广东省肇庆市2025届高三第二次模拟数学试题（解析版）

广东省肇庆市2025届高三第二次模拟数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

A=\xeZ^^<Q[,B={xe^\x--i\<l]

1.已知集合[*+2J,则

A.{-2,-1,0,1}B.{-1,0,1}

C.{0,1}D.{0,1,2)

【答案】D

'x-2

【解析】A=xeZ--<01U{xeZ|-2<x<2}={-l,0,l,2},

x+2

B={xeZ||x-l|<l)={xeZ|0<x<2}={0,l,2},则4口3={0,1,2}.

故选：D.

2-21

2.已知z=----，贝!Jz•z=()

1+i

A.2B.-2C.4D.-4

【答案】C

2-2i2(1-i)2~_

【解析】因为z=-；~r=7:~^77：~了=-2i,所以z=2i，则z-z=-4i2=4.

l+i+

故选：C.

3.已知向量4=(一2,3),6=(7〃一1,37〃),万//(商+25),则/"=()

【答案】A

【解析】因商=(—2,3),b=(m-l,3m),

故1+=(―2,3)+2(m-l,3m)=(2m-4,6m+3),又商//w+2：),

故—2x（6/w+3）=3x（2m—4）得〃i=g.

故选：A.

4.小王数学期末考试考了90分，受到爸爸表扬的概率为受到妈妈表扬的概率也为

假设小王受爸爸表扬和受妈妈表扬独立，则小王被表扬的概率为（）

【答案】C

【解析】记小王受到爸爸表扬为事件A,小王受到妈妈表扬为事件3,小王受到表扬为事

件。，小王同学受爸爸表扬和受妈妈表扬相互独立，

则P（D）=1—P（可伍）=lJxgW.

故选：C.

5.已知数列｛4｝的前〃项和为S,,,满足S“〃2+3〃+2,则下列判断正确的是（）

A.数列｛4｝为等差数列B.。5=11

C.数列｛s,J存在最大值D.数列<—>存在最大值

【答案】D

【解析】由=1+3〃+2可知，当时，S“T=S—1）2+3（〃—1）+2,

S],〃=16,几=1

因为=<所以为=<

Sn-Sn_vn>22n+2,n>2

故数列｛4｝是从第二项开始的等差数列，故A错误;

将〃=5代入｛4｝的通项公式可得。5=2x5+2=12,故B错误;

由y="2+3”+2知，数列电｝为递增数列，S“不存在最大值，故C错误;

11

由《7=”2+3”+2知，数列为递减数列，故存在最大值，故D正确.

故选：D.

6.己知a是锐角，J§sina+20cos&=而，贝Usin1=）

Qy[55

D.--------------D

11■"TFf

【答案】B

【解析】由J5sintz+2-\/2costz=y/11得costz=—~^=sina，

2V22。2

、2

由sin2（z+cos2tz=1得sin2a+—7=sma=1,

2V2J

化简得（JTTsina—百『=0,得sina=^

故选：B.

7.已知直线/:>=氐是双曲线C:斗—\=l（a〉O力〉0）的一条渐近线，。是坐标原

点，片是C的焦点，过点片作片M垂直于直线/交/于点加,△耳。加的面积是则

2

C的方程为（）

22

A.--x2=1B.匕-V=1

23

22

C.V2--=1D.V2--=1

•2-3

【答案】B

【解析】由题意知q==且，解得〃=1,4=3,则双曲线方程为汇—V=i.

6223

故选：B.

8.已知正三棱锥的底面是边长为百的正三角形，高为2,则该三棱锥的外接球的体积为

（）

125兀25兀64兀64兀

A.------B.——C.-----D.——

484253

【答案】A

若球心0在三棱锥P-ABC内，设。।为底面VA5C的外接圆的圆心.

球。的半径为A,则A。1=#x百=1,0。］=2-7?.

因为402=49：+oq2,所以片=i+Q—©2,解得R

V=—4兀尺3=125兀

348

若球心。三棱锥P—ABC外，则。。1=尺一2,

同理由R2=1+(2—R)2解得R=：,此时OO]=R—2<0,不符合题意.

故选：A.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是

符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列函数中是奇函数且是周期函数的是()

A.y=sinx+sin2xB.y=sin«+cos《

C.j=sinx+cosxD.y=sinx-cosx

【答案】AD

【解析】若/(x)=sinx+sin2x,定义域为R,

贝ijf(-%)=sin(-x)+sin(-2x)=—(sinx+sin2x),/(%)+/(-%)=0"(x)是奇函数，

/(x+2兀)=sin(x+2兀)+sin(2x+4兀)=sinx+sin2x

/(x)=/(x+2兀),/(x)是周期函数，故A正确；

若/(*)=5由五+以光«,则xe[O,+”)，故/(无)不是奇函数，故B错误；

若/(x)=sinx+cosx,定义域为R,

则f(-x)=sin(-%)+cos(-x)=-sinx+cosx,f(x)+f(-%)=2cosx丰0,

故〃龙)不是奇函数，故C错误；

若/(力=511«<。5%=上山2%，定义域为R,

则/(一力=一；sin2x,/(x)+/(—X)=0,7(x)是奇函数，

/(x+7i)=gsin(2x+27i)=gsin2x,/(x)=/(x+是周期函数，故D正确.

故选：AD.

10.如图，在棱长为a的正方体ABC。-AgG。中，点P满足

BP=XBBx+piBC,2e[0,1],//e[0,1],则下列说法正确的是()

D.C,

AR

A.若X=〃，则。P//平面

B.若％=2〃，则点P的轨迹长度为逝4

2

C.若〃=1,则存在2,使。

D.若〃=；，则存在彳，使4。，平面OPB

【答案】ABD

对于A,若2=〃，则丽=文明'+2反!=4函；[0,1],则点P在线段8G上，如上

图.

因平面AB[C[DJ/平面A5CD,且平面ABC。n平面BRDB=BD，平面4片£。门平

面BQQB=BiDl,

故5Qj/ABD因3Q]<z平面Bq。，5Du平面3。。,故与，//平面BQ。，同理可

证AQ//平面BC.D,

因AD】u平面ADXBX,ABXu平面AD4,且ARc\ABx-A,故有平面ABlDl//平面

BCR,

又因为DPu平面Bq。，所以DP〃平面AAQ,故A正确;

对于B,若2=2〃，则BP=2〃BB[+〃BC=+BC)=2〃BN(N为其6的中

点）如上图.

又因为Xe[0,l],X=2〃，所以2〃e[0,1].故点p的轨迹长度为BN=半，故B正确;

对于C,若〃=1,则诉=%函+反,所以而—就=丽=几函,Xe[0,l]

CP=2B^,2e[0,l],所以点尸在线段CG上(如上图).

22

假设DP1A}P,则DP+其产=A.D,

即a2+(Aa)2+a2+a'+(1-A)2G2=(立af，化简得分-4+1=0,

该方程无解，所以4不存在，故C错误；

对于D,如上图，设M为的中点,

当〃=—时，则BP=ABB,H—BC=ABB,+BM,即MP=ABB,,

22

建立如图所示的空间直角坐标系。-孙z.

则D(0,0,0),B(a,a,0),(a,0,a),C(0,a,0),

M(a,a,a),尸[I2al.

所以AC=(-a,a,-a),DB=(a,a,0),DP=,a,Aa

AC1DB,

假设AC,平面OP3,贝I厂一

\CLDP,

A^C-DB=—a2+a2=0,

即《解得.故D正确.

AiC-DP=~ax]+a?—Atz2=0,2

故选：ABD.

11.已知函数/'（x）=e*—ef-存有两个极值点石,%（%<%），则（）

A.。<一2或。>2

B.x,x2<0

C.存在实数“，使得/'（々）>0

D小）-“芯）〉2”

马一石

【答案】BD

【解析】易知/''（%）=e'+e-x—a,

令f=e"，贝U>O,/'（x）=y'=t+；—a.

令tH---a=0,贝=—.设=—,

由对勾函数的图象可知：

当a>2时，8（。=。+：与丁="的图象有两个交点，

因为f>0,故a<—2不成立，故A错误；

设/+1—a=0,则/—af+l=0（fwl）①，

设九马为①式的两根，则％+/2="，％%=1，即e*,+e&=a②，

e"e花=1③.

由③式可知％+%=0,所以玉=一兀2，则=-只<0，

故B正确；

解法1：由②式可知/（%2）=炉一片亚一（e苞+片苞）•/，

令/?（尤）=e*―b_（e、+eT）・尤（尤>0）,

则h\x）=3+b）—［（er-e-r）-x+（er+尸）］=-x（er-尸）=-xe-1（e2r-1）<0,

则h（x）在（0,+。）上单调递减，所以h（x）</i（0）=0,

故\/%2>0，/（々）<0,所以不存在实数。使得/（9）>。，故C错误；

x-A

解法2：/'（x）=e+e—a=0,a>2,xr<x2,

可得％为（0，+a）区间的极小值点，则必有/（9）</（。）=0,故C错误；

由③式可知占+%=0,所以石=一%,

要证/(々)-/(%)_/(々)-/(-々)_(e*-ef-%)-(e--e*+ax2)

HE----------——--------------——-------------------------------

仅需证明e*—e』—2%>0成立.

令=e*—e-*—2x（x>0）,则m,（x）=ex+e~x—2>0.

则可龙）在（0,+oo）上单调递增,所以>m（0）=0,

故e*一片巧一2々〉0，故D正确.

故选：BD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在［x-2］的展开式中，所有项的系数和为.

【答案】—1

【解析】令%=1,可得所有项的系数和为（-Ip=-1.

故答案为：-1.

2f+1x<l

13.已知函数〃x）=2'，则/（光）的最小值是_________.

x-6x+4,x>l

【答案】-5

【解析】当］<1时，/（力=？-、：1,〃％）单调递减，所以/'（x）>+1=3

当时，〃幻=/—6x+4"（x）在区间［1,3）上单调递减，在区间［3,+<6）上单调

增,所以/■（力2〃3）=-5.

综上所述，/（左）的最小值是-5.

故答案为：-5.

1r2

14.直线y=—x+/与椭圆上+/=1交于43两点（4,8不是椭圆的顶点），设

24

C（-2,0）,D（2,0）,当直线AC的斜率是直线3。斜率的2倍时,m=.

【答案】

3

1

y=—x+m,

2

【解析】设4（%,%）,3（工2，%），由＜可知/+2mx+2m2-2=0.

X22,

—+V=1

[4'

由A＞0知，（2根）2-4（2加一2）＞0,解得-0＜；〃＜虚.

2

X[+x2=-2m,Xj-x2=2m-2,①

1122

力.%=-V+-m（xj+%）+m=-m

22

%%二寸

.•.、kAC-人kAD

玉+2Xj—2%；—4

又・・・kAC=2kBD,

一；,化简得x%=][中2—2（菁+々）+4],

将①②代入上式可得3m2+2加一1=0,解得机=g或机=一1,满足-应＜根＜0.

当机=-1时，直线/经过椭圆右顶点，不合题意，舍去.综上所述根=g.

故答案为：—.

3

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

sin5+sinCb-acosCc、、〜八一、人人上—―“

15.在①---；-=-----；②------=-----这两个条件中任选一个，补充在下面的

sinAb-ccosB2a-b

横线上，并解答.记VA5c的内角A,B,C所对的边分别是。，"c，已知.

（1）求C.

（2）设。为VA5C的内心（三角形三条内角平分线的交点），且满足

AB=5,AO2+BO2=11,求△ABO的面积.

sinB+sinCb-a

解：（1）选择条件①:

sinAb-c

L-、jEabc/=人+cb-a

由正弦定理二一=--=-——得——二——,

sinAsinBsinCab-c

所以〃+〃2一。2=〃4

〃24扇_2

由余弦定理，得cosC=巴二^―-ab_1

lab~2ab~2

因为Ce(O,7i),所以C=^.

cosCc

选择条件②：因-----=-----二，所以2加05。一反05。=久(比8,即

cosB2a-b

2acosC=ccosB+bcosC.

由正弦定理得2sinAcosC=sinCcosB+sinBcosC,即2sinAcosC=sin(C+B).

因为A+3+C=7L,所以3+C=7i—A,所以sin(5+C)=sin(兀一A)=sinA.

1jr

因为Ae(O,7i),所以sinAwO,所以cosC=].因为Ce(0,7i),所以C=^.

(2)连接AO,80,

因为点。是内心，所以ZOAB=-^BAC,/OBA=-ZCBA.

22

因为ZACB+々AC+/CBA=兀，所以NR4C+/CR4=®,

3

所以N0AB+N084=P,所以NA03=0.

33

由余弦定理得AB2=AO2+BO2-2A0-BOcosZAOB.即25=17+AO-50,解得

AOBO=S,

所以SMB='A0•BOsin^AOB=.

16.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD平行四边形，R4,平面ABCD,平

(1)证明：CD,平面P4C.

3

(2)若AB=PA=sBC=3,E为PD的中点，求PB到平面AEC的距离.

（1）证明：如图,在平面PAC内作AHLPC,交PC于点H.

因为平面APC±平面PCD,平面APO。平面PCD=PC,AHc平面PAC,AH±PC,

所以AH，平面尸CD,则AH，CD.

因为R4，平面ABCD,所以，CD,

因为PA。AH=A丛,AHu平面B4C,所以CD，平面PAC.

（2）解：如图，连接5。交4c于点。,连接OE.

易知OE为△尸8D的中位线，所以PB〃OE.

因为PBU平面AEC,OEu平面AEC,所以尸3〃平面AEC,

所以尸3到平面AEC的距离，即为点3到平面AEC的距离.

由（1）知C。，平面P4C,所以CDJ_AC.

因为A5〃CD,所以A31AC.又因为上4，平面A5CD,所以PA,A5AC两两垂直.

3

因为AB=《BC=3,所以AC=4.

法一（建系）：如图，以点A为坐标原点,AB,AC,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直

角坐标系.

则A（0,0,0）,B（3,0,0）,C（0,4,0）,P（0,0,3）,

所以需=（0,4,0）,»=（0,0,3）,/=（—3,4,0）,

布=；（而+西=；加+何=]-|,2,|]

设平面AEC的法向量为。=（x,y,z）,

33

AE-n=Q,--x+2y+^z=0,

则一即

ACn=0,

4y=0,

取z=1,则x=1,y=0,所以平面AEC的一个法向量为n=（1,0,1）.

\BC-n\3J23J2

则点B到平面AEC的距离d=,即PB到平面AEC的距离为*.

同22

法二（几何）：因为平面A5CD,所以八因为CD，平面PAC,所以

PC，CD,所以APA。,APCD是直角三角形.

所以。0=同力=取,因为E是斜边的的中点，所以AE=CEqPD=Y|t

/I--、2

2

则S-ACE=万义4*'-^--2=3A/2,S«ABC=-X3X4=6.

设点B到平面AEC的距离为d，则咚棱锥B.AEC=§^ACE°.，解得

d=—,即PB到平面AEC的距离为—.

22

22

17.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:—+g=l（a〉b〉0）的左、右、

上、下顶点分别为A5,C,£>.设尸，。为C上并且位于第一象限的两点，满足。。〃".

（1）若/QO3=30°,AP交，轴于6,且。片=|。。，求椭圆C的离心率.

（2）设〃为AP的中点，直线交C于点R（其中R在％轴上方）.证明：

\OQ\^+\OR\1=\OB\1+\OC|2.

解：（1）因为。。//AP,所以NPAO=/QO5=30。.

所以［0用=当。，则当“=

则C?=/—/=—I?,解得C=—CI,

42

则Ee=一C=l二■.

a2

（2）由（1）知，a=2,c=l.

设点P（%,%），因为。。//"，所以存在/IwO,使诙=4/，贝U

。（/1（天+2）,4%）.

因为M是"的中点，所以丽=g（函+丽）.

又因为O,M,R三点共线，所以存在〃wO,使砺=〃W.

令k=；〃，贝iJR（左（/一2）,@0），

则由点Q,R在椭圆上得虫曳包+4置=1、（%。-2）=1，

43'43

11

整理得见9=——%，k9=~——,

%+22-x0

IOQ|2+|OH|2=%（4+2）2+/Py：+左25—2）2+k2yl

=4

=（x0+2）+（2-x0）+-y—+—^―Jo+y^7J-

1z+玉）/一/J

因为点P在椭圆上，所以1+。=1,整理得4尤=3（4一片）.

所以|OQ『+|0尺|2=7=/+/=|OB|2+|OC|2.

18.购买盲盒成为当下年轻人的潮流之一、其最吸引人的地方是因为盒子上没有标注物品具

体信息，买家只有打开才会知道自己买到了什么.某商店推出20种款式不同的盲盒，购买

规则及概率如下：每次购买一个，且买到任意一种款式的盲盒是等可能的.小刘特别喜欢

20种款式中的一种.

（1）若20种款式的盲盒各有一个.

（i）求小刘第二次才抽到特别喜欢的款式的概率.

（ii）设小刘抽到特别喜欢的款式所需次数为X,求X的数学期望石（X）.

（2）若每种款式的盲盒数量足够多，每次盲盒被买后老板都会补充被买走的款式.商店为

了满足客户的需求，引进了保底机制：在抽取前指定一个款式，若前9次未抽出指定款

式，则第10次必定抽出指定款式.设y为小刘抽到某指定款式所需的次数，求丫的数学期

望E（F）（参考数据：0.95屋0.63,结果保留整数）.

解：（1）＜i）设小刘第，•次抽到特别喜欢的款式为事件a.

则小刘第二次才抽到特别喜欢的款式的概率为

P（AA）=P（A）P（AIA）=^X±=±.

__01011

（也可以用？（44）=m=百）

（ii）X的可能取值为1,2,3,…,20,

则/（乂=左）=人，；A；=金水=1,2,3广.,20,

20

所以X的分布列为

X12L1920

1111

PL

20202020

则

(1+20)x201_21

E(X)=lx—+2x—+...+20X—=(l+2+---+20)x—=

v720202017202202

(2)记p=工=0.05,Y的可能取值为1,2,3,…,10.

20

因为前9次(包含第9次)没有保底，

则尸(V=>)=(1—p)"ip=0.951x0.05,其中左=1,2,…,9,

P(Y=10)=(l-p)9p+(l-p)9(l-p)=(l-p)9=0.959,

所以y的分布列为

Y12L910

P0.95°x0.050.951x0.05L0.958x0.050.959

则E(y)=1x0.95°x0.05+2x0.951x0.05+…+9x0.958x0.05+10x0.959.

记S=1x0.95°+2xO.951+…+9xO.958,

则0.95S=1x0.951+2x0.952+.­­+9x0.959，

9

两式相减，得0.05S=1*0.95°+O.951+…+OS'-9x0959=20-29x0.95-

所以E（y）=0.05S+10x0.959=20—19x0.959“8.0378.

19.把一列函数按一定次序排列称为函数列，记为｛力（x）｝.例如：函数列

[x,2x,3x,…双…｝可以记为于"（x）=nx,riGN*.记f'\x）为fn（x）的导函数.

（1）若力（x）=〃lnx.证明：｛力'（2024）｝