对数与对数函数（原卷版）

专题10对数与对数函数

【考点预测】

1.对数式的运算

(1)对数的定义：一般地，如果/=N(a>0且“W1),那么数X叫做以。为底N的对数,

记作x=log〃N,读作以。为底N的对数，其中•叫做对数的底数，N叫做真数.

(2)常见对数：

①一般对数：以以々>。且a/1)为底，记为log3读作以。为底N的对数；

②常用对数：以10为底，记为IgN；

③自然对数：以e为底，记为InN；

(3)对数的性质和运算法则：

①log：=0;log：=1;其中4>。且"1;

②qSg，=N(其中a>0且，N>0)；

③对数换底公式：log/=粤"；

logca

④log“(AW)=logaM+logaA^；

⑤loga--=log”M-logaN；

⑥bg/，Fw（，…的

⑦户*=6和log/=6；

logfco

2.对数函数的定义及图像

(1)对数函数的定义：函数〉=1。8/(。>0且。片1)叫做对数函数.

过定点（1,0）,即X=1时，y=0

在（0,+00）上增函数在（0,+8）上是减函数

当Ovxvl时，j<0,当xNl时，当Ovxvl时，>>0,当％之1时，y«0

y>0

【方法技巧与总结】

1.对数函数常用技巧

在同一坐标系内，当”>1时，随a的增大，对数函数的图象愈靠近x轴；当0<a<l时,

对数函数的图象随。的增大而远离x轴.（见下图）

。增大

。增大

【题型归纳目录】

题型一：对数运算及对数方程、对数不等式

题型二：对数函数的图像

题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域））

题型四：对数函数中的恒成立问题

题型五：对数函数的综合问题

【典例例题】

题型一：对数运算及对数方程、对数不等式

例1.（2022•全国•高三专题练习）（1）计算3啕2+27%+lg50+lg2；

（2）已知现2口%（坨切=1,求实数x的值；

（3）若18"=5,log189=b,用0,b,表示log3645.

例2.（2022・全国•高三专题练习）⑴求1唯上,1吗8」吗27的直

25?

(2)已知log95=。，3"=7,试用4，6表示logzi35

212

例3.（2022・全国•高三专题练习）（1）已知a,b,c均为正数,且3a=4b=6c求证:—I—=一

9abc

（2）若60a=3,60b=5,求已景出的值

例4.（2022•全国•模拟预测）若e，=4,e"=25,贝!j()

A.a+b=100B.b-a=e

C.ab<8\n22D.b-a>]n6

例5.（2022•全国•模拟预测）已知实数X,y满足x>0,y>0,XH1,y^l,xy=yx,

x

logx+-=4,则x+y=()

y

A.2B.4C.6D.8

例6.（2022.北京昌平•二模）已知函数/（x）=ax2-4依+2（〃<0）,则关于X的不等式

/(%)>log2)的解集是(

A.(-oo,4)B.(0,1)C.(0,4)D.(4,+oo)

log1X,X>1,

例7.（2022•全国・江西师大附中模拟预测（文））已知函数〃尤）=<5则不等式

l-x2,x<1,

/(x)</(x-l)的解集为

例8.（2022•辽宁・东北育才学校二模）若函数f（x）满足：（1）马式。，”）且玉片々，

都有"“）一"为）<0；（2）f=/（西）-/（尤2），贝!l/(x)=,（写出满足这

x2—xl

些条件的一个函数即可）

例9.（2022•全国•高三专题练习）设函数/（x）=log,“x（根>0且加Wl）的图像经过点（3,1）.

（1）解关于x的方程尸（x）+（加一1）〃X）+1—/=0；

（2）不等式［l+/（x）］｛a-/（x）］〉0的解集是试求实数a的值.

【方法技巧与总结】

对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题

是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注

意对数的真数为正.

题型二：对数函数的图像

例10.（2022•山东潍坊•二模）已知函数/（x）=log“（x-b）（a>0且awl）的图像如图所示，

则以下说法正确的是（）

A.a+b<0B.ab<-lC.0<a*<1D.loga\b\>0

例11.（2022.江苏省高邮中学高三阶段练习）函数y=log”（x+3）-l（a>0且awl）的图象恒

过定点A,若点A在直线〃tr+〃y+l=0上，其中〃加>0,则'+'的最小值为（）

mn

A.3-2V2B.1+V?C.3+2后D.2+2V2

（多选题）例12.（2022•福建・莆田二中模拟预测）已知函数g（x）=log〃（x+%）（a>0且"1）

的图象如下所示.函数/（"=（01）"-武的图象上有两个不同的点4（%,%）,矶%,%），

则（）

A.a>l,k>2B.在R上是奇函数

C.在R上是单调递增函数D.当x20时，2/（^）</（2x）

-2x?+3x,-2Wx<0

例13.（2022・全国•高三专题练习）已知/（幻={1,若g（x）=|/（x）|-ox—a

In——,0<x<211

X+1

的图象与X轴有3个不同的交点，则实数。的取值范围为.

【方法技巧与总结】

研究和讨论题中所涉及的函数图像是解决有关函数问题最重要的思路和方法.图像问题

是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.

题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域））

例14.（2022•陕西・榆林市第十中学高二期中（文））函数、=1。82（4+3彳-/）的一个单调增

区间是（）

A.0B.CD.[|』

-21

ox—x—XV]

例15.（2022・天津.南开中学二模）已知函数"尤）=.‘4”一是R上的单调函数，则

logax-l,x>l

实数。的取值范围为（）

r1nrir

A.二,二B.y,—

|_42）142j

c-H]D.t，”

例16.（2022・浙江•模拟预测）己知实数。£（1,口），且log3a+log。3=log3b+log。4,则（）

A.y/a<b<aB.b<yfa<aC.y[a<a<bD.a<b<y/a

例17.（2022•全国•高三专题练习（理））函数段）=logQx（0VaVl）在上的最大值是（）

A.0B.1

C.2D.a

例18.（2022・重庆•模拟预测）若函数f（x）=log“（-3d+4"-l）有最小值，则实数。的取值

范围是（）

【方法技巧与总结】

研究和讨论题中所涉及的函数性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法.性质问题

是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.

题型四：对数函数中的恒成立问题

例19.（2022•北京•高三专题练习）若不等式V-log.xvO在（0,；）内恒成立，则。的取值范

围是（）

A.—«a<1B.—<Q<1C.0<aV—D.0<a<—

16161616

例20.（2022・江苏•高三专题练习）已知函数了二[；[12、”的值域为（0,',若不等式

1。8.9・4'）<108“（2，7）在工目1,2]上恒成立，则f的取值范围是（）

A.HB.,+°°^C.（—co,2）D.（0,2）

例21.（2022•浙江•高三阶段练习）已知函数"X）='手，g（x）=log2x+a,若存在百目3,4],

任意9e[4,8],使得了（xj2g（%）,则实数a的取值范围是.

例22.（2022・全国•高三专题练习）已知函数/（x）=x-Inx,已知实数a>0,若

/1（了）+g2*+111。20在（0,+8）上恒成立，求实数。的取值范围.

例23.（2022・全国•高三专题练习）已知函数/（x）=a*+logaX（a>0,"l）在[1,2]上的最大值

与最小值之和为6+log。2.

（1）求实数。的值；

（2）对于任意的xe[2,+8）,不等式V（x）-120恒成立，求实数上的取值范围.

例24.（2022・陕西安康•高三期末（文））已知函数〃x）=（logaX）2+21ogaX+3（a>0,qNl）.

（1）若/（3）=2,求a的值；

⑵若对任意的xe[8/2],/（x）>6恒成立，求。的取值范围.

例25.(2022•上海•高三专题练习)已知"x)=3-21og2X,g(x)=log2x.

(1)当xe[L4]时,求函数y=[/(x)+l]-g(x)的值域;

(2)对任意xe[2",2"+[,其中常数“eN,不等式/(d)./(«)＞依(x)恒成立，求实数左

的取值范围.

【方法技巧与总结】

(1)利用数形结合思想，结合对数函数的图像求解；

(2)分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题.

(3)涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，借助同构思想构造函数，利用

导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.

题型五：对数函数的综合问题

例26.(2022.河北•张家口市第一中学高三阶段练习)已知定义域为(。,+8)的单调递增函数

满足：Vxe(0,+oo)，有〃〃x)-lnx)=l,则方程/(%)=—x2+4x—2的解的个数为(

A.3B.2C.1D.0

例27.(2022・四川雅安•三模(文))设是定义在R上的偶函数，对任意xeR,都有

〃x+4)=〃x),且当xe[-2,0]时，/(X)=QJ-6.若在区间(一2,6]内关于尤的方程

”力-抽“(％+2)=0(。＞1)恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是().

A.(1,2)B.(2,+8)C.(1,而)D.(返,2)

例28.(2022.广西柳州.高一期中)己知a>b>0,且a+b=l,则()

A.sina>sinbB.—>^C.2a+2b>272D.lga+lgZ?=0

ab

例29.(2022•河北保定•二模)已知函数y=3》-2岁在(O,+e)上先增后减，函数y=43,-3#在

(。,+8)上先增后减.若log2(log3%)=log3(log2%)=a>0,log2(log4)=log4(log2%)=%，

log3(log4x,)=log4(log3x,)=c>0,则()

A.a<cB.b<aC.c<aD.a<b

例30.(2022.广东.三模)已知a,6eR,e是自然对数的底，若b+e〃=o+lna,则/的取值

b

可以是()

A.1B.2C.3D.4

例31.(2022・全国・高三专题练习)己知不是函数/(力=/广2+3-2的零点，则62-'。+1叫=

【过关测试】

一、单选题

1.(2022•辽宁辽阳•二模)区块链作为一种新型的技术，被应用于许多领域.在区块链技术中，

某个密码的长度设定为512B,则密码一共有25n种可能，为了破解该密码，在最坏的情况

下，需要进行2512次运算.现在有一台计算机，每秒能进行2.5x1014次运算，那么在最坏的情

况下，这台计算机破译该密码所需的时间大约为(参考数据lg22Q3,V10«1.58)()

A.3.16x10139sB.1.58x10139s

C.1.58X10140SD.3.16X10140S

1

2.(2022•山东•肥城市教学研究中心模拟预测)已知^~~=P,=n,其中相>0且〃?力1,

log”,3

〃>0且〃彳1,若2%一九=0,贝!JP的值为()

A.log32B.log23C.2D.3

3.(2022.河南安阳.模拟预测(文))已知正实数x,y,z满足3、=4)'=(2道『，贝U()

111111112112

A.—+—=—B.—+-=-C.—+—=—D.—+—=一

xyzyzxxyzxzy

4.(2022•河南•南阳中学高三阶段练习(文))已知函数/(x)=ln(2+2x)+ln(3—3x),则〃x)

()

A.是奇函数，且在(0,1)上单调递增

B.是奇函数，且在(0,1)上单调递减

C.是偶函数，且在(0,1)上单调递增

D.是偶函数，且在(0,1)上单调递减

5.(2022・全国•高三专题练习)函数/(x)=log〃(x-l)+2的图象恒过定点

A.(2,2)B.(2,1)C.(3,2)D.(2,0)

6.(2022•安徽六安•一模(文))设函数〃x)=2-&+4,g(x)=ln(ax2-4x+l),若对任

意的％wR,都存在实数巧，使得/a)=g(/)成立，则实数。的取值范围为()

A.(F,4]B.(0,4]C.[0,4]D.(0,2]

7.(2022・湖北・荆门市龙泉中学二模)设。>0且。力1,若gk)g“x>sinx+cosx对xe(0,£)

恒成立，则a的取值范围是()

TTTTTTJTTT

A.(0,-)B.(0,-]C.(-,l)u(l,-)D.[-,1)

44424

8.(2022・浙江•模拟预测)己知实数。/£(l,+oo),>log3a+logb3=log3b+loga4,则()

A.y[a<b<aB.b<y/a<aC.y/a<a<bD.a<b<y[a

二、多选题

9.（2022.重庆市天星桥中学一模）已知。>0力>0,且a+b=l,则下列结论正确的是（）

A.工+工的最小值是4

ab

B.浦+二的最小值是2

ab

C.2"+2"的最小值是2形

D.Iog2<2+log2b的最小值是-2

10.（2022.广东汕头•二模）设a,6,c都是正数，且4。=6〃=9。，则下列结论正确的是（）

121

A.ab+bc-2acB.ab+bc-acC.4*-9b-4a-9CD.-=------

cba

H.（2022.河北.高三阶段练习）下列函数中，存在实数。，使函数”同为奇函数的是（）

A./⑴=lg（x++〃）B./（x）=x2+ax

2

C./（%）=■：]-2D./（%）=幻11（蜻+〃）一5

12.（2022.江苏・南京师大附中高三开学考试）当时，4'<log〃无，则”的值可以为

（）

A.正B.正C.逅D.72

223

三、填空题

13.（2022・天津・二模）已知Iog4（x+4y）=l+log27^,贝！Jx+2y的最小值为.

14.（2022・全国•高三专题练习）已知》2]-3+1nx=3,贝!je3-*+lnx=.

4'-1r<l

15.（2022.河南•模拟预测（文））已知函数〃X）=,'若l</（a）V2,则实数。的

log2%,尤>1