根据平行线的性质与判定求角度大题（解析版）

专题12根据平行线的性质与判定求角度大题

1.如图，直线PQ//MN,点、C是PQ、肱V之间（不在直线P。，肱V上）的一个动点.

（1）如图L若团1与02都是锐角，请写出回。与团1,回2之间的数量关系为：.

（2）把直角三角形/2C如图2摆放，直角顶点C在两条平行线之间，CB与PQ交于点、D,CA与

/AF.N

"N交于点£,8/与P0交于点尸，点G在线段CE上，连接DG,有ZBDF=NGDF,下二;为

Z.CD（j

多少？

（3）如图3,若点。是下方一点，2c平分即AD,平分回。1，已知NPBG=25。，求

NACB+NAD8的度数.

【答案】（1）NC=N1+N2；（2）|；（3）75°

【分析】（1）根据平行线的性质、余角和补角的性质即可求解；

（2）根据平行线的性质、对顶角的性质和平角的定义解答即可；

（3）根据平行线的性质和角平分线的定义以及三角形内角和解答即可.

【详解】解：⑴ZC=Z1+Z2,

证明：过C作〃/MN,如下图所示，

图1

■.-1//MN,

.-.Z4=Z2（两直线平行，内错角相等）,

-.-1//MN,PQ//MN,

:.l//PQ,

二/3=/1（两直线平行，内错角相等）,

，N3+N4=N1+N2,

.\ZC=Z1+Z2；

(2)

ZBDF=Z.GDF,

・.・ZBDF=NPDC,

:.ZGDF=ZPDC,

•・•ZPDC+ZCDG+ZGDF=180°,

ZCDG+2ZPDC=180°,

ZPDC=90°--ZCDG,

2

由(1)可得，ZPDC+NCEM=NC=9Q。,

.\ZAEN=ZCEM,

NAEN_NCEM_90°-NPZ)C_90。-(90。—g/CDG)_工；

ZCDG~ZCDG~ZCDG-ZCDG-2

(3)设BD交MN于J.

PBQ

♦;BC平分NPBD,AM平分NCW,NPBC=25。,

ZPBD=2ZPBC=50°,ZCAM=ZMAD,

PQ//MN,

:.ZBJA=ZPBD=50°,

:.ZADB=ZAJB-ZJAD=500-ZJAD=500-ZCAM,

由⑴可得，ZACB=ZPBC+ZCAM,

z.ZACB+ZADB=ZPBC+ZCAM+50°-ZCAM=250+50°=75°.

【点睛】本题考查了平行线的性质、余角和补角的性质，角平分线的性质，解题的关键是根据平行

找出角度之间的关系.

2.如图，ABLAK,点A在直线上，A3、AK分别与直线E厂交于点5、C,/M4S+/KCF=90。.

(1)如图1,求证：EF//MN；

(2)如图2,作NCBA与/BC4的角平分线交于点G,求NG的度数；

(3)如图3,作与/ECK的角平分线交于点H,请问N”的值是否为定值，若为定值请求出定

值，若不是，请说明原因.

【答案】⑴见解析

⑵N3GC=135°

(3)回，的值是为定值，NH=45。

［分析1(1)由垂直定义可得ZMAB+ZKCF=90°,然后根据同角的余角相等可得ZNAC=ZKCF,

从而判定两直线平行.

(2)根据角平分线的性质和直角三角形两个锐角互余，可得出/CBG+/BCG=45°，再利用三角

形内角和180,即可求解.

(3)设NM4B=NABC=x,则/KCF=90-x,再结合角平分线的性质和平行线的性质即可求解.

(1)

证明：HABLAK,

^\ZMAB+ZNAC=90°,

又国NMAB+NKCF=90°,

SZNAC=ZKCF,

®MN〃EF.

(2)

解：BAB±AK

SABAC=90°,

SZCBA+ZACB=90°,

EIBG平分NC54,

^ZCBG=-ZCBA,

2

同理ZBCG」NBCA,

2

0ZCBG+ZBCG=-(ZCBA+ZBCA)=45°,

2

EI/3GC=180O-(/CBG+ZBCG)=135。.

(3)

解：设/舷42=尤

贝|JNABC=X,

ZKCF=90-x,

EIAH平分/B4V,

^ZHAN=-ZBAN=90°--x,

22

SZHAC=-x,

2

同理ZHCK=-Z.BCK=45°+-x,

22

0ZH=45°.

【点睛】本题考查了角平分线的性质、平行线的判定及性质、直角三角形两锐角互余知识，解决本

题的关键是熟练掌握知识点，找到角的关系，列出等式求解.

3.已知4BEICD,点M在直线48上，点、N、0在直线CD上，点尸在直线/2、CD之间，EL4MP

=^PQN,尸0平分0MPN.

⑴如图①，若ELWPN=88。，则；

(2)如图②，过点。作0E0PN交尸M的延长线于点过点E作斯平分EPE0且交尸。于点尸.求

证：£7同尸0；

⑶如图③，在(2)的条件下，连接EN,若NE平分即NQ,EL4W=24°,则EWEF=.

【答案】⑴22°;

(2)见解析；

(3)12°

【分析】(1)如图①，过点尸作尸R||AB,可得AB||C0|PR,利用平行线的性质来得到结论；

(2)根据已知条件可得2ZEPQ+2ZP£F=180。，进而可得EF与PQ的位置关系；

(3)结合(2)和已知条件可得国"£=回°硒,根据三角形内角和定理可得回MVE=J(180。一回VQE)

=；(180°-3ct),可得0A®尸=18O-EIQEF-IWV0£-I30NE,进而可得结论.

(1)

解：(1)如图①，过点P作mIIA3,

•/AB//CD,AB\\PR,

:.PR\\CD,

ZRPQ=ZPQN.

■.■ZAMP=ZPQN,

ZAMP=ZMPR=ZRPQ=|ZMPQ.

■■■P0平分EAfPN,0A〃W=88。，

ZMPQ=|ZMPN=1x88°=44°,

ElZAMP=^ZMPQ=1x44°=22°.

故答案为：22°；

(2)

解：如图②，EF^PQ,理由如下：设EL4MP=0PQN=a,

F

4M六B

CNQD

图②

即。平分IWPN.

^\MPQ—^NPQ=2a.

BQE\\PNf

^\EQP=^\NPQ=2af

^\EPQ=^\EQP=2a.

团既平分即E。，

^PEQ=^\PEF=2^\QEF.

^EPQ+BEQP+^PEQ=180°,

团2蛇尸0+2即£尸=180°,

如£7乜+2EF=90。，

豳PFE=180°-90°=90°,

ELETW^Q

(3)

解：如图③，SNEF=^^AMP=12°,理由如下：设EL4MP=EIPQN=a,

图③

由(2)可知：WQP=2a,ELEFQ=90°,

回团。跖=90°-2a.

aiP0N=a,

^NQE=^PQN+WQP=3a.

07VE•平分EIPN0,

^\PNE=SQNE.

SQE\\PN,

^3\QEN=^PNE,

^QNE=^QEN.

EEN0E=3a,

^S\QNE=j-(180°-EWQE)=[(180°-3ct),

^\NEF=1800-SQEF-^NQE-SQNE

=180°-(90°-2a)-3a-y(18O°-3ot)

3

=180°-90°+2a-3a-900+-a

2

1

=2a

=^^AMP.

HZWEF=J回AMP=12°.

故答案为：12。.

【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，理解平行线的判定和性质是解答关键.

4.AB^\CD,C在。的右侧，平分0A8C,平分0AoC,BE、DE所在的直线交于点E.SL4DC

=70°.

(1)求回EDC的度数；

(2)若0Age=30。，求勖ED的度数；

(3)将线段BC沿。。方向移动，使得点8在点/的右侧，其他条件不变，若&42C="。，请直

接写出勖£。的度数(用含"的代数式表示).

备用图

【答案】(1)35°(2)50°(3)215°--n°

2

【分析】(1)根据角平分线定义即可得到答案；

(2)过点E作EF//AB,然后根据角平分线的定义、平行线的判定和性质以及角的和差进行推导即

可得解；

(3)过点E作所〃AB,然后根据角平分线的定义、平行线的判定和性质以及角的和差进行推导即

可得解.

【详解】解：(1)回。E平分/ADC,ZADC=70°

0Z£DC=-ZADC=35°；

2

(2)过点E作EF//AB,如图：

EIOE平分/4X7,ZADC=70°；破平分/ABC,ZABC=30°

BlZEDC=-ZADC=35°,ZABE=-ZABC=15°

22

ABIICD,EF//AB

^ABIIEFIICD

S\ZFED=ZCDE=35°,NFEB=ZABE=15。

0/BED=/FED+/FEB=50°；

(3)过点E作EF//AB,如图：

ElDE平分/ADC,ZADC=70°;BE平分/ABC,ZABC=n°

0ZEDC=-ZADC=35°,ZABE=-ZABC=-n°

222

SAB//CD,EF//AB

^ABHEFUCD

0/FED=ZCDE=35°,NFEB=180°-ZABE=180°--/i°

2

0/BED=/FED+ZFEB=35°+180°-1"°=215°-1.

22

故答案是：(1)35°(2)50°(3)215°--n°

2

【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定和性质以及角的和差，解答本题的关键是作出

辅助线，要求同学们掌握平行线的性质，难度中等.

5.已知AB〃C£>,点〃、N分别是48、CD上的点，点G在CD之间，连接MG、NG.

Z7

⑴如图1,若GM_GN,求EL4MG+EICNG的度数；

(2)如图2,若点P是CD下方一点，MG平分B5WP,ND平济0GNP,已知03MG=32。，求0MGN+ELWPN

的度数；

⑶如图3,若点E是N2上方一点，连接瓦0、EN,且GM的延长线〃/平分的ME,NE平分回CNG,

2^MEN+^MGN=105a,求西ME的度数？

【答案】(1)90°

(2)96°

(3)50°

【分析】(1)过G作依据两直线平行，内错角相等，即可得到西MG+E1CNG的度数；

(2)过G作GK〃4B,过点尸作尸。〃48,设国GND=a,利用平行线的性质以及角平分线的定义，

求得ELWGN=32°+a,EA〃W=64°-a,即可得至1]回质7'+财花板=32。+(1+64。-a=96°；

(3)适G作GK"AB,过E作£7〃/8,设a4MR=x,SGND=y,利用平行线的性质以及角平分线

的定义，可得0^£、=回量^-13历1/=90。-；卜-2》，^MGN=x+y,再根据2IWEN+[3G=：L05。，即可

得到2(90°-；y-2x)+x+y=105°,求得x=25°,即可得出EL4ME=2x=50.

【详解】(1)如图1，过G作

图1

酎B〃CD,

^GHI/AB/ICD,

^AMG=WGM,您CNGFHGN,

^MG^NG,

^MGN=^MGH-^NGH=^AMG^CNG=90°；

(2)如图2,过G作GKUAB,过点尸作尸。〃/5,设团GNL>=a,

团GK〃处

团RlKGN=R]GND=a,

◎GK"AB,^BMG=32°,

^\MGK=^\BMG=32°,

团MG平分团BMP,

^\GMP=^BMG=32°f

[WAfP=64°,

^PQ//AB,

^\MPQ=^BMP=2^BMG=64°,

即亿>平分团GAT3,

^\DNP=^lGND=a,

酎BHCD,

^PQ//CD//GK,

^\QPN=BDNP=^KGN=a,

^\MGN=^MGK^GN=32°+a,^MPN=^MPQ-团。尸N=64°-a,

团必GN+团MPN=32°+a+64°-a=96°；

(3)如图3,过G作GK〃4S,过E作ETUAB,设四MF=x,^\GND=y,

图3

/G交于M,MF平分蜘ME,

回^FME=^FMA=^BMG=x，

^\AME=2x,

^GK//AB,

^\MGK=^\BMG=x,

⑦ETHAB,

^\TEM=^AME=2x,

^CD//AB,AB//KG,

团GK〃处

^KGN=^\GND=y,

W^\MGN=x+yf

^CND=18Q°,NE平分处CNG,

酿CNG=180°-y,^\CNE=-0C7VG=9O°--v,

22

^ET//AB,ABIICD,

^ETHCD,

团团TEN=RCNE=90°--y,

2

^BMEN=^\TEN-^\TEM=90°~^y-2x,^\MGN=x+y,

团21WEN+[WGN=105°,

02(90°-；y-2x)+x+y=105°,

盟=25°,

回囿4〃£=2%=50°.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角,

利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算.

6.问题情境：如图1,AB//CD,07%8=130。，0PC£>=12O°,求a4PC的度数.小明的思路是：过

P悍PE〃AB,通过平行线性质来求a4PC.

（2）问题迁移：如图2,AB//CD,点P在射线0M上运动，记皿B=a,回「。。=夕，当点尸在8、D

两点之间运动时，问蜘PC与*/之间有何数量关系？请说明理由；

⑶在（2）的条件下，如果点P在3、。两点外侧运动时（点P与点O、B、。三点不重合），请直

接写出明尸C与a、4之间的数量关系.

【答案】⑴110

⑵阴PC=a+£,理由见解析

⑶当尸在AD延长线上时，EICE4=a/；当P在。2延长线上时，SCPA=/3-a

【分析】（1）过尸作小〃N8,通过平行线性质求mPC即可；

（2）过P作PE〃AB交AC于E,推出AB//PE//DC,根据平行线的性质得出回a=&4PE,回£=团3£,

即可得出答案；

（3）分两种情况：尸在8。延长线上；P在。3延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质得出

0a=EL4PE,股=回。尸£,即可得出答案.

【详解】（1）解:过点P作尸E〃/2,

^AB//CD,

^PE//AB//CD,

团西+助PE=180°,团C+团CPE=180°,

回叫5=130°,0PCZ)=120°,

团四尸E=50°,团CPE=60。,

团蜘尸。二四尸8+团。依=110°.

故答案为：110.

(2)解：^APC=a+/3,

理由：如图2,过P作PE〃4B交AC于E,

^AB//CD,

^AB//PE//CD,

^a=^\APE,0器CPE,

^\APC=^\APE^CPE=a^；

(3)解分两种情况：当尸在5。延长线上时，过尸作尸皿8交4。于E,如图所示,

^AB//CD,

^AB//PE//CD,

^a^\APE,0E1CPE,

^\CR4=^APE-^CPE=a-/3f

即团C7M=a/；

当尸在延长线上时，过P作PE〃4B交4c于E,如图所示,

N

O

^AB//CD,

BAB//PE//CD,

Ela=EL4PE,0@CPE,

EES=^CPE-^CR4=/3-a,

即EICE4=Q-a.

综上，当尸在AD延长线上时，0CE4=a/；当尸在延长线上时，^CPA^-a.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较

典型的题目，解题时注意分类思想的运用.

7.如图1,AB//CD,G为AB、8之间一点.

图2图3

⑴若GE平分NAEF,GF平分/£FC.求证：EGLFG；

44

⑵如图2,若/AEP=~^AEF,NCFP=-ZEFC,且FP的延长线交/但的角平分线于点M,

EP的延长线交NCFP的角平分线于点N,猜想/M+/N的结果并且证明你的结论；

⑶如图3,若点H是射线£8之间一动点，FGN分NEFH,MF平分NEFC,过点G作GQL月0

于点Q,请猜想NEHF与NFGQ的关系；并证明你的结论.

【答案】⑴见解析

(2)/M+/N=120。，见解析

⑶NEHF=2NFGQ,见解析

【分析】⑴由平行线的性质可得/A£F+/EFC=180。，再由角平分线的定义得NGEF=g/A所,

NEFG=；NEFC,从而利用三角形的内角和可求解；

⑵过点用作过点N作NK//CD,从而可得到AB//MH〃NK//CD,结合平行线的性

质及角平分线的定义可求得一£MF+一£2VF的度数；

(3)由垂直可得NG尸。=90。-/7^迨，再由角平分线的定义可求得/"FC=2/GFQ,再由平行线

的性质得/EHF+/HFC=180。，从而可求解.

(1)

证明：•.•AB〃CD,

NAEF+ZEFC=180°,

•.•GE平分上4£F,GF平分/EFC,

NGEF=-NAEF,NEFG=-/EFC,

22

ZGEF+NGFE=1(NAEF+NEFC)=90°,

r.NG=180。-(/GEb+NGFE)=90°,

:.EG±FG；

(2)

解：ZM+ZN=\2Q°,

证明：过点“作MH/MB,过点、N作NKUCD,如图2所示：

图2

■：AB//CD,

:.AB//MH//NK//CD,^AEF+^EFC=180°,

:.NAEM二NEMH,NHMF=/MFC,NAEN=NENK,NKNF=NNFC,

NEMF=NEMH+NHMF=ZAEM+/MFC,/ENF=NENK+NKNF=/AEN+NNFC,

44

vZAEP=-ZAEF,NCFP'NEFC,EM平分NAEP,FN平分NMFC,

22

/.ZAEM=-ZAEF,NNFC=-NEFC,

99

2442

NEMF=-ZAEF+-NEFC,NENF=-NAEF+-NEFC,

9999

:.NEMF+NENF

2442

=-ZAEF+-NEFC+-NAEF+-NEFC

9999

22

=—NAEF+—NEFC

33

=：(/AEF+/EFC)

=120°；

(3)

解：ZEHF=2ZFGQ,

证明：・•・Ge，Rw,

ZGFQ=90°-ZFGQ,

FG平分NEFH,MF平分NEFC,

ZGFQ=NGFE+NQFE=g(NHFE+/EFC)=|NHFC,

NHFC=2NGFQ,

-.AB!/CD,

/EHF+NHFC=180°,

NEHF=180°—NHFC=180°—2/GFQ=2NFGQ.

【点睛】本题主要考查平行线的性质，垂线，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系.

8.如图，A5〃CD,点P,Q为直线CO,AB上两定点，0°<NPAQ<180°.

(2)若PM平分NCPN,平分NAQN,NPNQ=110"；

①如图2,点N在PQ左侧时，求/尸河。的角度；

②如图3,点N在PQ右侧，求/PM。的角度；

⑶如图4,PM平分■NCPN,QW平分NAQN,NPNQ=120。，点N在PQ右侧，若NCPM与NAQM

的角平分线交于点“I，与的角平分线交于点AG;此次类推，贝|/加2必。

=.(直接写出结果)

【答案】(1)N2=Z1+N3

⑵①55。；②125°

(1V022

(3)-xl20°

【分析】（1）根据平行线的性质与判定即可求解；

（2）①根据（1）的结论,结合角平分线的定义ZPMQ=NCPM+ZAQM=^ZCPN+ZAQN）=55°；

②点N在PQ右侧时，过点N作NG〃AB,则GN〃CD,可得NPMQ=/CPM+NAQM

=J（/CPN+NAQN）=125°；

（3）根据（2）的结论，分别写出前几个角的度数，找到规律即可求解.

（1）

解：如图，过点NV〃A3,

Z3=ZFNQ,

■.■AB//CD,NF//AB,

:.NF//CD,

:.N1=NPNF,

Z2=ZPNF+ZQNF,

.-.Z2=Z1+Z3,

故答案为：Z2=Z1+Z3；

(2)

①如图，点N在尸。左侧时,

由(1)可得/PNQ=NCPN+ZAQN,ZPMQ=ZCPMZAQM,

.•PM平令/CPN,QM平分NAQV,

NCPM=|NCPN,ZAQM=|ZAQN,

ZCPN+ZAQN=110°,

：.NPMQ=NCPM+ZAQM=：(NCPN+/AQN)=55。；

②如图，点N在尸。右侧时，过点N作NG〃AB,则GN〃C£>

ZGNQ+ZAQN=180。,NCPN+ZGNP=180°,

ZCPN+ZAQN+NQNP=360。，

:/PNG=110°,

ZCPN+ZAQN=360°-110°=250°,

PM平分/CPN,QM平分ZAQN,

ZCPM=|ZCPN,ZAQM=|ZAQN,

：.NPMQ=NCPM+ZAQM=g(/CPN+ZAQN)=125°；

(3)

图4

依题意由(2)②可知，^CPN+ZAQN+ZQNP=360°,NPNQ=120。，

ZPM2=1(ZCPA^+ZA0^)=1(360°-120°)=120°,

由①可知。，

(2)NPMQ=NCPM+ZAQM=120ZPMtQ=ZCPM+ZAQM

=^(ZCPM+ZAQM)=60。=IIxl20°；

同理可得/产4%。=30。=1Ixl20°,

(iY022

ZPM2022e=^-Jxl20°

【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，数形结合是解题的关键.

9.直线EF、GH之间有一个直角三角形ABC,其中回BAC=90。，回ABC=。.

（1）如图1,点A在直线EF上，B、C在直线GH上，若回々=60。，0FAC=3O°.求证：EF0GH;

（2）将三角形ABC如图2放置，直线EFI3GH,点C、B分别在直线EF、GH±,且BC平分回ABH,

直线CD平分回FCA交直线GH于D.在々取不同数值时，回BCD的大小是否发生变化？若不变求其值，

若变化指出其变化范围.

【答案】（1）证明见解析；（2）不变，45。.

【分析】（1）要想求得两条直线平行，我们先要确定题中的内错角相等，即证明回EABWABC,由题

知13ABe=603E1FAC=3O9,所以回EAB=l3ABC=18CrEIBAC-[aFAC=：L80°-90°-30°=609,所以EF0GH.

（2）过点A作AM平行EF和GH,本题利用平行线间的同旁内角互补，回A=90。，求得EIFCA+EIABH=270。,

在利用已知条件中的两个角平分线，得到EIFCD+I3CBH=1353再利用两直线平行，内错角相等，可知

0CBH=EECB,即EIFCD+OECB=135。，所以可以求得EIBCD的度数.

【详解】解：（1）先要确定题中的内错角相等，即证明国EABWABC,

fflEAB=180°-l3BAC-[3FAC,回BAC=90°,EIFAC=30°

00EAB=6O°,

又EBABC=60°,

fflEAB=0ABC,

0EF0GH;

fflFCA+ECAM=180°,EIMAB+0ABH=18O°,ECBH=EECB,

又H3CAM+EIMAB=I3BAC=90",

EBFCA+回ABH=270°,

又EIBC平分回ABH,CD平分EIFCA,

00FCD+0CBH=135",X0CBH=fflECB,BPEFCD+EECB=135",

H3BCD=180°-(0FCD+EECB)=180°-135°=45°.

考点：L平角定义；2.平行线性质与平行公理推论的应用.

（2）如图2,若点尸是射线A4上的一点，且ZBEF=NBFE,EG平分/。班交射线A4于点G,ZZ）=30°,

求/FEG的度数.

【答案】⑴见解析

（2）NFEG=15°

【分析】（1）过点、E作EF〃DC,根据平行线的性质及角的和差求解即可；

（2）过点E作E/7//DC,根据平行线的性质及角的和差并结合（1）求解即可.

(1)

^EF//DC,

®/CDE=NDEF（两直线平行，内错角相等）.

^AB//DC,EF//DC,

0EF//AB,

fflZEEB+ZABE=180°（两直线平行，同旁内角互补）.

回ZFEB=ZDEB-ZDEF=ZDEB-NCDE,

0ZDEB+ZABE-ZCDE=180°（等量代换）.

即ZDEB+ZABE=180°+ZCDE；

（2）

0ZE>£H=ZD=3O°（两直线平行，内错角相等）.

SEH//DC,AB//DC,

S\AB//EH,

fflZHEB+ZABE=180°（两直线平行，同旁内角互补）,

ZHEF=ZBFE（两直线平行，内错角相等）.

^ZBEF=ZBFE,

⑦NBEF=ZHEF（等量代换），

0NBEF=-NHEB=-（180°-ZABE）=90°--/ABE.

22'72

由（1）知：ZDEB+ZABE-ZCDE=180°,

0ZD=3O°,

回Z.DEB+ZABE=180°+ZCDE=180°+30°=210.

BEG平分NDEB,

0/BEG=-/DEB=-（210°-/ABE）=105°-工NABE,

22'72

0ZFEG=ZBEG-ZBEF=105°-1/ABE-^90°-1ZABE^=15°.

【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的

关键.

11.（1）阅读并回答：

科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的

角相等.如图1,一束平行光线AB与射向一个水平镜面后被反射，此时/1=N2,N3=-4.

①由条件可知：N1与N3的大小关系是,理由是；N2与N4的大小关

系是;

②反射光线BC与EF的位置关系是,理由是；

（2）解决问题：

如图2,,一束光线加射到平面镜“上，被。反射到平面镜b上，又被b镜反射，若b反射出的光线力

平行于小，且/1=40。，求N2和/3的度数.

【答案】（1）①相等；两直线平行，同位角相等；相等；②平行；同位角相等，两直线平行；（2）

80°,90°

【分析】（1）①根据题意利用平行线的性质进行分析即可；

②根据题意利用平行线的判定定理进行分析即可.

（2）根据题意利用平行线的判定定理与性质以及补角定义进行综合分析求解.

【详解】解：（1）©0AB//DE,

0Z1=Z3；

又团N1=N2,N3=N4,

EIZ2=Z4.

故答案为：相等；两直线平行，同位角相等；相等.

②E1N2=N4,

SBC//EF.

故答案为：平行；同位角相等，两直线平行.

（2）如图

-.•Zl=40°,

.•_Z4=Z1=4O°.

.•.Z5=180°-40°-40°=100°,

m\\n,

/.Z2+Z5=18O°,

.*.Z2=180°-100°=80°,

,N6=N7=（180°-80。）+2=50。，

.•.Z3=180°-40°-50°=90°.

【点睛】本题考查角的运算，熟练掌握平行线的判定定理与性质以及补角定义是解题的关键.

12.如图，已知直线I川2，点、A、B在直线乙上，点C、。在直线4上，点C在点D的右侧，ZADC=80°,

ZABC=n°,BE平分/ABC,DE平分NADC,直线BE、DE交于点、E.

（1）写出NEOC的度数；

（2）试求ZBED的度数（用含n的代数式表示）；

（3）将线段3c向右平行移动，使点B在点A的右侧，其他条件不变，请画出图形并直接写出N3ED

的度数（用含n的代数式表示）.

【答案】（1）40°;（2）ZBED=^n°+40°■（3）；喳+40。或220。一；废或?『一40°,见解析.

【分析】（1）根据角平分线的定义，即可得至崛EDC=《回ADC；

(2)过点E作EF//AB,根据两直线平行，内错角相等可得回ABE=I3BEF,EICDE=I3DEF,根据角平分线的

定义求出回ABE,0CDE,然后求解即可；

⑶过点E作EF//AB,然后分类讨论：①点A在点B的左边，根据角平分线的定义求出回ABE,ECDE,

根据两直线平行，内错角相等可得I3ABF=EIBEF,0CDE=EIDEF,然后求解；②点A在点B的右边时，

根据角平分线的定义求出回ABE,0CDE,根据两直线平行，内错角相等可得国CDEWDEF,根据两直线

平行，同旁内角互补求出回BEF,然后求解即可.

【详解】解：(1)「DE平分/4DC,ZADC=80°,

ZEDC=-ZADC=-x80°=40°■

22

(2)如图1,过点E作EF//AB,

■.■AB//CD,

:.AB//CD//EF,

:.ZABE^ZBEF,NCDE=NDEF,

•.•BE平分/ABC,DE平分/ADC,ZABC=n°,ZADC=80°,

:.ZABE=-ZABC=-n°,ZCDE=-ZADC=40°,

222

1

ABED=ZBEF+ZDEF=-no+40°；

2

(3)过点石作瓦7/48,

①如图1,点A在点6的右边时，同(2)可得，石D不变，为■|〃。+40。；

②如图2,点A在点6的左边时，若点E在直线4和4之间，贝I

•/HE平分/ABC,平分/ADC,ZABC=n%ZADC=8Q°,

NABE=-/ABC=-n°,ZCDE=-ZADC=40°,

222

VAB//CD,

:.AB//CD//EF,

：./BEF=180°—/ABE=180°--n°,ZCDE=ZDEF=40°,

2

ABED=ZBEF+ZDEF=180°--M°+40°=220°--n°,

22

若点E在直线4的上方或乙的下方，则^BED=180°-（220°-1n°）=^na-40°,

综上所述，/血＞的度数变化，度数为$产+40。或220。-]〃。或｝产-40。.

【点睛】此题考查平行线的性质与判断，平移的性质，解题关键在于掌握各性质定义分情况进行讨

论.

13.如图，已知1面2，MN分别和直线Mb交于点A、B,ME分别和直线li、b交于点C、D,点P

在MN上（P点与A、B、M三点不重合）.

（1）如果点P在A、B两点之间运动时，的、射、助之间有何数量关系？请说明理由；

（2）如果点P在A、B两点外侧运动时，Ela、附、助有何数量关系（只须写出结论）.

【答案】（1）Ela+附=回丫・（2）①P在A点左边时，Ela-附=助；②P在B点右边时，Elp-0a=0y.

【分析】（1）根据平行线的性质可求出它们的关系，从点尸作平行线，平行于/C,根据两直线平

行内错角相等可得出.

（2）分类讨论，①点尸在点/左边，②点尸在点2右边.

【详解】解：⑴如图，过点P做/C的平行线尸O,

XEL4C135Z),

ELPOaftD,

回回

团团a+第二团y.

(2)①P在/点左边时，加-明=卧；

②尸在2点右边时，册-回a=Ely.

【点睛】主要考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等.作出辅助线是解决本题的关键.

14.将一副三角板的直角重合放置，如图1所示，

⑴图1中回BED的度数为;

(2)三角板MOB的位置保持不动，将三角板回C。。绕其直角顶点。顺时针方向旋转：

①当旋转至图2所示位置时，恰好。。回AB,求此时MOC的大小；

②若将三角板配。。继续绕O旋转，直至回到图1位置，在这一过程中，是否会存在回C。。其中一

边能与AB平行？如果存在，请你画出图形，并直接写出相应的蜘OC的大小；如果不存在，请说明

理由.B

,A

图1

【答案】(1)15°;(2)①30°；(2)120°,165°,30°,150°,60°,15°.

【分析】(1)根据三角形的外角性质和对顶角的性质求出回BED的度数；

(2)①由0DI3AB可得回BOD=EIB=30°,再由EIBOD+IBBOC=90°和13Aoe+I3BOC=90°求出E1A0C的度数；

②根据题意作图，可分6种情况进行分析求解.

【详解】(1)00CEA=EBAO-0C=6O°-45O=15°,

EBBED=I3CEA=15°,

(2)①EIODEIAB,

fflBOD=0B=3O°

又EIBOD+I3BOC=90°和13Aoe+IBBOC=90°

00AOC=EBOD=3O-；

②存在，如图1,I3AB0CO,

EEAOC=I3AOB+EIBOC=[3AOB+IBB=120°；

如图2,延长AO交CD于E,

0AB0DC,ffl0DEO=0A=6O°,又I3C=45°,00COE=0DEO-EIC=15O,

EH3AOC=1800-EICOE=1650；

如图3,0AB0DO,

团团A+团AOD=180°,

丽A=60°

团团A。D=120°

丽AOC二团AOD-团COD=30°；

如图4,回AB回DO,回团AOC二回AOD+回COD=团BAO+团COD=600+90°=150°

如图5,回ABR1C0,团团AOC二回BAO=60°

如图6,

设AO与CD相交于点M

团AB团CD,

团团DMO=回A=60°

®AOD=180o-45°-60o=75°,

团团AOC=90°-回AOD=15°.

【点睛】此题主要考查三角形的角度计算，解题的关键是熟知三角形的外角性质及平行线的判定与

性质.

15.已知的三角形的三个内角的度数和是180。，如图是两个三角板不同位置的摆放，其中

ZACB=ZCDE=90°,44c=60。，ZDEC=45°.

(1)当AB〃OC时，如图①，求NDCB的度数.

(2)当C。与C8重合时，如图②，判断与NC的位置关系，并说明理由.

(3)如图③，当/DCB等于度时，AB//EC.(直接写出答案)

【答案】⑴30。

(2)DESAC

(3)15

【分析】(1)根据运用平行线的性质，求得EDC8的度数；

(2)根据EL48E+皿C=180。，运用平行线的判定，得出。EEL4C；

(3)根据/8EICE,求得0£C8=3O。，再根据E1£>CE=45。，求得配)。8的度数.

【详解】(1)解：KIEL4c5=90°,E3/C=60°,

EE3=180°-90°-60°=30°,

^AB^DC,

aar>C8=EB=30°；

(2)解：DE^AC.

当CD与CB重合时，EICD/=EIC8Z=30。，

^ADE=SCDE+SCDA=900+30°=120°,

EGA4c=60°,

aa4BE+aB/c=:i80°,

ELDEEWC；

(3)解：当/施CE时，勖=跖。2=30。，

又EEZ)CE=45°,

0ELDC5=45O-3OO=15°.

故答案为：15.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断

两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来得出角的数量关系.

16.如图，已知直线48E1CZ),EL4=0C=1OO0,E,尸在CD上，且满足BE平分EIC8?

(1)直线与BC有何位置关系？请说明理由；

(2)求0DAE1的度数；

(3)若平行移动40,在平行移动40的过程中，是否存在某种情况，使aBEC=a4DB?若存在，求

出0AD3；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)AD^BC,理由见解析；(2)0£B£=40。；(3)存在，EL4DB=60°

【分析】(1)根据平行线的性质，以及等量代换证明的。C+回C=180。，即可证得4DESC；

(2)由直线/施CD,根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得a48c的度数，又由0D5斤;

即可求得前BE的度数.

(3)首先设西8。=&089=05/兀-。，由直线4BE1CD,根据两直线平行，同旁内角互补与两直线平

行，内错角相等，可求得I38EC与EL4Z>5的度数，JL^BEC^DB,即可得方程：％°+40。=80。封°,解

此方程即可求得答案.

【详解】解：(1)直线/。与BC互相平行，理由：

EL4BEICZ),

0EL4+EL4Z)C=18OO,

又0JL4=EIC,

0EL4Z)C+0C=18O°,

EL4P05C；

(2)EL4BECD,

0a45C=18O°-EC=8O",

'SEDBF^ABD,BE平分团CBF,

^\DBE=-SABF+-BiCBF=-&43。=40。；