高中数学空间向量及其运算教案五

课题：名向痴量度具色算5)

教学目的：

1.巩固空间向量数量积的概念；

2.熟练应用空间向量数量积解决立体几何中的一些简单问题.

教学重点：应用空间向量数量积解决问题.

教学难点：应用空间向量数量积解决问题.

授课类型：新授课.

课时安排：1课时.

教具：多媒体、实物投影仪.

教学过程：

一、复习引入：

1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量.

注：⑴空间的一个平移就是一个向量.

⑵向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示同一或相等的向量.

⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示.

2.空间向量的运算

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下

OB=OA+AB-a+b-BA-OA-OB-a-b;OP=耘(XeR)

运算律：⑴加法交换律：a+b=b+a

⑵加法结合律：(&+B)+c=G+(B+C)

⑶数乘分配律：2(5+5)=23+25

3.平行六面体：

平行四边形ABCD平移向量。到AECD的轨迹所形

成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD-AECD.它的六个面都是平行

四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱.

4.平面向量共线定理

方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量.由于任何一组平行向量都可

以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量.

向量B与非零向量五共线的充要条件是有且只有一个实数人使很=入原

要注意其中对向量值的非零要求.

5.共线向量

如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫

第1页共8页

做共线向量或平行向量.五平行于少记作万〃人.

当我们说向量五、B共线(或五//分)时，表示五、B的有向线段所在的

直线可能是同一直线，也可能是平行直线.

6.共线向量定理：空间任意两个向量五、b(BwO),万〃石的充要条件是

存在实数九使

推论：如果/为经过已知点A且平行于已知非零向量方的直线，那么对于

任意一点。，点尸在直线/上的充要条件是存在实数f满足等式

OP=OA+ta.其中向量。叫做直线/的方向向量.

空间直线的向量参数表示式：

5?=质/或丽=次+/(无_质)=+.赤，

中点公式.OP=^(OA+OB)

7.向量与平面平行：已知平面a和向量a,作OA=a,如果直线。4平行于

a或在a内，那么我们说向量。平行于平面a,记作：alia.通常我们把平

行于同一平面的向量，叫做共面向量.

说明：空间任意的两向量都是共面的.

8.共面向量定理：如果两个向量a/不共线，p与向量a力共面的充要条件

是存在实数羽y使°=xa+9.

推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对羽y,

使MP=xAM+yMB①或对空间任一点。，有OP=+xK4+yMB②

ngOP-xOA+yOB+zOM,(x+y+z-1)③

上面①式叫做平面的向量表达式.

9.空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量力，

存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使p=xa+yb+2e.

若三向量。也C不共面，我们把｛a/,c｝叫做空间的一个基底，叫做

基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.

推论：设O,ABC是不共面的四点，则对空间任一点尸，都存在唯一的三个

第2页共8页

有序实数x,y,z,使OP=xOA+yOB+zOC.

10.空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量。力，在空间任取一点。，作

OA=a,OB=b,则NAOB叫做向量。与5的夹角，记作<。力〉；且规定

JI

0<<a,b><n,显然有<〉=<Z?,a〉；若<a,b>=—,则称a与8互相

2

垂直，记作：alb.

11.向量的模：设。4=a,则有向线段。A的长度叫做向量a的长度或模，记

作：|a|.

12.向量的数量积：已知向量。力，则「cosva/>叫做的数量

积,记作屋。,即a0=|a|,叫-cos>.

已知向量A3=a和轴/,e是/上与/同方向的单位—

向量，作点A在/上的射影A',作点6在/上的射影8',

则A'B'叫做向量A3在轴/上或在e上的正射影.可

以证明A'B'的长度|A'B'\=\AB\cos<a,e>=\a-e\.

13.空间向量数量积的性质：

(1)a-e=\a\cos<a,e>.(2)a_LZ?oa为=0.(3)\a^-a-a.

14.空间向量数量积运算律：

(1)(Aa)-b-A(a-b)-a-(Ab).(2)a-b=b-a(交换律).

(3)a-(b+c)^a-b+a-c(分配律).

二、讲解范例：

例1.已知线段AB,BD在平面a内，BDLAB,线段,若

AB=a,BD=b,AC=c,求C,。间的距离.

第3页共8页

解：（方法一）连结AO,

*/AC±a,ADua,AC±AD,

在△ABD中

AD2=AB2+BD2=a2+b2,

在A4CD中：AC±AD,

所以，CD=7AC2+AD2=V«2+^2+c2.

（方法二）：\CD^（CA+AB+BDf

=|G412+1ABI2+|5D|2+2CAAB+2CABD+2ABBD

又AC_La.ABua.BDua,:.AC_LBD,AC_LAB,

又：.BD±AB,

：.CAAB=Q,ABBD=Q,CABD=Q1

.,.|CD|2=^CAi1+\AB\2+\BD^a2+b2+c2,

所以icDrJH+i+c?.

例2.已知平行六面体ABCD-AB'C'D'中,

AB=4,AD=3,AA'=5,ABAD=90,

NA4A'=NZMA'=60,求AC'的长.

解：।ACT=（A3+AD+AAT

=|ABF+|A。？+|A4T+2AB.AD+2AB-AA'+2AD-

=42+32+52+2x4x3xcos90+2x4x5xcos60+2x3x5xcos60

=16+9+25+0+20+15=85

所以，|AC'|=府.

例3.已知s是边长为i的正三角形所在平面外一点，且&i=se=sc=i,

M,N分别是AB,SC的中点，求异面直线与BN所成角的余弦值.

第4页共8页

分析：要求异面直线与3N所成角的余弦值，只要求SM与BN所

成的角的余弦值，因此就要求SMIN以及然后再用向量夹角

公式求解.

解：设sA=a,SB=b,SC=c,a-b=b-c=a-c=—,

12

222222

2

所以，异面直线SM与BN所成角的余弦值为一.

3

点评：设出空间的一个基底后，求数量积的时候目标就更加明确了，

只要将SM与BN都化为用基向量表示就可以了.本题中SM与BN的夹角是

异面直线SM与BN所成角的补角.

例4.如图

长方体A3CD—中，AB=BC=4,E为4G与片。的交点，

E为BQ与4c的交点，又AFLBE,求长方体的高

分析：本题的关键是如何利用钎，5£这个条件，在这里可利用

AFLBE^AF-BE^Q将其转化为向量数量积问题.

Di/^——

解法一：•••AR，BE,/二

AFBE=(AB+BF)(BBi+B1E)

AB

第5页共8页

=[AB+g(BC+BBJ].[叫+1(BC-AB)]=0

1(2AB+BC+BBJ-(2BBi+BC-AB)=。

222

A-2|AB|+|BC|+2\BBX|=0,，|期『=8,

所求高34=2后.

解法二：

设AB=a,AD=b,AA1=c,

贝•〃=(),|。|2=〃2=16,|/7|2=〃2=16

则BE=BB]+B[E=。+%b—a)

1

AF=AB+BF=a+-(c+b)

VAF±BE:.BE・AF=0

§P[c+^(b-a)]•[a+g(c+b)]=O

•*.—c2+—b2--a1=0

242

.•."『=/=8,即所求高34=2后.

点评：本题从表面上看是求线段长度，但实际上却是充要条件:

AFAFBE=O的应用问题.

三、课堂练习:

TT7T

1.设<a,c>=-,<b,c>=-,且|a|=L|〃|=2,|c|=3,求向量

36

u+b+c的模・

--27r

2.已知|〃|=2,|。|=5,<a,b>=—,p=3a-b,9+,问实数2

取何值时p与9垂直.

3.若Q+/?+C=O,且|。|=3,|。|=2,|。|=1,求。•/?+/?•(?+(:•。的值.

第6页共8页

4.在棱长为1的正方体A3CD—AB'C'D中，E,尸分别是。中点,

G在棱CD上，CG=-CD,H为CG的中点，

4

(1)求证：EF±B'C；

(2)求政,C'G所成角的余弦；

(3)求EH的长.

解：设A3=a,AD=5,AA'=C,

贝==\a^=a2=l,\b^=b2=l,\c^=c2=1

(1)V

-11-1-

EF=ED+DF=--c+-(d-b)=-(a-b-c),D'

__________A'

B'C=BC-BB'=b-cr--------

1,-1

=-(c2-Z?29)=-(l-l)=0

22A,

/.EF±B'C.

(2)VEF=ED+DF=—gc+g(a—b)=g(a—b—c),

C'G=C'C+CG=-c--a,

1111,3

...EF*C'G