高中数学教学与测试-第3章（9-12）

9幕函数与二次函数

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通过具体实例，结合函数产x,y=-,y=x2,y=4x,y=d的图象了解

x

累函数，理解它们的变化规律，了解它们的变化情况；理解并掌握二次函数的定

义、图象及性质.

1.一般地，形如y=(GWR)的函数称为察函数，其中底数x是自变量，a

为常数.

2

2.二次函数解析式的三种形式.一般式：f(x)=ax+bx+c(〃和)；顶点式:

2

/(x)=a(x-h)+k(〃刈)；两根式：f(x)=a(x-)(x-x2)(«#0).

n

3.有关塞函数的几个结论.对于形如/(x)=M(其中auN",nGZ,m与〃互

质)的幕函数：

(1)当〃为偶数时，/(x)为偶函数，图象关于y轴对称；

(2)当〃z,〃都为奇数时，/(x)为奇函数，图象关于原点对称；

(3)当机为偶数时，x＞0(或x'O),f(x)是非奇非偶函数，图象位于

第一象限(或第一象限及原点处).

4.二次函数在闭区间上的最值.

设二次函数/(幻=以2+法+。(。＞0),闭区间为[加,n].

(1)当-2工时，最小值为/(〃)最大值为/(〃)；

2a

(2)当机＜一(《竺产时，最小值为/(-勺，最大值为/(〃)；

(3)当誓＜—(工〃时，最小值为/(_(),最大值为/(根)；

(4)当-时，最个值为/(〃)，最大值为了(相).

2a

课前热身

1.已知寤函数产T(x)的图象经过点(4,J,则/(2)=()

A.-B.4C.—D.2

42

【答案】C

【解析】设〃乃=巴•・,图象过点(4』，.・・/(4)=4"=g,解得a=-g,

・f(y\913

..J(2)=2--=---.

22

2.已知幕函数函+2〃-2=1(=wZ)的图象关于y轴对称,且在(0,+oo)

上是减函数，则n的值为()

A.-3B.lC.2D.1或2

【答案】B

【解析】由于/(x)为箱函数，所以d+Z〃-ZW,解得〃=1或”一3.当

〃=1时，函数/(x)r—2为偶函数，其图象关于)，轴对称，且“X)在(0,+oo)

上是减函数，所以〃二1满足题意；当片一3时，函数/")=产为偶函数，其图

象关于y轴对称，而fCv)在(0,十8)上是增函数，所以，尸3不满足题意,

舍去.故选B.

3.(多选)己知函数f(x)=—/+2x+i的定义域为(-2,3),贝IJ函数/(|x|)

的单调递增区间是()

A.(-00,-1)B.(-3,-1)C.(0,1)D.(1,3)

【答案】BC

【解析】因为函数〃幻=-工2+2工+1的定义域为(-2,3),对称轴为直线

x=l,开口向下，所以函数/(|x|)满足-2<|x|<3,所以-3<x<3.又

~%2+2x+1,XX<3,rtcArj=yj4.1“

=-V、+2|x|+i=<八，且/。）=一/、+2工+1图象的对称轴为

-X2-2X+U-3<X<0,

直线二一1,所以由二次函数的图象与性质可知，函数f(|x|)的单调递增区间是

（-3,-1）和（0,1）.故选BC.

4.已知幕函数y=/(x)的图象过点(2,,则此函数的解析式为

在区间上递减.

【答案】y=(o,-boo).

【解析】设>=/(幻=/，因为图象过点［，等)，代入解析式得。=-g,

11

则y=x"由性质可知函数)=x*在(0,+co)上递减.

课堂示例

例1已知二次函数/J)满足f(2)=-1,/(-I)=-1,且/(%)的最

大值是8,求二次函数/(外的解析式.

【答案】/(x)=-4x2+4x+7.

【解析】法1：(利用二次函数的一般式)i&f(x)=ax2+bx+c(〃和).由题

4a+2b+c=-1,

意得＜a-b+c=-1,解得＜b=4,故所求二次函数为f(x)=-4X2+4X+7

4ac-b20c=7.

—；---二8，

4。

法2：(利用二次函数的顶点式)设f(x)=a(x-771)2+〃(件0).7/(2)

=/一)，..・抛物线对称轴为5小又根据题意函数有最

大值8,・"=8,工y=/（冗）=〃（。一；）+8.V/（2）=—1,a2-^+8=-1,

・・・/（幻=_4口-§+8=-4x2+4x+7.

解得听一4,

法3：(利用二次函数的零点式)由己知/(x)+l=0的两根为％=2,9=2,

故可设/(x)+l=a(x—2)(x+l),即f(x)=or2-0¥-2〃-1.又函数有最大值=8,

即44(2：1)暝8,解得的-4或。二0(舍去)，故所求函数解析式为

4a

/(X)=-4X2+4X+7.

【情景与层级】本题情景为课程教学情景，层级为基础性.

【题眼与方法】本题的题眼为通过设出二次函数的解析式，应用选定系数法,

结合求最值的方法求得解析式.

【能力与素养】本题考查的学科素养为逻辑推理与数学运算，运算求解能力

在问题解决的过程得到了充分体现.

变式1(1)已知二次函数f(x)的图象的顶点坐标是(-2,-1),且图

象经过点(1,0),则函数的解析式为/(X)=.

(2)已知二次函数/(公的图象经过点(4,3),它在x轴上截得的线段长

为2,并且对任意xwR,标有/(2—x)=/(2+x),则函数的解析式/(x)=_______.

【答案】(案/(x)=^x2+^x-^；(2)f(x)=x2-4x+3.

【解析】(1)法1：设所求解析式为/(%)=以2+及+。(〃/)).由已知得

"土=T解得人士所以所求解析式为/(x)=lx2+^x-1.

4。9999

a+b+c=O,5

C="9，

-j,

2a

号—，解

法2：设所求解析式为/(x)=or2+bx+c(a/)).依题意得，

4a

a+b+c=O,

得卜=,所以所求解析式为了(幻="冗2+6工—永

5

C=~9，

法3：设所求解析式为式为=a(x-/z)2+h由已知得f(x)=a(x+2)2-l,将

点(1,0)代入，得a=g,所以/(%)=4(x+2)2-1,即/(工)=」/+《工一3.

(2)V/(2-x)=/(2+x)对xwR恒成立,：.f(x)的对称轴为m2.又・.丁

(%)的图象被x轴截得的线段长为2,・・・/J)=0的两根为1和3.设f(x)的

解析式为f(x)=a(x—1)(A—3)(存0).又的图象经过点(4,3),，

3a=3,〃=1.；・所求/(%)的解析式为/(%)=(x—1)•(4-3),即f(x)=x2-4x+3.

变式2己知函数/(log?x)=x?+2x.

(1)求函数/J)的解析式；

(2)若方程/")=山2,-4在区间(0,2)内有两个不相等的实根，求实数

a的取值范围.

【答案】(1)/(x)=4v+2r+,；(2)6<a<7.

【解析】(析设/=1。82=，rwR,则x=2,%)=2*+22=4+2加,A

/(x)=4r+2r+,.

(2)・・•方程/(外=。-2”-4在区间(0,2)内有两个不相等的实根，・・・

4、+(2-幻2"+4=0在(0,2)内有两个不相等实根.令。=加,则me(1,4),

/i(m)=m2+(2-a>+4,：.h(m)=0在(1,4)上有两个不相等的实根，，

(2-4)2-16>0,

14-2A

,2'解得6<a<7.

7-a>0,

28-4。>0,

例2若函数/。=办2+2办+1在［1,2］上有最大值4,则。的值为.

【答案】|

【解析】/(x)(x+l)2+1—①当。=0时，函数/解)在区间［1,2］上

的值为常数1,不符合题意，舍去；②当。〉0时，函数f(e在区间［1,2］上是

增函数，最大值为/(2)=8〃+1=4,解得。=士；③当。<0时，函数/(x)在区

8

间［1,2］上是减函数，最大值为/(1)=3々+1=4,解得。二1,不符合题意，舍去.

综上可知，。的值为3.

8

【情景与层级】本题情景为课程学习情景与探索创新情景，其考查层级为基

础性、综合性.

【题眼与方法】本题的题眼为发现对称为定值，以此为突破口，运用分类讨

论、函数的单调性解决问题.

【能力与素养】木题考查的学科素养为逻辑推理与数学运算，而转化与化归、

分类讨论、逻辑思维是解决本题的关键能力.

变式1设函数f(x)=/_2x+2,xe［nZ+l］,ZeR,求函数f(x)的最小

值.

72+1,r<0,

【答案】/U)min=-1,0<r<l,

『-2z+2,fNL

22

【解析】f(x)=x-2x+2=(x-\)+\fxe［6什1］,feR,函数图象的对称

轴为x=l.当r+141,即氏0时，函数图象如图1所示，函数/(X)在区间,r+1］

上为减函数，所以最小值为/(什1)=G+1；当fvl<f+l，即ovrvl时，函数

图象如图2所示，在对称轴1处取得最小值，最小值为了⑴=1；当d1时，

函数图象如图3所示，函数/(%)在区间上什1］上为增函数，所以最小值为f

r+1,r<0,

（力二/一2什2.综上可知，f（x）min=­1,0</<1,

r2-2/+2,r>l.

变式2若函数g(x)=Y-2如->在［1,2)上存在最小值2,求实数利的

值.

【答案】m=1

【解析】g(x)=x2-^-2mx-m2=(x+tn)2-2m2,此二次函数图象的对称轴为

直线后一机①当一团22,即留4-2时，如图1,g(x)在［1,2)上单调递减，

不存在最小值；②当1<一根<2,即一2〈一2桃2<_1时，如图2,g(x)在［1,-

w)上单调递减，在(一〃7,2)上单调递增，此时g(x)min=g(-m)=-2加2工2；

③当-加41,即加2-1时，如图3,g(x)在［1,2)上单调递增，此时

Wmin=^0)=1+2/n-zn2,令1+2加一62=2,解得m=1.综上，m=\.

新题在线

己知函数/(幻=卜：一236,7〃2,其中加〈0,若存在实数上使得关于1

VX>my

的方程/(X)—七o恰有三个不同的实数根，则〃2的取值范围是()

A.(—00,-3)B.(—00,—>/3)C.［—3,0)D.(一6，0)

【答案】B

【解析】当mvO时,作出函数/")=卜：一2尔+6,7〃,的图

冗2x>my

象如图所示,当f(x)=x2-2tnx+6=(x-tn)2+6=(x-tn)2+6-m2>6-w2时,

加<0,所以若要存在实数上使得关于x的方程/(x)—仁0恰有三个不同的实

数根，则必须6-V/"<0),解得〃2〈-百，所以机的取值范围是(一8,

-V3).故选B.

课堂反馈

1.函数/(乃=加+3-3)x+l在区间［-1，上是递减的，则实数。的取值

范围是()

A.［—3,0)B.(—oo,—3］C.［—2,0］D.［—3,0］

【答案】D

【解析】(1)当斫0时，/(x)=-3x+l在［-1,+oo)上递减，满足题意.

/"0，

当今0时,/(1)的对称轴为X=—,由/(X)在［-1,+8)上递减知13_a

2a----<-1,

,2a

解得-3Kav0.综上，〃的取值范围为［-3,0J.

-7-

2.若函数)，=/一3工+4的定义域为［0,m］,值域为-,4,则机的取值范围

为()

33D.■|,+oo)

A.(0,4]B.-,4C.一，2

1_2」|_2.

【答案】C

【解析】y=/-3x+4=(〃-TA(的定义域为［0,汨，显然，在x=0时,

y=4,又值域为；7,4,根据二次函数图象的对称性知授34加43,故选C.

3.(多选)设函数/(工)=4+辰+c(分0),对任意实数1都有f(4+D=f

(一1)成立,则函数值八—1)/1),八2),715)中，最小的可能是()

A./(-1)C.f(2)D./(5)

【答案】ACD

【解析】因为对任意实数t都有f(4+r)寸(一/)成立，所以函数

fM^ajr+bx+c(〃和)的对称轴是m2.当。>0时，函数值/(一1),/(1),

f(2),7(5)中，最小的是/(2)；当。<0时，函数值/(一1),/(I),/(2),

/(5)中，最小的是/(一1)和/(5).

4.设二次函数f(x)=o？-2ox+c在区间［0,1］上单调递减，且/(/n)</(0),

则实数机的取值范围是.

【答案】［0,2］

【解析】依题意W0,二次函数/（幻=ox?_26+c图象的对称轴是直线x=l,

因为函数/（x）在区间［0,1］上单调递减，所以。>0,即函数图象的开口向上,

所以f（0）寸（2）,则当/（㈤4/（0）时，<0<m<2.

练习巩固r

1.若幕函数>=广与>=工"在第一象限内的图

象如图所示，则m与n的取值情况为1力T

（）o（\---------

A.—}<m<O<n<］B.—\<n<O<m第］题图

C.—\<fn<0<nD.—1<n<0<m<1

【答案】D

【解析】幕函数尸/，当。>0时，>在（0，+oo）上为增函数，且0<a<l

时，图象上凸，.•・0<:阳<1；当a<0时，y=x"在（0,+8）上为减函数，不妨

令产2,根据图象可得2T<2",・・・-1<〃<0,综上所述，故选D.

2.函数/（x）=（x-2）（如+万）为偶函数，且在（0,+00）上单调递增，则

/（2一工）>0的解集为（）

A.{x|-2<x<2}B.{x\x>2f或xv-2}

C.［x\0<x<4}D.{x|x>4,或xvO}

【答案】D

【解析】函数/*）=苏+3-2〃）工-26为偶函数，则b—2tz=0,故

f(x)=ax2-4a=a(x-2)(x+2),因为在(0,+oo)单调递漕，所以a>0.根据

二次函数的性质可知，不等式/（2—x）>0的解集为{x|2-x>2,或

2-x<-2}={x\x<0f或x>4},故选D.

3.如图是二次函数+c图象的一部分，图象

过点A（-3,0）,对称轴为户一1.给出下面四个结论：①

b1>4ac；②2。一〃二1；③b+c=O；④5a<〃.其中正确的

是（）

A.②④B.①④第3题图

C.②③D.①③

【答案】B

【解析】因为图象与x轴交于两点，所以从-4。。>0,即/>4。。，①正确；

对称轴为x=-1,即-2=-1,2〃-8二0,②错误；结合图象，当x=-1时，y>0,

2a

即a-b+c〉0,③错误；由对称轴为x=—1知，b=2a又函数图象开口向下，所

以。<0,所以5〃<2a,即5a<b,④正确.

4.若函数/(%)=炉-2工+1在区间区。+2]上的最小值为4,则实数。的取值

集合为()

A.[-3,3]B.[-1,31C.{-3,3}D.{-1,一3,3}

【答案】C

【解析】因为函数/*)=/一2%+l=(x-的图象的对称轴为直线x=l,f

2

(x)在区间上的最小值为4,所以当。之1时，/U)min=/(«)=(«-1)=4,

a=—1(舍去)或0=3；当4+241,即4(一1时，/(X)min=/(〃)=(。-1)2=4,

a=l(舍去)或。二一3；当即一时，/(x)min=/(l)=0^4.

故。的取值集合为{-3,3}.故选C.

5.(多选)已知函数/*)=|一一2以+加(%eR),给出下列命题，其中是真

命题的是()

A.若〃2一任0,则/(%)在区间小+oo)上是增函数

B.存在ocR,使得/(x)为偶函数

C.若/(0)寸(2),则/(x)的图象关于x=l对称

D.若2>0,贝I」函数力(x)=y(x)-2有2个零点

【答案】AB

【解析】对于选项A,若储一bWO,M/(x)=|(x-a)2+b-a21

=*-。)2-储在区间⑷+8)上是增函数，故A正确；对于选项B,

当“0时，/(%)=|尢2+回显然是偶函数，故B正确；对于选项C,取折0,b=

-2,函数jf(x)=*-2dc+川化为/(%)=，+2],满足/(0)于*(2),但/(函

的图象关于x=l不对称，故C错误;对于选项D,如图，储_人_2>0,即储2,

则/(x)=\(x-a)2-b-a21一2有4个零点，故D错误.

—JC—2.xx<0

6.(多选)己知函数f(x)=<''一'若王<工2<工3V“4，且

Ilog2x|,X>O,

f(xt)=f(x2)=f(x3)=f(x4),则下列结论正确的是()

A.%1+x2=-1B.x3x4=4C.1<x4<2D.0<玉工213工4<1

【答案】BCD

【解析】画出函数f(x)的大致图象如图，得出

X1+x2=-2,-log2x3=log2A4,则天工4=1,故A错误，B

正确；由图可知1<七<2,故C正确；因为-

2

x,x2=xx(-2-x,)=-xf-2x1=-(x,+1)+1e(0,1),所以人也毛%=玉"2£(。，

1),故D正确.故选BCD.

7.二次函数的图象过点(0,1),对称轴为了=2,最小值为1,则它的解析

式为.

【答案】/(X)=1X2-2A+1

【解析】依题意可设/a)=〃(x-2)2-1(。>0),又其图象过点(0,1),

所以4。-1二1,所以a=g,所以/(x)=g*-2)2_l=gx2—2x+l.

8.y=，2底+4%+々-1的值域为［0,+oo),则。的取值范围是.

【答案】［0,2］

【解析】当。二0时，y=>/4x-\,值域为［0,+00),满足条件；当今0时,

要使y=匚T的值域为［0,+8),只需解得

0<。42.综上，0<a<2.

/［x<IX2-4X+3

9.已知函数

(1)若a=-L求/(X)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3,求。的值；

(3)若/(x)的殖域是(0,+oo),求。的值.

【答案】(1)单调递增区间是(-2,+oo),单调递减区间是(-8,-2)；(2)

1；(3)0.

/1x-r2-4x+3

【解析】(1)当。二一1时，/(X)=-,令/*)=一f-4工+3,由于

g(x)在(-8,—2)上单调递增，在(-2,+8)上单调递减，而指数函数y=(?

在R上单调递减，所以/(外在(-8,-2)上单调递减，在(-2,+00)上

单调递增，即函数/(x)的单调递增区间是(-2,+oo),单调涕减区间是(一8,

-2).

(2)令g(x)=Q/2-4x+3,/(%)=(；),由于f(x)有最大值3,所以g

a>0,

(x)应有最小值一1,因此必有«3。-4解得〃=1，即当f(x)有最大值3

--------=-1,

a

时，。的值等于1.

(3)令g(x)=o^_4_r+3,/(x)=(g,由指数函数的性质知，要使

门、以外

/(x)=^J的值域为(0,+8).应使g(x)=ox2-4x+3的值域为R,因此只能

a=0(因为若存0,则g(x)为二次函数，其值域不可能为R).故/(%)的值域

为(0,+8)时，。的值为0.

10.己知函数f(x)=x2+(2a—1)x—3.

(1)当。=2,xG[—2,3]时，求函数/(x)的值域；

(2)若函数/(%)在[-1,3]上的最大值为1,求实数。的值.

?I1।

【答案】(1)-—,15；(2)〃=一或一1.

L4J3

【解析】(1)当。=2时，/(X)=X2+3X-3,XG[-2,3],对称轴为X=

L2,3],.•./(x)min=/(-||=^-1-3=-^,/⑶1mx=/⑶=15,・••函数/

(%)的值域为--,15.

_4_

(2)函数/(X)的对称轴为力一生1.①当一即二L1,即时，

222

/(x)a=."3)=6a+3，・・・6。+3=1,即。=一；，满足题意；②当一”二1>1,即

32

时，=/(-D=-2^-l,：.-2a-\=\f即。=一1,满足题意.综上

可知，a=—1或一1.

3

思考运用

11.设函数./*(“)=妙'-znr-1,若对于xw[l,3],f(x)v-/n+4恒成立，则

实数机的取值范围为()

A.(-00,0]B.(0,-)C.(-QO,0)U(0,-)D.(-oo,-)

777

【答案】D

【解析】由题意,/(x)v-m+4对于xw[l,3]恒成立,艮1〃2*2一工+1)<5对

Txe[l,3]恒成立.3当xw[l,3]时,x2-x+1G[1»7],・,•不等式/(X)VTW+4

等价于"2<----.；当产3时，，----取最小值9，若要不等式

X*-x+1X-X+11

加〈一一对于XH1,3]恒成立，则必须满足〃z<9,因此，实数〃，的取值范

x~-x+l7

围为(-8,—),故选D.

7

12.(多选)若函数/(幻二|枢--(2机+1)工+机+3|恰有4个单调区间，则实

数〃2的可能取值是()

A.二B.-1C.—D.0

410

【答案】ABC

【解析】若/(x)=l〃优2-(2m+1)工+加+3]恰有4个单调

区间，则等价为函数y-(2加+l)x+m+3与x轴有两

个不同的交点，即机并且判别式

A=(2m+1)2-4/n(/n+3)>0,即

4/n2+4m+1-4/n2-12m>0,即-8m+1>0,解得机且出声0,即实数用的取

8

值范围为(一如0)u(0,i|),在此范围的加可以3是-1,1—,故选

8410

ABC.

2

x+x,<<

13.已知函数/*)=1"G若-0,则/(x)的值域是______；若

—,c<x<3.

.x

f的值域是.Q,则实数C的取值范围是一

【答案】——,-H^OI,—<C<1.

4)2

【解析】当c=0时，当xw［—2,0］时,/(x)

当xe(0,3］时，/(x)e*+oo),所以/Cv)的值域为--,4-coj.作出y=f+%

和y=L的图象如图所示，当f(x)=_,时，x=--;当d+Xu2时，尸1或右

x42

-2；当：=2时，户；.由图象可知当f(x)的值域为-：,2时，需满足gvcVl.

14.已知值域为［—1,+oo的二次函数/(x)满足f(-1+x)=/(—1—x),

且方程/(x)=0的两个实根％,々满足以-々1=2.

(1)求/(X)的表达式；

(2)函数g(x)=f(x)一丘在区间［—1,2］上的最大值为7(2),最小值

为/(一1),求实数4的取值范围.

【答案】(1)/(X)=X2+2X；(2)(-00,0］,

【解析】(1)由/(—1+.E)=f(―1—X)可得/(%)的图象关于直线广一1

对称，设/(尤)=。(％+1)~+。=欠2+2^+。+力(。，0),由函数/(x)的值域为［―

1,+8),可得自一1.根据根与系数的关系可得玉+/=-2,x&=l+g,所以

2

I-X2|=^/(xi+x2)-4xix2=J---=2,解得4=1,所以/(工)="2+2彳.

(2)由题意得函数g(x)在区间［―1,2］上单调递增，又

g(x)=f(%)-Ax=%2-(&-2)x.所以g(x)的对称轴方程为x=则与万2V1,

即上V0,故人的取值范围为(-8,0］.

15.若函数f(x)在m2,n］(m<n)上的最小值为/且满足f«/n,则称函数

/(x)在［加，川(相<〃)上具有“QK”性质.设/(x)=，r+2〃一1.

(1)若〃=1,判断函数/J)在［1,2］上是否具有“DK”性质，说明理由；

(2)若〃>0,函数/(外在［1,2］上是否具有“OK”性质，求。的取值范

【答案】(1)略；(2)(0,1］.

【解析】(1)因为0=1时，f(x)=x2-x+\,所以xw［l,2］时，

/U)mi„=/(0=1<1，所以f(x)在口，2］上具有“OK”性质.

(2)因为Q>0,f(x)=x----1+2a------1,xG［1,2］.①当0<—W1,

\2a/4。2a

即。N：时，f(x)在［1,2］上是增函数，所以/(x)min=/Xl)=3〃—2,因为/(尢)

在［1,2］上是否具有“OK”性质，所以3〃一241,所以②当1<，<2,

22a

即时，f(x)=因为f(x)在［1,2］上是否具有

42min\2a/4a

“OK”性质，所以2〃一-!--1«1,得纪近4〃0心色，所以③当

4。4442

—>2,即■时，/a)在［1,2］上是减函数，/(4焉=/(2)=6。-3W1恒

2a4

成立，满足函数/(x)在［1,2］上具有"DK”性质，所以综上所述，

4

函数fGD在［1,2］上具有“DK”性质时，。的取值范围为(0,1］.

拓展探究

己知4£R,若函数f(x)=gx2一|x—2a|有三个或者四个零点，则函数

gCr)=or2+4R+l的零点个数为()

A.1或2B.2C.1或0D.0或1或2

【答案】A

【解析】•・,函数/。)=；/一次一2〃|有三个或者四个零点，

，函数〃2(x)=gx2与函数以力=以_2al有三个或者四个不同的交

点，作函数皿幻=：/与函数版x)=|x-2a|的图象如图所示，结合图象可知,

-0.5<2i/<0.5,故一1«々工」.当方0时，函数g(x)=or2+4x+l有一个零点;

44

当。和时，△=16-4々>0,故函数g(x)=o^+4x+l有两个零点.故选A.

10指数与对数

本课导航

了解指数累的拓展过程，掌握指数幕的运算性质；理解对数的概念和运算性

质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.

L分数指数塞.

(1)我们规定正数的正分数指数幕的意义是=而(。〉0,m，〃wN*,

且〃>1).于是，在条件。〉0,m,7?GN\且下，根式都可以写成分数指

数吊的形式.正数的负分数指数事的意义与负整数指数事的意义相仿，我们规定

an='(a>0,m,且〃>1).0的正分数指数累等于0；0的负分数

行

指数事没有意义.

rxr+rsn

(2)有理数指数累的运算性质：aa=a\(a)=af触)—其

中a>0,Z?>0>r,seQ.

2.对数的概念.

一般地，如果优=N(〃〉0,且在1),那么数x叫作以。为底N的对数,

记作x=log〃N,其中。叫作对数的底数，N叫作真数.

3.对数的运算法则与性质.

(1)对数的运算法则：如果，>0,且N>0,那么

①log”(MN)=log4M+log,,N；

②log”果=1叫MTog”N;

n

（3）log（rM=nlogaM（，wR）.

（2）对数的性质：①*g"=N；②log/N=N（«>0,且Wl）.

(3)对数的换底公式：log,*=g&2(。>0,且"1；。:>0,且存1；b>0).

课前热身

1.下列各式正确的是()

鼠而)3=aB.(V7)4=-7C.(^)5=\a\D.=a

【答案】A

【解析】A.(指)3=。正确；B.(近y=7,故B错误；C.丽*=a,故C错

误；后二矶,故D错误.

2.若(3-2x.有意义，则实数上的取值范围是()

A.(—co,+co)B.(-8,"!)U(T'+o°)

【答案】c

【解析】要使(3-2x尸有意义，需使3-2x>0,即

2

3.(多选)有以下四个结论，其中正确的是()

A.lg(lg10)=0B.ln(lne)=0

C.若10=lgx,则410D.若e=lnx,则x=e2

【答案】AB

【解析】lg(lgl0)=lgl=0,ln(lne)=lnl=O,故AB正确；若10=lgx,则

x=1010,故C错误；若e=lnx,则％=©。，故D错误.

4.lg[+21g=---------------.

【答案】-1

5<iY1

【解析】lg-+21g2--=lg5-lg2+21g2-2=lg5+lg2-2

=lg10-2=-l.

课堂示例

例1求值：

⑴6"+。•一+图”-皿32；

63

(2)log3V27-log32-log23-6^-1gV2-1gx/5.

【解析】(1)原式=

21X(2325

g+10-->+^-l-log22=^+100+1-l-|=99.

2.—3i

2

(2)Igjt=log33-l-3-lgV10=--4--=-3.

【情景与层级】本题情景为课程学习情景，层级为基础性.

【题眼与方法】本题的题眼为小数化分数、带分数化假分数、底数或真数转

化为分数指数幕形式，通过化简整理转化为可以运用指数、对数运算性质形式.

【能力与素养】本题考查的学科素养为数学运算，培养学生运算求解能力.

变式1求值：

-(4)+256*m

(1)O.O27-3

(2)2(lgV2)2+1gV2.Ig5+7(lgV2)2-lg2+l.

【解析】(1)原式二f—13-36+26-i+l=—+28--+l=32；

110/333

(2)原式=lg夜(21g/+lg5)+“g夜—I)2=lg&(lg2+lg5)+l-lg&=l.

2

30-2

变式2(1)计算：-2e+lgl-Ig4+lg5+log34xlog49.

W

(2)已知A=】og&8,^=log3(9-A),求实数B的值.

【解析】(1)原式二

9log3291

一一2+0-2(lg2+lg5)+21og32x——=一一2+0-2+2=-；

42Iog3244

BB2

(2)•・•A=log&8=6,/.B=log3(98—6),/.3=(3)-6；即

(3与2_38_6=0,♦・.38=3或38=-2(舍)，：.B=\.

例2已知log”2=m，loga3=n,求/…的值.

【解析】Vlogfl2=/w,loga3=n,・"=2,优=3,

a2,,,~n=掰+优=(1)2+优=22+3=M.

【情景与层级】本题情景为课程学习情景，其考查层级为基础性.

【题眼与方法】本题的题眼为将对数式转化为指数式.

【能力与素养】本题考查的学科素养为逻辑推理与数学运算，而转化方法是

解决本题的关键能力.

变式1己知a,b,c为正实数，ax=by=cz,—+—+—=0,求"c的值.

xyz

【解析】•：a,b,c为正实数，ax=by=c2=k>度],：.x=思■&,y=星仁,

lg〃IgZ?

IgA..111八.Iga+lgZ?+lgclg("c)n.,.

IgexyzIgkIgA

变式2设x,y,z均为正数，且3、=4'=62.

(1)试求X,y,Z之间的关系；

(2)求使2x=p)，成立，且与p最近的正整数(即求与p的差的绝对值最小

的整数)；

(3)比较3%,4y,6z的大小.

【解析】设3、=4丫=623，由X,y,z均为正数知故取以［为底的对

数，可得xlog,3=ylog,4=zlog,6=l，x=,y=—^—,Z=­L-,

log,3log,4log,6

(1)---=log,6-log,3=log2=-log4=—,Ax,y,z之间的关系为

zx2z2zy

J_

zx2y'

2r2

(2)p------------Iog4-21og34=log316.由9V16v27,得

丁log,3

log39<log316<log327,从而2Vpv3.而p-2=log316-log39=log3—,

3-〃=log327-log316=log3—ft--s--=—>知§>正，••

p-2=log—>log-=3-p.^ffrj,所求正整数为3.

3■93162

(3)•・•

3ig441g3IgZ34

3x-4^=31og.r-41og4/=^-^=f-llg/=(Ig4-lg3),

3lg3lg4IIg3.lg4)sIg31g456

而lgf>0,lg3>0,lg4>0,Ig43<lg34,・・・3xv4y.又二

4y-6z=2(2log4r-3log61)=

J21gz_3lg£k2(21g6-31g4)lgz=2(lg6--lg4-)lg/而a。,叱,。，

Ug4lg6)Ig41g6Ig41g66

1g6>0,lg62<lg43,，4y<6z.故有3xv4yv6z.

新题在线

(多选)已知2、=3,3v=4,则()

3

A.x<~B.xy=2C.x>yD.y>2>/2

【答案】BCD

【解析】因为2"=3,3)'=4,所以x=k)g23,y=log34.对于A,因