二次根式【九大题型】原卷版-2025年中考数学一轮复习

二次根式【九大题型】

题型梳理

题型1二次根式有意义的条件

题型6已知条件式，化简求值

题型2二次根式的非负性

题型7二次根式的规律探究

题型3二次根式性质的应用

题型8与二次根式有关的新定义问题

题型4二次根式的估值

题型9与二次根式有关的阅读材料开放性问题

题型5二次根式的混合运算

亦实基岫,生主嵬整扣钠体东

1二次根式的定义

我们把形如迎(a20)的式子叫做根式；a叫做被开方数；厂叫做二次根式.

2二次根式有意义的条件

二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0,

即要使得仍有意义，贝必20。

3二次根式的性质

(1)双重非负性：气中a20,V^>0；

(2)(Va)2=a(a>0)；

_(a,a>0

(3)Va2=|a|=]0,a=。.

I—a,a<0

4二次根式的乘除

4.1二次根式的乘法y[a-Vb=Vab^Vab=y/~a,VK(a>0,6>0)o

4.2二次根式的除法窄=/I=窄(a>。力>0)。

7bbbA/bND

4.3二次根式的乘方法则y[a-yfa=7a•a=Va^=ct（ci>O）Va,4a=（Va）2=a（a>O）。

5最简二次根式

①被开方数不含有分母（小数）；②被开方数中不含有可以开方开得出的因数或因式.

【例】怎乎是最简二次根式，<2,是最简二次根式.

6分母有理化

若分数的分母是无理数，把其化为有理数的过程叫做分母有理化.

［例］J__'乂口_V2_I___1-(巡+1)__%+1

'刃'V2-V2xV2—T，V5-1—(V5-1)(V5+1)-4

7二次根式的混合运算

运算顺序：先乘方后乘除再加减，同级运算从左到右.

基本方法馍决也老a,现造筋致褪力

【题型1】二次根式有意义的条件

【典题1】（2024•湖南岳阳•模拟预测）要使式子返平有意义，贝年的取值范围是（）

x—1

A.%>—3B.%>—3C.%>—3且%H1D.%之一3且工。1

【巩固练习】

1.（2020・湖北恩施•中考真题）函数y=号的自变量的取值范围是（）

A.%>—1B.%之一1且%H0

C.%>0D.%>—1且%。0

2.（2023•海南海口•模拟预测）在函数y=4可中，自变量x的取值范围是（）

V3x—1

A.%>|B.%>|C.%制D.%W0

【题型2】二次根式的非负性

【典题1］（2024•四川内江•二模）若|2a—3b+5|与V3a—26—1互为相反数,则

a+b=.

【巩固练习】

1.（2024,云南昭通,一模）若。a+3+（6—2）2=0,贝！］a+6的值为（）

A.-1B.1C.-5D.5

2.（2024•重庆•一模）已知等腰三角形的两边a,b满足击?+|b—10|=。，则等腰三角形

的周长为.

【题型3】二次根式性质的应用

【典题1】（2023•湖南娄底•模拟预测）2,3,机是某三角形三边的长，则7（l-m）2+

J（m—5丁等于（）

A.2m-6B.6-2mC.6D.4

【巩固练习】

1.（2024•宁夏银川•模拟预测）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则代9+1+上―1|

的化简结果是（）

a

-1012

A.2B.2a-1C.0D.1-2a

2.（2024•河北秦皇岛•一模）若P=J（嘤f_（|）2,Q=V20252-2X2025+1,则关于P

与0的大小关系正确的是（）

A.P>QB.P=QC.P<QD.以上都不对

3.（2024・贵州毕节・模拟预测）若7<t<9,则化简|5-t\+J（t—10产的结果是（）

A.5B.-5C.2t—15D.15—2t

4.（2024・湖南衡阳•模拟预测）已知鬻-1,则化简J(a+Il—4+J(a—£)2+4的结

果为（）

22

A.—2aB.2aC.2aH—D.

aa

【题型4】二次根式的估值

【典题1】估计10-271石的值在（）

A.0和1之间B.1和2之间

C.2和3之间D.3和4之间

【巩固练习】

1.（2023•重庆潼南•模拟预测）估计鱼（通+电）的运算结果应在（）

A.3到4之间B.4到5之间C.5到6之间D.6至U7之间

2.（2023・重庆•中考真题）估计鱼（痣+VT6）的值应在（）

A.7和8之间B.8和9之间

C.9和10之间D.10和11之间

3.小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表.

X1515.115.215.315.415.515.615.715.815.916

X2225228.01231.04234.09237.16240.25243.36246.49249.64252.81256

下面有四个推断：①&^丽=1.51；②一定有3个整数的算术平方根在15.5〜15.6之间；③

对于小于15的两个正数，若它们的差等于0.L则它们的平方的差小于3.01.所有合理推断

的序号是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【题型5】二次根式的混合运算

【典题1】计算：V2(V6-(V2O24-V2O23)0.

【巩固练习】

1.计算:

(1)(3V18+|V50-4J1)-V32

(2)(—2V2)+V24x1+|V3-2|-6

2.计算下列各题:

(1)(V3+V2)x(V3-V2)-|l-V2|；

(2)V48V3+2jlxV30-(2V2+V3)\

【题型6】已知条件式，化简求值

【典题1］已知％=遮+2,y=V5—2.

(1)求%2+%y+y2的值；

(2)求%2+y2—xy—2%—2y的值.

【巩固练习】

1.已知a+b=鱼-1,ab=-1,则M+山)+炉的值是()

A.2-V2B.4-2V2C.2-2&D.3-V2

2.已知a+b=6,ab=7,则代数式a的值为.

3.在解决问题“己知a斤求2a2—8a+1的值”时，小明是这样分析与解答的：先将。进

2+V3

行分母有理化，过程如下，

〃=，=_*3_=2_、反

2+V3(2+V3)(2-V3)V，

.**a=2—V3>

(a—2)2=3,a2—4a+4=3,

・\—4a=-1,

2a2—8a+1=2(a2—4a)+1=2x(—1)+1=—1.

请你根据上述分析过程，解决如下问题：

(1)若。=竟不请将。进行分母有理化；

(2)在(1)的条件下，求2a3_4小一1的值.

【题型71二次根式的规律探究

【典题1】（2024•安徽池州•模拟预测）观察下列等式:

2

①3-2鱼=（鱼-1）；

②5-2乃=（V3-V2）2；

③7-2VH=（V4-V3）2；

请你根据以上规律，解答下列问题：

（1）写出第6个等式：；第〃个等式：；

⑵计算：75-2V6+V7-2V12+V9-4V5+V11-2V30.

【巩固练习】

1.（2024・云南楚雄•模拟预测）按一定规律排列的式子逗，哼，空誓，…,则第几个式子

a曲a5a7

是（）

A.V-f=2+1p，九2一1

*a2n+1B*a2n+1Jtt2n-l

2.观察下列各式的规律：①2J|

规律，若m但=Im+—；则加、〃的值为（）

A.m=10,n=21B.m=10,九=99

C.m=9,n=19D.m=9,n=80

3•已知&=J"5+2=JI

”31+++A

…，〃=J1+力焉,其中〃为正整数•设SLT1+T2+T3+…+%，

则$2024值是()

A-2024|粽B.2025藕C,2024^D.2025嬴

【题型8】与二次根式有关的新定义问题

【典题1】任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数/：6＜7＜九，(其中小

为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数)，则称无理数T的“麓外区间”为

(m,n),如1＜鱼＜2,所以鱼的麓外区间为(1,2).

⑴无理数内的“麓外区间”是「

(2)若b=V^2+V2^a-V7,求6的“麓外区间”；

(3)实数％,y,满足J2x+3y—n++4y_2n=Jx+y—41+/41一x—y,求n的

算术平方根的“麓外区间”.

【巩固练习】

1.阅读材料，解答下列问题.

材料：我们将+VF与仿—VK称为一对"对偶式"，因为(仇+诉)(历—逐)=0\/£)2—

(声)2=a-上所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将(6+VK)和(五―VF)中的“厂，

去掉.比如遇到白一样的式子，可以将其进一步化简：高行=77^嘉%=四—

V3+V2V3+V2(V3+V2)(V3-V2)

VL问题：

(1)vfcr----------；

(2)已知19+x+V3+x=3,求村9+v—C3+%的值.

2.若三个非零实数x、y、z满足：若其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这

三个实数以y、z构成“青一三数组”，例如：因为《白、:的倒数能够满足2+3=5,所以数

组(':构成“青一三数组”•

(1)下列三组数构成“青一三数组”的有；(填序号)

①1、2、3；②1、"I、1；③g+1、,、V3—1.

(2)若也击、口卜丰0)构成“青一三数组”，求实数t的值；

(3)若非零实数?"、—1构成“青一三数组”，且满足以下三个条件：①a+6+c=0；②点

P9,?到原点的距离记为小③不等式鬻+：〈层恒成立.求实数6的取值范围.

【题型9】与二次根式有关的阅读材料开放性问题

【典题1】(2024•广东•模拟预测)【代数推理】代数推理指从一定条件出发，依据代数的

定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论.

【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数口、小它们的乘积q(q=mn)

与较大数的和一定为较大数的平方.

(1)举例验证：当m=4,n=5,则q+n=4x5+5=25=52

(2)推理证明：小明同学做了如下的证明：

设m<n,m、〃是连续的正整数，

n=m+1；q=mn,.'.q+n=mn+n=n(m+1)=n2.

+几一定是正数n的平方数.

【类比猜想】小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方.

请你举例验证及推理证明；

【深入思考】若p=Jq+2n+Jq—2nl(加,〃为两个连续奇数，0<zn<n,q=rrm),

求证：P一定是偶数.

【巩固练习】

1.（2020・山西太原•模拟预测）阅读下列材料，完成相应任务：

卢卡斯数列法国数学家爱德华•卢卡斯以研究斐波那契数列而著名,

他曾给出了求斐波那契数列第九项的表达式，创造出了检验素数

的方法，还发明了汉诺塔问题.

“卢卡斯数列”是以卢卡斯命名的一个整数数列，在股市中有广泛的应用.卢卡斯数

列中的第n个数尸⑺可以表示为+（臂）"T，其中n>1.

（说明：按照一定顺序排列着的一列数称为数列.）

任务：

（1）卢卡斯数列中的第1个数八1）=,第2个数/（2）=;

（2）求卢卡斯数列中的第3个数F⑶；

（3）卢卡斯数列有一个重要特征：当几23时，满足F㈤=F（„_I）+F（„_2）.请根据这一规

律直接写出卢卡斯数列中的第5个数：?⑸=.

2.(2024・湖南益阳•模拟预测)小静、小智、小慧是同一学习小组里的成员，小静在计算时

出现了一步如下的错误：V2+V3=V5

小智与小慧分别从不同的角度帮助小静加深对这一错误的认识：

小智的思路：将鱼+四，店两个式子分别平方后再进行比较；

小慧的思路：以VLV3,遮为三边构造一个三角形，再由三角形的三边的关系判断四+K

与店的大小关系.

根据小智与小慧的思路，请解答下列问题：

⑴填空：

V(V2+V3)2=,(V5)2=,

(V2+V3)2H(V5)2,V2+V3V5.

①请判断△NBC是什么特殊的三角形，并说明理由;

②根据图形直接写出鱼+旧与逝的大小关系.

3.材料：如何将双重二次根式"1互\历(a>0,b>0,a+2y[b>0)化简呢？如能找到

两个数n(m>0,n>0),使得(诉?尸+(迎产=a,即m+n=a,且使诉人低=

Vb,即m-n-b,那么a±2&=(Vm)2