2024-2025学年人教版八年级数学下学期第一次月考卷（测试范围：八年级下册第16章~第17章）（全解全析）

2024-2025学年八年级数学下学期第一次月考卷01

（人教版）

（考试时间：120分钟试卷满分：120分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：人教版八年级下册第16章〜第17章。

5.难度系数：0.75o

一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。）

1.下列计算正确的是（）

A.V3+V4=V7B.V2xV5=V7

C.V12-V6=2D.3V5-2V5=V5

【答案】D

【解析】解：4声与V?不是同类二次根式，所以不能合并，故4不符合题意；

B、V2XV5=V10,故2不符合题意；

C、V12-V6=V2,故C不符合题意；

D、3V5-2V5=V5,故。符合题意：

故选：D.

2.满足下列条件的△ABC（a、b、c为三边）,不是直角三角形的是（）

A.Z5=50°,ZC=40°B.a2=c2-b1

C.a2=5,b2=U,C2=13D./A：ZB：ZC=1：2：3

【答案】C

【解析】解：A.'：ZB=50°,ZC=40°,

；.N/=180°-ZB-ZC=90°,

是直角三角形，故选项/不符合题意;

B、Va2=c2-b1,

a2+b1=c1,

...△NBC是直角三角形，故选项B不符合题意；

C、;层=5,y=12,C2=13,

c^+b2=17W,2=13,

.•.△/5C不是直角三角形，故选项C符合题意；

D、；//：NB：/C=l：2：3,/Z+/8+C=180°,

3

最大角NC=1+2+3*18。°=90°,

.•.△/5C是直角三角形，故选项。不符合题意；

故选：C.

3.在下列二次根式中，最简二次根式是（）

A.qB.yjx2+y2C.yjx2yD.V27

【答案】B

【解析】解：A,信=乎,不是最简二次根式，不符合题意；

79D

B、jN+y2是最简二次根式,符合题意；

c、，西=困77，不是最简二次根式，不符合题意；

D、V27=3V3,不是最简二次根式，不符合题意；

故选：B.

4.如图，把一块含45°角的三角板放入2X4的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上

表示-1的点重合，则数轴上点N所表示的数为（）

C.-1+2V2D.V3

【答案】C

【解析】解：如图,

由题意可知，BA=BC,/BDC=9Q°,BD=CD=2,

：.BC=7BD2+CD2="2+22=2V2,

：.BA=242,

...数轴上点A所表示的数为-1+2北，

故选：C.

,____,____y

5.已知y—4+A/4—x+3,贝咚的值为()

4433

A.-B.--C.-D.

4

【答案】C

x-4>0

【解析】解：由题意可得：\,所以x=4,

4-x>0

则y=3,

y3

贝匚的值为：T.

故选：c.

6.如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5加的墙上，装有一个由传感器控制的门铃区如图①

所示，人只要移至该门铃5加及5小以内时，即/CW5加，门铃就会自动发出语音'‘欢迎光临如图②

所示，一个身高1.5加的学生走到。处，即CD=1.5%,门铃恰好自动响起，则AD的长为（）

A.3米B.4米C.5米D.7米

【答案】B

【解析】解：由题意可知，BD=CE,BE=CD=\.5m,AC=5m,则-5E=4.5-1.5=3(a),

在RtA^CE中，由勾股定理得：CE='AC2-4E2=府=事=4(加)，

米，

即门铃恰好自动响起，则80的长为4米，

故选：B.

7.若实数怙〃在数轴上的位置如图所示，则代数式JQn+4)2—|m—用的化简结果为()

*11

-------n----------------------m----------------------0

A.-2mB.2nC.2mD.-In

【答案】A

【解析】解：由数轴可知,〃<0,m<0,|m|<|n|,

.*.7(m+n)2-|m-n\

=\m+n\-\m-n\

=-(加+〃)-(m-n)

--m-n-m+n

--2mf

故选：A.

1

8.若。=1+鱼，b=则。与b的关系是()

A.互为相反数B.互为倒数

C.相等D.互为负倒数

【答案】A

11+V2=「

=_

【解析】解：^^=(1.V2)(1+V2)(1+«)，a='+内

六。与6互为相反数.

故选：A.

9.如图，在Rt448C中，NC=90°,/C=4,BC=3,分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面

积为()

c

2525

A.6B.-C.4n-6D.~^n:

【答案】A

【解析】解：由勾股定理得，AB2=AC2+BC2=25,

11AC1BC、1AB

则阴影部分的面积=5X/CX3C+jXTtX(―)2+-XTtX(―)2--X7TX(―)2

111

=~x3X4+-Xirx-x(ACn2+BC2-AB2)

ZN4

=6,

故选：A.

10.我国宋代数学家秦九韶的著作《数书九章》中关于三角形的面积公式与古希腊数学家海伦的成果并称

a+b+c

“海伦-秦九韶公式”.它的主要内容是：如果一个三角形的三边长分别是eb,c,记p=1—,S

为三角形的面积，S=y/p(p—d)(p—b)(p—c),若一个三角形的三边长分别为Q,b,c,p=S=\5,a=

10,且b>c,则6值为()

A.10+V22B.10-V22C.10+V15D.10

【答案】A

【解析】解：..・p=S=15,«=10,

a+b+c10+b+c

•加^-=^^=15,

Z?+c=20,

即c=20-b,

=Jp(p-a)(p-b)(p-c)=p,

:.p(p-a')(p-6)(p-c)=p2,

即(p-a)(p-b)Cp-c)=p,

把p=15,a=10,c=20-b代入得:

(15-10)(15-6)(15-20+6)=15,

整理得y-206+78=0,

即(b-10)2=22,

'：b+c=20S.b>c,

：.b>10,

：.b-10=V22,

即b=10+V22,

故选：A.

11.“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和

中间的小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的两条直角边长分别为加，〃(%>〃).若小正方形

面积为7,(〃?+〃)2=21,则大正方形面积为()

A.11B.12C.13D.14

【答案】D

【解析】解：.••小正方形面积为7,

(加-〃)2=7,

又：(w+n)2=21,

(w+n)2-(加-〃)2=14,

2mn=l.

1

又,大正方形的面积=/nnX4+(m-ri')2=m2+n2,

.'.m^+rr—(%+〃)2-2mn—21-7=14,

故选：D.

11

12.我们知道形如石，工后的数可以化简，其化简的目的主要是把原数分母中的无理数化为有理数.如:

1

1lxV2V2lx(2+V3)一「

正=亦方=苧不*(2半)(2+2)=2这样的化简过程叫做分母有理化.我们把血

叫做血的有理化因式，2+旧叫做2-g的有理化因式.利用有理化因式，可以得到如下结论：①

1O.ab1

^=—②设有理数。，6满足可+==-6鱼+4,则"6=6；③即_即>

1____________________

A/2021-，2020；④已知〃3—%—111—%=4,则，43——+V11——=6；以上结论正确的有()

A.①③B.①②C.①④D.③④

【答案】A

13+V53+V5x-x

==

【解析】解：^(3-V5)(3+V5)—故①正确,符合题意；

ab

正7+百=(⑶1)(41)-6V2+4

：.a+b^-6,故②错误，不符合题意；

1_______-2023+V2022_______________

V2023-V2022-(V2023+V2022)(V2023-V2022)-^2023+^2022,

1V2021+V2020,____,___

/~,=/~~,=V2021+V2020,

V2021-V2020(V2021+V2020)(V2021-V2020)

11

AV2023-V202l>72021-72^;故③正确'符合题意；

V43—%—V11—%—4,(V43—x—V11—%)(V43—%+V11—%)—43—x—11+%=32,

.'.V43—%+V11—x=8,故④错误，不符合题意；

故选：力.

二、填空题(本题共6小题，每小题2分，共12分.)

13.已知平面直角坐标系内两点Z(3,-1)和5(-1,2),则48=.

【答案】5

【解析】解：根据两点间的距离公式可知：/—=J(3+1)2+(_1_2)2=5,

故答案为：5.

14.已知是整数，则正整数”的最小值为.

【答案】7

【解析】解：V28n=V22x7n,

是整数，〃为正整数，

的最小值是7.

故答案为：7.

15.若最简二次根式47^口与—7317—2a能够合并,那么合并后的值为.

【答案】-3V7

【解析】解：由题意得：3a-8=17-2a,

解得：a=5,

贝ij3a-8=17-2a=7,

4V7+(-7V7)=-3V7,

故答案为：-3V7.

16.把aJ二中根号外面的因式移到根号内的结果是.

【答案】—V—a

【解析】解：原式=-J—i-a2=—V—a,

故答案为：—V—a

17.如图，在直角三角形中，ZA=90°,AB=10cm,/C=5c加，点尸从点力开始以2c加/s的速度向

点5移动，点0从点。开始以3c加/s的速度沿。一4一5的方向移动.如果点尸，0同时出发，点尸到

达点5时，P,0两点都停止运动.设移动时间为f(s),当时，5.

AB

【答案】1或5

【解析】解:因为点0从点C开始以3cm/s的速度沿Cf/fg的方向移动，移动时间用1(s)表示，

所以当点。在NC上运动时，C0=3fc%,

所以“0=/C-CQ=(5-3力cm,

分两种情况：

①当点。在/C上运动时，QA=4P,BP5-3t=2t,

解得f=l;

②当点0在上运动时，QA=AP,即3「5=2f,

解得t=5,此时点尸与点0同时到达点2,

综上所述，f的值为1或5.

18.如图是一种笔记本电脑支架，它有N〜尸共6个档位调节角度，相邻两个档位距离为2c%,已知托架

0K的长度为24c%,M点是支点且(W=2MC.当支架调至/点时，AMLOK,当支架调至E档时，托

架0K绕着点O旋转到OK，,此时E=OE,则支点到。/的距离为cm.

【解析】解：由题意可知：MA=ME=OE,AMLOK,AE=8cm,

•.•有/〜尸共6个档位调节角度，相邻两个档位距离为2cm,

♦./£=8。加，

\'OK=24cm,OM=1MK,

：.OM=OAf^l6cm,

^MA=ME=OE=xcm,则CM=(x+8)cm,

在RtAOAM中,

由勾股定理，得。42=M42+OM2,

即(x+8)2=X2+162,

解得x=12,

：.MA=ME=OE=\2cm,

过点Af作〃W_LCM,

设OH=ycm,则EH=(12-y)cm,

由勾股定理，得MH1=OM2-OH2=ME2-EH2,

即162-/=122-(12-y)2,

32

解得v="F'

77^~7327716西、

:.MH=70M'2_。。2=162-(―)2----(cm).

答：支点M"到OA的距离为空⑤cm.

故答案为：智5

三.解答题（本题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

19.(8分)计算：

(])~~+2V18—TV32;

Zo

(2)(V5+V^)(V5—V3)—V48+V3.

LL1L

【解析】解：(1)原式=鱼+6鱼一5位

13V2

=------（4分）

2，

(2)原式=(V5)2-(V3)2-4

=5-3-4

--2.（8分）

20.（8分）如图，在△/8C中，AB=AC,是/8/C的角平分线，NC的垂直平分线交于点E,交

NC于点尸，连接BE.

（1）求证：AE=BE；

(2)若4B=4C=5,BC=6,求△A8E的周长.

【解析】（1）证明：连结EC.

\'AB=AC,4。是NA4C的角平分线，

：.AD垂直平分BC,（1分）

•・•点E在ZO上，

:・BE=EC,（2分）

VAC的垂直平分线交AD于点E,

：.AE=EC,（3分）

：.AE=BE.（4分）

1

(2)由(1)得，BD=~BCf

9：BC=6,

:,BD=3,

：.AD=7AB2-BD2=4,（5分）

设AE=BE=x,

在Rt/XBDE中，BD2+DE2=BE2,

32+(4-x)2=x2,（6分）

25

即4E=—,（7分）

O

252545

/\ABE的周长为r：AB+BE+AE=5+—+—=­.（8分）

oo4

11

21.(8分)已知%=獐,y=二云

(1)求/-盯+/的值；

(2)若x的小数部分为a,y的小数部分为6,求(a+b)2+J(a一6)2的值.

12-V3-

【解析】解：(1)=2+二=(2+0)(2-a=2一肩

12+6

=2-V3=(2-V3)(2+V3)=2+^（2分）

；.尤2-xy+y2

=(x+y)2-3xy(3分)

=(2-V3+2+V3)2-3X(2-V3)(2+V3)

=42-3X1

=16-3

=13；(4分)

(2)由(1)知，x=2-V3,y=2+V3,

VI<3<4,

1<V3<2,

-2<-V3<-1,3<24-V3<4,

.".0<2-V3<l,

Vx的小数部分为a,y的小数部分为b,

.,.a=2—y/3)b=2+—3=y/3—1,(6分)

.,.原式=(2-V3+V3-1)2+J(2-V3-V3+l)2

=1+J(3-2遮/

=l+2V3-3

=2V3-2.(8分)

22.(8分)如图，A,8两村庄相距3千米，C为供气站，NC=2.4千米，8C=1.8千米，为了方便供气,

现有两种方案铺设管道.

方案一：从供气站C直接铺设管道分别到/村和3村；

方案二：过点C作的垂线，垂足为点“，先从C铺设管道到点〃处，再从点〃处分别向/、8两村

铺设.

(1)试判断△NBC的形状，并说明理由；

(2)两种方案中，哪一种方案铺设管道较短？请通过计算说明.

【解析】解：（1）△/BC是直角三角形.理由如下:（1分）

"：AC2+BC2=2,42+1.82=9,AB2=?>2=9,（2分）

:.AC2+BC2^AB2,（3分）

：.4ABC是直角三角形;（4分）

11

(2)AABC的面积=-AB-CH=~AC-BC,（5分）

AC-BC2.4X1.8

----=1.44(米)；（6分）

V^C+5C=2.4+1.8=4.2(米),

8+48=1.44+3=4.44(米),（7分）

4.2米<4.44米,

方案一所修的管道较短.（8分）

1

23.（8分）小明同学在解决问题“已知a=彳后，求2*-8。+1的值”时，他是这样解答的:

12-V3

22-

•a-2+V3一(2+V3)(2-V3)=2—V3,V3=2—a,(V3)=(2—a),••a2=4。1.

/.2a--8。+1—2(4a-1)-8a+l—8a-1-8a+l--1.

请你认真理解小明的解答过程，解决如下问题:

1111

+++；

(1)化向：^+1+V3+V2V4+V3-"V2025+V2024

1

(2)已知x=万五，求2A3_8X2+3X+7的值.

【解析】解：(1)原式=血一1+V3-V2+V4-V3+...+V2025-V2024（2分）

=<2025-1

=45-1

=44；（4分）

1

(2)Cx==鱼+1,（5分）

'.x-1=V2,

(X-1)2=2,

即x2-2x+l=2,

.'.X2—2X+1,（6分）

/.x3=x(2x+l)=2X2+X=2(2X+1)+x=5x+2,（7分）

二・原式=2(5x+2)-8(2x+1)+3x+7=-3x+3=-3(V2+1)+3=-3V^.（8分）

24.（10分）如图，把两张小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一张面积为16c层的大正方形纸片.

（1）小方形纸片的边长为cm；

（2）在（1）的条件下，设小正方形纸片的边长的值的整数部分为0,小数部分为6,求a+2b—4鱼的

值；

（3）若沿此大正方形纸片边的方向剪出一张长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片a的长宽之比为2：

1,且面积为12C%2?若能，试求出剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由.

【解析】解:（1）:.小正方形的面积为16+2=8（cm2）,

...小正方形的边长为

故答案为：2鱼；（2分）

（2）由题意a=2,b=2\[2—2,（4分）

：.a+2b-4V2=2+2（2V2-2）-4V2=2+4V2-4-4V2=-2；（6分）

（3）不能，理由如下：

•••长方形长宽之比为2：1,

...设长方形的长和宽分别为2xc%,xcm,

.'.2x*x—12,

：.X2=6,（7分）

Vx>0,

.".x=V6,（8分）

••2x=2>/6,

V2<V6<3,

/.2V6=V24>4.（9分）

沿此大正方形纸片边的方向不能裁剪出符合要求的长方形.（10分）

25.（10分）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a,较小的直角边长都为

1

b,斜边长都为c）,大正方形的面积可以表示为c2,也可以表示为4X]ab+（a—6）2,由此推导出重要

的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a,b,斜边长为c,则。2+庐=02.

cc

【结论探究】

（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理；

【结论应用】

（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点4,B,AB^AC,由于某

种原因，由C到n的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点〃H,8在

同一条直线上），并新修一条路5.CHLAB.测得CH=0.8千米，加=0.6千米，求新路比原

路CA少多少千米？

【问题拓展】

（3）△/2C中，NC=10,BC=\7,AB=21,CHLAB,垂足为〃，请直接写出S的值.

【解析】（1）证明：：梯形/5。的面积可表示为2（。+6）9+6）=［。2+仍+$）2,a分）

111_

也可以表示为5ab+,就+5c2,（2分）

11111

J.—ab+~ab+-c12*5=—a2+ab+--b2,

乙乙乙乙乙

整理，得。2+62=。2；（3分）

（2）设A8=/C=x千米，

：.AH=AB-BH=（x-0.6）千米，（4分）

在RtZ\/CH中，

由勾股定理，得C/』C〃2+/H2,

即/=0.82+（x-0.6）2,

5

解得x=

O

即乙4=总千米，（5分）

51,

CA—CH=——0.8=—（千米），

o3U

1

答：新路CH比原路C4少热千米;（6分）

（3）CH=8.

理由：如图，设

:.BH=21-y,

-CHLAB,垂足为H,

:.AACH,△BC”都是直角三角形,

在RtZ\/CH中,

\'AC=IO,

，由勾股定理，得C〃2=/c2-/〃2=102_、2,（7分）

在RtASC/f中，

V5C=17,

由勾股定理，得Clf=BC2-BH2=172-（21-y）2,（8分）

.\102-/=172-（21-y）2,

解得y=6,（9分）

在Rt/\ACH中，

由勾股定理，得CH=y/AC2-AH2=V102-62=8,（10分）

26.（12分）如图，在△