高考数学导数的概念及运算（九大题型+模拟练）培优练习题

专题13导数的概念及运算（九大题型+模拟精练）

01题型归纳

目录：

♦题型01变化率问题

♦题型02导数定义中简单的极限运算

♦题型03求某点的导数（切线斜率）

♦题型04求切线方程

♦题型05已知切线求参数（范围）

♦题型06两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题

♦题型07切点、切线有关的其他问题

♦题型08导数的运算

♦题型09抽象函数的导数综合

♦题型01变化率问题

1.（2024高三・全国•专题练习）如果质点A运动的位移S（单位：m）与时间/（单位：s）之间的函数关系

2

是5（。=-］，那么该质点在"3s时的瞬时速度为（）

2222

A.----B.—C.----D.—

3399

【答案】D

【分析】根据瞬时变化率的定义求解即可.

22

［解析］竺=S（3+A,_S⑶=-3+加+§=2,

AzAr3（3+A。

AS「1212

所以hm——=lim----------=—.

）八小卜一0zA-。［3（3+A。」9

故选：D.

2.（23-24高二下•河南洛阳,阶段练习）函数y=«在区间［1,4］上的平均变化率为（）

,135

A.-B.—C.-D.3

353

【答案】A

【分析】

直接利用平均变化率的定义求解.

【解析】

设“X）=&,则函数y=«在区间［1,4］上的平均变化率为〃?一;⑴=g.

故选：A.

3.（23-24高二下•重庆•期中）某物体的运动方程为s«）=4f+2（位移单位：m,时间单位：s）,若

v=lims（3+A，）s（3）=24m/s，则下列说法中正确的是（）

At-加

A.24m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度

B.24m/s是物体从3s到（3+A/）s这段时间内的速度

C.24m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度

D.24m/s是物体从3s到（3+Af）s这段时间内的平均速度

【答案】C

【分析】根据瞬时速度的定义即可得解.

【解析】由v=lims（3+-）-s（3）=24m/s,

Az

可知，24m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度.

故选：C

♦题型02导数定义中简单的极限运算

4.（2024高二下,全国•专题练习）已知（（%）=a,则1加以包士型二也金立的值为（）

…。2Ax

A.-2aB.2a

a

C.ciD.一

2

【答案】B

【分析】由导数的定义变形即可求解.

［解析］lim3Ar）=2lim3Ax）=21（％）=2a.

-f。2Ax―—。4Ax

故选：B.

5.（22-23高二上•陕西咸阳•阶段练习）已知函数〃x）在x=x°处的导数为6，则lim上

Ax->02Ax

A.-3B.3C.-6D.6

【答案】A

【分析】根据已知条件及函数在彳=无。导数/（毛）=6的定义即可求解.

【解析】由题意得函数f（x）在x=%处的导数/'（为）=6

Hm=_j_lim“X。-词-/伉）

-2Ax2以一。-Ax

故A项正确.

故选：A.

6.（22-23高二下•陕西渭南•期中）若函数>=/（尤）在x=2处的瞬时变化率为lim孚,

-Ax

—=/（2+AX）~/（2）=4+Ar,贝上八2）=（）

AxAx

A.2B.4C.2+AxD.4+Ax

【答案】B

【分析】

根据导数的定义，直接代入求值.

【解析】根据导数的定义可知,

:（2）=lim+⑵=]im（4+Ax）=4.

''Axfo/丫Ax->o、"

故选：B

7.（23-24高二上•河北石家庄•期末）设/（x）是可导函数，且=则（⑴=（）

Ax-0A%

A.2B.1C.-ID.-2

【答案】B

【分析】由导数的定义计算即可得出结果.

【解析IlimM+SMT⑴-AW3一川）二2,

心—°AxAX->O3Ax

…/(l+3Ax)-/⑴2

团lim一,

1一。3Ax3

0r(1)=lim=lim/(^3M-/(1)=2

Axf0Ax…。3Ax3

故选：B

♦题型03求某点的导数(切线斜率)

8.(21-22高二下•北京通州•期中)已知函数力⑺，力(x),力(x),力(力,它们在平面直角坐标系中的图

象如图所示，则如伉),力'(%)，象⑺,象伍)的大小关系是()

A.4'(4)＞力'(％)＞力'(%)＞方'(%)

B.工'(5)＞力'(％)＞力'(％)＞力'(尤。)

C.方(%)＞斤(%)＞。(%)＞。(飞)

D.工'(七)＞力'(尤0)＞力'(尤0)＞力'(尤o)

【答案】A

【分析】根据导数的几何意义，画出各个函数图象在x=x。处的切线，根据切线的斜率来判断即可.

【解析】依次作出/(无)，力⑺，力⑺，力(力在了=无。的切线，如图所示：

根据图形中切线的斜率可知工'(%0)>为'(%)>为'(x0)>力'(九0).

故选：A.

9.(22-23高三上•上海浦东新•期中)若外”为可导函数，且理"JR"⑴则过曲线y=〃x)上

点处的切线斜率为.

【答案】2

【分析】直接根据导数的定义计算得到答案.

【解析】尤)-/⑴=一1,故左二尸⑴二lim"l_2x)_"l)=2.

x->o4xxfo-2x

故答案为：2

10.(2024高三.全国•专题练习)已知函数f(x)=x(xT)・(x-2)••…(x-100),则尸(0)=.

【答案】1X2X3X---X99X100.

【分析】根据函数/(X)在x=x。处的导数的定义即可求解.

［解析］八。)=扁△山”)=1汕醺3T)3一2)…3一必)一°

—Ax-Ax

=lim(Ar-l)-(Ax-2)..…(Ax-100)=(-1)(-2)..…(-100)=lx2x3x---x99xl00.

故答案为：1X2X3X---X99X100.

♦题型04求切线方程

1L(2024•全国•模拟预测)函数〃x)=x-co少的图象在x=0处的切线方程为.

【答案】x-y-l=O

【分析】先求解出导函数，然后计算出x=0时的导数值和函数值，可得切线的点斜式方程，再化为一般式

方程即可.

【解析】由题意，得/'（x）=l+sinx,所以（（0）=1,

X/(O)=-1,所以切线方程为y-(—l)=b(x—0),即为x-y-l=0,

故答案为：x-y-l=0.

12.（23-24高三上•北京•阶段练习）曲线y=F7在点处的切线方程是

【答案】4x+4y—5=。

【分析】根据导数的几何意义，结合直线点斜式方程进行求解即可.

［解析］y==y=-，

所以曲线y=在点处的切线的斜率为一1号

所以方程为y-g=-[x-；]=4x+4y-5=0,

故答案为：4x+4y-5=0

/、[Inx,x>2,

13.（2023•全国•模拟预测）过原点与曲线/（元）=2；相切的一条切线的方程为.

【答案】y=2x或、=-2元或y='x（写出其中一条即可）

【分析】根据曲线y=Y+l,x<2表示抛物线的一部分，设其切线方程为，=入，利用判别式法求解；设

〃x）=lnx,xN2的切线的切点为户（4,几），利用导数法求解.

【解析】解：设曲线，=必+1,》<2表示抛物线的一部分,

设其切线方程为>=依，代入y=/+l,

得f一日+1=0.由A=/-4=0,得左=±2.

当上=2时，x=l,符合题意，

当上=-2时，x=-l,均符合题意，

所以切线方程>=±2九

设〃x）=lnx,xN2的切线的切点为户（x°,几）.

由尸（x）=L得/'（%）=,，y0=lnx0,x0>2,

X玉）

1

得切线方程为y=-x.

%

将P（4,几）的坐标代入切线方程，得%=1,

所以x()=e,所以切线方程为丁='九

e

故答案为：y=2x或>=-2尤或y=』x(写出其中一条即可)

e

♦题型05已知切线求参数(范围)

14.(22-23高三上•山东临沂・期中)若直线y=2x+q+l是函数〃x)=x+hu的图象在某点处的切线，则实

数°=.

【答案】-2

【分析】利用/'(力=2求得切点坐标，代入切线方程，从而求得

【解析】令/(司=1+[=2,解得x=l,所以切点为(1,1),

将(1,1)代入切线>=2尤+0+1得1=2+。+1,。=-2.

故答案为：-2

15.(23-24高二上•广东深圳・期末)若曲线y=(尤-a)e*有两条过点(1,0)的切线，则。的取值范围是.

【答案】(一8,1)(5,+8)

【分析】先利用导数求曲线y=(x-a)e"过坐标(L0)的切线方程，再列出关于“的不等式，进而求得。的取

值范围.

【解析】由y=(x-a)e，得旷=(x—a+l)e",设切点坐标为(如(％-a)e为),

则切线斜率无=小-4+1)研，

<0A

切线方程为y-(x0-a)e=(x0-a+l)e°(x-x0),

又因为切线过(1,0),所以0-(x0-a)e*。=(x0-a+l)e&(l-/)，整理得看一(a+l)尤0+2。-1=0,

又曲线有两条过坐标原点的切线，所以该方程有两个实数解，

所以A=S+l)2-4(2a-l)>0,解得a<1或a>5,

所以。的取值范围是(一°°,1)(5,+功，

故答案为：(-81)(5,+8).

16.(23-24高三下•全国,阶段练习)若存在过原点的直线与函数〃对=，-2依人£的图象切于丁轴右侧，

则。的取值范围是()

A.f；

B.

C.(l,+oo)D.2，+C°

【答案】D

【分析】

先求得_f（x）=N+（2-2a）x-2a]e"设切点为«>0）,根据（⑺=乎，列出方程，得到

?+（l-2«）r=0,结合方程的根t=2a—1>0,即可求解.

【解析】

由函数/（X）=（%2,可得了'（%）=[炉+（2-2〃卜一2a]e*,

设切点为9,/（。）《>0）,可得-卜）=?，即r+（2_2a）f_2a=/_2a,

整理得，+（1—2a），=0,解得，=2a—l或，=0（舍去），

因为存在过原点的直线与函数“力=（/-2ox）e”的图象切于y轴右侧，

所以/=2。一1>0,解得〃>g,即实数r的取值范围为

故选：D.

17.（22-23高二下•陕西西安•期末）若曲线/（x）=j有三条过点（0,。）的切线，则实数。的取值范围为

【答案】（o,44）

e

【分析】构造新函数〃G）=E,利用导数求得其单调性和极值，进而求得实数。的取值范围.

e

【解析】设点尸伉,为）为曲线〃》）=吃上一点，则〃％）=多

ee0

又/（x）=[7『=h，则〃*=黄，

则曲线〃x）=g在点尸（5,%）处的切线方程为

y-杀=F（x-x。），又切线过点（°，“），

则。-今=q（r°）,即。=工

「2xex-x2exx（2-x）

令/）=5,则“⑶=（e，==F^，

贝!JxvO时hr(x)<0,加»单调递减；

0<%V2时〃(%)>0,h(x)单调递增；

x>2时h\x)<0,单调递减，

4

则x=0时h(x)取得极小值力(0)=0,%=2时h(x)取得极大值h(2)=—,

e

4

又fi(—l)=e>F=h(2),

e

尤2

当％>0时，/z(x)=—>0恒成立，X-+8时，h(x)->0,

ex

又由题意得方程a有3个根，

4

则y=a与y=〃(x)图像有3个交点，贝打€(0,二).

则曲线〃x)=三有三条过点(0,«)的切线时实数a的取值范围为(0,2).

故答案为：(0,—)

♦题型06两条切线平行、垂直、重合(公切线)问题

18.(22-23高二上•陕西西安•期末)若曲线yWnx+V+i在点(1,2)处的切线与直线x+ay-1=0垂直，则实

数。的值为()

A.-4B.-3C.4D.3

【答案】D

【分析】根据导数的运算公式以及切线的几何意义求解.

【解析】因为yulnx+V+l,所以y'=，+2x,

X

当X=1时，W=3,

所以曲线y=ln尤+/+1在点(L2)处的切线的斜率等于3,

所以直线x+冲-1=。的斜率等于-g,

即一!=-：,解得〃=3,

a3

故选:D.

19.(2023・山西•模拟预测)已知函数/(%)=(。-3)/+(。-2)*2+(。-1卜+。若对任意与©1<,曲线y=〃x)

在点(飞J(飞))和(一%"(-5))处的切线互相平行或重合，则实数。=()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】求得/'("=3(。-3)f+2(4-2)x+。-1,根据题意转化为y=_f(x)为偶函数，即可求解.

【解析】由函数〃%)=(4-3)1+(。-2)尤2+(a-\)x+a,

可得尸(x)=3(a-3)x?+2(。-2)x+a-1,

因为曲线y=/(x)在点a，/5))和(-%,〃-％))处的切线互相平行或重合，

可得y=f'(x)为偶函数，所以4—2=0,解得4=2.

故选：c.

20.(21-22高三•江西•阶段练习)若函数/(无)=3x+--3(尤>0)的图象与函数g(x)=tre，的图象有公切线/,

且直线/与直线>=-;x+2互相垂直，则实数/=()

A.—B.e2C.一或2>/^D.—或4人

eee

【答案】D

【分析】根据垂直性质可得勺=2,再求导根据导数的几何意义可得切线/的方程为y=2x-l,再设函数

g(x)=txe与直线/切于点(如为),列式求解即可

【解析】由题知，勺=2,令/(x)=3-：=2,又x>0,解得x=l,因为/'(1)=1,所以切线/的方程为

y=2x—l.g\x)=t(x+l)ex,

设函数g(x)=ixe*与直线/切于点［,%),

%_二1=走而

2尤0-1=%1。%

所以

2=z(x+l)e"'2%’

0----=作与

飞+1

2%—12O%=1X=--

J或。2.

即一^=17，2xl-xo-l=O,解得<

X。%+1et=4Je

故选：D

♦题型07切点、切线有关的其他问题

21.（23-24高三上•山西•阶段练习）过点（2,0）作曲线）（力=职工的两条切线，切点分别为（％,”％））,

（/孙〃/%）），则：1+丁1=（）

A1A2

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【分析】求出导函数，设出切点坐标，利用导数几何意义建立斜率方程，利用韦达定理化简计算即可.

【解析】由题意得尸（彳）=（彳+1户，过点（2,0）作曲线/（x）=xe"的两条切线，

设切点坐标为贝即（其-2飞-2上=0,

%—2

由于e*>0,故无;—2%—2=0,A=12>0,

由题意可知不，々为龙：-2%-2=。的两个解，则%+%2=2,尤々1=-2,

%+%二：］

故选：B

22.（2024,云南楚雄,模拟预测）曲线〃x）=x3-lnx在点（1"（1））处的切线与坐标轴围成的图形的面积

为.

【答案】1/0.25

【分析】先求出切线方程，后求围成的三角形面积即可.

【解析】易知Ax）的定义域为xe（0,+8）,而/⑴=1,故切点为（U）,

设切线斜率为3且广。）=3无2一工，故左=尸（1）=3-1=2,

X

切线方程为》T=2（x-l）,化简得y=2x-l,

当y=0时，x=l,当*=0时，y=-l,

2

易知围成的图形是三角形，设面积为S,^S=|xlx|-l|=1.

故答案为：—

4

♦题型08导数的运算

23.(23-24高二下•广东•阶段练习)求下列函数的导数

(1)y=exsinx-cosx

(2)y=tanx+ln(—x)

xx

(3)y=x-sin—cos—

..ln(l-x)

⑷片十

【答案】(1)y=e%(sinx+cosx)+sinx；

11

,1

(3)y=1——cosx；

1+(1-x)ln(l-x)

(4)y=-

(1-X)QX

【分析】(1)(2)(3)(4)利用求导公式、导数的运算法则求解即得.

【解析】(1)y'=(exsinx)r-(cosx\=e"sinx+ex(sinx)r+sinx=ex(sinx+cosx)+sinx.

/_、sinxi、mi,cos2x-sinx(-sinx)111

(2)y=----+ln(-x),则y=-----------------+—•(z―%)=—z—+-.

cosxCOSX-xCOSXX

(3)y=x-^sinx,贝(Jy=1—Jcosx.

(4)广_占,”")©_山(1_力^_占7n(Lx)l+(lT)m(17)

•(ex)2e'(1)/

24.(23-24高二下•重庆•阶段练习)下列求导运算正确的是()

C.(22xy=22x+ID.(YcosJ=-2xsinx

【答案】B

【分析】对于A：根据导数的加法法则运算求解；对于B：根据导数的除法法则运算求解；对于C：根据复

合函数的链式法则运算求解；对于D：根据导数的乘法法则运算求解.

【解析】对于选项A：L3+-^=3X2-4-故A错误;

Vx)x

对于选项B：(g)[四豆二业=上色，故B正确；

VxJx2x2

对于选项C：(22X=2x22XXIn2=In2X221c+l^故C错误；

对于选项D：(尤2cosx)=(x?)cos尤+尤2(cosx)=2xcosx-x2sinx，故D错误；

故选：B.

25.(23-24高二下•北京•期中)下列导数运算错误的是()

A.f(x)=xcx,则〃x)=(x+l)e*B./(x)=siny,则:⑺=cos4

C.f^x)=4x,则/D.〃尤)=F，则.(x)J

【答案】B

【分析】根据求导法则，求导公式逐个选项计算即可.

【解析】A选项，/(x)=xer,则/(力=(尤)&+天(1)=1+》/=(》+：1)d,A正确;

B选项，f(x)=sinj,f⑺=,哈)=0,B错误；

11--1

C选项，=y[x=(X)2,/'(')=5%2=云4，C正确；

D选项，〃到=皿，⑴=皿1上吧包=匕皿，口正确.

X」X2X2

故选：B

♦题型09抽象函数的导数综合

26.(23-24高二下•重庆•期中)已知函数〃x)及其导函数g(x)的定义域均为R,〃x+l)与g(x)均为偶函

2024

数，且/(0)=1,则＞])=()

k=0

A.2025B.2024C.1D.0

【答案】A

【分析】根据条件得到/■(尤)=/(2-尤)，/(x)+/(-x)=2,从而得出函数F(尤)是周期为4的周期函数，再根

据条件得到/(0)+/(D+/(2)+/(3)=4,即可求出结果.

【解析】因为〃x+1)是偶函数，所以关于直线x=l对称，即〃x)=/(2-x),

由题知g(x)=r(x),又g(x)是偶函数，所以g(-x)=g(x),

贝ur(x)=f[-x),贝u/(%)=-/(-%)+c,

又“0)=1,所以"(0)=c,得到C=2,

所以/'(*)+/(-尤)=2,又由f(x)=〃2—x),得到/(-x)="2+x),

所以/(x)+/(2+x)=2①，/(2+x)+/(4+x)=2②，

由①②得到/(x)=/(x+4),所以函数〃x)是周期为4的周期函数，

由①得到/(1)+〃3)=2,又/(0)"(2)=1,所以〃0)+/(1)+〃2)+门3)=4,

2024

故2〃左)=506(/(0)+/(1)+/(2)+/(3))+/(2024)=4x506+/(0)=2024+1=2025,

k=0

故选：A.

27.(2024•山东•二模)已知〃无)为定义在R上的奇函数，设尸(力为〃尤)的导函数，若

f(x)=f(2-x)+4x-4,贝叶'(2023)=()

A.1B.-2023C.2D.2023

【答案】C

【分析】根据〃X)=〃2T)+4X-4进行((x)奇偶性和周期性的推导，得到广⑺是周期为4的偶函数,

从而算出((2023)的值.

【解析】因为/(x)=/(2-x)+4x-4,所以两边求导，得((尤)=一「(2-幻+4,

即尸(x)+尸(2_月=4①

因为为定义在R上的奇函数，则〃T)=-/(X),

所以两边求导，得尸(》)=/(-所以/(X)是定义在R上的偶函数，

所以「(2-x)=「(x-2),结合①式可得，-。)+­。-2)=4,

所以((无一2)+((》-4)=4,两式相减得，/(x)=f(x-4),

所以/'(X)是周期为4的偶函数，

所以((2023)=尸(-1)=八1).

由①式，令x=l,得/⑴=2,所以/'(2023)=/⑴=2.

故选：C.

28.(2024•河南周口•模拟预测)已知函数;'[x+g]是定义在R上的奇函数且在R上可导，若

/（2—力一/（2+x）+4x=0恒成立，贝lJf'（2024）=（）

A.-2B.0C.1D.2

【答案】D

【分析】借助复合函数的导数计算与函数奇偶性的性质可得函数（（x）的周期性，结合赋值法计算即可得解.

【解析】由/（2—力一/（2+x）+4x=0,W-/，（2-x）-f，（2+x）+4=0,

即广（2-同+/（2+*=4,

由函数小+为奇函数,故小+=

则一（一1）=广卜+m’

贝了（工+2）=-"1）=4_/卜+2）,

即/（%-1）+/（x+2）=4=r（x+2）+r（x+5）,

BPr（x-l）=r（x+5）,故广（X）为周期为6的周期数列，

故f（2024）=/（6X337+2）=/,（2）,

对r（2-x）+r（2+x）=4,令尤=0,有2r⑵=4,即广⑵=2,

故广（2024）=尸（2）=2.

故选：D.

29.（23-24高三下,内蒙古赤峰,开学考试）己知定义在R上的函数〃2x+2）为奇函数，且对WxeR,都有

/+=定义在R上的函数尸（x）为的导函数，则以下结论一定正确的是（）

A./（x+2）为偶函数B.=

C.OOD.尸（x）为偶函数

【答案】D

【分析】利用奇偶对称性、周期性以及复合函数求导法则即可判断各项正误.

【解析】对于选项A,因为/（2x+2）为奇函数，所以析（一2x+2）=—f（2x+2）,则有x+2）=-〃x+2）,

故/（x+2）为奇函数，故A错误;

对于选项B,因为/[+£|=(|一^,所以〃=+；卜/=/(f+2),

又〃r+2)=-“x+2),故〃x)=-/(x+2)=/(x+4),即函数〃x)周期为4,

则"3=z[l-4h/卜』手电)，故B错误；

对于选项C因为/(-x+2)=-/(x+2),所以"(f+2)]=[-〃龙+2打，

即-f'(-x+2)=-f'(x+2),即/'(-尤+2)=/f(x+2).

因为〃x)T(x+2),所以广(x)f(x+2)f(T+2),

所以电m+2)—'图”图,故C错误；

对于选项D,由选项C可知，r(-%+2)=r(x+2),所以/'(x)为偶函数，故D正确.

故选：D

30.(2024•江西鹰潭•一模)已知函数〃尤)，g(x)的定义域为R,g'(x)为g(x)的导函数,且

2023

y(x)+g'(x)-8=0,/(x-2)-g,(6-x)-8=0,若g(x)为偶函数，求£”“)=.

n-\

【答案】16184

【分析】先利用复合函数的导数与g("的奇偶性判断g'(x)的奇偶性，进而推得g'(x)与"X)的周期性，再利

用赋值法求得/(2),/(4),/(1)+/(3)的值，从而得解.

【解析】因为g(x)是偶函数，则g(T)=g(x),

两边求导得-g'(r)=g'(x),所以g'(x)是奇函数，故g'(0)=。,

由/(x)+g'(x)-8=0n/(x-2)+g〈x-2)-8=0n/(x-2)=8-g'(x-2),

代入/(*一2)—g'(6—尤)一8=0,得8—g'(尤一2)-g'(6-x)-8=0,

贝Ug'(x-2)+g'(6—x)=。，所以g'(尤+4)+g'(r)=0,

又g'(x)是奇函数，所以g'(x+4)=-g'(-x)=g'(x),

所以g'(x)是周期函数，且周期为4,

又/(x)+g'(元)-8=0,可知/(尤)也是以4为周期的周期函数，

令x=4,得/(4)+g'(4)-8=/(4)+g'(0)-8=0,故/(4)=8,

而g'(2)=g'(2-4)=g，(-2)=-g，(2)所以g'(2)=0,

令x=2,得〃2)+g'⑵-8=0,则/(2)=8,

而/(l)+g'(l)-8=0,/(3)+g'(3)—8=。，

又g'(3)=g'(-l)=-g'(l),则/(1)+/(3)=16,

2023

£/(«)=505"⑴+/(2)+/(3)+/(4)]+/(1)+/(2)+/(3)

n=l

=505x(8+16+8)+(8+16)=16184,

故答案为：16184.

【点睛】结论点睛：函数的对称性与周期性：

(1)若/(x+a)+/(—x+6)=c,则函数/(尤)关于中心对称;

(2)若=+6),则函数““关于》=等对称；

(3)若/(x+a)=〃尤-。)，则函数的周期为2a；

(4)若/(x+a)=—/⑺,则函数的周期为2a

02模拟精练

一、单选题

1.（2021•湖南永州•三模）若某物体做直线运动，路程S（单位：m）与时间"单位:s）的关系由函数s«）=入

2

表示.当f=2s时，该物体的瞬时速度v为--m/s,则当r=6s时，该物体行驶的路程为（）

e

A.2/B.4/6C.2”D.

【答案】D

【分析】首先求出函数的导函数，再根据导数的物理意义求出参数上的值，即可求出函数解析式，再代入即

可；

,1-L2

【解析】解：因为S⑺=*/?，所以S'（f）=-：He2,因为当t=2s时，该物体的瞬时速度v为-^m/s,所

以S〈2）=-gheT=-j,解得％=4,所以s（f）=4/，所以S（6）=4/

故选：D

2.（2024・福建・模拟预测）已知直线）=丘+。既是曲线丁=111%的切线，也是曲线丁=-皿-%）的切线,则（）

A.k=~,b=0B.k=l9b=Q

e

C.k=—,b=-lD.k=l,b=-l

e

【答案】A

【分析】设出切点，写出切线方程，利用对应系数相等建立方程，解出即可.

【解析】设直线与曲线y=lnx的切点为（&ln占）且占＞0,

与曲线y=-ln（-x）的切点为（无2,Tn（-9））且/＜。，

xy=（inx）=J,y=[-in（-x）]=­I，

则直线广区+万与曲线y=ln无的切线方程为y-ln玉=—（x-xj,即、=^^+111%-1,

%xl

直线＞=履+）与曲线y=-ln（-%）的切线方程为y+in（-%2）=-不（%-％2）,即y=-—x+\-]n（-x2）f

11

则《—玉=--x-2，解,,得1M=e，故七‘=一l=l一',/?1=In再—1y=0八,

]nx「l=l-ln（F）民二-e%e

故选：A.

3.（2024•黑龙江•二模）函数〃x）=|刃+1在尸_1处的切线方程为（）

A.y=4x+6B.y=-2x+6

C.y=-3x-3D.y=-3x-l

【答案】D

【分析】当x＜0时/（尤）=-丁+1,利用导数的几何意义求出切线的斜率，再由点斜式求出切线方程.

【解析】因为〃司=何+1,则｛I）士1,+1=2,

当x＜0时〃力=一丁+1,则〃x）=—3f,所以（（_I）=_3X（_1）2=_3,

所以切点为（-1,2）,切线的斜率为-3,

所以切线方程为y-2=-3（x+l）,即y=-3x-l.

故选：D

4.（2024•辽宁大连一模）斜率为1的直线/与曲线＞=ln（x+a）和圆V+yJ；都相切，则实数。的值为（）

A.0或2B.—2或0C.—1或0D.0或1

【答案】A

【分析】设直线/的方程为＞=x+6,先根据直线和圆相切算出6,在根据导数的几何意义算以

【解析】依题意得，设直线/的方程为y=x+6,

由直线和圆r+yJ：相切可得，,''2=—,解得6=±1,

271+(-D2

当b=1时，y=%+l和y=ln(x+a)相切，

设切点为(加,〃)，根据导数的几何意义，一1—=1,

m+a

n=Q

n=m+1

又切点同时在直线和曲线上，即解得m=-l,

a=2

即y=x+l和y=ln(x+2)相切，此时将直线和曲线同时向右平移两个单位，

y=x-l和y=lnx仍会保持相切状态，即/＞=-1时，a=0,

综上所述，。=2或。=0.

故选：A

5.(2024•全国•模拟预测)若直线与曲线yulog。％(。＞0且无公共点，则实数。的取值范围是

()

A.(l,e)B.l,e«D.ee,+oo

\7

【答案】D

【分析】由。＜“＜1时，易知直线y=x与曲线y=log"％必有一个公共点，当时，由直线与曲线相切,

利用导数法求得“一蓝，再由图象位置判断.

CL-C

【解析】解：当0＜。＜1时，直线尸X与曲线y=10g〃x必有一个公共点，不合题意,

当行时’若直线与曲线相切‘设直线与曲线尸bg/相切于点(%,%),则4=i,得.=占

由切点在切线上，得%=%0=；---,

Ina

由切点在曲线上，得％=loga%0=log〃e,

Ina

所以/=e，〃=■

如图所示:

y)

/e,e）

/n"

故当直线丁=龙与曲线"log。》（a>0且"1）无公共点时，fl>el.

故选：D

【点睛】思路点睛：0<。<1时，由y=x单调递增，y=log,％单调递减容易判断；时，利用导数法研

究直线与曲线相切时G的值，再根据对数函数在第一象限内随底数。的增大，图象向x轴靠近而得解.

6.（2024•江苏•模拟预测）贝塞尔曲线（Beziercurve）是应用于二维图形应用程序的数学曲线，一般的矢量

图形软件通过它来精确画出曲线.三次函数/'（X）的图象是可由A,B,C,。四点确定的贝塞尔曲线，其中

A,。在的图象上，f（x）在点A,。处的切线分别过点8,C.若A（0,0）,,C（2,2）,0（1,0）,

则〃x）=（）

A.5%3—4x?—尤B.3%3—3JC

C.3x3—4x~+xD.3%3—2尤2—尤

【答案】C

【分析】由题意设出函数表达式，结合函数值、切线斜率建立方程组，待定系数即可得解.

【解析】设=加+cx+d,贝U/'（x）=3ar2+2bx+c,

/(。)="=0

f^=a+b+c+d=0a—3

b=-4

由题意，/⑼=c=U=L，解得‘c_],所以/(%)=3九一4%2十%

2—0d=0

f(l)=3a+2/?+c=2_1=kDC

故选：C.

7.（2024•海南海口•二模）已知函数〃x）的定义域为R,/（x+1）是偶函数，当尤时，/（x）=ln（l-2x）,

则曲线y=〃x）在点（2,〃2））处的切线斜率为（）

C.2D.-2

【答案】C

3

【分析】根据函数对称性求出尤时的/'(尤)解析式，利用导数的几何意义求解.

【解析】因为/(X+1)是偶函数，所以函数/(X)的图象关于X=1对称，则/(2-X月(r),

31

当%>一时，2—x<—,

22

;./(2_尤)=111[1_2(2_尤)]=ln(2尤一3),

7

.-./(x)=ln(2x-3),贝|]/(尤)=,

2x~5

二.广(2)=2,即曲线y=外力在点(2,/(2))处切线的斜率为2.

故选：C.

8.(2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测)设〃x)=sinx,4(x)=(x),力(x)=«x),,，篇(力=歌(同,则

型口等于()

AnR百rG-1nJ_

222

【答案】A

【分析】根据题意分析可知：可知力+4(x)=/,(x),且工(x)+力(x)+力(x)+力(x)=0,结合周期性分析求

解.

【解析】由题意可得：fi(X)=cosx,f2(x)=-sin%,f3(x)=-cos无，力(x)=sinx,f5(x)=cos尤，

可知力+4(x)=Z,(x)，且工(x)+,(x)+力(x)+/(x)=0,

2024()

且2024=506x4,所以?[尖=。.

故选：A.

二、多选题

9.(2021・广东•模拟预测)某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态,

经抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64ppm,继续排气4分钟后又测得浓

度为32ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(单位：ppm)与排气时间f(单位：分)之间满足函数关

系>=/(力，其中号=R(R为常数).若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm,人就可以安全进入车库了，

则下列说法正确的是（）

1

A-R=e，

„In2

B.R=--------

4

C.排气12分钟后，人可以安全进入车库

D.排气32分钟后，人可以安全进入车库

【答案】BD

【分析】

由已知嘿=氏，找到函数模型，通过待定系数法得到函数解析式，再解不等式即可.

【解析】

因为务=氏，所以/（力=。・小（。30）符合要求.

［〃叱=64

Itz-e8/?=32

解得R=--，a=128,故B正确，A错误.

4

In2

f«）=128eF'

In2i

当f«）40.5时,即128「7＜0.5,得e4

所以-半Kin上，即出一41n2-s=32,所以排气32分钟后，人可以安全进入车库，故D正确，C

4256In2

错误，

故选：BD.

10.（2024•山东济南•一模）己知函数八月=£：0$3+夕）］。＞0,。＜。＜5］的图象在丫轴上的截距为3，合是

该函数的最小正零点，则（）

兀

A.（p=—

3

B.〃x）+r（x）W2恒成立

C.在J［上单调递减

D,将y=/（£）的图象向右平移