2025年高考数学必刷题分类：第32讲、解三角形（教师版）

第32讲解三角形

知识梳理

知识点一：基本定理公式

（1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外

接圆半径，则

定理正弦定理余弦定理

a2b2c22bccosA；

abc

公式==2Rb2c2a22accosB；

sinAsinBsinC

c2a2b22abcosC．

b2c2a2

cosA；

（1）a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC；2bc

abcc2a2b2

常见变形（2）sinA，sinB，sinC；cosB；

2R2R2R2ac

a2b2c2

cosC．

2ab

（2）面积公式：

111

SABCabsinCbcsinAacsinB

222

abc1

SABC(abc)r（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r．）

4R2

知识点二：相关应用

（1）正弦定理的应用

①边化角，角化边a:b:csinA:sinB:sinC

②大边对大角大角对大边

abABsinAsinBcosAcosB

③合分比：

abcabbcacabc

2R

sinAsinBsinCsinAsinBsinBsinCsinAsinCsinAsinBsinC

（2）△ABC内角和定理：ABC

①sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinBcacosBbcosA

同理有：abcosCccosB，bccosAacosC．

②cosCcos(AB)cosAcosBsinAsinB；

③斜三角形中，

tanAtanB

tanCtan(AB)tanAtanBtanCtanAtanBtanC

1tanAtanB

ABCABC

④sin()cos；cos()sin

2222

2

⑤在ABC中，内角A，B，C成等差数列B,AC．

33

知识点三：实际应用

（1）仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角

（如图①）．

（2）方位角

从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）．

（3）方向角：相对于某一正方向的水平角．

（1）北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向（如图③）．

（2）北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．

（3）南偏西等其他方向角类似．

（4）坡角与坡度

（1）坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）．

（2）坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i为坡度）．坡度又称为坡比．

【解题方法总结】

1、方法技巧：解三角形多解情况

在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：

A为锐角A为钝角或直角

图形

bsinAabab

关系式absinAabab

解的个

一解两解一解一解无解

数

2、在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦

定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：

（1）若式子含有sinx的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；

（2）若式子含有a,b,c的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；

（3）若式子含有cosx的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；

（4）代数变形或者三角恒等变换前置；

（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；

（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到ABC．

3、三角形中的射影定理

在ABC中，abcosCccosB；bacosCccosA；cbcosAacosB．

必考题型全归纳

题型一：正弦定理的应用

例1．（2024·福建龙岩·高三校联考期中）在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，

π5π

若a4,A,C，则b（）

412

A．23B．25C．26D．6

【答案】C

π5ππ

【解析】因为A,C，所以BπAC，

4123

π3

4sin4

abasinB

因为，所以b3226．

π

sinAsinBsinAsin2

42

故选：C.

abc

例2．（2024·全国·高三专题练习）在ABC中，设命题p：，命题q：

sinCsinAsinB

ABC是等边三角形，那么命题p是命题q的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】C

abcabc

【解析】由正弦定理可知，若t，

sinAsinBsinCsinCsinAsinB

abc

则t，

cab

即a＝tc，b＝ta，c＝bt，

即abc＝t3abc，即t＝1，

则a＝b＝c，即ABC是等边三角形，

abc

若ABC是等边三角形，则A＝B＝C，则1成立，

3sinCsinAsinB

即命题p是命题q的充要条件，

故选：C.

例3．（2024·河南·襄城高中校联考三模）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，

πca

c，若sinAsinBcosC且c23，A，则（）

6sinCsinA

A．83B．43C．8D．4

【答案】D

【解析】在ABC中，由sinAsinBcosC可得sinBCsinBcosC，

即sinBcosC+cosBsinCsinBcosC

所以cosBsinC0，因为B,C0,π，

所以sinC0，且cosB0，

πππ

所以B，又A，可得C，

263

cac23

4

由正弦定理可得sinCsinAsinC3．

2

故选：D.

变式1．（2024·全国·高三专题练习）在ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若

acosBbcosAc，且C，则B（）

5

32

A．B．C．D．

105105

【答案】C

【解析】由题意结合正弦定理可得sinAcosBsinBcosAsinC，

即sinAcosBsinBcosAsinABsinAcosBsinBcosA，

整理可得sinBcosA0，由于B0,π，故sinB0，

π

据此可得cosA0,A，

2

ππ3π

则BπACπ.

2510

故选：C.

变式2．（2024·河南郑州·高三郑州外国语中学校考阶段练习）a，b，c分别为ABC内

角A，B，C的对边．已知a4，absinAsinCcsinB，则ABC外接圆的面积为（）

A．16B．64πC．128D．256

【答案】B

1

【解析】因为absinAsinCcsinB，由正弦定理得4bcsinAbc，可得sinA．

4

a

设ABC外接圆的半径为r，则2r=16，即r8，

sinA

故ABC外接圆的面积为64π．

故选：B.

变式3．（2024·甘肃兰州·高三兰州五十一中校考期中）ABC的三个内角A，B，C所对

b

的边分别为a，b，c，若asinAsinBbcos2A3a，则△（）

a

A．2B．3C．22D．23

【答案】B

【解析】由正弦定理得asinBbsinA，化简得bsin2Abcos2Ab3a，

b

则3，

a

故选：B

变式4．（2024·宁夏·高三六盘山高级中学校考期中）在ABC中，内角A，B，C所对的

2sin2Bsin2A

边分别是a，b，c．若a2b，则的值为（）

sin2A

111

A．B．C．1D．

242

【答案】A

b1

【解析】依题意，

a2

22

2sin2Bsin2A2b2a2b11

由正弦定理得2121.

sin2Aa2a22

故选：A

变式5．（2024·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）△ABC的内角A，B，C的对

边分别为a，b，c，已知bcosAa3cosB，a2，则c＝（）

A．4B．6C．22D．23

【答案】D

【解析】因为bcosAa3cosB，根据正弦定理得

sinBcosA3sinAsinAcosB，

移项得sinAcosAsinAcosB3sinA，

即sinAB3sinA，即sinC3sinA，

则根据正弦定理有c3a23．

故选：D.

【解题方法总结】

（1）已知两角及一边求解三角形；

（2）已知两边一对角；．

大角求小角一解（锐）

两解－sinA（1一锐角、一钝角）

小角求大角－一解－sinA1（直角）

无解－sinA1

（3）两边一对角，求第三边．

题型二：余弦定理的应用

例4．（2024·全国·高三专题练习）已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c满足

b

b2c2a2bc且a3，则（）

sinB

A．2B．3

C．4D．23

【答案】A

b2c2a2bc1

【解析】由题b2c2a2bc，cosA,

2bc2bc2

ba3

2

又0A，A，sinBsinA3，

3

2

故选：A.

例5．（2024·河南·高三统考阶段练习）在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若

sinBsinC

tanA，则A（）

sin2Bsin2Csin2A

52

A．B．C．或D．或

346633

【答案】C

bc

【解析】由正弦定理，得tanA，

b2c2a2

sinAbc

又b2c2a22bccosA，所以，

cosA2bccosA

15

所以sinA，因为A(0,)，所以A或，

266

故选：C.

例6．（2024·全国·高三专题练习）设ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

若sinAsinB，且c22a21sinC，则△C（）

ππ3

A．B．C．D．

6434

【答案】D

【解析】因为sinAsinB，由正弦定理有ab，

根据余弦定理有c2a2b22abcosC2a22a2cosC，

且c22a21sinC，故有sinCcosC，即tanC1，

3π

又C0,π，所以C.

4

故选：D.

变式6．（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）在ABC中，角A，B，C的

222111△

对边分别为a，b，c，ab3c，则（）

tanAtanBtanC

1

A．0B．1C．2D．

2

【答案】A

【解析】由余弦定理以及a2b23c2可得：

cosCsinC

2abcosC2c2sinAsinBcosCsin2C，

sinCsinAsinB

又在三角形中有sinABsinC，即sinABsinAcosBcosAsinB，

cosCsinAcosBcosAsinBcosBcosA

所以

sinCsinAsinBsinBsinA

111

故0.

tanAtanBtanC

故选：A．

变式7．（2024·全国·高三专题练习）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且

cosBcosCsinA

，则b的值为（）

bcsinC

3

A．1B．3C．D．2

2

【答案】A

cosBcosCsinA

【解析】因为，

bcsinC

a2c2b2a2b2c2a

所以，由正弦定理与余弦定理得，化简得b1.

2abc2abcc

故选：A

【解题方法总结】

（1）已知两边一夹角或两边及一对角，求第三边．

（2）已知三边求角或已知三边判断三角形的形状，先求最大角的余弦值，

0,则ABC为锐角三角形

若余弦值0,则ABC为直角三角形.

0,则ABC为钝角三角形

题型三：判断三角形的形状

例7．（2024·甘肃酒泉·统考三模）在ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若

a2sinAcosB

，则ABC的形状为（）

b2sinBcosA

A．等腰三角形B．直角三角形

C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形

【答案】D

【解析】由正弦定理，余弦定理及a2cosAsinBb2cosBsinA得，

b2c2a2a2c2b2

a2bb2a,

2bc2ac

a2b2c2a2b2a2c2b2，即a4b4c2b2a20，

则a2b2a2b2c2b2a20，即a2b2a2b2c20,

ab或a2b2c2,ABC为等腰三角形或直角三角形．

故选：D.

例8．（2024·全国·高三专题练习）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，

且cbcosA0，则ABC形状为（）

A．锐角三角形B．直角三角形

C．钝角三角形D．等腰直角三角形

【答案】C

【解析】cbcosA0，

所以由正弦定理可得2RsinC2RsinBcosA0

所以sinCsinBcosA0，

所以sin(AB)sinBcosA0，

所以sinAcosBcosAsinBsinBcosA0，

所以sinAcosB0，

在三角形中sinA0，

所以cosB0，

所以B为钝角，

故选：C.

bcosC1cos2B

例9．（2024·全国·高三专题练习）在ABC中，若，则ABC的形状

ccosB1cos2C

为（）

A．等腰三角形B．直角三角形

C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形

【答案】D

bcosCsinBcosC1cos2B2sin2B

【解析】由正弦定理，以及二倍角公式可知，,

ccosBsinCcosB1cos2C2sin2C

cosCsinB

即，整理为sinBcosBsinCcosC，

cosBsinC

11

即sin2Bsin2C，得2B2C，或2B2C180BC90,

22

所以ABC的形状为等腰三角形或直角三角形.

故选：D

变式8．（2024·全国·高三专题练习）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，

若b2c2a2ca，且sinA2sinC，则ABC的形状为（）

A．锐角三角形B．直角三角形

C．钝角三角形D．等腰三角形

【答案】B

【解析】因为b2c2a2cac2a22cacosB，

1

所以cosB，

2

π

又B0,π，所以B，

3

因为sinA2sinC，由正弦定理得a2c，

则b2c2a2cac24c22c23c2，

则b2c2a2，

π

所以ABC为有一个角为的直角三角形.

3

故选：B.

变式9．（2024·河南周口·高三校考阶段练习）已知ABC的三个内角A,B,C所对的边分

别为a,b,c．若sin2AcsinAsinAsinBbsinC，则该三角形的形状一定是（）

A．钝角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．锐角三角形

【答案】C

【解析】因为sin2AcsinAsinAsinBbsinC，

abc

由正弦定理2R（2R为ABC外接圆的直径），

sinAsinBsinC

aabc

可得sinAcsinAb，

2R2R2R2R

所以a(sinAc)b(sinAc)．

又因为sinAc0，所以ab．即ABC为等腰三角形.

故选：C

变式10．（2024·全国·高三专题练习）设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

若a2cosAsinBb2sinAcosB,则ABC的形状为（）

A．等腰三角形B．等腰三角形或直角三角形

C．直角三角形D．锐角三角形

【答案】B

【解析】由a2cosAsinBb2sinAcosB得

a2bcosAab2cosBacosAbcosBsinAcosAsinBcosB,

由二倍角公式可得sin2Asin2B2A2B2kπ或2A2B=π+2kπ,kZ，

π

由于在ABC，A0,π,B0,π,所以AB或AB,故ABC为等腰三角形或直角三

2

角形

故选：B

变式11．（2024·北京·高三101中学校考阶段练习）设ABC的内角A，B，C所对的边

分别为a，b，c，若a2cosAsinBb2sinAcosB，则ABC的形状为（）

A．等腰直角三角形B．直角三角形

C．等腰三角形或直角三角形D．等边三角形

【答案】C

【解析】已知等式利用正弦定理化简得：ba2cosAab2cosB，

整理得：acosAbcosB，即sinAcosAsinBcosB，

2sinAcosA2sinBcosB，即sin2Asin2B，

sin[(AB)(AB)]sin[(AB)(AB)]，

sin(AB)cos(AB)cos(AB)sin(AB)sin(AB)cos(AB)cos(AB)sin(AB)

cos(AB)sin(AB)0，

0ABπ，πABπ，

π

则AB或AB，即ABC为等腰三角形或直角三角形．

2

故选：C．

【解题方法总结】

（1）求最大角的余弦，判断ABC是锐角、直角还是钝角三角形．

（2）用正弦定理或余弦定理把条件的边和角都统一成边或角，判断是等腰、等边还是

直角三角形．

题型四：正、余弦定理与的综合

例10．（2024·河南南阳·统考二模）锐角ABC是单位圆的内接三角形，角A,B,C的对边

分别为a,b,c，且a2b2c24a2cosA2accosB，则a等于（）

A．2B．22C．3D．1

【答案】C

【解析】由a2b2c24a2cosA2accosB，

a2b2c2

得b2acosAccosB，

2ab

由余弦定理，可得bcosC2acosAccosB，

又由正弦定理，可得sinBcosC2sinAcosAsinCcosB，

所以sinBcosCsinCcosBsin(BC)sinA2sinAcosA，

1ππ3

得cosA，又A0,，所以A，所以sinA.

2232

abc

又2r2，所以a3，

sinAsinBsinC

故选：C

例11．（2024·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习）在ABC中，角A，B，C所

absinAabsinB

对的边分别为a，b，c，a2b2c2.

2sinB2sinA

π

(1)求证：0C；

3

111

(2)若，求cosA.

tanBtanAtanC

absinAabsinB

【解析】（1）在ABC中，因为a2b2c2，

2sinB2sinA

a2bab2a2b2

由正弦定理可得a2b2c2，化简可得c2，

2b2a2

22

22ab

222ab22

由余弦定理可得abcab2ab1，当且仅当ab时

cosC2

2ab2ab4ab4ab2

1

取等号，所以cosC，因为角C是ABC的内角，所以0Cπ，

2

π

所以0C.

3

111cosAcosCsinCcosAcosCsinA

（2）由

tanBtanAtanCsinAsinCsinAsinC

sin(CA)sinBcosBsin2Bb2

，则cosB，

sinAsinCsinAsinCsinBsinAsinCac

a2c2b2b2a2b2

即，所以a2c23b2，又c2，

2acac2

35

所以bc,ac，在ABC中，由余弦定理可得，

22

32252

222ccc

bca443

cosA.

2bc36

2cc

2

例12．（2024·重庆·统考三模）已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，

sin(AB)tanCsinAsinB．

a2c2

(1)求；

b2

2

(2)若cosB，求sinA．

3

【解析】（1）因为sin(AB)tanCsinAsinB，

sinC

所以sin(AB)sinAsinB，所以sin(AB)sinCsinAsinBcosC，

cosC

即sinAcosBsinCcosAsinBsinCsinAsinBcosC，

由正弦定理可得accosBbccosAabcosC，

a2c2b2b2c2a2a2b2c2

由余弦定理可得acbcab，

2ac2bc2ab

所以a2c2b2b2c2a2a2b2c2，

即a2c23b2，

a2c2

所以3.

b2

a2c2b22

（2）由题意可知cosB，又a2c23b2，可得a2c22ac0，

2ac3

所以ac，即ABC为等腰三角形，

2B2B30B30

由cosB2cos1，解得cos或cos，

232626

πBπB30

因为B0,，所以0,，所以cos，

22426

πBB30

所以sinAsincos.

2226

变式12．（2024·山东滨州·统考二模）已知ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，

c，且2cosBCcosAcos2A12cosAcosBC．

(1)若BC，求A；

b2c2

(2)求的值．

a2

【解析】（1）若BC，则cosBC1．

因为2cosBCcosAcos2A12cosAcosBC，

所以2cosAcos2A12cosAcosA，

2cosA2cos2A112cos2A，

整理得2cos2AcosA10．

1

解得cosA1（舍），cosA，

2

π

因为A0,π，所以A．

3

（2）因为2cosBCcosAcos2A12cosAcosBC．

所以2cosBCcosA2cosAcosBC1cos2A

2cosBCcosBCcosA1cos2A，

2cosBcosCsinBsinCcosBcosCsinBsinCcosA1cos2A

整理得2sinBsinCcosAsin2A

由正弦定理得2bccosAa2，

由余弦定理得b2c2a22bccosAa2，

即b2c22a2，

b2c2

所以2．

a2

变式13．（2024·全国·高三专题练习）在ABC中，(ac)(sinAsinC)b(sinAsinB)，

则C（）

ππ2π5π

A．B．C．D．

6336

【答案】B

【解析】因为(ac)(sinAsinC)b(sinAsinB)，

所以由正弦定理得(ac)(ac)b(ab)，即a2c2abb2，

a2b2c2ab1

则a2b2c2ab，故cosC，

2ab2ab2

π

又0Cπ，所以C.

3

故选：B.

变式14．（2024·青海·校联考模拟预测）在ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a，

3b2c2a2

b，c，若ABC的面积是，则A（）

4

π2ππ5π

A．B．C．D．

3366

【答案】A

【解析】由余弦定理可得：b2c2a22bccosA,A0,π

由条件及正弦定理可得：

222

13bca3

SbcsinAbccosA，

242

π

所以tanA3，则A．

3

故选：A

变式15．（2024·全国·校联考三模）已知a，b，c分别为ABC的内角A，B，C的对边，

222B2B

acac3cossin.

22

(1)求证：a，b，c成等比数列；

sin2B3

(2)若，求cosB的值.

sin2Asin2C4

222B2B

【解析】（1）因为acac3cossin，

22

221cosB1cosB

所以acac3.

22

所以a2c2ac12cosB.

222

22acb

根据余弦定理，得acac12，

2ac

所以a2c2aca2c2b2.

所以b2ac.

所以a，b，c成等比数列.

a2c2b2a2c2aca2c21

（2）由余弦定理，得cosB.

2ac2ac2ac2

sin2B3b23

因为，所以由正弦定理，得.

sin2Asin2C4a2c24

ac3

所以.

a2c24

1411

所以cosB.

2326

变式16．（2024·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）在ABC中，角A，

BC

B，C所对的边分别为a，b，c，已知csinasinC

2

(1)求角A的大小；

21

(2)若b1，sinB，求边c及cos(2BA)的值．

7

BCπAA

【解析】（1）因为csinasinC，可得csinccosasinC，

222

A

所以由正弦定理可得sinCcossinAsinC，

2

又C为三角形内角，sinC0，

AAA

所以cossinA2sincos，

222

AπA

因为A(0,π)，0,，cos0，

222

A1Aπ

所以sin，可得，

2226

π

所以A；

3

π21

（2）因为A，b1，sinB，

37

3

1

abbsinA7

所以由正弦定理，可得a2b，

sinAsinBsinB212

7

2743

所以B为锐角，cosB1sin2B，sin2B2sinBcosB，

77

1

cos2B2cos2B1，

7

71

由余弦定理a2b2c22bccosA，可得1c221c，

42

31

整理可得4c24c30，解得c或（舍去），

22

1143311

所以cos(2BA)cos2BcosAsin2BsinA．

727214

【解题方法总结】

先利用平面向量的有关知识如向量数量积将向量问题转化为三角函数形式，再利用三角

函数转化求解．

题型五：解三角形的实际应用

方向1：距离问题

例13．（2024·全国·高三专题练习）山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标（如图1），

其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“”完美嵌入其中，寓意无限未知､无

限发展､无限可能和无限的科技创新.如图2，为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼

顶B之间的距离，无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水

平方向飞行600米到点D，此时测得点A和点B的俯角分别为45°和60°（A，B，C，D在

同一铅垂面内），则A，B两点之间的距离为______米.

【答案】10015

【解析】由题意，DCB30,CDB60，所以CBD90，

13

所以在Rt△CBD中，BDCD300，BCCD3003，

22

又DCA75,CDA45，所以CAD60o，

6002

ACCDAC2006

在ACD中，由正弦定理得，，所以2，

sin45sin603

2

在ABC中，ACBACDBCD753045，

由余弦定理得，

AB2AC2BC22ACBCcosACB

2

(2006)2(3003)2220063003150000，

2

所以AB10015.

故答案为：10015

例14．（2024·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期中）一游客在A处望见在正北方

向有一塔B，在北偏西45°方向的C处有一寺庙，此游客骑车向西行1km后到达D处，这时

塔和寺庙分别在北偏东30°和北偏西15°，则塔B与寺庙C的距离为______km.

【答案】2

【解析】如图，在△ABD中，由题意可知AD1，BDA60，可得AB3.

ACAD

在ACD中，AD1，ADC105o，DCA30，∴，

sinADCsinDCA

ADsinADC62

∴