函数的零点与方程的解（五大题型）-2025年高考数学冲刺复习（解析版）

函数的零点与方程的解

CCC

【解密高考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）

【题型一】函数零点所在区间的判定

【题型二】函数零点个数的判定

【题型三】根据函数的零点个数求参

【题型四】二分法

【题型五】等高线

【误区点拨】点拨常见的易错点

易错点：对两个计数原理理解混乱

解密高考

考情分析:1.理解函数的零点与方程的解的联系.

2.理解函数零点存在定理，并能简单应用

3.高考以选择填空最后一题为主，难度较大

备考策略|

：深刻理解如下几个概念

1.函数的零点与方程的解

（1）函数零点的概念

对于一般函数＞=式尤），我们把使Mx）=O的实数x叫做函数y=/（x）的零点.

（2）函数零点与方程实数解的关系

方程/（x）=0有实数解。函数y="x）有零点Q函数y=/（x）的图象与无轴有公共点.

（3）函数零点存在定理

如果函数＞=兀0在区间伍，句上的图象是一条连续不断的曲线，且有脑）昉）＜0,那么，函数＞=/（无）在区间

（。，6）内至少有一个零点,即存在ceg,b）,使得*。）=0,这个c也就是方程五尤）=0的解.

2.二分法

对于在区间伍，手上图象连续不断且觞）也）＜0的函数v=*尤）,通过不断地把它的零点所在区间一分为二,

使所得区间的两个端点逐步逼近雯点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

»题型特训提分----------------

【题型一】函数零点所在区间的判定

【例1】函数"x）=2x+lnx-6的零点所在的区间是（）

A.（1,2）B.（2,3）C.（3,4）D.（4,5）

【答案】B

【分析】分析函数/（尤）的单调性，结合零点存在定理可得出结论.

【详解】因为函数y=2x-6、y=lnx在（0,+8）上均为增函数，故函数/（x）在（0,+<»）上为增函数,

因为〃1）=T<。，/（2）=ln2-2<0,/⑶=ln3>0,贝厅（2）〃3）<0,

由零点存在定理可知，函数/（x）的零点所在的区间是（2,3）.

故选：B.

【例2】函数f（x）=入一4+xlogzX在区间［1,4）内有零点，则实数%的取值范围为（）

A.[-4,1)B.(T,l]C.[-1,4)D.(-1,4]

【答案】D

【分析】令83=左+1唱》-土分析可知函数8（力=4+1鸣》/在［1,4）上为增函数,且该函数在区间［1,4）

XX

g⑴W。

内有零点,可得出,即可解得实数上的取值范围.

g(4)>0

【详解】当xe［l,4）时，由/（x）=b;-4+xlog2X=0可得左flog2x-3=0,

4

令g（x）=^+log2尤一一，

X

因为函数y=log/、>=左-"在［1,4）上均为增函数，

X

故函数g（x）=Z:+k）g2X-B在［1,4）上为增函数，

因为函数“X）在区间［1,4）内有零点，则函数g（x）在区间［1,4）内有零点,

K1)="440

所以,解得一1〈无V4,

g(4)=^+l>0

因此，实数％的取值范围是（-1,4］.

故选：D.

【例3】(多选)下列函数图象与x轴均有公共点，其中不能用二分法求零点的是()

【答案】ABD

【分析】利用二分法的使用条件，结合图象即可得解.

【详解】能用二分法求零点的函数必须在给定区间加上连续不断,

并且有A、B中不存在/(x)<0,D中函数不连续.

故选：ABD.

(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y=/U)在区间［a,切上的图象是否连续；再看是否有五

若有，则函数y=A尤)在区间(a,b)内必有零点.

(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.

【变式1】已知定义在R上的函数/(x)满足Vx,yeR,/(3xy-2)-/(x)=/(^)/(y)+3y-7,且

〃。)+,(--，设函数g⑴.叫「则()

A.g(x)只有1个零点，且该零点在(-2,-1)内

B.g(x)有2个零点，且2个零点分别在(-1,0)和(0,1)内

C.g(x)只有1个零点，且该零点在(0,1)内

D.g(x)有2个零点，且2个零点分别在(0,1)和(1,2)内

【答案】C

【分析】根据已知求得f(x)=3x-l,进而由解析式判断g(x)的单调性，应用零点存在性定理判断零点所在

区间，即可得答案.

【详解】令x=y=0,得/(_2)-/(0)="(0)『-7,又/(0)+/(-2)=-8,

所以"(。)『+2/(0)+1=0,解得八0)=-1,所以/(-2)=-7,

令x=0,得f(_2)-/(0)=/(y)/(0)+3y-7,所以〃y)=3y-l,即〃x)=3x-l.

—X+1]

函数g（无）=/（尤）+II=3x-l+2-在R上单调递增，且g(0)=--<0<g⑴=3.

故选：C

【变式2】已知函数/(x)=tan[x+]J-sinx

则在下列区间中，函数/（》）一定有零点的是（)

7171兀3兀3兀

A.B.D.

畤4922?TT,JI

【答案】D

【分析】根据函数图象及零点存在定理判断即可.

【详解】在同一坐标系内，作〉=13口+1[,y=sinx图象，如图,

由图象可排除AB选项,

.3兀7t42^3V2

-sin—=tan----------<------------<0,

412232

/（7i）=tan（7i+]）-sin7i=tang=g>0,

7137r37r

所以由零点存在定理及图象可知，函数“X）在上无零点，在彳，兀上有零点，

所以C错误，D正确.

故选：D

【点睛】关键点点睛：结合函数图象可判断函数只有一个零点，再由零点存在定理判断零点所在区间.

【题型二】函数零点个数的判定

【例1】若函数y=/（x）（xwR）满足/（x+2）=/（x）,且时，f（x）=l-x2,已知函数

则函数内)=—)在区间S内的零点个数为()

A.14B.13C.12D.11

【答案】C

【分析】根据函数的周期性画出/(%)的图象，结合指数函数，对数函数图象画出图象数形结合得出交点个

数即可得出零点个数.

【详解】V/(x+2)=/(%),

/.v=/(x)(xeR)是周期为2函数，

：时/(尤)=1-尤2,贝独=/(尤)，g(x)=»甲的图象如下：

［ex,x<0

xv0时g(x)£(0,1)且递增，0<%<1时g(x)G(0,+oo)且递减,

x>1时gM£(。,+8)且递增,

又/(-6)=l>g(—6),/(l)=g(l)=0,/(6)=l>g(6),

如

产於)1尸g(x)

-6-5^3-1O\135~6x

由图知：区间［-6,6］上函数交点共有12个.

故选：C.

【例2】若函数/(工)=%3+加+陵+(7有极值点占，%,且％</，〃%)=%，则关于尤的方程

3(〃x)y+24(x)+6=0的不同实根个数是()

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【分析】求导数t(x),由题意知4，%是方程3/+2℃+6=0的两根，从而关于〃司的方程

3(〃x)y+24(无)+6=0有两个根，作出草图，由图象可得答案.

2

【详解】f'(x)=3x+2ax+b,x1,9是方程3d+26+6=0的两根，

由3(〃尤))~+24(无)+6=0，得了(力=%或/(")="，

即3(〃x)y+24(耳+6=0的根为/(》)=石或/(力=%2的解.

,.1%<%,/(%)=%,根据题意画图：

由图象可知/(X)/有2个解，/(X)气有1个解，因此3(〃无)y+24(x)+6=0的不同实根个数为3.

故选：A.

【点睛】本题主要考查函数零点的概念、以及对嵌套型函数的理解，考查数形结合思想，属于中档题.

【例3】已知是定义在R上的函数，且有〃x+l)=/(x)+l,当0<尤41时,f(x)=3x+l,则方程

〃x)=4的根的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】由已知，讨论x的范围，求出函数的解析式，画出函数的图象，然后判断方程根的个数即可.

【详解】/⑺是定义在R上的函数，且有/(尤+1)=〃力+1,

当0cxW1时，/(x)=3x+l,

贝时，0<x+lWl,贝！j/(x)=/(x+l)-l=3x+3,

1<%<2时，0<了一141,/(耳=/(尤一1)+1=3左一1,

2<xW3时，0<x—2W1,/1(尤)=/'(%—2)+2=3x—3,

3<xV4时，尤)=/(x-3)+3=3x-5,

画出函数/(x)与函数y=4的图象，

4

3

/1fl.IIII

/1TIII।

/I।II।

4O|~1234*

由图象可知方程/(%)=4的根的个数为3.

故选：C.

IN

(1)直接法：令式无)=0,方程有多少个不同的实数根，则八劝有多少个零点.

(2)定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等.

(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数.

【变式1］(多选)函数/'(x)=lnx+ox2-4依的零点个数可能是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】BC

【分析】根据函数零点个数的问题等价于两个函数交点个数的问题，将/("=0化简得到两个函数.讨论两

个函数的性质，并作出两个函数图像，即可得解.

［详解］由/⑺=111«+依2_4依=0,XG(0,+oo),f#—=-a(x-4),

求函数/(力=hx+加-4依的零点个数等价于求函数y=产和y=的图像的交点个数.

函数>=¥的导函数，=—三，当x«0,e)时y'>0；当xe(e,+e)时y'<0.

所以函数y=?在(0,e)上单调递增，在(e,+力)单调递减.

%=e时有最大值Lx=l时y=0,

e

%>1时y>0,龙f+8,y->0.

过定点(4,0)的直线y=-a(x-4),与函数丁=笥的图像的交点数为1个或2个，如图所示.

所以函数“X)的零点个数为1个或2个.

故选：BC.

【变式2】已知函数〃尤)=1,g(x)=f(x)-〃z,若相e(0,l),则g(x)的零点个数为()

2-x-1,x>l

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

1-3",x<0

【分析】根据已知有/(x)=3，-1,0<X<1并画出函数大致图象，数形结合确定g(x)的零点个数即可.

l-3r,x<0

【详解】由题设/(x)=3To〈尤<1,函数大致图象如下,

-,x>l

其中当X趋近于-«>时，当X趋近于+8时，->0,

判断y=/(x)的图象与直线y=m的交点个数：

由图知，%e(o,l)时它们有3个不同的交点，

所以函数g(x)=/(x)-加的零点个数为3.

故选：B

【变式3】函数/(尤)=印的函数值表示不超过尤的最大整数，例如，[-3.5]=-4,[2.1]=2,则方程W-sinx=0

的零点个数为()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】利用〃》)=[划的定义，进行分段讨论，找出与〉=011》图象交点个数即可.

【详解】由题，Lx]=sinx,故-lWx<0时，印=-1,与丫=$1月没有交点,

当X<T时，HIV-2,与丫=5]11%没有交点，

当0vx<1时,印=0,与y=sinx有一个交点，

当lVx<2时，W=l,与〉=5m》有1个交点，

当2W尤时，[%]>2,与丁=$山彳没有交点，

故共有2个交点，

故选：C.

【题型三】根据函数的零点个数求参

【例1】已知函数/G）=sin笥+，皿5-也＞0）,xeR.若/（x）在区间（&2%）内没有零点，则。的取

值范围是.

【答案】HU!：

【分析】先把/（X）化成/（元）=］sin［。尤-弓］,求出/（x）的零点的一般形式为+）丘Z'根据了⑸

在区间（兀,2兀）内没有零点可得关于左的不等式组，结合左为整数可得其相应的取值，从而得到所求的取值范

围.

1-COSG%1.1<2.(兀、

【详解】由题设有/（%）=----------------1--——=——sincox——

2222I4)

令〃x）=0,则有ox-==fai#eZ,即_^+4,7

4X—，/C£/

①

因为/（X）在区间（兀,2兀）内没有零点，

,71,5K

故存在整数%,使得竺Ng兀＜2兀＜竺五，

3CD

CO＞k+—

即，;，因为。＞0,所以发NT且％+工4幺+』，故左=—1或左=0,

/5428

［28

所以0＜GW工或

848

iiri5-

故答案为：0,—u—.

I5」l_4»_

x+2尤V0

【例2】（多选）已知函数”元）=［旭J：。，若方程/⑴-时⑴-1=0有4个不同的实数根，则下列选

项正确的为（）

A.方程/（x）=0有2个不相等实数根

B.函数/■（*）在（。,+8）上单调递增

C.函数〃x）无最值

D.实数机的取值范围为,0

【答案】AC

【分析】画出函数图象，根据图象可以判断ABC是否正确，对于D选项，将方程「（力-时（"一1=0是为

一元二次方程，利用韦达定理，结合分段函数的图象性质，得到根的分布，进而求出参数的取值范围.

x+2,x<0

【详解】由函数〃x)=<解析式，可得函数图象如图:

|lgx|,x>0

由图知方程/(尤)=0有2个的不相等实数根，函数/(%)没有最值，故A、C正确；

函数f(x)在(0』)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，故B错误；

由于方程/⑺-对(x)T=0有4个不同的实数根，令f=/(x),

则产=0有2个不同的实数根，所以A=m2+4>0恒成立，

设产-加-1=0两个不等的实根为k，<与)，由韦达定理知：?1+/2=m,r1?2=-l,

则卬L异号，由图可知：匕<。，0<12<2,

即函数y=产一加一1有两零点八«-p0),才2e(0,2]

3

22-2m-l>0,解得m(7，故D错误.

2

故选：AC.

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式确定参数(范围).

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域确定参数范围.

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后利用数形结合法求解.

【变式1】(多选)设函数了(力=2%3-3依?+1,则()

A.当4=1时，“X)有两个零点

B.当。<。时，*=。是/(》)的极大值点

C.当a=2时，点(1,7■⑴)为曲线y=〃尤)的对称中心

D.当a>0时，y=f(尤)在区间上单调递增

【答案】ACD

【分析】根据因式分解可得函数的零点，结合导函数的图像去研究函数的极大值、对称中心与单调性.

【详解】已知/(%)=2城一3加+1,所以/(x)=6x?-6依=6x(x-。)，

当4=1时，2x3-3d+l=(x-l)(2x2-x-l)=(x-l)2(2x+l)=0,方程有两个根，所以A正确，

当。<0时,1(x)=6x(x-“)>0的解集为(-co,a)50,+oo),r(x)=6x(x—a)<0的解集为(a,0),

所以/(x)在0)上单调减，在(0,+s)上单调增，所以/(x)在0处取极小值，所以B错误，

当a=2时，/(X)+/(2-X)=2X3-6X2+1+2(2-X)3-6(2-X)2+1=-6=2/(1),

所以4》)关于(11(1))中心对称，所以C正确，

当a>0时，f'(x)=6x(x-a)>0的解集为(一»,0)□(a，+00)，而(~°°，-。)U(-°°,0),所以/(%)在上单

调递增，所以D正确.

故选：ACD

【题型四】二分法

【例1】已知函数/(X)=/-2x-1,现用二分法求函数〃X)在(1,3)内的零点的近似值，则使用两次二分法

后，零点所在区间为()

【答案】A

【分析】应用零点存在定理结合二分法，不断把区间一分为二计算求解.

【详解】由二分法可知，第一次计算/(2)=3>0,X/(l)=-2<0,f(3)=20>0,

由零点存在性定理知零点在区间(1,2)上，

所以第二次应该计算了［幻一在。，又〃2)>0,

所以零点在区间(|,2］上.

故选：A.

［例2］已知函数〃x)=x-er的部分函数值如表所示:

X10.50.750.6250.5625

“尤)0.6321-0.10650.277600897-0.0007

那么函数/(X)的一个零点的近似值(精确度为0.1)为()

A.0.55B.0.57C.0.65D.0.7

【答案】B

【分析】根据函数单调性结合零点存在性定理分析零点所在区间，再根据二分法可得结果.

【详解】根据题干所给数据可知，/(0.625)>0,/(0.5625)<0,且函数/(x)=x—©一”在R上为增函数，

由零点存在定理可知，函数“X)的唯一零点在区间(0.5625,0.625)内，

区间长度为0.625-0.5625=0.0625<0.1,结合选项可知，其近似值为0.57.

故选：B.

【变式1】用二分法求方程3工=8-3》在(L2)内的近似解时，记/(x)=3*+3x-8,若

/(1)<0,/(1.25)<0,/(1.5)>0,/(1.75)>0,据此判断，方程的根应落在区间内.

【答案】(1.25,1.5)

【分析】由题意可得了(125)/(1.5)<0,根据函数的零点存在定理以及单调性求得函数的零点所在的

区间.

【详解】根据题意可得“X)在R上单调递增，且〃1.25)/(1.5)<0,

所以函数/⑺的零点所在的区间为(125,1.5).

故答案为：(1.25,1.5).

【题型五】等高线

2-|x|,x<l

【例1】已知函数/(尤)=[]0。(二ur>1，且关于X的方程y(x)=a恰有四个不同的根，从小到大依次

为西,工2，兀3，工4，则()

A.«e[l,2)B.玉+%2+4%3+Z最小值为9

C./(/(力)一/(力=。恰有6个不同的根D.3k,使得了(/(x))=左恰有8个不同的根

【答案】ABD

【分析】画出函数的图象后可判断A的正误，由图象的局部对称性可判断B的正误，利用换元法可判断CD

的正误.

【详解】/(X)图像如下,

可知。目1,2)时，与V=a恰有四个不同交点，所以A正确:

由对称性可知占+无2=。，而log2a-l)=~bg2(ZT)，所以(wTN-1)=1，

贝！11=1,所以4退+%=(4退1=4+1+—H->9,

X3X4I尤3X4)X3X4

3

当且仅当X3=/,%=3,。=1时等号成立，B成立：

对于/(/(x))-/(x)=0,令t=/(x),

则/«)=，有两个不同根，％4/2«1,2),

“力士,/(龙)=马各有四个不同根，共有八个不同根，所以C错误；

对于D,令/=/(%),/«)=左在左=2时有三个根：r1=0,r2G(l,2)J3>2,

而/(x)=0有2个不同根，〃力=/2有4个不同根，/(x)j有2个不同根，

共8个，所以D正确.

故选：ABD.

【点睛】思路点睛：嵌套方程的零点问题，一般刻画出内外两个方程对应函数的图象，再根据外方程的解

判断内方程的解，从而得到原方程的解的个数.

f2国+1Y<1

【例2】已知函数〃到=2/<j若"尤)=机有四个不等的实数解毛，Z，%，匕，下列说法正

x—4x+6,x21

确的是()

A.有最小值2B.机的取值范围是2〈机W3

C.%+尤2+W+X4=4D.方程/=有4个不同的解

【答案】ACD

【分析】由题意作出函数/(x)的图像，由图像即可判断AB；根据偶函数的性质及二次函数的对称性，结

合图象即可判断C；令/(力=心数形结合即可判断D.

【详解】解：由题意作出函数“X)的图像，如图所示：

可得4(0,2),吊(1,3),C(2,2),0(3,3),

所以/(x)有最小值2,故A正确；

M有四个不等的实数解9，%,X4,可得2<〃Z<3,故B错误；

因为、=泗+1为偶函数，所以图象关于y轴对称，

又y=X2-4x+6的对称轴为直线X=2,

所以由对称性可知%+X?=0,x3+x4=4,可得玉+尤2+$+匕=4,故C正确；

令/(x)=/,则方程/(/(%))=|可化为方程/(0=|)

结合图像得〃/)=■!有4个解”24W，且T<：<0,0<f2<1,l<t3<2,2<r4<3,

因为〃x)有最小值2,所以只有当2</<3时，〃x)=r有4个不同的x与之对应，

故方程/(〃司)=|有4个不同的解，故D正确，

故选：ACD.

【变式1】(多选)已知函数〃尤)='",令h(x)=f(x)-k,则下列说法正确的是()

[-2+Inx,x>0

A.函数的增区间为(0,+s)B.当〃(x)有3个零点时，丘《-3]

C.当左=-2时，，7(x)的所有零点之和为—1D.当上e(-s,T)时，人(无)有1个零点

【答案】BD

【分析】函数=结合二次函数和对数函数的图象和性质，作函数/(x)的图象，根据

[-2+Inx,x>0

图象找出单调增区间即可判断选项A；根据图象观察函数y=f(x)和y=上图象有3个交点时上的取值范围

即可判断选项B；解方程/(为=-2即可判断选项C；当左e(-叫-4)时，观察函数丫=/口)和、=左的图象的

交点个数即可判断选项D.

【详解】作出函数/'(工)」二十〃一3"：°的图象如图所示，/(_1)=_4)/(0)=-3,

-2+Inx,x>0

对于A选项，由图象可知，函数/(x)的增区间为(-L0]和(0,+8),故A选项错误;

h(x)的零点是函数y=/(x)和y=左图象交点的横坐标，

对于B选项，由图象可知，当力(无)有3个零点时，上e(T,-3],故B选项正确；

x>01W0_

对于C选项,由和入2,-3=-2得E或尤=一1一3,即当"一2时，3)有两个零点,

—2+Inx=-2

-1-&和1,所有零点之和为-0,故c选项错误;

对于D选项,当左€(-8,-4)时，函数＞=/(尤)和'=左的图象有1个交点，即〃(X)有1个零点，故D选项

正确.

故选：BD.

|2x-l|,x＜2

【变式2］已知函数”x)=3，若方程/(%)=〃有三个不同的实数根,则实数a的取值范围是()

——,x＞2

—1

A.(1,3)B.(0,1)C.(0,2)D.[0,1]

【答案】B

【分析】根据给定条件，作出函数y=/(x)的图象，将方程实根问题转化为直线与函数图象交点问题求解.

【详解】方程〃x)=a有三个不同的实数根，即函数y=/(x)的图象与直线y=a有三个不同交点,

作函数＞=/(无)的图象如图所示，/(2)=3,

观察图象，得当。＜。＜1时，函数y=/(x)的图象与直线y=a有三个交点,

所以实数a的取值范围是(0,1).

故选：B

误区点拨

易错点：数形结合以及作图的规范

例1已知人是函数=de，+lnx的零点,则1。.In%=

【解析】由题可知，((x())=*e而+ln/=0,

nx

所以=-lnx0n/e*=-^°-J-inJ->Q,

X。兀0%0

令/(x)=xe\(x>0)，则/(x)单调递增，且“无。)=/

,11,

所以x°=ln一,所以ex。=一

所以砂-111%=工(-天0)=-1.故答案为：_i

%

例2、函数/(x)=2sinxsin(x+0)—x2的零点个数为