力F与物体位移S方向的夹角为.1.F在位移方向上的分量是多少？所做的功W是多少？2.功W是一个数量还是一个向量？根据物理知识可以知道，功W可以看作两个向量F与S的某种运算结果，W=|F||S|.这个结果不但与两个向量的长度有关，还与这两个向量的夹角有关，是一个数量．二、抽象概括（一）