2025年高考数学必刷题分类：第64讲、椭圆及其性质（学生版）

第64讲椭圆及其性质

知识梳理

知识点一：椭圆的定义

平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数2a（2a|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作2c，定义用集合语言表

示为：P||PF1||PF2|2a(2a|F1F2|2c0)

注意：当2a2c时，点的轨迹是线段；

当2a2c时，点的轨迹不存在．

知识点二：椭圆的方程、图形与性质

椭圆的方程、图形与性质所示．

焦点的位

焦点在x轴上焦点在y轴上

置

图形

x2y2y2x2

标准方程1ab01ab0

a2b2a2b2

统一方程mx2ny21(m0,n0,mn)

xacosxacos

参数方程,为参数（[0,2]）,为参数（[0,2]）

ybsinybsin

到两定点、的距离之和等于常数，即（）

第一定义F1F22a|MF1||MF2|2a2a|F1F2|

范围axa且bybbxb且aya

1a,0、2a,010,a、20,a

顶点

10,b、20,b1b,0、2b,0

轴长长轴长2a，短轴长2b长轴长2a，短轴长2b

对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称

、、

焦点F1c,0F2c,0F10,cF20,c

222

焦距F1F22c(cab)

cc2a2b2b2

离心率e1(0e1)

aa2a2a2

a2

准线方程x

c

点和椭圆1外1外

x2y2y2x2

00点在椭圆上00点在椭圆上

221(x0,y0)221(x0,y0)

abab

的关系1内1内

xxyyyyxx

001（(x,y)为切点）001（(x,y)为切点）

a2b200a2b200

切线方程对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中2换为，2换为

(x0,y0)xx0xyy0y

可得

切点弦所

xxyyyyxx

在的直线001(点(x,y)在椭圆外）001(点(x,y)在椭圆外）

a2b200a2b200

方程

2

①2b，（为短轴的端点）

cos1,maxF1BF2B

r1r2

焦点在轴上

12c|y0|,x

焦点三角②Srrsinbtan(FPF)

PF1F212焦点在轴上12

22c|x0|,y

形面积

当点在长轴端点时,（）2

Pr1r2min=b

③

当点在短轴端点时,（）2

Pr1r2max=a

焦点三角形中一般要用到的关系是

（）

|MF1||MF2|2a2a2c

1

S|PF||PF|sinFPF)

PF1F21212

2

222

|F1F2||PF1||PF2|2|PF1||PF2|cosF1PF2

左焦半径：上焦半径：

MF1aex0MF1aey0

又焦半径：下焦半径：

焦半径MF1aex0MF1aey0

焦半径最大值ac，最小值ac

b2

通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=2（最短的过焦点的弦）

a

设直线与椭圆的两个交点为，，，

A(x1,y1)B(x2,y2)kABk

则弦长222

AB1kx1x21k(x1x2)4x1x2

弦长公式

1

1(yy)24yy1k2

k21212|a|

（其中a是消y后关于x的一元二次方程的x2的系数，是判别式）

【解题方法总结】

（1）过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其

2

长为2b．

a

①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端

点．

②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．

距离的最大值为ac，距离的最小值为ac．

（2）椭圆的切线

x2y2xxyy

①椭圆1(ab0)上一点P(x，y)处的切线方程是001；

a2b200a2b2

x2y2

②过椭圆1(ab0)外一点P(x，y)，所引两条切线的切点弦方程是

a2b200

xxyy

001；

a2b2

x2y2

③椭圆1(ab0)与直线AxByC0相切的条件是A2a2B2b2c2．

a2b2

必考题型全归纳

题型一：椭圆的定义与标准方程

例1．（2024·高二课时练习）已知椭圆C上任意一点Px,y都满足关系式

22

x1y2x1y24，则椭圆C的标准方程为.

例2．（2024·山东青岛·统考三模）已知椭圆C的长轴长为4，它的一个焦点与抛物线

1

yx2的焦点重合，则椭圆C的标准方程为．

4

x2y2

例3．（2024·全国·高二专题练习）已知椭圆C:1(ab0)的左、右焦点为

a2b2

3

F1(1,0),F2(1,0)，且过点P1,,则椭圆标准方程为．

2

x2y2

变式1．（2024·浙江绍兴·绍兴一中校考模拟预测）已知椭圆E：1（ab0），

a2b2

F是E的左焦点，过E的上顶点A作AF的垂线交E于点B.若直线AB的斜率为3，△ABF

3

的面积为，则E的标准方程为.

13

x2y2

变式2．（2024·全国·高二专题练习）已知椭圆焦点在x轴，它与椭圆1有相同离心

43

率且经过点2,3，则椭圆标准方程为.

变式3．（2024·北京·高二北大附中校考期末）与双曲线4y23x212有相同焦点，且长轴长

为6的椭圆标准方程为.

变式4．（2024·福建福州·高二福建省福州屏东中学校考期末）已知椭圆E：

x2y2

1ab0的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线交E于P，Q两点，

a2b2

12

且PF2F2Q，且Sa，PF2F2Q8，则E的标准方程为.

PF2Q2

x2y2

变式5．（2024·山东青岛·高二青岛二中校考期中）过点5,3，且与椭圆1有

259

相同的焦点的椭圆标准方程是．

变式6．（2024·浙江丽水·高三校考期中）我们把焦点在同一条坐标轴上，且离心率相同的椭

x2y2

圆叫做“相似椭圆”.若椭圆E:1，则以椭圆E的焦点为顶点的相似椭圆F的标准方

1612

程为.

x2y2

变式7．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆C：1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为

a2b2

F1，F2，左、右顶点分别为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点（异于M、N），△AF1B

2

的周长为43，且直线AM与AN的斜率之积为，则椭圆C的标准方程

3

为.

变式8．（2024·高二课时练习）已知椭圆C的焦点在坐标轴上，且经过A(3，2)和B(23，1)

两点，则椭圆C的标准方程为.

【解题方法总结】

（1）定义法：根据椭圆定义，确定a2,b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程.

（2）待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然

后根据条件列出a,b,c的方程组，解出a2,b2，从而求得标准方程.

注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为Ax2By21(A0,B0,AB).

x2y2x2y2

②与椭圆1共焦点的椭圆可设为1(km,kn,mn).

mnmknk

x2y2x2y2

③与椭圆1(ab0)有相同离心率的椭圆，可设为k（k0，焦点

a2b2a2b211

x2y2

在x轴上）或k（k0，焦点在y轴上）.

a2b222

题型二：椭圆方程的充要条件

例4．（2024·全国·高三对口高考）若是任意实数，方程x2siny2cos5表示的曲线不

可能是（）

A．圆B．抛物线C．椭圆D．双曲线

例5．（2024·上海徐汇·位育中学校考三模）已知mR，则方程2mx2m1y21所表

示的曲线为C，则以下命题中正确的是（）

1

A．当m,2时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆

2

B．当曲线C表示双曲线时，m的取值范围是2,

C．当m2时，曲线C表示一条直线

D．存在mR，使得曲线C为等轴双曲线

例6．（2024·全国·高三专题练习）已知方程Ax2By2CxyDxEyF0，其中

ABCDEF．现有四位同学对该方程进行了判断，提出了四个命题：

甲：可以是圆的方程；乙：可以是抛物线的方程；

丙：可以是椭圆的标准方程；丁：可以是双曲线的标准方程．

其中，真命题有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

变式9．（2024·全国·高三专题练习）“0a1，0b1”是“方程ax21by2表示的曲线为

椭圆”的（）

A．充要条件B．必要不充分条件

C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件

x2y2

变式10．（2024·云南楚雄·高三统考期末）已知曲线C:1，则“a0”是“曲线C

4a3a2

是椭圆”的（）

A．充要条件B．充分不必要条件

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

y2

变式11．（2024·全国·高三专题练习）设a为实数，则曲线C：x21不可能是（）

1a2

A．抛物线B．双曲线C．圆D．椭圆

x2y2

变式12．（2024·广西钦州·高三校考阶段练习）“1k5”是方程“1表示椭圆”

k15k

的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分又不必要条

【解题方法总结】

x2y2

1表示椭圆的充要条件为：m0,n0,mn；

mn

x2y2

1表示双曲线方程的充要条件为：mn0；

mn

x2y2

1表示圆方程的充要条件为：mn0.

mn

题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题

x2y2

例7．（2024·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知点A，B是椭圆C:1上关于原点

94

对称的两点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，若AF12，则BF1（）

A．1B．2C．4D．5

x2y2

例8．（2024·北京·高三强基计划）如图，过椭圆1的右焦点F2作一条直线，交椭圆

43

于A，B两点，则F1AB的内切圆面积可能是（）

A．1B．2C．3D．4

x2

例9．（2024·江西·高三统考阶段练习）已知椭圆C:y21(a1),F,F为两个焦点，P为

a212

椭圆C上一点，若△PF1F2的周长为4，则a（）

35

A．2B．3C．D．

24

x2y2

变式13．（2024·河南·高三阶段练习）已知F1,F2分别为椭圆C:1(a23)的两个

a212

1

焦点，且C的离心率为,P为椭圆C上的一点，则△PFF的周长为（）

212

A．6B．9C．12D．15

x2y2

变式14．（2024·全国·校联考模拟预测）已知椭圆E:1(ab0)的左顶点为A，上

a2b2

顶点为B，左、右焦点分别为F1，F2，延长BF2交椭圆E于点P．若点A到直线BF2的距离

162

为，△PF1F2的周长为16，则椭圆E的标准方程为（）

3

x2y2x2y2

A．1B．1

25163632

x2y2x2y2

C．1D．1

494810064

x2y2

变式15．（2024·广东梅州·统考三模）已知椭圆C:1的左、右焦点分别为F1，F2，

95

△

过点F2的直线l与椭圆C的一个交点为A，若AF24，则AF1F2的面积为（）

A．23B．13C．4D．15

x2y2

变式16．（2024·广东广州·高三华南师大附中校考开学考试）椭圆E:1(ab0)的

43

，

两焦点分别为F1F2，A是椭圆E上一点，当F1AF2的面积取得最大值时，F1AF2（）

2

A．B．C．D．

6233

x2y2

变式17．（2024·河南开封·统考三模）已知点P是椭圆1上一点，椭圆的左、右焦

259

1

点分别为F、F，且cosFPF，则△PFF的面积为（）

1212312

92

A．6B．12C．D．22

2

2

x2

变式18．（2024·全国·高三专题练习）设F1,F2为椭圆C:y1的两个焦点，点P在C上，

5

若PF1PF20，则PF1PF2（）

A．1B．2C．4D．5

x2y2

变式19．（2024·全国·高三专题练习）设O为坐标原点，F1,F2为椭圆C:1的两个

96

3

焦点，点P在C上，cosFPF，则|OP|（）

125

13301435

A．B．C．D．

5252

x2y2

变式20．（2024·湖南长沙·长郡中学校考模拟预测）若椭圆C:1ab0的离心率

a2b2

1

为，两个焦点分别为F1c,0，Fc,0c0，M为椭圆C上异于顶点的任意一点，点P

22

PM

△

是MF1F2的内心，连接MP并延长交F1F2于点Q，则（）

PQ

11

A．2B．C．4D．

24

x2y2

变式21．（2024·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知椭圆C:1的左、右焦点分

259

别为F1，F2，直线ykx与椭圆C交于A，B两点，若ABF1F2，则ABF1的面积等于

（）

A．18B．10C．9D．6

x2y2

变式22．（2024·贵州黔西·校考一模）设椭圆C:1ab0的左、右焦点分别为F1，

a2b2

2△

F2，离心率为．P是C上一点，且F1PF2P．若PF1F2的面积为2，则a（）

2

A．1B．2C．2D．4

x2y2

变式23．（2024·云南昆明·昆明市第三中学校考模拟预测）已知椭圆C:1(0b3)

9b2

的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆上一点，且F1PF260，若F1关于F1PF2平分线的对

称点在椭圆C上，则△F1PF2的面积为（）

A．63B．33C．23D．3

变式24．（2024·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）在椭圆中，已知焦距

为2，椭圆上的一点P与两个焦点F1,F2的距离的和等于4，且PF1F2120，则△PF1F2的

面积为（）

33233333

A．B．C．D．

7545

x2

变式25．（2024·河北唐山·统考三模）已知椭圆C:y21的两个焦点分别为F,F，点M为

212

MF2

C上异于长轴端点的任意一点，F1MF2的角平分线交线段F1F2于点N，则（）

F2N

1102

A．B．C．D．2

552

【解题方法总结】

焦点三角形的问题常用定义与解三角形的知识来解决，对于涉及椭圆上点到椭圆两焦点

将距离问题常用定义，即|PF1||PF2|2a.

题型四：椭圆上两点距离的最值问题

x2y2

例10．（2024·湖南·校联考二模）已知F1,F2分别为椭圆C:1的两个焦点，P为椭圆

62

上一点，则22的最大值为（）

PF1PF22PF1PF2

A．64B．16C．8D．4

x2y2

例11．（2024·云南·高三校联考阶段练习）已知A(3,0),B(3,0)，P是椭圆1上的任

2516

意一点，则|PA||PB|的最大值为（）

A．9B．16C．25D．50

x2y2

例12．（2024·河南·高三期末）已知P是椭圆C:1上的动点，且与C的四个顶点不

1612

重合，F1,F2分别是椭圆的左、右焦点，若点M在F1PF2的平分线上，且MF1MP0，则OM

的取值范围是（）

A．0,2B．0,23C．0,423D．0,1

x2y2

变式26．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知F1,F2是椭圆C:1的

43

22

两个焦点，点P在C上，则PF1PF2的取值范围是（）

A．1,16B．4,10C．8,10D．8,16

x2y2

变式27．（2024·全国·高三专题练习）若椭圆C：1，则该椭圆上的点到焦点距离

43

的最大值为（）

A．3B．2＋3

C．2D．3＋1

x2y2

变式28．（2024·全国·高三专题练习）已知点M在椭圆1上运动，点N在圆

189

2

x2y11上运动，则MN的最大值为（）

A．119B．125C．5D．6

【解题方法总结】

利用几何意义进行转化.

题型五：椭圆上两线段的和差最值问题

x2y2

例13．（2024·北京·高三强基计划）设实数x，y满足1，则

54

x2y22y1x2y22x1的最小值为（）

A．22B．252

C．252D．前三个答案都不对

x2y2

例14．（2024·甘肃定西·统考模拟预测）已知椭圆C：1的左、右焦点分别为F1，F2，

95

A是C上一点，B2,1，则ABAF1的最大值为（）

A．7B．8C．9D．11

x2

例15．（2024·江苏·统考三模）已知F为椭圆C：y21的右焦点，P为C上一点，Q为

4

2

圆M：x2y31上一点，则PQ＋PF的最大值为（）

A．3B．6

C．423D．523

变式29．（2024·河北·高三河北衡水中学校考阶段练习）若平面向量a,b,c满足

|a||b|1,|ab||ab|，若|ca||c3b|4，则cabc3b的取值范围为（）

A．2,6B．2,4C．4,6D．3,5

x2y2

变式30．（2024·广东·高三校联考阶段练习）已知椭圆C:1的左焦点为F,P是C上

167

一点，M3,1，则PMPF的最大值为（）

A．7B．8C．9D．11

x2y2

变式31．（2024·全国·高三专题练习）已知点P为椭圆1上任意一点，点M、N分

43

22

别为x1y21和x1y21上的点，则PMPN的最大值为（）

A．4B．5C．6D．7

2

x2

变式32．（2024·全国·高三专题练习）已知F1，F2分别为椭圆C:y1的两个焦点，P

4

为椭圆上一点，则PF1PF2的最大值为（）

A．2B．23C．4D．43

x2y2

变式33．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆1外一点A(5，6)，l为椭圆的左准线，

2516

3

P为椭圆上动点，点P到l的距离为d，则PAd的最小值为（）

5

A．8B．10C．12D．14

x2y2

变式34．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆C:1的右焦点为F，P为椭圆C上

43

一动点，定点A(2,4)，则|PA||PF|的最小值为（）

A．1B．－1C．17D．17

【解题方法总结】

在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题，往往是考察我们定义．求解最值问题

的过程中，如果发现动点P在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，往往问题能迎刃

而解．

题型六：离心率的值及取值范围

方向1：利用椭圆定义去转换

例16．（2024·四川成都·高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考开学考试）如图，某同

学用两根木条钉成十字架，制成一个椭圆仪.木条中间挖一道槽，在另一活动木条PAB的P处

钻一个小孔，可以容纳笔尖，A,B各在一条槽内移动，可以放松移动以保证PA与PB的长

度不变，当A,B各在一条槽内移动时，P处笔尖就画出一个椭圆E.已知PA2AB，且P在

右顶点时，B恰好在O点，则E的离心率为（）

12255

A．B．C．D．

2353

x2y2

例17．（2024·全国·高三专题练习）设椭圆E:1ab0的一个焦点为F2,0，

a2b2

点A2,1为椭圆E内一点，若椭圆E上存在一点P，使得PAPF8，则椭圆E的离心

率的取值范围是（）

44442222

A．,B．,C．,D．,

97979797

例18．（2024·安徽·高三安徽省宿松中学校联考开学考试）已知椭圆C的左右焦点分别为F1，

F2，P，Q为C上两点，2PF23F2Q，若PF1PF2，则C的离心率为（）

341317

A．B．C．D．

5555

变式35．（2024·湖北·高三孝感高中校联考开学考试）如图，已知圆柱底面半径为2，高为3，

ABCD是轴截面，E,F分别是母线AB,CD上的动点（含端点），过EF与轴截面ABCD垂直

的平面与圆柱侧面的交线是圆或椭圆，当此交线是椭圆时，其离心率的取值范围是（）

3434

A．0,B．0,C．,1D．,1

5555

x2y2

变式36．（2024·湖北·高三校联考阶段练习）已知F1，F2分别是椭圆C:1

a2b2

ab0

（）的左，右焦点，M，N是椭圆C上两点，且MF12F1N，MF2MN0，则

椭圆C的离心率为（）

3257

A．B．C．D．

4334

x2y2

变式37．（2024·重庆巴南·统考一模）椭圆C:1(ab0)的左右焦点为F1，F2，点

a2b2

P为椭圆上不在坐标轴上的一点，点M，N满足F1MMP，2ONOPOF2，若四边形MONP

的周长等于4b，则椭圆C的离心率为e（）

1236

A．B．C．D．

2223

变式38．（2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知M，N是椭圆

x2y2

1ab0上关于原点O对称的两点，P是椭圆C上异于M,N的点，且PMPN

a2b2

1

的最大值是a2，则椭圆C的离心率是（）

2

1123

A．B．C．D．

3223

方向2：利用a与c建立一次二次方程不等式

x2y2

变式39．（2024·四川绵阳·高三盐亭中学校考阶段练习）椭圆:1(ab0)​的左、

a2b2

3

右焦点分别为F1,F2​，焦距为2c​，若直线yxc​与椭圆​的一个交点为M​

3

3

在x​轴上方，满足FMFMFF​，则该椭圆的离心率为（）

12221

51

A．31​B．​

2

31

C．51​D．​

2

x2y2

变式40．（2024·广东深圳·高三校考阶段练习）已知椭圆E：1ab0)的右焦点

a2b2

1

为F，左顶点为A，若E上的点