分式方程 -2025年浙教版九年级中考数学一轮复习讲义

浙教版中考数学第一轮专题复习讲义

第二单元方程(组)与不等式(组)

《第7讲分式方程》

【知识梳理】

1.分式方程的有关概念

⑴分式方程:只含分式，或分式和整式，并且分母里含有未知数的方程叫做分式方程.

(2)增根:使分式方程的分母为一^的根叫做增根.

2.分式方程的解法

去分母

(1)解分式方程的基本思想:把分式方程转化为整式方程，即分式方程一整式方程.

(2)解法:方程两边同乘各分式的最简公分母,约去分母，化为整式方程，再求根验根.

3.分式方程的应用

(1)用分式方程解决实际问题，和用整式方程解决实际问题一样，先要弄清题意，再设未知数、

列方程并解答.

(2)要特别注意解完分式方程后需验根.

【考题探究】

类型一分式方程的解法

【例1][2024•浙江]若3=1,则％=3.

%—1

变式1解方程:(1)”=

解:去分母，得x(2x—l)=(x+l)(2x—2),

去括号,得2x2—x=2x2—2.

移项、合并同类项，得一x=-2.

两边同除以一1，得％=2.

经检验，x=2是原分式方程的斛.

解:去分母，＜(x+l)2-4=x2-l,

解得x—1.

经检验X=1是增根，

，原分式方程无解.

(3)[2024•福建—+1=二.

尤+2x—2

解:去分母，得3(x-2)+(x+2)(x—2)=x(x+2).

去括号,得3x—6+x2-4=x2+2x.

移项、合并同类项，得x=10.

经检验，％=10是原分式方程的解.

类型二分式方程的无解、增根、特殊解问题

【例2】若关于x的分式方程工+匹=2机有增根，则机的值为1.

x—22—x-----

【解析】去分母，得X—2»1=2»Z(X—2).①

•.,原方程有增根，.*.x—2=0,即x=2.

把x=2代人①，得2—2m=0,斛得m=l.

变式2—1[2024•黑龙江]已知关于x的分式方程々一2=厂一无解，则上的值为(A)

X~33~X

A.2或一1B.-2

C.2或1D.-1

【解析】去分母，得区一2(工-3)=-3.

去括号，得fee—2x+6=-3.

移项、合并同类项，得(左一2)*=—9.

•.•关于x的分式方程无将，

•\x=3,或k—2=0,

斛得k=—l或k=2.

变式2—2[2024•齐齐哈尔]如果关于x的分式方程1—黑=0的解是负数，那么实数机的

取值范围是(A)

A.m<1且m^QB.m<1

C.m>1D.m<1且1

【解析】--^=0,

Xx+1

去分母，得x+1—m％=0.

移项，得X—mx=-1.

合并同类项，得(1—M)X=-1,

1

解得％=——.

m—1

1tn

;关于X的分式方程;一六=0的斛是负教，

1

且--，

*.m—K0m-lR—1

斛得m<l且加制.

类型三分式方程的应用

【例3][2024•绥化]一艘货轮在静水中的航速为40km/h,它以该航速沿江顺流航行120km

所用时间，与以该航速沿江逆流航行80km所用时间相等，则江水的流速为(D)

A.5km/hB.6km/h

C.7km/hD.8km/h

【解析】设江水的流速为x(km/h),则沿江顺流航行的速度为(40+x)km/h,沿江逆流航行的

速度为(40—x)km/h,

解得x=8,

/.江水的流速为8km/h.

变式3—1某校购买了一批篮球和足球.已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5

000元,购买篮球用了4000元,篮球单价比足球贵30元.根据题意可列方程部=--30,

2xx

则方程中x表示(D)

A.足球的单价B.篮球的单价

C.足球的数量D.篮球的数量

变式3—2照相机成像应用了一个重要原理，用公式5=1+初表示，其中/表示照相机镜

头的焦距，M表示物体到镜头的距离，。表示胶片(像)到镜头的距离.已知方0,则M=(C)

A.此

f-v

C券

【解析】初，i

变式3—3[2024•扬州]为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A,3两种机器，A型机

器比3型机器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300

吨垃圾所用天数相等方型机器每天处理多少吨垃圾?

解:设B型机器每天处理x吨近圾，则A型机器每天处理(x+40)吨殳圾,

由题意，得=丑£,解得x=60.

x+40x

经检验，x=60是所列方程的解，且符合题意.

答:5型机器每天处理60吨垃虬

【例4][2023•嘉兴、舟山]小丁和小迪分别解方程工一==1,过程如下:

%—22—%

小丁：

解:去分母，得X—(X—3)=x—2.

去括号，得x—x+3=x—2.

合并同类项，得3=L2.

解得，x=5,

原方程的解是x=5.

小迪：

解:去分母，得x+(x—3)=1.

去括号，得x+x—3=1.

合并同类项，得2x—3=1.

解得，x=2.

经检验，x=2是方程的增根，原方程无解.

你认为小丁和小迪的解法是否正确?若正确，请在框内打“7”；若错误，请在框内打“x

并写出正确的解答过程.

解:小丁:X；小迪:X.

正确将答过程如下：

去分母，得x+x—3=x—2.

移项、合并同类项，得x=l.

经检■验，X—1是原分式方程的斛.

【课后作业】

1

1.[2023•株洲]将关于x的分式方程擀去分母可得（A）

2x%—1

A.3x_3=2xB.3x—1=2%

C.3x—1=xD.3x—3=x

2x

2.小明解分式方程1的过程如下:

3x+3

解:去分母，得3=2x—（3x+3）.①

去括号，得3=2x—3x+3.②

移项，合并同类项，得一x=6.③

系数化为1，得%=-6.④

以上步骤中，开始出错的一步是（B)

A.①B.②

C.③D.④

2

3.[2024•泸州]分式方程—-3=的解是（D

x~22~x)

A.x_7B.x=一1

3

5

D.x=3

3

4.若x=T是方程士一的解,贝物的值为（A)

A.6B.16

C.3D.l3

5.[2024•达州]甲、乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先

加工30分钟后，甲开始加工.甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同

时完成.求乙每小时加工零件多少个.设乙每小时加工x个零件，所列方程为(D)

120_120

A.-=30B.—-—=30

,1.2XXX1.2%

120120_30120120_30

C.D.

1.2%X60X1.2%60

6.[2024•新疆]某校九年级学生去距学校20km的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发，5

min后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达,已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍，设甲车

的速度为x(km/h),根据题意可列方程(D)

20—20_20_

A.-­=5口2°

*1.2%XX1.2%

2020_1ri?20_1

C.D.。

,1.2X%12X1.2%12

【解析】设甲车的速度为x(km/h),则乙车的速度为1.2x(km/h),

L人上,。2020_5。2020_1

由题意，仔—一--------，即—---------.

%1.2%601%1.2%12

7.如果关于x的方程"=1的解为正数，那么机的取值范围是(D)

%—1

A.m>—1

B.m>一1且加=0

C.m<—1

D.m<—1且加W—2

【解析】去分母，<2x+m=x—\,

斛得x=—1—m.

又；方程的斛为正教，且存1,

f—1—m>0,fm<—1,

•••斛得

1―1—mW1,Im#=—2,

的取值范囹是m<—l且m^—2.

8.[2024•北京]方程一^+工=0的解为x=-l.

【解析】-^-+-=0,

2x+3x

去分母，得x+(2x+3)=0,

则3%+3=0,

斛得X=—1.

经检验，X=-1是原方程的斛.

9.［2023•河北］根据表中的数据，写出。的值为一|_,9的值为-2.

吉果\

2n

代数式

3%+17b

2%+1a1

X

【解析】a=空手5

2

由题意，得四二

n

解得n=­l.

经检验，n=—l是分式方程的解,

J8=3义(-1)+1=-2.

1。.定义一种新运算:对于任意的非零实数a,b,⑶三+今若(x+1)凶尸子x的值

为上一

【解析】由题意，得一-+-=2%+1

%+1Xx

去分母，得x+x+l=(2x+l)(x+l),

解得Xl=0，X2=一

经检验，x=0是原分式方程的增根,

x=-］是原分式।方程的斛,

1

•••原分式j方程的斛为x=-

LU2023.巴中］关于x的分式方程智+±=3有增根,则〃-1

【角星析】方程两边同乘(X—2),得x+机一l=3(x—2).

由题意得，％=2是该整式方程的解,

••.2+帆一1=0,解得m=-l.

12.［2。24.达州］若关于x的方程三一寄=1无解,则左的值为2或一1・

【解析】去分母，得3—(区一1)="—2,

斛得尸工.

①当x=2时，原分式方程分母为0,方程无斛,

即言^=2，，4=2时方程无解；

②当左+1=0,即左=—1时，方程无斛.

综上所述，k的值为2或一1.

13.解下列分式方程：

(1)[2024•温州模拟]3=

2%—15

解:去分母，得5x+15=6x—3,

斛得％=18.

经检验，x=18是分式方程的斛.

(2)[2024•陕西]白+工=1.

解:去分母，得2+x(x+l)=(x+l)(x—l),

斛得x=—3.

经检■验，x=-3是分式方程的斛.

14.[2023•扬州]甲、乙两名学生到离校2.4km的“人民公园”参加志愿者活动，甲同学步行,

乙同学骑自行车，骑自行车速度是步行速度的4倍，甲出发30min后乙同学出发，两名同学

同时到达，求乙同学骑自行车的速度.

解:设甲同学步行的速度为x(km/h),则乙同学骑自行车的速度为4x(km/h).

由题国'何丁一获=Z,

斛得X—3.6.

经检睑，x=3.6是所列方程的解，且符合题意，

.\4x=4X3.6=14.4.

答:乙同学骑自行车的速度为14.4km/h.

15.[2024•威海]某公司为节能环保，安装了一批A型节能灯，一年用电16000千瓦•时.后

购进一批相同数量的3型节能灯，一年用电9600千瓦•时若一盏A型节能灯每年的用电量

比一盏B型节能灯每年用电量的2倍少32千瓦•时，求一盏A型节能灯每年的用电量.

解:设一盏5型节能灯每年的用电量为x千瓦•时，则一盏A型节能灯每年的用电量为(2x—

32)千3•时,

根据题意，得生侬=咏，解得*=96.

ZX—32X

经检睑，x=96是所列方程的斛，且符合题意，

•\2x-32=2X96-32=160.

答:一盏