高一数学重难点专项复习：轻松搞定立体几何的轨迹问题 （三大题型）（解析版）

重难点专题11轻松搞定立体几何的轨迹问题

【题型归纳目录】

题型一：轨迹图形

题型二：轨迹长度

题型三：轨迹面积

【典型例题】

题型一：轨迹图形

【典例1-1］（2024•浙江温州.一模）如图，所有棱长都为1的正三棱柱ABC-AB©,BE=2EC,点、F是

侧棱A4上的动点，且AF=2CG，H为线段上的动点，直线CHc平面AEG=M,则点/的轨迹为

（）

4一<

R

A.三角形（含内部）B.矩形（含内部）

C.圆柱面的一部分D.球面的一部分

【答案】A

【解析】如下图所示：

,W；

AC

首先保持“在线段FB上不动，假设H与尸重合

根据题意可知当F点在侧棱AA上运动时，若F点在A点处时，G为cq的中点，

此时由AF=2CG可得满足FM=2MC，

当尸点运动到图中片位置时，易知A与=2CG1,取4G|CC£=/,,可得耳尸=2尸C,

取棱AC上的点N,满足4V=2NC，根据三角形相似可得M,N,P三点共线，

当点尸在侧棱&A上从A点运动到A点时，M点轨迹即为线段MN；

再研究当点71在线段用上运动，

当点H在线段FB上从点尸运动到点B时，/点的轨迹是线段ME,

当点H在线段RB上从点耳运动到点B时，/点的轨迹是线段PE，

因此可得，当点尸是侧棱9上运动时，H在线段网上运动时，点■的轨迹为oMNE及其内部的所有点的

集合；

即可得M的轨迹为三角形（含内部）.

故选：A

【典例1-2】（2024•高二・湖北黄冈•期末）如图所示，/MOP为正三角形，四边形A3CO为正方形，平面

皿＞，平面A3CD.M为平面A3CD内的一动点，且满足MP=MC,则点M在正方形ABC。内的轨迹为

【答案】A

【解析】在空间中，过线段PC中点，且垂直线段PC的平面上的点到P,C两点的距离相等，此平面与平

面ABCD相交，两平面有一条公共直线.

在空间中，存在过线段PC中点且垂直线段PC的平面，平面上点到P,C两点的距离相等，记此平面为

a,平面a与平面ABCD有一个公共点D,则它们有且只有一条过该点的公共直线.取特殊点B,可排除

选项B,故选A.

考点：轨迹方程.

【典例2-1】（2024.高一.辽宁铁岭•阶段练习）如图所示，在正四棱锥S-ABCD中，E是BC的中点，P点

在侧面4SCD内及其边界上运动，并且总是保持PELAC.则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形最

有可有是图中的（）

【答案】A

如图：连BD交AC与。,F、G分别是SC、CD中点；易证平面SBD〃平面砂G,AC_L平面SB。

AClTWFG；所以P在FG上.故选A

题型二：轨迹长度

【典例3-1】（2024・高一・浙江绍兴・期末）已知点尸是边长为1的正方体A3。-AACQ表面上的动点，若

7T

直线针与平面MC所成的角大小为“则点尸的轨迹长度为（）

A.3^/2B.2-^2+nC.-^-（4+7t）D.2A/2+—

【答案】D

【解析】若点尸在正方形内，过点尸作尸尸」平面ABCD于P，连接AP,A/.

7T

则/RW为直线AP与平面ABC。所成的角，则NPAP=：,

又PP=L则PA=0,得尸4=1,

则点尸的轨迹为以A为圆心半径为1的圆（落在正方形内的部分），

若点尸在正方形ABB,A内或ADAA内，轨迹分别为线段ABt和ADX,

因为点P不可能落在其他三个正方形内，所以点尸的轨迹如图所示：

故点尸的轨迹长度为2g+枭2冗=2应+士

42

故选：D

【典例3-2]（2024.高一.湖南长沙.期末）在如图所示的棱长为1的正方体ABC。-AAGA中.点尸在该正方

体的表面上运动.且尸A=x（0<x<@.记点尸的轨迹长为〃x）.则〃1）+/（五）的值为（）

C.3兀D.3+30

【答案】C

【解析】如图，当x=l时，点尸在正方体表面上的轨迹是以A为圆心，1为半径的三个面上的三段弧.

127r

分别为B"AB,4。，贝！］了（1）=3*不2兀=?；

当芯=&时，点尸在正方体表面上的轨迹分别为在平面上以4为圆心，I为半径42，

在平面4BCG上以8为圆心，1为半径的BQ，

在平面DCC12上以。为圆心，1为半径的CR,

则〃伪=3X：*2*当.所以f（1）+/诋=3兀.

42

故选：C.

【变式3-1］（2024.全国.模拟预测）如图，在棱长为2的正方体A3CD-A4GA中，£为棱BC的中点，F

为底面ABC。内一动点（含边界）.若D///平面AEG，则动点尸的轨迹长度为（）

A.73B.45C.272D.&

【答案】D

【解析】如图，取的中点M、C。的中点N,连接D\M,MN,D、N,ME,AC,

因为E为8C的中点，M为AO中点，由正方体的性质可得，

CE=DM,CEHDM,所以四边形CEMD是平行四边形，

所以ME//CD,ME=CD,又因为CQ"/。，CR=CD,

所以ME//G2，ME=CR,所以四边形是平行四边形，

所以RM//QE,由正方体的性质可得，

AA=GC,AA//CC，所以四边形44CG是平行四边形,

所以AG//AC,又因为M为AD中点，N为CD中点、,

所以MN〃AC,所以MN//AG，

因为RM,W平面AEG,GE,AGu平面AEC,,

所以2M〃平面AEG，MN〃平面AEC],

又D、MMN=M,所以平面RMN〃平面AEC一

因为。///平面AEG，所以£>£u平面RMN,

所以动点F的轨迹为线段跖V,

又削=叵亘=0,故动点尸的轨迹长度为0.

2

【变式3-2]（2024・高三•湖南长沙•阶段练习）如图，在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形，AP=AB=4,

侧棱PAL底面ABCD,T是CO的中点，。是内的动点，TQ1BP,则。的轨迹长为（）

A.屈B.6C.2A/2D.2石

【答案】B

【解析】先找到一个平面总是保持与3尸垂直，取3P，。的中点E,F,连接AE,EF,DF.

因为ABC。是正方形，所以ABJ_AD.因为R1_L底面ABCD.所以必_LAD.又AB=A,所以AD_L平面

B4B.所以AD_Lm.

因为在一中，AP=AB,E为3P的中点，所以又AEcAZ)=A,所以"_L平面AE产D.

进一步.取BE,CF,A3的中点/,N,S,连接MS,MN,NT,ST,易证平面肱V7S〃平面AETO.

故3P_L平面肱V7S,

记STAC=O,又。是AR4c内的动点,

根据平面的基本性质得：点Q的轨迹为平面MNTS与平面PAC的交线段NO,

在，NOC中，NC=5CO=2五,cosZNCO=^~,

由余弦定理得:NO?=8+3-2x2血x有x^=3.故"。=退.

3

故选:B.

题型三：轨迹面积

【典例4-1】(2024.高一.江苏南通•阶段练习)已知正四面体S-ASC的棱长为2g,点M为平面A8C内的

动点，设直线与平面ABC所成的角为凡若sinOe［手,1］,则点M的轨迹所形成平面图形的面积为

()

71

A.—B.兀C.2TID.4兀

4

【答案】B

【解析】在正四面体S-ABC中，顶点S在底面A3C的投影为正；ABC的中心，即50,平面A3C,

因为正四面体S-ABC的棱长为26，所以AO=2x1x2百=2,

32

所以SO=y/SA2-AO2=712-4=2V2，

因为直线SM与平面4BC所成的角为夕，所以sin0=^=述，

SMSM

因为sin。e[2^,1]所以述e［逑』］,

SM3

所以20WSMV3,

因为OM={SM。-S(f=JSM?-8，所以。WOMV1，

所以点M的轨迹是以。为圆心，1为半径的圆面，

所以点M的轨迹所形成平面图形的面积为兀，

故选：B

【典例4-2】(2024•高一・浙江杭州•期末)如图，已知正方体ABC。-AgG2的棱长为2,长为2的线段

MN的一个端点M在棱。2上运动，点N在正方体的底面A3CD内运动，则的中点P的轨迹的面积是

()

71

A.4%B.乃C.2〃D.—

2

【答案】D

【解析】连接DN,则△MAN为直角三角形，在RtMDN中,MN=2,尸为MN的中点，连接。尸，则

DP=-MN=1

2

所以点尸在以。为球心，半径R=1的球面上

又因为点P只能落在正方体上或其内部

所以点p的轨迹的面积等于该球面面积的5

O

故所求面积S=lx4万R2=%.

82

故选：D.

【变式4-1]（2024・高一・广东广州•期末）已知正方体ABCDA/B/C/Q/的边长为2,M是88/的中点，点尸

在正方体内部或表面上，且MP〃平面AB/O/,则动点P的轨迹所形成的区域面积是（）

A.⑺B.2石C.3A/3D.46

【答案】C

【解析】根据题意，过点M作出平面AB。1的平行平面，如下所示：

因为〃〃〃耳2,KI//MN//AD,,MJ//HK//AB,,

又BXDXcAD}=D],BQ],AD}u平面ABXDX,

HNcMN=N,HN,MNu平面MNHKIJ,

故平面A4A//平面MNHK1J.

则点P的轨迹图形如上图阴影部分所示.

显然，该六边形是正六边形，边长为耳=也.

故该六边形面积为6个全等的边长为正的三角形的面积和.

即S=6x-^x=3\/3.

故选：C

【过关测试】

1.（多选题）（2024.高一・辽宁大连•期末）如图，正三棱锥尸-ABC和正三棱锥£>-ABC的侧棱长均为1,

BC=后.若将正三棱锥尸-ABC绕旋转，使得点A尸分别旋转至点A',P处，且P,民四点共面，

点P',D分别位于BC两侧，连接A4，，贝U（）

A.4P〃平面ABC

B.A!B±AC

C.多面体A4F3DC的体积为原多面体PA6CD的体积的2倍

D.点A尸旋转运动的轨迹长相等

【答案】BC

【解析】正三棱锥P-ABC和正三棱锥的侧棱长均为1,BCf，

可得NBPC=ZBE>C=90,

则三棱锥尸-ABC的侧棱互相垂直，正三棱锥ABC的侧棱互相垂直，

于是旋转前后的正三棱锥D-ABC和P'-ABC可以放在正方体中，

四边形PMC为该正方体的一个侧面，如图所示，

A'

对于A中，AP'//AD,而ADc平面ABC=A,

则AP不平行于平面ABC,所以A错误；

对于B中，如图所示，连接OE,

因为AB//DE,DE_LAC,则A3_LAC,所以B正确；

11?

对于C中，多面体的体积为l-2x_x—xlxlxl=_,

323

原多面体尸ABC。的体积为2x』xL><lxlxl=L

323

所以多面体的体积为原多面体E43C。的体积的2倍，所以C正确;

对于D中，根据题意，点A尸的旋转角度相同，但旋转半径不同，

则运动的轨迹不相等，所以D错误.

故选：BC.

故答案为：36.

2.（2024.高一.河北保定•开学考试）如图，点P是棱长为2的正方体表面上的一个动点,

直线AP与平面ABCD所成的角为45。，则点P的轨迹长度为.

【解析】若直线AP与平面A3CD所成的角为45。，则点尸的轨迹为圆锥的侧面与正方体的表面的交轨,

在平面43AA内，点尸的轨迹为对角线A瓦（除掉A点，不影响）；

在平面A。。A内，点尸的轨迹为对角线A，（除掉A点，不影响）；

在平面4耳G2内是以点A为圆心2为半径的;圆弧，如图，

故点尸的轨迹长度为c=兀+4亚.

故答案为：TH-4A/2.

3.（2024・高三.重庆.阶段练习）已知四面体ABCD满足BC=Cr>=BD=4^,它的体积为284，其外接球

球。的表面积为100兀，则点A在球。表面的轨迹长度为；线段A8长度的最小值为.

【答案】6兀5A/2

【解析】设外接球半径为R，

因为外接球的表面积为100万，则4兀尺2=100兀，解得R=5,

设△BCD的中心为。-贝IB。［=4Ax*xg=4,

如图过点8作球的轴截面，

222

贝|JOOX=y)OB--OxB=V5-4=3,

设点A到平面BCD的距离为〃，

VA_BCD=2873=衿x(4何h,解得h=7.

则由题意知，点A在以5为半径的球面上，且距离平面BCD为7的平面内,

则点A在球。表面的轨迹为圆，设圆心为色，且。。2=〃-3=4

贝UAO；=OA2—OO；=52-42=9,即圆。2的半径为3,

所以点A在球。表面的轨迹长度为6兀；

由题意可看作点A在圆台底面圆周02上运动，

则当A8为圆台母线时，AB最小，

即当AB,。”。,四点共面时，AB取最小值，

如图，AB^=yjAH2+BH2=772+(4-3)2=572.

故答案为：6兀；5VL

4.(2024・高三•江苏南京•阶段练习)如图，在矩形ABCD中，AB=y/2AD=4,E,F,G,H分别为

AB,BC,CD,AD的中点，AC与8。交于点0,现将△AS/,△BEF,△CFG,DGH分别沿

EH,EF,FG,GH把这个矩形折成一个空间图形，使A与。重合，3与C重合，重合后的点分别记为

M,N,。为的中点，则多面体MVEFGH的体积为；若点尸是该多面体表面上的动点，满足

PQ，CW时，点尸的轨迹长度为.

【答案】202+20

【解析】连接EG,ON,有EGLFH,而NG=NE=2,。为EG中点，则有ONLEG,

ONFH=O,则EG_L平面OFZV,同理EG_L平面OHM,又平面O/W与平面OHM有公共点。，

于是点共面，而NG2+NE?=8=GE?,即有NGLNE,ON=-EG=41=NF=HM,

2

因为NF_LNG,NFINE,NGNE=N,NG,NEu平面NEG,则NF_L平面NEG,

又ONu平面NEG,即有NFJ_ON,则NNOF=NNFO=45,同理NOHM=45,

即从而ON//H拉，即四边形OMW为平行四边形，MN//HF,MN=OH=2,

等腰梯形肱VFH中，高OQ=N/sin45=1,其面积=（皿+•OQ=（2+；）x1=3,

显然EG，平面MNFH,所以多面体MNEFGH的体积V=2眩­=2xgSMNFHOE=2xgx3x亚=2/；

E

因为NF_L平面NEG,同理可得平面MEG,又ONIIHM,则QV_L平面MEG,

依题意，动点P所在平面与ON垂直，则该平面与平面MEG平行，而此平面过点Q,

令这个平面与几何体棱的交点依次为6，Q,T,S,R,则6Q//EM,QT//MG,T5〃M//《R,RS〃EG,

又。为MN的中点，则点片,T,S，R为所在棱的中点，即点尸的轨迹为五边形24RST,

长度为：QJ\+P；R+RS+ST+TQ=^{ME+NF+EG+NF+MG)

=g（2+0+20+0+2）=2+20.

故答案为：2也;2+2加

5.（2024・高一・江苏南通・阶段练习）如图，正方体ABCO-AAGR的棱长为2,E是棱的中点，平面

ABE截正方体4BCD-AB1GA所得截面图形的周长为,若尸是侧面C£»£>G上的动点，且满足

B\FII平面A.BE,则点F的轨迹长度为.

【答案】30+2石/2君+3^72

【解析】取CD中点G,连接BG、EG,

正方体中，BC//AM,BC=AA，四边形8cD4为平行四边形，则网〃CQ,

E是。2中点，G是C。中点，GEIICDJIBA,,则等腰梯形AEGB为截面，

而AE=GB=VLAB=2叵EG=0,

故梯形AEGB的周长为3&+2遂；

取CR中点M,CC中点N,连接B、M,B\N,MN,NE,MG,

则NE//A瓦,NE=A4,故四边形A4NE为平行四边形，

则得4N//4E,而4NcZ平面A]BE,A,Eu平面ABE,

故与N〃平面ABE,同理耳M〃平面ABE,

而用V片用=与，用N,B|Mu平面故平面与MN〃平面4出£,

二点F的运动轨迹为线段MN,其长度为V2.

故答案为：3忘+26；也..

6.（2024・高一•河北邢台•阶段练习）已知正方体ABCD-A4GA的棱长为2,E为8的中点，且点尸在

四边形BCC4内部及其边界上运动，（1）若总是保持砂〃平面瓦，则动点P的轨迹长度为；

（2）若总是保持AP与A8的夹角为30。，则动点尸的轨迹长度为.

【答案】2储

3

【解析】分别取BC,与G的中点EG,连接EF,FG,EG,则=：BC,耳G=34G,

因为BC〃4£,BC=B£,所以跳'〃瓦G,BF=Bfi,

所以四边形8FG瓦为平行四边形，所以B片〃尸G,

因为E为C。的中点，所以E尸〃3£）,

因为所，尸G<Z平面BDRB],BD,BBXu平面BDD^,

所以斯〃平面BDRBi,FG〃平面BDRB],

因为EFcFG=F,所以平面£FG〃平面以兀>4,

因为平面£FGc平面BCC&1=FG,点、尸在四边形BCC.B,内部及其边界上运动，EPH平面BDD.B,,

所以点P的轨迹是FG,

因为尸G=5瓦=2,所以动点尸的轨迹长度为2,

因为平面BCC4，3Pu平面BCC4，所以AB_L3尸，

在RtABP中，AB=2,ZBAP=30°,贝ljtan/BAP=殷=走，

AB3

所以即=走48=地，

33

所以点尸的轨迹是以8为圆心，逑为半径的一段弧，且圆心角为直角，

3

所以动点P的轨迹长度为冬叵=走兀，

433

故答案为：2,。乃

7.（2024高一•辽宁沈阳・期末）在棱长为1的正方体ABC。-A耳GA中，E在棱上且满足RE=即,

点厂是侧面A84A上的动点，且。尸〃面AEC,则动点尸在侧面A54A上的轨迹长度为.

【答案】立

2

【解析】如图，取ABBiA的中点G,并连接G。、GB、BQ,

因为E在棱。2上且满足2E=匹，即E是棱。2的中点，

所以BG//CE,又8GO平面AEC,CEu平面AEC,

所以3G//平面AEC,同理可证2G〃平面AEC,

又BGGD、=G,所以平面2G，〃平面AEC,又BGu平面BG',

所以3G//平面AEC,所以动点E在侧面A84A上的轨迹即为BG,

因为正方体的棱长为1,由勾股定理有：BG=^B^+AG2=—.

2

BC

故答案为：立.

2

8.（2024.高一.北京昌平.期末）如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面A3CD是正方形，24,底面

A5CD,B4=A5=1.G为尸。的中点，M为内一动点（不与P,民。三点重合）.给出下列四个结论:

P

①直线BC与PD所成角的大小为;；②AGLBM；③GM的最小值为且；④若AM=正，则点/的轨

432

7T

迹所围成图形的面积是3

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①②④

【解析】由于BC//AD,所以即为直线3C与尸。所成的角或其补角，

TT

由于PA_L底面ABCRAOu平面A5cD,所以24J_AD,又24=AD=1,所以=①正确;

由于PA_L底面A3C£）,C£）u平面ABC。，所以R4J_CD,

又AD_LCD,P4cAD=A,PA,AOu平面PAD,

所以CD_L平面尸AD.

取尸£)中点为N,连接NA,NG,

由于G为尸C的中点，所以NG//CD,所以NG,平面上4£>,PDu平面上4£>,则NGJ_BD,

又上4=AZ)=1,PD中点为N,所以PD_LAN,

ANcNG=N,AN,NGu平面4VG,所以PDJ_平面⑷VG,AGu平面4VG,则尸口_LAG,

AC±BD,BD±PA,PAcAC=A,P4,ACu平面R4C,所以BD工平面PAC,AGu平面PAC.

所以3。，AG,

PD'8。=。,尸£>,加><=平面尸3£),所以AG_L平面尸皮入MBu平面尸BD,

所以AGL3M,故②正确；

当GM_L平面PB£>时，GM最小，设此时点G到平