8.6.1 直线与直线垂直 课件高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6空间直线、平面的垂直8.6.1

直线与直线垂直情境

·思考两条直线是什么关系?观

察：如图，在正方体ABCD-A'B'C'D

中，直线

A'C'与直线AB,直线A'D'与直线AB都是异面直线，直线

A'C'与A'D'相对于直线AB的位置相同吗?如果不同，如何表示这种差异呢?不同课标要求1.理解异面直线所成的角，会求异面直线所成的角.2.掌握直线与直线垂直.

素养目标直观想象：求作异面直线所成角的问题.体会课堂探究的乐趣，

汲取新知识的营养，让我们一起走

进

课

堂

吧

!探究

·

导学我们知道，平面内两条直线相交形成4个角，其中不大于90度的角称为这两条直线所成的角(或夹角),它刻画了一条

直线相对于另一条直线倾斜的程度，类似的我们也可以用异面

直线所成的角来刻画两条异面直线的位置关系.探

究

点1两条异面直线所成的角异面直线所成角的定义：如图，已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O

作直线a'lla,b'//b,则

把a'与b'所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).(1)将空间图形转化为平面图形(2)异面直线夹角转化为相交直

线的夹角思考：这个角的大小与O

点的位置有关吗?即O

点位置不同时，这一角的大小是否改变?平

移如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直，直线a

与直线b垂直，记作a⊥b.当两条直线a,b互相平行时，我们规定它们所成的角为0°,所以空间两条直线所成角α的取值范围是0°<a≤90°【

即时训练

】空间任意两个角α,β,且α与β的两边对应平行，α=60°,则β为

(

D

)A.60°B.120°C.30°D.60°

或120°例1

如图，已知正方体ABCD-A'B'C'D'.(1)哪些棱所在的直线与直线AA'

垂

直

?(2)求直线BA'

与CC'所成的角大小。(3)求直线BA'

与AC

所成的角大小。解：(1)直线

AB,BC,CD,DA,A'B',B'C',C'D',D'A

'所在直线分别与AA'垂直.(2)由

BB'//CC'可知，∠B'BA'为异面直线

BA'与

CC

'

的夹角，

∠B'BA'=45°所以，直线

BA'与CC

'的夹角为45°.(3)如图，连接A'C',

因

为ABCD-A'B'C'D'

是正方体，所以AA'/CC',

从而四边形AA'C'C

是平

行四边形，所以AC||A'C'。

于是∠BA'C

'

为

异

面直线BA'

与AC所成的角。连接BC',易知△A'BC′是等边三角形，所以∠BA'C'=60°

.例1

如图，已知正方体ABCD-A'B'C'D'.(1)哪些棱所在的直线与直线AA'垂直?(2)求直线BA'

与CC′所成的角大小。(3)求直线BA'

与AC所成的角大小。从而异面直线BA'

与AC所成的角等于60°.(1)哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线?(2)哪些棱所在的直线与直线AA'垂直?解：(1)由异面直线的定义可知，与直线BA'成异面直线的有直线B'C′,AD,CC',DD',DC,D'C'

.例2

如图，已知正方体ABCD-A'B'C'D'.(2)直线AB,BC,CD,DA,A'B',B'C',C'D',D'A'分别与直线

AA

'垂直.【

提升总结

】(1)求两异面直线所成的角的一般步骤：①作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线

所成的角；②证：证明作出的角就是要求的角；③计算：求角的值，常利用解三角形.

可用“一作二证三计算”来概括.(2)平移直线得出的角有可能是两条异面直线所成角

的补角，要注意识别这种情况.例2如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，0₁为底面A₁B₁C₁D₁的中心.求证AO₁⊥BD.分析：要证明A0₁

⊥BD,

应先构造直线A0₁与BD所成的角，若能证明这个角是直角，即得A0₁

⊥BD.证

明：

如图

，

连

接B₁D₁.

∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是

正

方

体，∴

BB₁//DD₁

,∴四边形BB₁D₁D

是

平

行

四

边

形

，∴B₁D₁//BD,∴

直线AO₁与

B₁D₁所成的角即为

直线AO₁

与

BD所

成的角，

连

接AB₁,AD₁

,易

证AB₁=AD₁,又0₁底

面

A₁B₁C₁D₁

的中

心.

∴0

₁为

B₁D₁中点，∴AO₁⊥B₁D₁,∴A0₁⊥BD.【即时训练】分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是(

D)A.异面

B.

平行

C.相交

D.以上都有可能解析：当两个平面平行时，这两条直线的位置关系为平行或异面，当两个平面相交时，这两条直线的位置关系有可能相

交或异面或平行.异面直线所成的角直线与直线垂直异面直线所成的角的求法(1)作：利用中位线、长方体、平行

四边形等性质平移至一个三角形，并说明为异面直线所成的角或补角.(2)求：利用余弦定理求角(如果是特殊三角形),或利用三角形的性质

求

角

。课堂小结核

心知识直观想象：求作

异面直线所成角的问题求异面直线所成的角时注意的范围直线与直线垂直求异面直线所成的角易错提醒方法总结核心素养1.

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中

，E、F、G、H分别为AA₁

、AB

、BB₁

、B₁C₁的中点，则异面直线

EF与GH

所成的角等于(

B

)A.45°B.60°

C.90°D.120°解析：取

A₁B₁中

点

I,

连接

IG、IH,

则

EF//IG.易知

IG,IH,

HG

相等，则△HGI

为等边三角形，则IG

与

GH所成的角为60°,即

EF

与

GH所成的角为60°

.训练

·评价2.如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AC

与

BC₁

所成角的大小是

60°

C₁=CD₁,C₁∴∠CAD₁=60°,即AC

与

BC₁

所成的角为60°.解析：连接

AD,

则

AD₁//BC₁

.

∴∠CAD₁(或其补角)就是

与BC₁所成的角，连接

CD₁,在正方体ABCD-A

₁B₁C₁D₁

中

，AC=AD₁3.

如图，在四棱锥P-ABCD

中

，PA⊥AB,

底

面ABCD

是平行四边形，则PA

与

CD

所成的角是

90°∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD,∴∠PAB

是

PA

与

CD

所成的角.又∵PA⊥AB,

∴∠PAB=90°.4.

如图，已知长方体ABCD-EFGH中

，AB=2√3,AD=2√3,AE=2.(1)求BC和EG所成的角是多少度?(2)求AE和BG所成的角是多少度?解：(1)因为GF//BC,所以∠EGF

(或其补角)为所求

.