二次函数（练习）-2025年中考数学一轮复习（全国版）

第13讲二次函数［2大考点12大题型】

【题型1由二次函数解析式及图象判断顶点坐标、对称轴及增减性】

1.(2024・四川乐山•中考真题)己知二次函数y=/—2x(—1wxwt—i),当工=一1时，函数取得最大值；

当工=1时，函数取得最小值，则f的取值范围是()

A.0<t<2B.0<t<4C.2<t<4D.t>2

【答案】C

【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识.熟练掌握二次函数的图象与性质是

解题的关键.

由y=/-2X=(X-1)2-1,可知图象开口向上，对称轴为直线x=l,顶点坐标为(1,-1),当x=-l时，

y=3,即(―1,3)关于对称轴对称的点坐标为(3,3),由当x=—1时，函数取得最大值；当x=l时，函数

取得最小值，可得lWt-1W3,计算求解，然后作答即可.

【详解】解：,”=久2-2%=(%—1)2-1,

・•.图象开口向上，对称轴为直线为=1,顶点坐标为(1,-1),

当％=-1时，y=3,

■.(-1,3)关于对称轴对称的点坐标为(3,3),

•.•当x=-1时，函数取得最大值；当x=l时，函数取得最小值，

・・.l<t-1<3,

解得，2<t<4,

故选：C.

2.(2024・福建•中考真题)己知二次函数y=/-2ax+a(a40)的图象经过府,％),B(3a,y2)两点，贝U下

列判断正确的是()

A.可以找到一个实数a,使得yi>aB.无论实数a取什么值，都有%>a

C.可以找到一个实数a,使得m<0D.无论实数a取什么值，都有丫2<。

【答案】c

【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据题意得到二次函数开口向上，且对称轴为％=-二券=a,顶

点坐标为(口以一十)，再分情况讨论，当Q>0时，当aVO时，yi，的大小情况，即可解题.

【详解】解：,・,二次函数解析式为y=%2_2a%+a(awo),

二二次函数开口向上，且对称轴为久=-二六=处顶点坐标为(见。-小)，

当第=今时，月=a2+a=a—,

当Q>0时，OV^Va,

2

:.a>y1>a—af

当aVO时，a<^<0,

2,

・•・a—a<y1<af

故A、B错误，不符合题意；

•・•当a>0时，0<aV2aV3a,

由二次函数对称性可知，y2>a>0,

当aVO时，3a<2a<a<0,由二次函数对称性可知，y2>不一定大于0,

故C正确符合题意；D错误，不符合题意；

故选：C.

3.(2024•浙江衢州•中考真题)已知二次函数y=。(%-一。0),当一时，y的最小值为一4,

则a的值为()

A.g或4B.裁一：C.T或4D.一黑4

【答案】D

【分析】分两种情况讨论，并且利用二次函数的性质即可解答.

【详解】解：二次函数y=a(%-l)2-a(aw0)的对称轴为：直线％=1,

(1)当。>0时，当一1<工41时，y随汽的增大而减小，当y随工的增大而增大，

・•・当％=1时，y取得最小值，

•••y=a(l—I)2—a=—4,

・•・a=4；

(2)当。<0时，当一时，y随％的增大而增大，当y随工的增大而减小,

•••当％=4时，y取得最小值，

・•・y=a(4—I)2—a=-4,

i

Aa=­•

故选：D.

【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质以及分类讨论思想是解题的关键.

4.(2024・四川宜宾・中考真题)已知抛物线丫=。%2+5%+。的图象与、轴交于点/(一2,0)、8(4,0),若以45

为直径的圆与在x轴下方的抛物线有交点，则。的取值范围是()

1111

A.a>-B.a>-C.0<a<—D.0<a<—

【答案】A

【分析】根据题意，设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-4),进而求得顶点的坐标，结合图形可知当顶点

纵坐标小于或等于-3满足题意，即可求解.

【详解】解：：抛物线y=a%2+6%+c的图象与X轴交于点4(一2,0)、5(4,0),

设抛物线的解析式为y=a(x+2)(%-4)

•••y=ax2—2ax—8a=a(x—l)2—9a

顶点坐标为(1,一9a),

•••4B=6,以4B为直径的圆与在x轴下方的抛物线有交点，则圆的半径为3,如图，

*'•-9aW—3

解得a*

故选：A

【点睛】本题考查了圆的性质，二次函数图象的性质，求得抛物线的顶点纵坐标的范围是解题的关键.

5.(2024・湖南娄底•中考真题)用数形结合等思想方法确定二次函数y=x2+2的图象与反比例函数y=|的

图象的交点的横坐标X。所在的范围是()

111133

A.0<x7B.-<XQ<-C.-<XQ<-D.-<X<1

044ZZ44-0

【答案】D

【分析】在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象，来判断出交点横坐标X。所在的范围.

【详解】解：在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象，如下图：

当孙=9时，将其分别代入y=/+2与y=；计算得；

4-X

9s4128

丫1=.+2=m及=,=§，

8415c

・•.y2f一4有

・・・此时反比例函数图象在二次函数图象的上方，

3

q

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数和反比例函数的图象，解题的关键是：准确画出函数的图象，再通过关键点

得出答案.

6.（2024・四川德阳•中考真题）已知函数y=|（x—5）2：葭3久W8）的图象如图所示，若直线尸近一3

与该图象有公共点，则人的最大值与最小值的和为

【分析】根据题意可知，当直线经过点（1,12）时，直线y=fcc-3与该图象有公共点；当直线与抛物线只有

一个交点时，（x-5）2+8=h-3,可得出发的最大值是15,最小值是2,即可得它们的和为17.

【详解】解：当直线经过点（1,12）时，12=h3,解得Q15；

当直线与抛物线只有一个交点时，（x-5）2+8=foc-3,

整理得N-（10+左）x+36=0,

.•.10+仁士12,解得仁2或Q-22（舍去），

•次的最大值是15,最小值是2,

..k的最大值与最小值的和为15+2=17.

故答案为：17.

【点睛】本题考查分段函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，结合图象求出人的最大值和最

小值是解题的关键.

7.（2024・福建•中考真题）己知抛物线y=a/-2a久+6（a>0）经过a（27i+3,yi）,B（n-Ly2）两点，若4B分

别位于抛物线对称轴的两侧，且月<丫2,则n的取值范围是.

【答案】一l<n<0

【分析】根据题意，可得抛物线对称轴为直线x=l,开口向上，根据已知条件得出点4在对称轴的右侧，且

月<及，进而得出不等式，解不等式即可求解.

【详解】解：=a%2-2ax+b,a>0

••・抛物线的对称轴为直线久=-姜=1,开口向上，

・・,/（2九+3,y。8（九-1》2）分别位于抛物线对称轴的两侧，

假设点B在对称轴的右侧，则几-1>1,解得几>2,

.,.2n+3—（n—1）=n+4>0

.必点在B点的右侧，与假设矛盾，则点力在对称轴的右侧，

；2n+3>1

"In-1<1

解得：-1<71<2

又可1<、2，

.•­|(2n+3)-l|<|l-(n-l)|

：.2n+2<2—n.

解得：n<0

1<n<0,

故答案为：-l<n<0.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

8.(2024•江苏盐城•中考真题)若点在二次函数y=/+2久+2的图象上，且点2到〉轴的距离小于2,

则71的取值范围是.

【答案】lWn<10

【分析】先判断-2<小<2,再根据二次函数的性质可得：n=m2+2m+2=(m+l)2+1,再利用二次函

数的性质求解〃的范围即可.

【详解】解：，•,点P到y轴的距离小于2,

•1.—2<m<2,

•点P(m,n)在二次函数y=x2+2x+2的图象上，

•••n=m2+2m+2=(m+l)2+1,

•1•当m=-1时，ri有最小值为1.

当爪=2时，n=(2+l)2+l=10,

•1•的取值范围为1<n<10.

故答案为：lWn<10

【点睛】本题考查的是二次函数的性质，掌握“二次函数的增减性”是解本题的关键.

9.(2024•内蒙古呼和浩特•中考真题)在平面直角坐标系中，点C和点。的坐标分别为(一1,一1)和(4,一1),

抛物线y=mx2-2mx+2(m*0)与线段CD只有一个公共点，则小的取值范围是.

【答案】m=3或一1Vm4一9

【分析】根据抛物线求出对称轴久=1,y轴的交点坐标为(0,2),顶点坐标为(1,2-血)，直线的表达式

y=-l,分两种情况讨论：当巾>0时，当巾<0时，利用抛物线的性质可知，当|a|越大，则抛物线的开口

越小，即可求解.

【详解】解：抛物线的对称轴为：％=-亲=1，当％=0时，y=2,故抛物线与y轴的交点坐标为（0,2）,

顶点坐标为（1,2-血），直线CZ）的表达式y=-1,

当血>0时，且抛物线过点。（4,一1）时，

16m—8m+2=—1,解得加=一三（舍去），

O

当m>0,抛物线y=mx2-2mx+2（m片0）与线段CO只有一个公共点时，

即顶点在直线CD上，贝U2—m=-1,解得爪=3,

当m<0时，且抛物线过点。（4,一1）时，

3

16m—8m+2=-1,解得m

o

当抛物线过点（-1,-1）时，

m+2m+2=—1

解得，m=-\

由抛物线的性质可知，当越大，则抛物线的开口越小，且抛物线与线段只有一个公共点，

-1<m<一|,

O

,2

综上所述，血的取值范围为或一<血工一鼻，

m=31O

故答案为巾=3或一1<巾W

O

【点睛】本题考查了二次函数的性质，理解对称轴的含义，熟练掌握二次函数的性质，巧妙运用分类讨论

思想解决问题是解题的关键.

【题型2二次函数图象与系数的关系】

1.（2024・西藏•中考真题）如图，已知二次函数y=a/+/）x+c（a#0）的图象与x轴相交于点4（—3,0）,B

（1,0）,则下列结论正确的个数是（）

①abc<0

②36+2c>0

③对任意实数加，a*+bzn2a-b均成立

④若点（-4,%）,a,〉2）在抛物线上，则月<及

C.3个D.4个

【答案】B

【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子的符号，由图象可得：抛物线

开口向上，对称轴在y轴左侧，交y轴于负半轴，即可得出a>0,%=-£<0,c<0,从而求出6>0,即

可判断①；根据二次函数与％轴的交点得出二次函数的对称轴为直线％=要=-1,a+b+c=0①，

9a—36+c=0②，计算即可判断②；根据当久=-1时，二次函数有最小值a—b+c,即可判断③；根据

|-4-(-1)|>1-4即可判断④；熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键.

【详解】解：由图象可得：抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，交y轴于负半轴，

.,.b>0,

：.abc<0,故①正确；

,•二次函数y=a/+b%+c(a。0)的图象与x轴相交于点4(-3,0),8(1,0),

•••二次函数的对称轴为直线％=*=-1,a+b+c=0®,9a-3b+c=0②,

由①)+②)得：10a—2b+2c=0,

b(

,・"=一五=一1，

・•・b=2a,

••・5b—2b+2c=0,即3力+2c=0,故②错误;

当欠=一1时，二次函数有最小值。一力+c,

由图象可得，对任意实数加，am2+bm4-c>a-b+c,

・•・对任意实数冽，am?+加之q-b均成立，故③正确；

,••点(―4,yD，(，山)在抛物线上，且|一4一(—1)|>|—1—1|,

・.・力>、2,故④错误;

综上所述，正确的有①③，共2个，

故选：B.

2.（2024•黑龙江绥化•中考真题）二次函数丫=口壮+”a大0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x=

-1,则下列结论中：

①?>0②am?+。根3a-b（加为任意实数）③3a+c<1

④若M（xi，y）、N（%2，y）是抛物线上不同的两个点，则5+久23-3.其中正确的结论有（）

【答案】B

【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的开口方向，对称轴可得a<0,b=2a<0即可判

断①，%=-1时，函数值最大，即可判断②，根据x=1时，y<0,即可判断③，根据对称性可得巧+%2=-2

即可判段④，即可求解.

【详解】解：•••二次函数图象开口向下

.,.a<0

・•,对称轴为直线X=-l,

b

.5=一五=一d1

:.b=2a<0

,•,抛物线与y轴交于正半轴，贝Ue>0

4<o,故①错误，

••・抛物线开口向下，对称轴为直线刀=-1,

.,・当》=-1时,y取得最大值，最大值为a-b4-c

.,.am2+bm+c<a-b+c（m为任意实数）

2

即am+bm<a-bf故②正确；

vx=1时，y<0

即Q+b+cV0

'.'b=2a

.,.a+2。+cV0

即3a+c<0

••-3a+c<1,故③正确；

(久i，y)、N(%2，y)是抛物线上不同的两个点，

；.M,N关于x=-1对称，

.•.牛=-1即省+型=—2故④不正确

正确的有②③

故选:B

3.(2024•湖北十堰•中考真题)抛物线y=a/+力％+c(a,b,c为常数，且经过点(-1,0)和

(m,0),且lVmV2,当xV-1时，y随着x的增大而减小.下列结论：

①abc>0；

②a+b>0；

③若点A(-3,yi),点B(3,y2)都在抛物线上，则为〈丫2；

(4)a(m—1)+b=0；

⑤若若c<—1,贝必2—4ac<4a.

其中结论错误的是.(只填写序号)

【答案】③⑤.

【详解】试题分析：如图，•・・抛物线开口向上，・・.a>0,•・・抛物线的对称轴在y轴的右侧，・♦・b<0,•.•抛物线与

y轴的交点在x轴上方，・♦・c<0,.・.abc>0,所以①的结论正确；

,•,抛物线过点(-1,0)和(m,0),且.•.a+b>o,所以②的结论正确；

•・•点A(-3,%)到对称轴的距离比点B(3,及)到对称轴的距离远，.。1〉及，所以③的结论错误；

,・,抛物线过点(-L0),(m,0),/.a-b+c=O,am2+bm+c=0,.'.am2—a+bm+fo=0,

a(m+l)(m—1)+b(jn+1)=0,1)+6=0,所以④的结论正确；

•••考产<c,而cW—1,.•.叫F<—1,.小2—4ac>4a,所以⑤的结论错误.

故答案为③⑤.

4.（2024•湖南岳阳•中考真题）如图，已知抛物线y=oN+6x+c与x轴交于48两点，顶点C的纵坐标为

-2,现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线尸a/N+b/x+c/,则下列结论正确的是（写出所

有正确结论的序号）

①6>0；②。-6+c<0；③阴影部分的面积为4；④若c=-l,则〃=4a.

【答案】③④/④③

【分析】①首先根据抛物线开口向上，可得。>0;然后根据对称轴为产-5>0,可得6<0,据此判断即

可.②根据抛物线产如4及+c的图象，可得--1时，了>0,即。-6+c>0,据此判断即可.③首先判断

出阴影部分是一个平行四边形，然后根据平行四边形的面积=底、高，求出阴影部分的面积是多少即可.④

根据函数的最小值是否雪=-2,判断出c=-1时，°、b的关系即可.

4a

【详解】解：•••抛物线开口向上,

・•.4>0,又・对称轴为X=2~a7~>0,

・・・bV0,

・•.结论①不正确；

•・x=-1时，>>0,

••・〃-6+。>0,

结论②不正确；

•・・抛物线向右平移了2个单位，

・•・平行四边形的底是2,

■：^}^y=ax2+bx+c的最小值是尸-2,

二平行四边形的高是2,

・・・阴影部分的面积是：2x2=4,

.••结论③正确；

■•■b2=4a,

二结论④正确.

故答案为：③④.

【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换；二次函数图象与系数的关系，解题的关键是利用数形结合的

思想进行求解.

5.（2024・山东济南•中考真题）二次函数y=a久2+bx+。（.<0）图象与x轴的交点/、3的横坐标分别为

-3,1,与y轴交于点C,下面四个结论：

①16a-46+c<0；②若P（-5,%），Q（|，》2）是函数图象上的两点，则切>g；③。=-gc；④若AABC

是等腰三角形，则6=-2乎.其中正确的有（请将结论正确的序号全部填上）

【答案】①③.

【详解】解：①「aVO,••.抛物线开口向下，;图象与x轴的交点/、8的横坐标分别为-3,1,.•.当x=-4

时，yVO,即16a-46+cVO；

故①正确；

②•.•图象与X轴的交点48的横坐标分别为-3,1,.•.抛物线的对称轴是：X=-1,"P（-5,力），Q（|,

外），-1-（-5）=4,|-（-1）=3.5,由对称性得：（-4.5,乃）与。（|,小）是对称点，•,•则为</；

故②不正确；

③,.,一^=-1,-'-b=2a,当x=l时，y=0,即a+b+c=O,3a+c=0,a=-1c；

④要使A4C8为等腰三角形，则必须保证AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC,当AB=BC=4时，）。=1,ABOC

为直角三角形，又的长即为|c|,."2=16-9=7,,由抛物线与y轴的交点在》轴的正半轴上，

与6=2a、a+6+c=0联立组成解方程组，解得6=-当；

同理当N8=/C=4时，•MOI,ZUOC为直角三角形，又rOC的长即为图，.•・/=16-1=15,•.•由抛物线与y

轴的交点在V轴的正半轴上，”=小，与b=2a、a+6+c=0联立组成解方程组，解得6=-咿；

同理当4c=2C时，在A4OC中，AC2=\+c2,在△3OC中8c2=c?+9,•.•/C=BC,；.1+C2=C2+9,此方程无实数

解.

经解方程组可知有两个b值满足条件.

故⑤错误.

综上所述，正确的结论是①③.

故答案为①③.

点睛：本题考查了等腰三角形的判定、方程组的解、抛物线与坐标轴的交点、二次函数丫=。*2+"+。的

图象与系数的关系：当。<0,抛物线开口向下；抛物线的对称轴为直线产-《；抛物线与y轴的交点坐标

为（0,C）,与X轴的交点为（X/,0）、（必，0）.

【题型3抛物线的平移、旋转、轴对称】

1.（2024•山东济南•中考真题）抛物线y=-无2+2小^一爪2+2与》轴交于点c,过点C作直线/垂直于y轴,

将抛物线在y轴右侧的部分沿直线/翻折，其余部分保持不变，组成图形G,点M（m-l,yD，N（m+l,y2）

为图形G上两点，若月<>2，则加的取值范围是（）

A.爪<-1或爪〉0B.—1<m<|C.0<m<V2D.-1<m<1

【答案】D

【分析】求出抛物线的对称轴、C点坐标以及当％=加-1和％=优+1时的函数值，再根据"?-1<机+1,判断出V

点在N点左侧，此时分类讨论：第一种情况，当N点在y轴左侧时，第二种情况，当M点在y轴的右侧时，

第三种情况，当y轴在M、N点之间时，来讨论，结合图像即可求解.

【详解】抛物线解析式y=-X2+2皿一S2+2变形为：y-2-（x-m）2,

即抛物线对称轴为x=m,

当X=7H-1时,有y=2-（ZH-1-771）2=1,

当x=»?+l时，有y=2-（m+l-m）2=1,

设（吁1,1）为/点，（心+1,1）为3点，

即点与8（加+1,1）关于抛物线对称轴对称，

当x=0时，有丫=2-（0-m）2=2-62,

・•.C点坐标为（0,2—小）,

当X=/M时，有y=2-（m-zn）2=2,

二抛物线顶点坐标为0,2),

•・・直线/1»轴，

二直线I为y=2-m2,

点在N点左侧，

此时分情况讨论：

第一种情况，当N点在丁轴左侧时，如图,

由图可知此时加、N点分别对应/、B点,即有yi=y2=l,

此时不符合题意；

第二种情况，当M点在y轴的右侧时，如图，

・•.此时不符合题意；

第三种情况，当y轴在M、N点之间时，如图,

由图可知此时M、N点满足乃C及，

••.此时符合题意；

此时由图可知：m-l<O<m+1,

解得

综上所述：加的取值范围为：-1<小<1,

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、翻折的性质，注重数形结合是解答本题的关键.

2.（2024・四川广元・中考真题）将二次函数y=-/+2久+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得

新函数的图象如图所示.当直线y=x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，6的值为（）

A.-^-或-3B.-^-或—3C.彳或-3D.彳或-3

【答案】A

【分析】由二次函数解析式y=-/+2%+3,可求与x轴的两个交点/、B,直线y=x+b表示的图像可看

做是直线y=x的图像平移b个单位长度得到，再结合所给函数图像可知，当平移直线y=x经过2点时，恰

与所给图像有三个交点，故将8点坐标代入即可求解；当平移直线y=x经过C点时，恰与所给图像有三个

交点，即直线y=%+b与函数丫=一%2+2%+3关于工轴对称的函数、=久2一2%-3图像只有一个交点，即联

立解析式得到的方程的判别式等于0,即可求解.

【详解】解：由y=—炉+2%+3知，当y=0时，即

—%2+2%+3=0

解得：%i=-l,x2=3

・・・4(-1,0),8(3,0)

作函数丫=式的图像并平移至过点6时，恰与所给图像有三个交点，此时有：

0=3+6

・•・b=-3

平移图像至过点。时，恰与所给图像有三个交点，即当-14%43时，只有一个交点

当一14％W3的函数图像由y=-/+2%+3的图像关于x轴对称得到

・•・当一1<x<3时对应的解析式为y=x2-2x-3

即｛。:骂人3,整理得：/一3比一3-6=。

・•"=(-3)2-4xlx(-3-6)=21+4h=0

21

1.b=-----

4

综上所述b=-3或一2

故答案是：A.

4/By/

Ai/7T；~-41-/567

【点睛】本题主要考查二次函数翻折变化、交点个数问题、函数图像平移的性质、二次函数与一元二次方

程的关系等知识，属于函数综合题，中等难度.解题的关键是数形结合思想的运用，从而找到满足题意的

条件.

3.(2024•广西桂林•中考真题)在平面直角坐标系中，将抛物线y=N+2%+3绕着它与y轴的交点旋转

180°,所得抛物线的解析式是().

A.y——(%+I)2+2B.y=-(x-1)2+4

C.y=-(x—l)2+2D.y——(x+l)2+4

【答案】B

【分析】把抛物线y=x2+2x+3整理成顶点式形式并求出顶点坐标，再求出与y轴的交点坐标，然后求出所

得抛物线的顶点，再利用顶点式形式写出解析式即可.

2

【详解】解：-.-y=x+2x+3=(x+1)2+2,

••・原抛物线的顶点坐标为(-1,2),

令x=0,贝！|y=3,

••・抛物线与y轴的交点坐标为(0，3),

•••抛物线绕与y轴的交点旋转180°,

•••所得抛物线的顶点坐标为(1,4),

二所得抛物线的解析式为：y=-x?+2x+3[或y=-(x-1)2+4].

故选：B.

【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化可以使求解更简便.

4.(2024・四川广安・中考真题)如图，把抛物线产$2平移得到抛物线加，抛物线”经过点/(-6,0)和

原点。(0,0),它的顶点为尸，它的对称轴与抛物线y=|%2交于点0,则图中阴影部分的面积为.

【答案】y

【分析】根据点。与点4的坐标求出平移后的抛物线的对称轴，然后求出点P的坐标，过点尸作轴

于点/，根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于四边形NPMO的面积，然后求解即可.

【详解】过点尸作PMLy轴于点设P0交x轴于点N,

y,

\A\WN'<J\O-x

•••抛物线平移后经过原点。和点/(-6,0),

・•・平移后的抛物线对称轴为=-3.

••・平移后的二次函数解析式为：后(x+3)2+人

1Q

将(-6,0)代入得出：0=5(-6+3)2+h,解得：/!=--.

Q

・•・点尸的坐标是(—3,--).

根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积，

...S=3x|-||=Y-

故答案为：

【点睛】本题考查了二次函数的问题，根据二次函数的性质求出平移后的抛物线的对称轴的解析式，并对

阴影部分的面积进行转换是解题的关键.

5.(2024・甘肃天水•中考真题)如图，一段抛物线y=-x(x-1)(0<x<l)记为mi，它与x轴交点为0、

A〉顶点为Pi；将两绕点Ai旋转180。得m2，交x轴于点A2,顶点为P2;将m2绕点A2旋转180。得n^,

交x轴于点A3,顶点为P3,…，如此进行下去，直至得mi。，顶点为P10,则Pi。的坐标为.

【答案】(9.5,-0.25)

【详解】试题分析：y=-x(x-1)(0<x<l),

0Al=A]Az=l,P2P4=P1P3=2r

P2(1.5,-0.25)

Pio的横坐标是L5+2x[(10-2)-2]=9.5,

Pio的纵坐标是-025,

故答案为(9.5,-0.25).

考点：1、规律题；2、二次函数图象的几何变换

6.(2024•湖南湘西•中考真题)已知二次函数y=-N+4x+5及一次函数y=-x+6,将该二次函数在x轴上

方的图象沿X轴翻折到X轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象(如图所示)，当直线v=-x+b

与新图象有4个交点时，6的取值范围是.

【答案】

【分析】解方程--+以+5=0得/(-1,0),3(5,0),再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为

y=(%+1)(%-5),即y—x2-4x-5(-l<x<5),然后求出直线y=-x+b经过点/(-1,0)时6的值和

当直线>=-x+6与抛物线y=N-4x-5(-l<x<5)有唯一公共点时6的值，从而得到当直线y=-x+6与

新图象有4个交点时，b的取值范围.

当y=0时，-x?+4x+5=0,解得x/=-1,x2=5,则/(-1,0),5(5,0),

将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y=(x+l)(x-5),

即y=x2-4x-5(-l<x<5),

当直线y=-x+6经过点/(-1,0)时，1+6=0,解得6=-1；

当直线y=-x+6与抛物线y=N-4x-5(-1SE5)有唯一公共点时，方程/-4%-5=-%+b,即产

-3x-5-b=0有相等的实数解，即A=32-4x1x(-5-b)=0

解得b=-%

所以当直线―-x+6与新图象有4个交点时，6的取值范围为—弓<6<-1,

故答案为：一彳<匕<—1.

【点睛】本题考查了抛物线与X轴的交点：把求二次函数^=〃/+乐+。(a,6,。是常数，存0)与X轴的交

点坐标问题转化为解关于X的一元二次方程.也考查了二次函数图象与几何变换.

【题型4抛物线对称性的应用】

1.(2024•浙江杭州•中考真题)设二次函数y=0,血流是实数)，贝！J()

A.当k=2时，函数y的最小值为一aB.当k=2时，函数y的最小值为一2a

C.当k=4时，函数y的最小值为—aD.当k=4时，函数y的最小值为一2Q

【答案】A

【分析】令y=0,贝【JO=a(%—?n)(%—m—/c),解得：%i=m,x2=rn+kf从而求得抛物线对称轴为直线

X==普当再分别求出当k=2或々=4时函数y的最小值即可求解.

【详解】解：令y=0,贝iJO=a(x—m)(x—m—fc),

解得：x1=m,x2=m+k,

・•・抛物线对称轴为直线I=空岁=亨

当k=2时，抛物线对称轴为直线％=m+l,

把％=771+1代入丫=。(%-血)(%-6-2),得y=-a,

va>0

当％=?n+l,k=2时，y有最小值，最小值为一a.

故A正确，B错误；

当k=4时，抛物线对称轴为直线久=m+2,

把汽=m+2代入y=a(x-m)(x-m-4),得y=-4a,

va>0

.•・当％=m+2,k=4时，y有最小值，最小值为一4a,

故C、D错误，

故选：A.

【点睛】本题考查抛物线的最值，抛物线对称轴.利用抛物线的对称性求出抛物线对称轴是解题的关键.

2.(2024•四川自贡・中考真题)经过A(2-3/vn),B(46+c-l,m)两点的抛物线y=—+bx-/j2+2。(久为

自变量)与%轴有交点，则线段4B长为()

A.10B.12C.13D.15

【答案】B

【分析】根据题意，求得对称轴，进而得出。=6-1,求得抛物线解析式，根据抛物线与久轴有交点得出△=

b2-4ac>0,进而得出b=2,则c=l,求得48的横坐标，即可求解.

-1L,b

22

［详解］解：•・・抛物线y=--x+bx-b+2c的对称轴为直线％=--=-2x(_i)=b

,•,抛物线经过/(2-3瓦也)方(4b+c-ljn)两点

2-3b+4b+c-l,

・•・------------=b,

即c=b-1,

.,.y=—|x2+bx—b2+2c=~x2+bx—b2+2b—2,

•・・抛物线与％轴有交点，

=b2-4ac>0,

即匕2-4x(-1)x(_。2+2b-2)>0,

即炉―4b+4W0,即(b—2)2WO,

•••b=2,c=b-1=2—1=1,

・・.2-3b=2-6=-4,4b+c-l=8+1-1=8,

•.AB=46+c-l-(2-36)=8-(-4)=12,

故选：B.

【点睛】本题考查了二次函数的对称性，与X轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

3.(2024•内蒙古•中考真题)在平面直角坐标系中，已知2(-1,吗)和B(5,吗)是抛物线y=N+法+1上

的两点，将抛物线丫=必+必+1的图象向上平移〃(”是正整数)个单位，使平移后的图象与x轴没有交

点，则"的最小值为—.

【答案】4

【分析】通过/、8两点得出对称轴，再根据对称轴公式算出6,由此可得出二次函数表达式，从而算出最

小值即可推出n的最小值.

【详解】•；/、8的纵坐标一样，

.・/、3是对称的两点，

对称轴x=-^=2,即x=-5=U=2，

■■.b=-4.

抛物线解析式为：y=%2-4x+1=x2-4x+4-3=(x-2)2-3.

••・抛物线顶点(2,-3).

.•・满足题意"的最小值为4,

故答案为：4.

【点睛】本题考查二次函数对称轴的性质，顶点式的变形及抛物线的平移，关键在于根据对称轴的性质从

题意中判断出对称轴.

4.(2024•江苏镇江•中考真题)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y=-示%-1)2+4的

图像与x轴交于/、2两点(点/在点2的左侧)，顶点为C.

(2)一个二次函数的图像经过8、C、M(t,4)三点，其中tKl,该函数图像与x轴交于另一点。，点。在线段

OB上(与点。、2不重合).

①若。点的坐标为(3,0),贝k=；

②求才的取值范围：

③求OD-DB的最大值.

【答案】⑴4(一2,0),B(4,0),C(l,4)

(2)①6；②3<t<7且tH4；③4

【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，二次函数的最值问题等相关知识，

熟练掌握相关知识是解题基础.

(1)根据顶点式可直接得出点C的坐标；令y=0,解方程，可得出点4B的坐标；

(2)①根据函数的对称性，可得出对称轴为直线式=最再根据点C，M的坐标可得出C,M关于对称轴对称,

由此可得出t的值；

②由对称轴的性质可知，二次函数图象的对称轴与无轴的交点坐标为(等，0),再由对称性可知，D(t-3,0),

由点。在线段OB上，且与端点不重合，可得《二即3<t<7,而当t=4时，过点B,C,M三点的二

次函数不存在，由此可得3<t<7且1力4；

③。。-DB=(t-3)-(7-t)=-t2+10t-21=-(t-5尸+4,根据二次函数的性质可得结论.

【详解】⑴解：••・二次函数y=—京久―1)2+4的图象的顶点为。

•・4(1,4)；

令y=—1)2+4=0,解得x=—2或x=4,

・••力(—2,0),5(4,0)；

(2)解:①由题知,该函数过点B(4,0),C(l,4),D(3,0),

函数的解析式为：y'=a(x-4)(x-3),

•1•函数的对称轴为直线久=：,

•••点C,M关于对称轴对称，

1+t7

•*,t—6,

故答案为：6；

②设二次函数的解析式为：y=ax2+bx+c,

将M(t,4)C(L4)两点代入，得｛a：：，；：；%。

。(仔—1)+b(t—1)=0,

•・,tW1,

.b_t+1

~2a~~9

•••二次函数图象的对称轴与X轴的交点坐标为(詈，0),

■■B,D两点关于对称轴对称，点8(4,0),

•e•D(t-3,0),

•・•点。在线段。B上，且与端点不重合，

tZl<4-即3<t<7,

••"=4时，过点8,C,M三点的二次函数不存在，

3<t<7且tK4；

（3）1•'OD=t-3,DB—7-t,

•••OD-Z）B=（t-3）-（7-t）.

•••ODDB=-t2+10t-21=一（t一5尸+4,

•••3<」<7且1#4,

."=5时，有最大值，最大值为4.

5.（2024•北京・中考真题）在平面直角坐标系xOy中，M（久］,月），/功0）是抛物线，=a/+6久+c（a>0）

上任意两点，设抛物线的对称轴为x=t.

⑴若对于*1=1,乂2=2有％=及，求t的值；

（2）若对于0<xi<1,1<%2<2,都有yi<y2，求t的取值范围.

【答案】（l）t=,

（2）t<|

【分析】（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解；

（2）根据题意可得（巧,力）离对称轴更近，5<%2，贝1（X1，月）与。2，、2）的中点在对称轴的右侧，根据对称性

求得进而根据包户>3即可求解.

【详解】⑴解：■.,对于孙=1,%2=2有yi=y2，

••・抛物线的对称轴为直线x="=1，

••,抛物线的对称轴为x=t.

3

=5；

（2）解：•・•当0V%iVI,1<%2<2,

,•,yi<y2,a>0,

・••3）1）离对称轴更近，xr<x2,贝心玛）1）与（%2）2）的中点在对称轴的右侧，

•普〉3

apt<|.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键.

【题型5二次函数与方程、不等式的关系】

1.（2024•广西贺州•中考真题）如图，已知抛物线y=a/+c与直线y=人久+机交于力（-3,月），3（1,故）两

点，则关于X的不等式a/+c2-依+爪的解集是（）

A.x<-3^x>1B.x<-l^x>3C.-3<x<lD.-1<%<3

【答案】D

【分析】将要求的不等式抽象成两个函数的函数关系问题，根据二次函数图象的对称性，以及两一次函数

图象的关系，求出新的一次函数与二次函数的交点，从而写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可.

【详解】y=kx+瓶与丫=-for+m关于y轴对称

抛物线y=ax2+c的对称轴为y轴，

因此抛物线y=ax2+c与直线y=kx+m的交点和与直线y=-kx+m的交点也关于y轴对称

设丫=-kx+?n与y=ox?+c交点为4、B',则A（-1,丫2），£（3必）

•••ax2+c>—kx+m

即在点4、方之间的函数图像满足题意

二a/+c2-kx+ni的解集为：—1WXW3

故选D.

【点睛】本题考查了轴对称，二次函数与不等式，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是

如此.理解y=kx+m与y=-kx+ni关于〉轴对称是解题的关键.

2.（2024•甘肃兰州•中考真题）下表是一组二次函数y=N+3久-5的自变量x与函数值丁的对应值：

X11.11.21.31.4

y-1-0.490.040.591.16

那么方程N+3久-5=0的一个近似根是（）

A.1B.1.1C.1.2D.1.3

【答案】C

【详解】解：观察表格得：方程N+3x-5=0的一个近似根为1.2,

故选：C

【点睛】考点：图象法求一元二次方程的近似根.

3.（2024•山东枣庄•中考真题）二次函数y=x2—2x—3的图象如图所示.当y<0时，自变量x的取值范围

【分析】根