高考数学专项复习：平面向量及其应用（六大题型+模拟练）培优练习题

专题16平面向量及其应用（六大题型+模拟精练）

01题型归纳

目录：

♦题型01平面向量的有关概念

♦题型02平面向量的线性运算

♦题型03平面向量的数量积

♦题型04平面向量的基本定理与坐标表示

♦题型05平面向量的综合应用

♦题型06三角形的“心”的向量表示

♦题型01平面向量的有关概念

1.下列说法错误的是（）.

A.零向量没有方向

B.两个相等的向量若起点相同，则终点必相同

C.只有零向量的模等于0

D.向量A8与的长度相等

【答案】A

【分析】A.由零向量的定义判断；B.由相等向量的定义判断；C.由向量模的定义判断；D.由相反向量的定义

判断

【解析】A.规定零向量的方向是任意的，所以零向量有方向，故错误；

B.两个相等的向量大小相同，方向相同，所以若起点相同，则终点必相同，故正确；

C.由向量模的定义可知只有零向量的模等于0,故正确；

D.向量AB与54是相反向量，大小相同，方向相反，故正确；

故选：A

2.若向量4与人为非零向量，下列命题中正确的是（

A.若a=b，贝12a>3b

BC-BA-DC=DA

若非零向量同+忖=|\a+b\,则4与b的方向相同

若同=W=|c|,则a=6=c

【答案】C

【分析】利用平面向量不能比大小可判断选项A；利用平面向量的加法与减法法则可判断选项B；由平面向

量的数量积和模的性质可判断选项C；根据向量相等的定义判断D选项.

【解析】对于A选项，由于向量不能比大小，所以A选项错误；

对于B选项，BC-BA-DC=AB+BC+CD=AD，B错误；

对于C选项，因为同+忖=k+可，所以（同+附=（卜+盯，

所以同2+忖+2\a\-^=a2+b2+2a-b,

所以2间似=2a-6,设向量同小卜瓦忖•cosa,b

又向量4与人是非零向量，所以cosa,6=l,又a,be[O,兀

所以a,b=O,故。与6的方向相同；C正确；

若问=卜|=同，上c方向不一定相同，则不一定相等，D错误；

故选：C.

3.与向量。=。,1）平行的所有单位向量为（）

（22）I22）

I22J122）（22）

【答案】D

lrl・/、aa

【分析】首先求出〃，则与向量a=（Ll）平行的单位向量为□或一口，即可判断.

【解析】因为。=（u）,所以忖=JF+12=&,

所以与向量。=（1,1）平行的单位向量为'=5（1，1）=等，曰]或一，=一5。/）=一日，一¥

故选：D

4.已知两个单位向量a,b的夹角是60。，贝|卜-3可=.

【答案】币

【分析】利用单位向量模长以及夹角，将卜-3可平方即可求得结果.

【解析】由单位向量可知小忖=1,且02=忖忡。560=1；

所以可得,一361=|a|2+9|z?|2-6a-Z?=10-6x1=7,

即卜-36卜"

故答案为：近

♦题型02平面向量的线性运算

5.在，ABC中，。是BC的中点，E在AZ）上，且AE=2ED，贝1J8E=（）

A.-AB--ACB.--AB+-AC

3333

2i?1011uu®

C.-AB——ACD.——AB+-AC

3333

【答案】D

【分析】根据题意利用平面向量基本定理结合向量的加减法运算求解即可.

【解析】因为。是BC的中点，所以AO=gA3+〈AC.

211

因为A£=2即，所以4£=耳4。=耳45+14。，

21

贝|5E=AE—A3=—1AB+]AC.

故选：D

6.如图所示，在/ABC中，。为边上的三等分点，若AC=b^E为AZ）中点，贝iJsE=（）

A

fE

BDC

A.3+4B.2/

3636

11711,

C.——a+—bD.-tzH—b

3636

【答案】A

【分析】根据向量的线性运算即可求解.

【解析】

AB+^BC

BE=AE-AB=-AD-AB=~-AB=--AB+-(AC-AB]=--AB+-AC=--a+-b

2226、)3636

故选:A

7.如图，在平行四边形中，E、尸分别是8边上的两个三等分点，则下列选项错误的是（

B.AD+DC=AB+BC

3

C.CB-CE=EBD.AF=-AD+-AC

33

【答案】D

【分析】根据向量加法法则、向量减法法则及平面向量基本定理即可求解.

【解析】对A：由题意知，E、尸分别是8边上的两个三等分点，且E尸与A5方向相同,

贝==故A正确;

对B：由图可知，AD+DC=AC-AB+BC^AC，所以40+OC=AB+BC，

故B正确;

对C：CB-CE=EB,故C正确;

22-Ir\

对D：AF^AD+DF=AD+-DC=AD+~AC-AD]=-AD+-AC故D错误.

33)33F

故选:D.

8.在A5c中，。为BC中点，连接AZ）,设E为AD中点，S.BA=x,BE=y,贝l]BC=（）

A.4.x+2yB.-4x+y

C.-4x—2yD.4y-2x

【答案】D

【分析】利用平面向量基本定理将BE用Be"!表示出来，再用向量的线性运算把BC用表示即可.

【解析】由于5百=](3A+3D)=+,所以BC=45£—2BA=4y—2x,

故选：D

9.如图所示，a—b=()

A.2ex-3e2B.-2ex+3^2

C.3q—2qD.—3q+2/

【答案】A

【分析】结合图形，由平面向量正交分解和向量的线性运算即可得到结果.

【解析】由题意得，6?=3^+e2,b=ex+4e2,

故ci-b—3q+e,-(q+4eJ=2e1—3%.

故选：A.

,13.

10.已知向量不共线，则向量-纭+b与-a-ub(teR)共线时，实数/=()

t2

A.逅B,土国C.2D.±-

3333

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用共线向量定理，列式计算即得.

【解析】由向量。力不共线，得向量-加+6片0，

1313

由向量Ta+b与-a—彳6共线，^-a——b=A(—ta+b),A.eR,

t2t2

,1

-A?=­I—

于是I,所以f=±也.

,33

故选：B

11.己知M是边长为1的正,ABC的边AC上靠近C的四等分点，N为A2的中点，则创介政V的值是(

【答案】A

3113

【分析】根据平面向量的线性运算可得+MN=^BA-^BC,结合数量积的运算律计算即可求

解.

【解析】如图,

13113

MN=BN-BM=-BA-(-BC+-BA)=-BA——BC,

24444

3113

-MN=(.-BC+-BA)\-BA--BC)

3921.23911

=—BCBA--BC+—BA-—BABC=-—+—=——

1616161616162

故选:A

12.在一ABC中，=O且(AC+BCA(AC-BC)=O,则错误的选项为()

A.\CA-CB\=\CA+CB\B.\AB-AC\=\BA-BC\

C.|CA-BA|=|CB-AC|D.|CA+CB|2=|AB-AC|2+|BA-CA|2

【答案】C

【分析】先由条件推得ABC为等腰直角三角形，不妨作正方形ADBC,取边长为1,结合图形依次化简等

式的左右向量式，计算即可判断正误.

【解析】由AC.BC=O可知NACB=90，又由(AC+BC)・(AC-BC)=0可得|AC|=|BC|,

故得一至C为等腰直角三角形.

如图，作正方形ADBC,设边长为1,连接C0AB.

对于A项，|CA-CB|=|BA|=£|。4+0叫=|。4=应，故A项正确；

对于B项，|AB-4弓=|。@=1,而|BA-BC|=|CB+54|=|C4|=1,故B项正确；

对于C项，|CA-8A|=|CA+AB|=|CB|=1,W|CB-AC|=|CB+CA|=|CZ）|=A/2,故C项错误；

对于D项，|C4+C8|2=|COF=2,IAB-ACI2+|BA-C412=|CB|2+|BC|2=2,故D项正确.

故选：C.

♦题型03平面向量的数量积

13.在&ABC中，内角A民C所对的边分别为。涉,。，。是BC的中点，BCAD=2c2,则驾=___

sinC

【答案】V5

【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律，结合正弦定理边化角即可得解.

【解析】在ABC中，。是BC的中点，BCAD=(AC-AB).1(AC+AB)=2c2,

则\c_Ag2=4c2,BPb1-(?=4c°,因止匕〃=5c2,

所以当=

smCc

故答案为：非

2X+y

14.在“IBC中，BD=-BC,尸是线段AD上的动点(与端点不重合)，^CP=xCA+yCB,则飞上的最

小值是.

【答案】4+2拓

-9一

【分析】由友)二§5C,得到C3=3CD，AffiJWCP=xCA+3yCD,再根据AR。三点共线，得至!]%+3y=l,

然后利用基本不等式求解.

2

【解析】解：因为在一ABC中，BD=-BC,

所以CB=3C。，

又因为CP=xCA+yC8,则CP=xCA+3yC。，

因为A,尸,。三点共线，则x+3y=l,结合题意知x>0,y>0,

所以^^=工+工=（工+工］（》+3〉）,

孙>xI>龙J

J+型+4*注+4=26+4,

yxyx

I-6

故答案为：4+2百

15.已知向量£,6满足。="=2,k-0=2退，贝!]0力=

()

A.-2B.一2#>C.2A/3D.6

【答案】A

【分析】由条件\-4=2石，两边平方可得,-6)2=12,

结合数量积的运算律化简可求结论.

【解析】因为：-力=24，

所以(a-b)=12,

所以J+/一2〃.=12，

所以忖+卜-2a-b=12,又M=M=2,

所以Q•。=一2,

故选：A.

16.已知平面向量加，〃均为单位向量，若|机-3〃|=近,则向量加，〃的夹角伽,力=()

【答案】c

【分析】|相-3〃|=五两边平方，求出力〃二g：

,利用向量夹角余弦公式求出答案.

222

【解析】m-3n=(m—=m_^m.n+gnf

因为机，〃均为单位向量，|加-3〃|=J7,

所以1—6m・几+9=7，解得m-n=—,

所以cos/m〃)—生土—工―工，

cos6町网.同1X12

又〈根㈤e[0,兀],故例〃)=1.

故选：c.

17.若向量0=（41）与6=（4,2）的夹角为锐角，则实数几的取值范围是.

【答案】C"2,+⑼

【分析】由a与》的夹角为锐角，贝必.6＞（）,列出不等式解出2,要去掉使a与b同向（a与b的夹角为0）

的几的取值.

【解析】回。与〃的夹角为锐角，^a-b＞0＞即4/+2＞0,解得力＞—5，

当a与Z?共线时，可得2丸一4=0,解得％=2,

所以当2=2时，a与b同向，

团实数2的取值范围是（-；,2）7（2,+00）.

故答案为：（-1,2）u（2,+«）.

18.已知&是单位向量，且|2e-4=JIU,a+2e在e上的投影向量为5e,则。与e的夹角为（）

兀兀兀5兀

A.—B.—C.—D.—

64312

【答案】B

【分析】根据|2e-4=JI5,,推理得至I]/一4a-e=6,再由投影向量求得。-e=3,联立得到同=3&,利

用两向量的夹角公式计算即得.

【解析】因为g是单位向量，且陞-4=&5，

两边平方得,4e2-4a-e+a2=10,即必一4a-e=6（*）,

（a+leYe

由。+2e在e上的投影向量为5e,可得、।0汰=56

所以（a+2e）-e=5,即=3,代入（*）可得，a2=18,即问=3人，

所以cosa,e=^苫==?,

\a\\e\3j22

因为。,6£[0,兀所以a,e=：.

故选：B.

19.已知向量|。4卜3,口目=2,5C=（m—〃）OA+（2〃一加一1）03,若Q4与08的夹角为60°,且OC团AB,

则实数2的值为（）

m

61

C.D.-

6

【答案】A

n7

【分析】利用向量的线性运算得到OC=（%-〃）。4+（2〃-利）。5,再由向量垂直得到方程，求出一=（.

m8

【解析】BC=(m-n)OA+(2n-m-l)OBf

即OC—OB=(m—n)OA+{2n—m—\)OB,

所以OC=^m—njOA+(2n—mjOB,

因为0C回AB，所以OC-AB^^m-n)0A+(2n-m^0B^(0B-0A^

=[(m-n)(9A+(2n-m)OB](OB-OA)

__.__.2__.2

=^2m—3n^OA-OB—^m—n)OA+(2n—m)OB

=(2m-3n)|(9A|-|(?B|COS60°-(m-n)|OA|+(2n-m)|0B|

=(2m-3n)x3x2xg-9(加-〃)+4(2n-m)

=6m-9zz-9m+9n+8M-4m=-7m+8z:=0，

解得乜YI7

m8

故选：A

20.在矩形ABC。中，AB=4,BC=2,E为AD的中点，尸为AB的中点，。为边8上的动点（包括端

点），则。£。尸的取值范围为

【答案】[U0]

【分析】建立适当的平面直角坐标系，引入参数L结合向量数量积的坐标公式将QE•。尸表示成/的函数,

由此即可得解.

【解析】建立如图所示的平面直角坐标系：

姝

O(A)FBx

由题意A（0,0）,3（4,0）,C（4,2）,0（0,2）,E（0,1）,—2,0）,设Q&2）,（0VY4）,

从而坐=（—,-1）,少=（27,-2）,0£0尸=产-2/+2=（7—1）2+11€[0,4],

所以0E•。尸=”l）2+lje[0,4]的取值范围是[1,10].

故答案为：[1,10].

21.已知A2是圆O：尤2+/=2的直径，M,N是圆。上两点，且ZMQV=120。，贝!|（。M+皿＞43的最小

值为（）

A.0B.-2C.-4D.-4A/3

【答案】C

【分析】取MN的中点C,结合垂径定理与数量积的运算表示出（OM+ON＞AB后，借助三角函数值域即可

得解.

【解析】设建V的中点为C,0ZMGW=120°,OM=ON,

则OC=Ain30?―,

2

EIC为MV的中点，^OM+ON=2OC.

设向量OC与AB的夹角为夕（。＜夕＜兀），

0(OM+ON、AB=2OC-AB=210cl网cos0=4cos0,

又cos©e[-1,1],+ON)-AB的最小值为-4.

故选：C.

22.在平行四边形ABC。中，AC=23£＞=4,点P为该平行四边形所在平面内的任意一点，则

|尸4|2+|尸8|2+|尸(3|2+|2。|2的最小值为()

A.6B.8C.10D.12

【答案】C

【分析】设AC与8。的交点为。，由PA=PO+QA,两边平方可表示出|PAF,同理可表示|F,|PC匕|F,

四个式子相加化简可求得结果.

【解析】设AC与8。的交点为。，由PA=PO+OA，

得|PA|2=|尸O『+1OA|2+2POOA,

同理可得|PB『=|PO^+\OB^+2POOB,

|PC|2=|PO|2+1OC|2+2POOC,

|PD|2=|PO|2+1OD|2+2POOD,

所以IPA『+1PB『+1PCF+1PDF=

41PO|2+1OA|2+1OB|2+1OC|2+1OD|2+2PO-(OA+OB+OC+OD)

=4|P(9|2+10>10,当点P与点。重合时，等号成立.

故选：C

♦题型04平面向量的基本定理与坐标表示

23.设e；、e；是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是（）

A.q和G+2e2B.q+2e2与3q-e?

C.q+2e2与-2q-4e?D.3e1-e24e2-ex

【答案】C

【分析】根据基底的概念及平面向量基本定理判断即可.

【解析】4、02是不共线的两个非零向量,

对于A,q和6+2/中，,和q+2/不共线，可作基底，A不是；

12.

对于B,,+2/与3,-』中，彳工二，G+2C2与狷-/不共线，可作基底，B不是；

一3—1~

12

对于C,6+2/与一2q-中，—,q+2与与一26一41共线，不能作基底，C是;

--―2—4~~

3-1

对于D,3,-4与《与一"中，—,36-/与不共线，可作基底，D不是.

故选：C

24.在qABC中，内角A,B,。所对的边分别为。，b,。.向量〃=（。+。,一/?），4=（。+/?,"-°）,若,//4,

则角。的大小为（）

.7C7C兀27c

A.—B.-C.—D.—

6323

【答案】D

【分析】先由P〃q得至11一々6=/+^一°2,再利用余弦定理即可得解.

【解析】因为方=（a+c,-6）,〉=（a+b,a-c）,p!Iq,

所以（。+。）・（《—。）一（一6>（。+人）=0,即-“6=〃+廿一/,

因为Ce（O,兀），所以C=（,

故选：D.

25.己知向量a,b的夹角为g,卜|=1,W=2,在ABC中，A8=2o+3〃，AC=2a-b>BD=^BC,

则固=（）

A.2B.20C.2A/3D.6

【答案】A

【分析】首先由数量积的定义求出°山，再由平面向量线性运算法则得到AO=2a+6,最后根据

\AIJ\=J（2a+/及数量积的运算律计算可得.

【解析】因为向量a，8的夹角为牛，忖=1,W=2,

J3|fl^1«-Z7=|«||z?|cos^=lx2x[--|=-1,

又因为">=42+2。="+L2。=42+14。-42）=1。+工45

22、>22

=g（2a-6）+；（2a+36）=2。+6,

所以2a+b）=V^2+4a-b+b

=^4xl2+4x（-l）+22=2.

故选：A

26.已知向量a=（L。）,。=（4,〃z）,若12a-司不超过2及，则机的取值范围为（

A.[-B.[-C.[—3,3]D.[-2,2]

【答案】D

【分析】先求得的坐标，再由|2。-,不超过2近求解.

【解析】解:因为2a-6=（2,0）-（4,7〃）=（-2,-〃z）,且|2°-用不超过2垃，

所以J（-2）2+（TW）2W2A/5,解得-2V〃ZW2,

故选：D.

27.如图，在等腰梯形ABCD中，AB=BC=2,CD=3,BC=4BE,则C4.£>E=

【答案】

4

【分析】建立平面直角坐标系，坐标法求向量数量积.

【解析】在等腰梯形A8CO中，AB=BC=2,CD=3,

过B作C£>的垂线，垂足为歹，FC=-,BF=y/BC2-FC2=—,

22

以8的中点。为原点，OC为X轴，建立平面直角坐标系，如图所示:

(93岳'

由3c=4BE,得E石

o

(5后、

所以C4=--，^―,DE=

\22J

7曰r"521V153岳15

28284

故答案为：

4

.m

28.如图，点。是..ABC的重心，点。是边BC上一点，J!LBC=4DC，OD=mAB+nAC，则一=()

1

C.——D.

54

【答案】C

【分析】延长AO交BC于E,根据题意，得至l」A0=20E且AE=g（A5+AC）,再由BC=4£>C，可得。是

BC的四等分点，根据向量的运算法则，求得。。=-二AB+^AC,求得狐〃的值，即可求解.

1212

【解析】如图所示，延长A0交BC于

由已知。为ABC的重心，则点E为3C的中点，可得AO=2OE，且AE=g（A8+AC）,

又由2C=4DC，可得。是3C的四等分点，

l

贝UOO=OE+EO=』AE+』8C」xUA8+AC）+UAC_AJB）=---A3+»AC,

3432、,4、'1212

,157771

因为O。二mAB+及AC，所以机=一二，〃=二，所以一=~~•

1212n5

故选：C.

A

BEDC

29.如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O,尸为圆。上任一点，若AP=xAB+yAC,则x+＞的最大

值为（）

33

【答案】C

【分析】以。为坐标原点，建立平面直角坐标系，设尸（半COS0,竿sin。），根据题意，求得

2x+y=2^cos6+l且若y=£lsinO+且，得至Ij2x+2y=±sin（e+W）+d,结合三角函数的性质，即可求

333333

解.

【解析】以。为坐标原点，过点。平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系,

如图所示，可得4一1,一等）,2（1,-1）,。（0，¥）,

因为ABC是边长为2的等边三角形，可得其外接圆的半径为R=2叵

3

因为点尸在一ABC的外接圆上，设尸（竿cos2,sin。），其中。以0,2兀）,

则AP=(竿cos0+1,当sin6+4)，且AB=(2,0),AC=(1,g),

又因为AP=xAB+yAC,可得2x+y=2fcos6+1且-J3y=^^-sm6+^-,

所以2x+2y=■^^-cos6)+l+—sin0+-=—sin(0+—)+—,

333333

当=E时，即e=$时，2尤+2y取得最大值为。，

3263

所以x+y取得最大值为;4.

故选：c.

30.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，延长O）至£,使得DE=2CD.动点P从点A出发，沿正

方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，AP=^AB+pAE,则2+〃的取值范围为

【答案】[0,4]

【分析】建立适当的平面直角坐标系，讨论尸eAB.PeBCPeCnPeZM四种情况，即可求出2+〃的取值

范围.

【解析】建立如图所示的平面直角坐标系：

则8（1,0）,矶一2,1）,所以AP=4AB+〃AE=（2—2〃,〃），

当尸eAB时，有j〃=0，即0W4Wl,〃=0,此时2+〃的取值范围为[0,1],

fA—2〃=1/、r1

当尸cBC时，有，即1W几+〃=（几一2〃）+3〃=l+3〃V4,此时2+〃的取值范围为[1,4],

当尸eCD时，有1]，即3W4+〃=（2—2〃）+3〃=（4—2〃）+3<4,此时几+〃的取值范围为[3,4],

当PeD4时，有，即0W2+〃=U—2〃）+3〃=3〃W3,此时2+〃的取值范围为[0,3],

综上所述，〃的取值范围为[0,4].

故答案为：[0,4].

31.己知菱形ABCD边长为1,且48必。=」,£为线段相)的中点，若尸在线段。£上,且时=/1瓦1+33。,

26

则彳=，点G为线段AC上的动点，过点G作BC的平行线交边A3于点M,过点M做BC的垂线

交边8C于点N,则(MG+MN)•儿牛的最小值为.

131

【答案】i而

【分析】建立适当平面直角坐标系，由题意可得各点坐标，从而可得所需向量的坐标表示，结合向量共线

的坐标表示可得2,借助向量的数量积公式计算即可得+的最小值.

【解析】如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，则有4(0,0)、8(1,0),

即，P=［一，一贝

则°厂=一丸+±,_力],EF=+

1212)66

又尸在线段CE上，故有［―九十'［*玄—1—4+=0，

1(35、

角军得2=3,即8/=一:，言n

设AG=〃AC,/7e[0,l],

(1百)

则G-//，—A，由GM//3C,则

由MN，BC,ZDAB=120°,则NABC=60。，则/MWB=30。,

则MN==赵^(1—〃)，故N—+—//,-y-(l—//),

22v7(444、J

rix,—f1A/3)-(33y/3/.\\

则AfG=——",——ju,MN=------",——(1一4),MF=

I22J1444J

573

x-------

12

517355

2Ll-\1Ll-\

16---1616-----16

5231

=—Ll——£/+—

442

5（3V31

=力一R+丽,

则当〃=5时，（MG+MN）-MR有最小值嘉.

131

故答案为：-；--.

3oU

♦题型05平面向量的综合应用

,ACABy/2

32.在..ABC中，BAAC+AC=0^网,网=彳，贝九4?。的形状为（）

A.等腰直角三角形B.三边均不相等的三角形

C.等边三角形D.等腰（非直角）三角形

【答案】A

7TTT

【分析】由数量积的运算律得到8c•AC=0,即可得到ZAC8=5，再由数量积的定义求出/CAB=z，即

可判断.

【解析】因为BA-AC+AC2=O,即（84+AC>AC=0,即BC-AC=0，

jr

所以BCLAC，即AC13C,则ZAC2=5，

uum

ACAB

又归为表示与AC同向的单位向量，表本与AB同向的单位向量，

AC\AB\

/IC/inrY,—4c7乙/TV\TT

所以CpulxlxcosNCABM^,又NCABc0,彳，所以NG45=：,

AC\AB\2I2)4

7T

所以NCZM=T，

4

所以ABC是等腰直角三角形.

故选：A

33.已知圆锥SO的底面半径为2,点P为底面圆周上任意一点，点Q为侧面(异于顶点和底面圆周)上任

意一点，则。P。。的取值范围为()

A.(-4,4)B.[T,4]C.(-2,2)D.[-2,2]

【答案】A

【分析】利用空间向量的线性运算及数量积公式结合夹角余弦的范围计算即可.

【解析】

如图所示，延长SQ交底面圆周于3,过。作QGL底面圆于G点,

显然OP.OQ=QP.(OG+GQ)=OPOG=2cosOP,OG-\OG\,

由题意可知cosOP,OGe[-1,1],0<|OG|<2,

所以。尸•的取值范围为(T4).

故选：A

34.已知圆C的半径为1,过圆C外一点P作一条切线与圆C相切于点A,|PA|=2,。为圆C上一个动点,

则P4P。的取值范围为()

A.[2,4]B.[2,6]C.[0,4]D.[4,6]

【答案】B

【分析】方法一：建立合适的坐标系，设。(cos。,sin。)，根据余弦函数的范围即可得到数量积范围；方法二:

根据数量积与投影向量之间的关系进行转化即可.

【解析】方法一：不妨设圆心CQO),A(0,-l),P(-2-1),Q(cosasine),

所以尸A-P。=(2,0)•(cos0+2,sin。+1)=2cos0+4,

因为-1VcosOVl,

所以24PA/QW6.

方法二：如图，过圆心C作MN〃上4,且与圆C交于点M,N,连接PM,PN,

过N分别作MG,上4,NHLPA,垂足分别为G,H,过。作QTLPA,垂足为T,

则PQ在PA方向上的投影向量为PT，

则尸从尸0=上4-尸7=网.附|,|PA|=2,

又lVpT«3,所以24PA•PQW6.

故选：B.

35.如图所示，。点在—ABC内部，DE分别是AC,BC边的中点，且有OA+2O8+3OC=0则4AEC的

面积与AOC的面积的比为()

【答案】A

DE3

【分析】由题意可知O,。,E三点共线，且万万=不，再由三角形面积公式即可求解.

【解析】由0A+202+30。=0可得04+00=_23+00,

又因为2E分别是AC/C边的中点，

UULUUIUUUIU

所以0A+0C=2QD，OB+OC=2OE,

所以200=—4OE，即OD=-2OE，

\DE3

所以0,D,E三点共线，且稔=］，

所以E到AC的距离与。到AC的距离之比也为1,

又△AEC的面积与，A0C的面积都以AC为底，

所以△入£C的面积与./OC的面积的比为三.

2

故选：A

♦题型06三角形的“心”的向量表示

36.已知在ABC中，//为.ABC的垂心，。是..ABC所在平面内一点，且0A+08=CH，则以下正确的

是()

A.点。为一ABC的内心B.点。为一ABC的外心

C.ZACB=9QD.ABC为等边三角形

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用向量数量积运算律，结合向量加减计算判断得解.

【解析】在ABC中，由H为ABC的垂心，得CHLAB,

由0A+08=C〃，(OA+OB)-(OA-OB)=CH-(OA-OB)=CHBA=0,

贝Uo/=OB2，即|O4|=|08|,y.AH=AO+OC+CH=A0+0C+(0A+0B)=0C+0B,

显然AHLBC，同理得10cl=|QBI，因此点。为ABC的外心，B正确，无判断ACD成立的条件.

故选：B

37.已知。，A,B,C是平面上的4个定点，A,B,C不共线，若点尸满足。尸=+4(AB+AC),其

中/leR,则点尸的轨迹一定经过ABC的()

A.重心B.夕卜心C.内心D.垂心

【答案】A

【分析】取线段BC的中点E,则AB+AC=2AE，依题可得AP//AE，即可得答案.

【解析】取线段BC的中点E,则A3+AC=2AE.

动点P满足：OP=OA+A（AB+AC）,/leR,

贝!JOP-OA=2/L4E，BPAP=2AAE，所以AP〃AE，

又APAE=A,所以三点共线，即点P的轨迹是直线AE,

一定通过一ABC的重心.

故选：A.

38.在..ABC中，角ABC所对的边分别为a,b,c,点O,G,尸，。分别为一ABC所在平面内一点，且有

|OA|2+|BC|2=|OB|2+|C4|2=|OC\L+\AB\L,GA+GB+GC=O,

（PA+PB）AB=（PB+PC）BC=（PC+PA）CA=O,aQA+bQB+cQC=0,则点O,G,P,Q分另ij为一ABC的

A.垂心，重心，外心，内心B.垂心，重心，内心，外心

C.外心，重心，垂心，内心D.外心，垂心，重心，内心

【答案】A

【分析】根据三角形垂心，重心，外心，内心的定义和性质结合平面向量的线性运算和共线定理，分别推

导即可.

【解析】i|OA|2+|BC|2=|OB|2+|CA|2,得网2-国2=1匈一四2,

即（0A+03）（0A_08）=（C4+3C）（04_8C）,

贝U（0A+OB）&4=BA（CA+网n（OA+OB-CA-CB）&1=0,

所以20c・8A=0，则OC_LAB，同理可得。4_L3C,OB1AC-

即。是一ABC三边上高的交点，则。为,ABC的垂心；

由G4+GB+GC=0，得GA+G5=-GC，

设A3的中点为贝！JGA+GB=2GM=_GC，即G,M,C三点共线，

所以6在_钻(？的中线CM上，同理可得G在工ABC的其余两边的中线上，

即G是J1BC三边中线的交点，故6为_钻。的重心；

由停+P孙刀=0,得2PM.A8=0，即PM_L45，

又“是45的中点，所以尸在A3的垂直平分线上，

同理可得，P在3C,AC的垂直平分线上，

即尸是_ABC三边垂直平分线的交点，故尸是ABC的外心；

延长CQ交AB于点N,因为。，C,N三点共线，则设QN=Z:QC(4<0),

S.QA=QN+NA=kQC+NA,QB=QN+NB=kQC+NB,

AaQA+bQB+cQC=0,^a[kQC+NA^+b[kQC+NB^+cQC=O,

BP（^ak+bk+c^QC+aNA+bNB=O（l）,

又因为W4与NB共线，QC与NA、N8不共线，

则只能当成+》左+。=0且aN4+WVB=0时，①成立,

NAb_ACNANB

即aNA=-bNB=>=---,贝u=

aBCACBC'

sinZACN_sinZ8CN

由正弦定理得:

sinZANC~sinZBNC

又ZANC+/BNC=R,则sinN/WC=sinNBNC,

即sinNAQ