福建省福州某中学2025届高三年级下册第十次质量检测数学试题（含答案解析）

福建省福州第三中学2025届高三下学期第十次质量检测数学

试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.设复数Z满足z-（l+2i）=5,则Z的虚部是（）

A.2B.2iC.-2D.-2i

22

2.“2<〃?<6”是“方程\+A=l表示的曲线为椭圆”的（）

m—2o—m

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式,宋代称为撮尖，清代称为攒尖.通常有圆形攒

尖，三角攒尖，四角攒尖，八角攒尖,也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑，园林建筑.如图所

2元

示的建筑屋顶是圆形攒尖,可近似看作一个圆锥，已知其轴截面是底边长为61n，顶角为胃的

等腰三角形，则该屋顶的面积约为（）.

2

A.1Tly■B.67rm2C.6下n研D.12A/3TIm

4.某医院拟派甲、乙、丙、丁四位专家到3所乡镇卫生院进行对口支援，若每所乡镇卫生

院至少派1位专家，每位专家对口支援一所医院，则选派方案有（）

A.18种B.24种C.36种D.48种

5.已知数列｛%｝的前〃项和为S.=〃2+桁，且%=6,则数列g的前10项和为（）

6已知点小。），点尸在曲线V上运动，点/为抛物线的焦点，则身^的最小值

为（

A.73B.2(V5-1)C.4小D.4

7.已知atana—tan力=3石，则cos(a+£)的值为()

\_

A，—2BcD.

-I-46

(a>D的值域为g+e

8.已知=<则。的取值范围是()

ac1

XH-----2,x>一

x2

36c

A.(1,2)B.C.(2,5)D.—,2

25

二、多选题

9.已知函数/(x)=|sinx|+2cos,则下列说法中正确的是()

A.f(x)为奇函数B.f(x)的一个周期是T=2兀

C./(x)的一条对称轴为x=]D./(■的值域是(-2,番]

10.如图，在直四棱柱ABCD-AB1G2中，底面ABCD为菱形，^BAD=6Q°,AB=AAl=2,P

为CG的中点，点。满足双=几成+〃西(共[0,1],〃且0,1]),则下列结论正确的是()

A.若;1+〃=1,则四面体4刀尸。的体积为定值

B.若42=6，则点。的轨迹为一段圆弧

c.若aAB。的外心为o，则乖•即为定值2

D.若4=1且必=；,则存在点使得+EQ的最小值为也+2M

11.甲、乙两选手进行象棋比赛，有3局2胜制，5局3胜制两种方案.设每局比赛中甲获胜

的概率为p(0<p<l),且每局比赛的结果互不影响，则下列结论正确的有()

A.若采用3局2胜制，则甲获胜的概率为"(3-2p)

试卷第2页，共4页

B.若采用5局3胜制，则甲以3:1获胜的概率为5P'(I—。)

C.若。=0.6,则甲在5局3胜制中获胜的概率比在3局2胜制中获胜的概率大

D.若P=06,采用5局3胜制，在甲获胜的条件下，比赛局数为4局的可能性最大

三、填空题

12.已知向量£=(一1,1),方=(-2,4),若"〃入a1(5+c),贝咽=.

13.己知等比数列｛q｝的前3项和为39,且%-6%+9%=。，贝1J%=.

14.函数〃x)=2x-sinx上存在互异两点A,B,若曲线/⑺在A,B处的切线均为直线/,

且/在A,8之间与无公共点，贝门的斜率为.

四、解答题

15.在锐角VABC中，内角AB,C的对边分别为a,b,c,且c-次osA=A.

(1)求证：A=2B；

311

(2)若NA4C的平分线交5C于。，AD=1,smB=-求:+―的值.

5fbc

16.已知定义在(0,+功上的函数/(x)=e"一机(X+1)2,M£R.

(1)若加=),判断/'(X)是否存在极小值点，并说明理由；

(2)若/(x)存在两个零点，求机的取值范围.

17.如图，在三棱柱AC。-AGQ中，点E,&分别在棱CD,CR上，且A

E,&,A四点共面.

aEi「

(1)证明：四边形AE&A为平行四边形;

(2)若点满足丽=A»+G"，侧面CC^Dl底面

ACD,AD±AC,AD=AGCD=DDX=2,ACDDX=60°,若平面AEE^与平面

ABR夹角的余弦值为3白，求受OF的值.

13EC

18.品酒师需要定期接受酒味鉴别功能测试，一种常采用的测试方法如下：拿出"瓶外观相

同但品质不同的酒让其品尝，要求按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等其记忆淡忘之

后，再让其品尝这"瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.根据一轮测试

中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.现设"=4,分别以％,出，/，他表示第一次排序时

被排为1,2,3,4的四种酒在第二次排序时的序号，并令X=|l-⑷+|2-囚+|3-闻+R-甫，

则X是对两次排序的偏离程度的一种描述.

⑴写出X的所有可能取值（不需要说明理由）；

⑵假设4,外,生吗等可能地为1，2,3,4的各种排列，求X=4的概率；

（3）假定各轮测试相互独立，某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有X42,求这种现象出

现的概率；并判断该品酒师的酒味鉴别功能如何，并说明理由.

19.已知双曲线c的对称中心在原点0,以坐标轴为对称轴，两条渐近线分别为4：y=x和

k-y=-x，其右焦点为（行

⑴求双曲线c的方程；

⑵直线/：y=2x-4与双曲线c交于A，瓦两点（A在耳的上方），过点A，耳分别作44的平

行线相交于点4,过［作/的平行线与双曲线c交于4,星两点（&在的上方），再过点

4,当分别作44的平行线相交于点鸟，…，这样一直操作下去，可以得到一系列点

&鸟,…,&〃23,aeN*.证明：

①儿打，…,匕共线；

②I。碟一］耳为定值,1Mi4〃-1"eN*.

试卷第4页，共4页

《福建省福州第三中学2025届高三下学期第十次质量检测数学试题》参考答案

题号12345678910

答案CBCCCDDDBDABD

题号11

答案ACD

1.C

【分析】根据复数的除法运算求解.

/、55（1-2i）,,

【详解】因为z-（l+2i）=5,所以z=.=（］+2i）（i.2i）=l一公,

所以z的虚部是-2,

故选:C.

2.B

【分析】利用椭圆的标准方程结合充分、必要条件的定义计算即可.

【详解】易知2<〃z<6时，m-2>0,6-m>0,但%=4时有〃?一2=6-〃?=2,

此时方程表示圆，所以不满足充分性，

-2>0

若方程上+上二=1表示的曲线为椭圆，则6>0=>/7ie（2,4）u（4,6）,

m—26—m

m-2^6-m

显然2<〃z<6成立，满足必要性，

22

故"2<根<6”是“方程—+=1表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件.

m-2o-m

故选：B

3.C

【分析】根据题意作出圆锥轴截面图像,根据图像求出圆锥底面半径厂和母线/，根据侧面积公

式即可求解.

【详解】如图所示为该圆锥轴截面，

由题意，底面圆半径r=3,母线/

Sm3

所以侧面积兀力=TIX3X2A/5=6A/§71m2.

故选：C.

答案第1页，共15页

4.C

【分析】根据题意，分2步进行分析：①将甲、乙、丙、丁四位专家分为3组，②将分好的

三组全排列，对应3所乡镇卫生院，由分步计数原理计算可得答案.

【详解】解：根据题意，分2步进行分析：

①将甲、乙、丙、丁四位专家分为3组，有=6种分组分法；

②将分好的三组全排列，对应3所乡镇卫生院，有喜=6种情况，

则有6x6=36种选派方案;

故选：C.

【点睛】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题.

5.C

【分析】先求出k=1,然后利用=裂项相消求出结果.

Snn+nnn+\

【详解】由己知有6=%=&—邑=（32+34）一（22+2左）=左+5,故左=1.

1

所以从而

Snn+nn^n+1)nn+1

110

11iT

故选：c.

6.D

【分析】如图所示：过点尸作PN垂直准线于N,交y轴于Q,则|「耳-1=|尸网-1=|尸（2],

设尸（x,y）,x>0,则震二=尤+'，利用均值不等式得到答案.

\PF\-1x

【详解】如图所示：过点尸作PN垂直准线于N,交丁轴于Q,则|尸耳-1=|PN|-1=|PQ|,

设尸(x,y),x>0,侬匚驾上-2）»、口-2）?+4x…

\PF\-1|尸@xxx

4』

当工=—,即x=2时等号成立.

x

故选：D.

答案第2页，共15页

【点睛】本题考查了抛物线中距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.

7.D

【分析】由已知条件切化弦，整理得出cosacos/7,然后把cos(。-/?)展开可求出sinasin6,

从而利用两角和的余弦公式可求解.

【详解】由于tancz-tan/?=3A/3,且cz-/=：,

如

则sinasin(3sinacos/3-cosasin)3_sin(c)f-/?)_2_3J3J

cosacos/3cosacos[3cosacospcosacos夕

整理得cosacos

6f

贝Ucos(i—分)=cosacos/?+sinasin尸=g,

整理得sinasin(3=

263

所以cos(a+〃)=cosacos/3—smasin/3.

636

故选：D.

8.D

【分析】分别讨论〃>2,〃=2,lvav2时，由分段函数的定义域，可求出其值域范围，

根据集合的子集解不等式即可求解.

【详解】当。〉2时，由指数函数的单调性得到。取值范围为(0,7^1],此时

|,+")不成立，故舍去；

l,x<—

91

当〃=2时，/(x)=<2若xW：时，/(X)=l,

XH--,---c2,x>l一z

x2

若时，/(x)=x+|-2>2>/2-2,当且仅当x=0时，等号成立;

答案第3页，共15页

此时Oq1,+^j

当lvav2时，若xW；时，/(%)=(〃一1)，单调递减，所以/⑺£(/〃-1,+8上

若尤〉工时，f(x)=x+--2>2^-2,当且仅当％=布>!时，等号成立；

2%2

\<a<2

«>；解之可得||va<2,

即《

2AA?-2>|

综上可知。e［不'>2］.

故选：D

9.BD

【分析】利用奇偶函数的定义、周期函数定义、轴对的性定义依次判断ABC；求出值域判

断D.

【详解】对于A,函数/(x)的定义域关于数。对称，f(-x)=|sin(-x)|+2cos(-x)=f(x),

且/(x)不恒为0,则/(x)为偶函数，不为奇函数，A错误；

对于B,/(尤+27i)=|sin(x+27i)|+2cos(x+27i)=/(x),f(x)的一个周期是7=2兀，B正确；

对于C,/(re-x)=|sin(7i-x)|+2COS(K-x)=|siar|-2cosxf(x),f(x)的图象关于不对

称，C错误；

对于D,当xe(0,7i)时，/(x)=sinx+2cosx=&sin(x+夕)，其中锐角。由tan0=2确定,

2

而尤+°€(夕,兀+。)，则［sm(x+e)］max=l,sin(x+o)>sm(7i+o)=-sme=一巧，

因此由选项A知，当xc(—7t,O)U(O,7i)时，/(x)e(-2,正］,

由选项B知，在定义域上/(x)e(-2,右］,于是/'(x)的值域是(-2,6bD正确.

故选：BD

10.ABD

【分析】连接QC,由线面平行的判定定理即可证明QC〃平面ABP,从而判断A；建立

空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算即可判断BD,由空间向量数量积的定义即可判

断C.

答案第4页，共15页

【详解】对A项，连接2C,故点。在线段2c上，因为AB〃口C,故2c〃平面AfP,

所以。到平面48尸的距离为定值，又因为为定值，所以四面体A8PQ的体积为定值,

A对;

对B项，如图，取A8中点R,因为底面为一个内角60。的菱形,

所以D/?_LAB,以。为原点建系如图，故4（也,-L2）,

设。(0,242〃),由AQ=6可得(22+1)2+(2〃-2>=2,

故。点为以S（0,-1,2）为圆心，血为半径的圆落在正方形CD。。内的部分,

设OQ与圆交于点H,因为SH=0,SQ=1,所以/S=45。,

故点。轨迹的长度为四、应=叵，B对；

44

-----.------1------2

对C项，如图，取48中点T,所以。7,4出，故=4,C错;

答案第5页，共15页

对D项，结合B项中建系，EB=aA[B,aG[0,1],可得£（6,1-2凡2ab

所以A上+£Q=J8a2-8〃+4+，8〃2+5=2拒

如图，设灯=工,3丫=巫,/3=’,灯_1/6,1/6_13丫，

242

在线段JG上取点L,设LG=a,贝|2及（总+VZ）=AE+EQ,

显然，连接KM使得K,L,V共线，此时AE+E。有最小值

2-J2KV=20-Jg+乎=加+2厢，故D对.

故选:ABD.

11.ACD

【分析】根据题意，由相互独立事件的概率公式代入计算，即可判断ABC,由条件概率公

式代入计算，即可判断D

【详解】对A：采用3局2胜制，甲获胜分为第一二局胜，第一三局胜，第二三局胜三种情

况，

最终甲获胜的概率为p?+2/?。-p）=-2p3+3〃2=Q2（3-2p）,故A正确;

对B：采用5局3胜制，甲以3:1获胜，则甲前三局胜两局，第四局获胜，

故甲获胜的概率为C/（i一p”=3p3（l_p）,B错；

对C：因为。=0.6,结合A项可知若采用3局2胜制，甲获胜的概率为4=。648,若采用

5局3胜制，甲获胜的概率为鸟=06+3x06x0.4+C：0.62x0.42x0.6=0.68256>々，故C

正确；

对D：因为0=0.6,结合C项可知若采用5局3胜制，甲获胜的概率为外，

甲获胜的条件下，比赛局数X可取值为3,4,5,

n/v-0.2163V人0.2592八八，0.20736

由条件概率公式可得：尸（X=3）=一^―,P（X=4）=--—，尸（X=5）=---

^2^2^2

故D正确.

故选：ACD.

12.372

答案第6页，共15页

【分析】设干=(x,y),根据向量平行、垂直关系求得^=(3,-3),进而可得结果.

【详解】设万=(x,y),贝!j6+c=(x-2,y+4),

若Z//3川He)，可得］,_”+4=0,解得A—

即”(3,-3),所以间=42+(一3)2=30.

故答案为：3及.

13.34-"

【分析】根据等比数列的通项公式，列出关于4和q的方程组,解方程组求得q和4,即可求得

3.

【详解】依题意可得

q(1+q+q?)=39

，解得"：M=27,

a4(1-69+9q2)=0

故答案为：34-"

14.2

【分析】利用导数求出切线斜率和切线方程，代入两个切点的横坐标，利用斜率相等得到切

点横坐标的关系，然后代入两个切点的横坐标得到两个截距相等，利用截距相等，运算后得

出结论.

,

【详解】设切点为小，2Ao-sinxo),/(^)=2-cosx0,

切线方程为：y=(2-008^0)(%-^0)+2^0-sinr0=(2-cosx0)x+x0cosx0-sinx0(*),

设切点4(占,%),切点3(%,%)，切线的斜率为上

贝U有左=2—cos%=2-cos/，即cosxj=cos%，

将切点A(玉,%),代入切线方程(*),求得切线在y轴上的截距为^cos^-si吗，

将切点3(9,%)，代入切线方程(*),求得切线在y轴上的截距为x/os%-sin%2,

则有^cosx,-sinx,=J^CO&X2-sinx,(**)

答案第7页，共15页

①当马=%+2矽1（玄wZ）时,由（**）得:

Ajcos^i-sin%i=（万+2左万）cos（玉+2E）-sin（玉+2kit）=（石+2E）cos^-sinxj；

所以2E-cos%=0,即cos%,=0,

所以左二2-cosX]=2；

当玄=±1时，满足F（x）与/在A,3之间无公共点.

②当马=一玉+2左/（ZbZ）时，由（**）得：

玉co叫-sin^=（一石+2br）cos（一石+2k叫-sin（一百+2k/）=（一%+2左乃）以）冈+sinxP

=（一%+2左乃）COSA^+si叫，

即x1cosx1-sinxj=ku-cos%③,

y=（2—cosx）x+xcosx—sinx...

''nxcosx-sinx=xcosx-sinx.，

y=2x-siwc

结合③式可知，（析，2砌是〃元）与/的公共点，且在A,B之间，该情况无解.

综上所述，切线/的斜率为2.

故答案为：2

15.（1）证明见解析

（2）^+-=|

bc5

【分析】（1）由正弦定理将边转化为角可得sinC-2sinBcosA=sinB,由内角和定理和两角

和与差的正弦公式，结合角的范围即可求解;

3

（2）由sinB=g,6为锐角，可得sinA,由，筋0=54钻0+5/。°结合?1=25即可求解.

【详解】（1）由正弦定理三=占=三;,

sinAsinBsinC

可得sinC-2sinBcosA=sinB,

因为A+3+C=7l,

所以sin（A+8）—2sinBcosA=sinAcosB-sinBcosA=sin（A-B）=sinB,

因为Ae,所以A-Be

答案第8页，共15页

因为y=sinx在(-gqj上单调递增，

所以A—B=B,即A=23；

3

(2)因为sin8=w，8为锐角，

424

所以cosB=—,sinA=sin2B=2sinBcosB二一,

525

依题意有S..c=^hABD+SZACD,

由(1)可知A=23,

所以gbcsinA=ge+c)xADxsinB,

123

又因为AD=1,所以石6c=布修+c),

化简得8加=5(6+c),

两边同除以反可得8=5

在z118

所以六二手

16.(1)无极小值点；理由见解析

⑵

【分析】(1)求导，确定单调性即可判断;

e,

(2)参编分类得到〃?=问题转换成y=帆与y=恰有两个交点，对

(X+l)2(x+1)2

v

e

y=--k求导确定单调性，极值，即可求解；

(x+l)-

【详解】⑴依题意可得/'("=e£—2机(x+1),

m=~>故/''(x)=e，'-(x+1),

设g(x)=/'(x)，贝(lg'(x)=e*-l,

,.,x>O,;.g'(x)>g'(O)=O,

在(0,+“)上单调递增,

.•"'(x)>/''⑼=0,

\/(X)在(。,+e)上单调递增，无极小值点;

答案第9页，共15页

(2)令〃x)=0,可得加二;一-7,

(x+1)

所以y=相与y=7一/恰有两个交点，

(x+1)

设〃(十仁,则〃(小若¥

令〃(x)=0可得x=l,

当0<x<l时，〃(x)<0；当尤>1时，//(x)>0,

.•./7(X)在(0,1)上单调递减，在(1,y)上单调递增

.-.A(x)>/t(l)=|,

,当x->0时，当x-+s时，

•••加的取值范围是u

17.(1)证明见解析

⑵2

【分析】(1)先利用线面平行的判断定理与性质定理证明M//E月,再利用面面平行的性

质证明AE"/AE,从而可得四边形AE£；4为平行四边形；

(2)取CD的中点。,连接OR,,以。为坐标原点，直线OA,OC,OD,分

别为x轴，>轴，z轴建立空间直角坐标系，设£(0,r,0)(-l<r<l),求出平面

AE&4的法向量与平面A与，的法向量，利用空间向量夹角公式列方程求出/=；,从而可

得答案.

【详解】(1)因为AA}HDDX,平面CCRD,44]<z平面CCRD,

所以AX】//平面CCQQ.

又知u平面AEE]A,平面AE&Ac平面CCQQ=Eg,

所以4V/E&.

因为平面ACD//平面，平面AEEJAC平面,平面AEE；Ac平面

答案第10页，共15页

ACD=AE,所以AE"/AE,

所以四边形AEE{\为平行四边形.

(2)如图，取C。的中点0,连接OR，OA,

由CD=DD=2及NC£»2=60。，得ACDZ),为等边三角形，所以OD,±CD,

又平面CGR£>_L底面AC£),OQu平面CCRD,

所以ODJ底面ACD,因为。4u底面ACD,从而OQ，OA；

由ADLAC及AD=AC,得AACD为等腰直角三角形，

所以Q4LC。.

以0为坐标原点，直线OAOC,分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系。-孙z,

如图所示，

则(9(0,0,0),A(l,0,0),C(0,1,0),D(0,-l,0),R(0,0,也)，

则可=西=(0,1,道)；设E(0j,0)(—1<芯1),则荏=(一1/0).

y+A/3Z=0

设平面AEEtAt的法向量为谕=(x,y,z),由22，得

m-AE=Q-x+fy=0

取y=A/3,则，力=(^/§?,指,-1).

福=(-1,0，⑹,啊=职+酝=9+配=(1,1,0)+(0,2,0)=(1,3,0),

/\为，AZ).=0[-a+也c=0

设平面ABQ的法向量为五=a,b,c,由」得"十二"'

丹•£>]耳=0|a+36=0

取a=3,贝U为二(3,-1,6).

答案第11页，共15页

|m-n|卜码3

所以|cos防n\=

网同43t2+4.岳13

整理得27产-3%+10=0，

J.

101DFi+o

解得/=当(舍去)或t，此时R;=T=2

93EC

3

18.(1)0,2,4,6,8

7

⑵唳=4)=五

⑶可以认为该品酒师的酒味鉴别功能优秀，理由见解析

【分析】(1)根据已知条件即可求解；

(2)用(4%%，%)表示L2,3,4的一个排列，由古典概型概率公式可得对应概率;

(3)由题意分别得到X=0,2时的概率值，即可判断.

【详解】(1)在1,2,3,4中，奇数和偶数各有两个，所以出，%中奇数个数等于％，生中偶

数个数,

因此口-蜀+3-蜀与R—%|+|4|的奇偶性相同,

从而乂=|1-旬+|2-%|+|3-匈+|4-甫必为偶数，又X的值非负，且其值不大于8,

所以X的所有可能取值有024,6,8；

(2)用(4,%,%,%)表示123,4的一个排列，则当X=4时，所有可能的情况如下:

X=l+1+1+1=2+2+0+0=2+1+1+0,

若X=1+1+1+1,则(％,%,%,4)=(2』,4,3),

若X=2+2+0+0,则3,%%,&)=(1，4,3,2),或(％,%,03MJ=(3,2,1,4),

若X=2+l+l+0,贝!!(o1M2,%,%)=(3,1,2,4),或

或(4,4,%,%)=Q,3』,4),或(&%,g,%)=。,3,4,2),

77

故「(X="=恋=9；

(3)依题意可得尸(X=0)=(,

当X=2时，X=l+l+0+0,

答案第12页，共15页

则(q,%,03M4)=(2,1,3,4),或(q,%,%,%)=(1,2,4,3),

或(41，%,%,%)=(1,3,2