函数的性质及应用（解析版）-2025年高考数学复习易错题（新高考）

专题03函数的性质及应用

目录

题型一：函数的性质

易错点01复合函数定义域的理解不当致错

易错点02使用换元法忽略新元的范围

易错点03研究单调性、奇偶性时忽略定义域

易错点04对分段函数的理解不到位出错

题型二函数与方程

易错点05忽略函数零点存在定理的条件

易错点06二次函数零点分布问题考虑不全

题型-：函数的性质

易错点01：复合函数定义域理解不当致错

叁易错陷阱与避错攻略

典例(23・24高二下•黑龙江•期末)已知函数/(x)=后金，则函数g(x)=/(2x)+/(x2)的定义域为

()

A.[-B.卜8,回

C.口,间D.[-Ai]

【答案】D

【分析】由根式和复合函数的定义域求解即可.

【详解】由题可知=的定义域为(-82]，

则为使g(x)=/(2x)+/(x2)有意义必须且只需]2x<2

x2<2'

解得一行wxwr

所以g(x)的定义域为卜3,1]

故选:D

【易错剖析】

在求解过程中，根据函数解析式求出/(x)的定义域为(-8,2],然后由=然后错误的由xV2分别求出

X2,2X的范围进而求出函数的定义域而出错，出错原因在于没有理解复合函数定义域的正确意义.

【避错攻略】

1复合函数的概念：

若函数方/Q)的定义域为A,函数片g(x)的定义域为D,值域为C,则当时，称函数产丹g(x)]

为/⑺与g(x)在D上的复合函数，其中x称为自变量,/为中间变量，片g(x)叫做内层函数，方/■⑺叫做外层

函数.

2抽象函数或复合函数的定义域：

(1)函数的定义域是自变量x的取值范围，比如：函数人x)的定义域是指x的取值范围，函数y?[g(x)]

的定义域也是指x的取值范围，而不是g(x)的取值范围.

(2)/⑺，f^x),(x)],/D?(x)]四个函数中的3x,p(x),〃(x)在对应关系/■下的范围相同，在同

一函数/作用下，括号内整体的取值范围相同.

(3)已知於)的定义域为/,求八夕⑺]的定义域，其实质是已知夕(x)的取值范围(值域)为/,求x的

取值范围.

(4)己知/[夕⑺]的定义域为2,求段)的定义城，其实质是已知八夕(x)]中x的取值范围为2,求0(x)

的取值范围(值域)，这个范围就是人x)的定义域.

易错提醒已知/(x)的定义域求解/[g(x)]的定义域，或已知/[g(x)]的定义域求/(x)的定义域，

遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则下，括号内式子的范围相同，另外对于实

际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.

举一反三

1.(2024高三•全国•专题练习)已知函数的定义域为「2,2],则函数%=的定义域为()

A.[-3,1]B.[TO)"。』

C.(-l,O)u(O,l)u(l,3]D.[-3,-l)u(-l,O)u(O,l)

【答案】D

【分析】根据抽象函数定义域的求法及分式和对数有意义，列出不等式，即可求解.

【详解】由题意可知，要使F（x）有意义,

—2Wx+1W2-3<x<1

只需要，X>0解得

XXw-1,且XW1

所以xe[T-l）5To）口（0,1）,

所以函数F（x）的定义域为[-3,-1）3-1,0）50,1）.

故选：D.

2.（24-25高三上•四川南充・开学考试）已知函数》=/。+1）的定义域为[-2,3],则y的定义域

y/X-1

为（）

A.[-5,5]B.（1,5]C.[，5D.-5,—

【答案】C

【分析】由题意求出y=/（x）的定义域，结合函数y=列出相应不等式组,即可求得答案.

yjX-1

【详解】由题意可知函数歹=〃工+1）的定义域为卜2,3],BP-2<x<3,

故-Kx+144,则了=/（x）的定义域为[7,4],

f（2x+l）[-l<2x+l<43

贝U对于y=—1）需满足｛1<x<—

y/X-l[X-1>O2

即了=〃尸）的定义域为

yX—l\2_

故选：C

3.（24-25高三上・贵州贵阳•阶段练习）已知函数〃2x-3）的定义域为[2,3].记〃x）的定义域为集合

4/（2-1）的定义域为集合瓦则晨e4”是、€8”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】先利用抽象函数的定义域求得集合4B,再利用充分条件、必要条件的定义判断.

【详解】•••/（2x-3）的定义域为[2,3].

当24x43时，142x-343,，〃x）的定义域为[1,3],即/=

令1V2=1W3,解得14xW2,「J（2-l）的定义域为[1,2],即8=[1,2].

■■■Bc4,“xe/”是“xe8”的必要不充分条件，

故选：B.

・易错题通关

1.（24-25高三上•四川绵阳•阶段练习）>=lg（tanx-1）的定义域为（）

A.lx\—+kTi>x>—+k7i,keZ>

I|24J

B.\x\x>—+kitjcw二+

II42J

C.卜卜〉:+析,左eZ,

fI兀析7

D.XXH——，左£Z,

【答案】A

【分析】复合函数定义域问题，分解函数，分别求定义域再求交集.

【详解】令y=lgf,f=tanx-l

函数/=tanx-l的定义域为：+左ez1,

函数y=lg，的定义域：/>0,则tanx-l>0,即+痴>+

所以y=lg（tanx_l）的定义域为｛+E>x>:+E,左eZ；

故选：A

2.（24-25高三上•福建宁德•开学考试）已知函数V=/（2x-l）的定义域是[-1,3],贝廿=£^

的定义域是

yJx+2

()

A.(-2,5]B.(-2,3]

C.[-1,3]D.[-2,5]

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用抽样函数定义域列式求解即得.

【详解】由函数>=/(2x-l)的定义域是[-1,3],得-342x745,

f(x)f—3<x<5

因此在函数三中，.八，解得-2<xW5,

Jx+2[x+2>0

所以所示函数的定义域为(-2,5].

故选：A

3.(24-25高三上•山东烟台・期中)若函数尸/(2，)的定义域为{x|x<2},则函数y=〃》-1)的定义域为

()

A.{x|0<x<4}B.{x\x<4}C.{x|x<5}D.{x|l<x<5}

【答案】D

【分析】运用抽象函数求定义域的相关概念，即可求解.

【详解】由％V2,得2"<4,且2">0,所以0<工-1<4,因此l<x<5,

故函数>=/(xT)的定义域为{x[l<x<5}.

故选：D.

4.(24-25高三上•山东荷泽•期中)已知函数〃2x+l)的定义域为[1,2],则函数/(x-l)的定义域为()

A.[1,2]B.[4,6]C.[5,9]D.[3,7]

【答案】B

【分析】对于函数，(2K+1),先由xe[l,2]求出(2x+l)e[3,5],而对于函数/(久一1),应使(x-1)e[3,5],解

出xe[4,6],即得函数/(x—l)的定义域.

【详解】因为函数/(2%+1)的定义域为[1,2],由xe[l,2]可得2x+le[3,5],

对于函数/(%—1),由可得4VxV6,

即函数f(x-l)的定义域为[4,6].

故选：B.

5.(23-24高一上•四川成都•期中)一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标.炮弹的射高为845m,且

炮弹距地面的高度力(单位：m)与时间t(单位：s)的关系为〃=130/-5".该函数定义域为()

A.(0,+。)B.(0,845]C.[0,26]D,[0,845]

【答案】C

【分析】根据实际意义分析即可.

【详解】由题意可知，炮弹发射后共飞行了26s,

所以0W26,即函数〃=130/-5户的定义域为[0,26].

故选：C

6.(24-25高三上•河南新乡•期中)已知函数/("=万1则函数/(/)的定义域是()

A.(一

B.[-2,-l)U(-l,l)U(l,2]

C.[-V2,1)U(1,V2]

D.^-V2,-ljU(-l,l)U(l,V2J

【答案】D

【分析】根据/(一)的表达式，即可结合根式以及分式的性质求解.

【详解】/[2)=疗7+4，

由2——20且一—1/0,得一夜VxW拒且x#±l,

所以函数/(/)的定义域是卜庭,7)U(Tl)U(l,Ji].

故选：D

7.(2024•山东一模)函数/(x)=的定义域是()

A.[4,+co)B.

C.[-2,4]D.(-00,-2]u[4,+co)

【答案】D

【分析】先由函数有意义得卜-1|-320,解该不等式即可得解.

【详解】要使函数有意义，则,-1|-320,BP|X-1|>3,

所以x—123或x-14-3,解得24或xW-2,

所以函数的定义域为（-叱-2]34+⑹.

故选：D.

8.（23-24高三上•陕西西安•阶段练习）已知的定义域为[0,2],则函数g（M=的定义域为

2

【答案】（1,西

【分析】根据函数成立的条件，建立条件关系即可.

【详解】因为/（x）的定义域为[0,2],

/、/（/T）f0<X2-1<2

要使函数g（x）=a-）有意义,贝Uiog|（x_i）>0.

所以g（x）定义域为（1,6].

故答案为：（1,百]

9.（23-24高三上•福建莆田•开学考试）已知函数〃x）的定义域为（1,+8）,贝I]函数外力=/（2，-3）+万7

的定义域为.

【答案】（2,3]

【分析】利用给定的函数有意义，列不等式求解作答.

【详解】函数/（x）的定义域为（1,+8）,则由尸（力=/（2-3）+耳|有意义，

2X-3>1x>2

,解得BP2<x<3,

3-x>x<3

所以函数尸（%）=/（2工-3）+^^的定义域为（2,3].

故答案为：（2,3]

10.（24-25高三上•青海西宁•阶段练习）函数蚱h；,、+（2x-3）°的定义域为

4log。5（X-2）

【答案】（2,3）

【分析】根据题意，结合函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解.

1

+3-3)°有意义,

【详解】由函数VJl°go.5(x-2)

log05(x-2)>0x—2<1x<3

则满足＜x—2>0,可得•x>2,即＜x>2,解得2<x<3,

2x—3w033

xw一Xw一

I22

所以函数的定义域为(2,3).

故答案为：(2,3).

易错点02：使用换元法忽略新元的范围

易错陷阱与避错攻略

典例(24-25高一上・吉林・阶段练习)已知了(6-1)=》-2«,则〃无)的解析式为()

A./(x)=x2-lB.f(x)=x2+l(x>-1)

C.f(x)=x1-l(x>-1)D./(x)=x2+1

【答案】C

【分析】利用换元法求函数解析式，注意函数的定义域即可.

【详解】令

由/==-1,

2

则/(f)=»一1,栏-1,即/(X)=X_1(X＞_1).

故选：C.

【易错剖析】

本题求解时设f=G-l,换元后要注意/2-1这一范围，如果忽略新元的范围，容易错选A.

【避错攻略】

1.换元法

换元就是引入辅助未知数,把题中某一个(些)字母的表达式用另一个(些)字母的表达式来代换,这种解

题方法,叫做换元法,又称变量代换法.

换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换，目的是变换研究对象,将问题移至新对

象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化.例如通过换元来降次,或化分式、根

式为整式等,换元的关键是选择适当的式子进行代换.

2.常见的换元方法

(1)根式代换：一般是指将根式部分通过换元，使原函数表达式转化为我们所熟悉的一元二次方程形式；

(2)整体代换：将所求表达式整体换元；

(3)三角代换：三角代换分为两种情况：①用三角函数的性质将代数或几何问题转化成三角问题，转化的

过程要注意定义域的取值问题；②逆向三角代换：是指将三角问题，通过换元法转化成我们所熟悉的一元

二次方程的问题。

易错提醒：换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小;若新变量

的取值范围被扩大了，则在求解之后要加以检验.

举一反三

1.(24-25高三上•江西上饶•阶段练习)己知函数〃1-司=/六(》#0),则〃x)=()

A.(\2T(xwO)B.(12T("I)

(1)(I)

44

-1(x^0)W1)

D.(if

【答案】B

【分析】利用换元法求函数/'(x)的解析式.

【详解】令,=1-工，贝ijx=l-才，且xwO,贝!J/wl,

l-(l-r)2I

可得-1(^1),

所以〃x)=(

故选：B.

2.(24-25高一上•重庆•阶段练习)函数y=x+的值域为()

99

A.(-oo,2]B.[2,+00)C.—00—D.—,+00

44

【答案】C

【分析】利用换元法转化为二次函数求解值域即可.

【详解】根据题意知函数定义域为(-8,2],

所以y=x+=-»+f+2=+g,

当f=5时，乂皿=:，所以函数的值域为-s,z.

故选：C.

3.(2024・四川遂宁•模拟预测)下列函数满足/(1823)=-/(1昨2)的是()

A./(x)=1+InxB./(x)=x+—

C./(x)=x--D./(x)=l-x

【答案】C

【分析】令r=log23>l,贝，=1。&2,结合各选项代入验证，即可判断答案.

【详解】令t=logz3,"1,贝吧=1。42€(0,1),由〃1。823)=-〃皿32)可得/(。=

对于A,/(；)=1+岭=1-3.⑺,故A错误；

对于B,/(；)=*=/(0,不满足/(/)=-/1],B错误；

对于C,7[；]=；T=-〃')，即/⑺=-〃；)，BP/(log23)=-70og32),C正确；

对于D,/(；)=1-%-/⑺，即/(log23)=-/(log32)不成立，D错误.

故选：C.

,易错题通关

1.(24-25高三上•全国•随堂练习)函数=—y(xeR)的值域是()

X十乙X十，

A.[0,1]B.[0,1)C.(0,1]D.(0,1)

【答案】C

【分析】利用换元法，结合反比例函数的单调性进行求解即可.

【详解】-^•/=X2+2X+2=(X+1)2+1>1,

函数g«)=；，在此1时，单调递减，因此g(入x=g⑴=1,

当，之1时，g(/)=；＞0,

所以/(x)=目一7(x£R)的值域是(°，1］，

故选：C

2.(2024高三•全国•专题练习)函数y=x+Jl-x2的值域为()

A.[-B.V2JC.[-2,2]D.[1,V2]

【答案】B

JT7T

【分析】令》=五11凡收,运用换元法转化为求三角函数在给定区间上的值域.

［详角军］令x=sind,0,贝Iy=sinO+cosg=—］,

22I4J

71兀兀,八兀,3兀

0G•・——<0+—<——，

22444

5

------<sin(8+；)W1,

-1<V2sinf^+-^-j<V2,

故选：B.

3.(23-24高三下•重庆沙坪坝•阶段练习)若函数/(cosx)=cosx+cos2x,则＞(

)

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【分析】由二倍角公式结合换元法求出函数解析式即可求解.

【详解】因为f(cosx)=cosx+cos2x=cosx+2COS2X-1

所以/(X)=X+2/T(一14x41),

g+2x；_l=0,

则/I

所以=〃0)=T.

故选：B.

5.(2024・四川•模拟预测)已知/(x)为定义在R上的单调函数，且对VxeRJ(/(x)-e)=2+ln2,则

/(M=()

A.31n2B.3+ln2

C.3-ln2D.hi3

【答案】B

【分析】根据题意，设〃x)-e'=/,用/⑺求t的值，进而可得“X)的解析式，从而可得〃出3).

【详解】设/(x)-e，=f,则〃x)=e'+f,

所以/"(，)=e'+，=2+ln2,即e'+Ine'=2+ln2，

设g(x)=x+lnx(x>0),易知g(x)在(O,+8)上单调递增，

所以e'=2,即/=In2,

故/(x)=e*+ln2,所以/(ln3)=eln3+ln2=3+ln2.

故选：B.

6.(2024•陕西•模拟预测)函数/卜卜工^+后的最大值为()

A.1B.72C.V3D.2

【答案】D

【分析】令。="^,6=而，则/+:=1,设。=5也，*=6。。$4040<1),再结合三角函数的性质

即可得解.

【详解】函数〃切=戊:7+岳的定义域为[0,1],

^a=yjl-x,b=,则/+g=1(0Wa41,0464石)，

设。=sin。,6=V3cos6*fo<O<-^,可得a+6=2sin[e+g),

冗

当。=7时，a+6有最大值为2,

所以函数〃X)=4二^+离的最大值为2.

故选：D.

7.(23-24高一上•浙江宁波•开学考试)函数了=。2/4注笠°)的最大值为-

乙XIII

【答案】y/0.25

4

【分析】首先将函数化简，利用对勾函数的单调性，即可求函数的最值.

1

x+1_x+1

【详解】尸2

(21

2f+4x+42X+1)+2+---

x+1

设x+l=/21,而y=/+；在［1,+⑹上单调递增,

所以、=/+t2,当且仅当"1时等号成立，

1

2

则y=

1

(x+1)+---

X+1

所以函数的最大值为1

故答案为：;

8.（24-25高三下•重庆•阶段练习）若〃2XT）=2X2-X,则〃x）的解析式为,

【答案】f(x)=^+-

v722

【分析】直接利用换元法求函数解析式即可.

【详解】令:2x7,则才=号，因为/（2%-1）=2--工，

/+1t?t故小）=”,

所以以，）=2--=--1-，

222

故答案为：f(x)=^+-.

v722

5—x

9.（23-24高三上•广东江门•开学考试）函数/（%）=A—的值域为

72—x

【答案】［20,+8）

3

【分析】令/=万7"=2-汽f>0,将原函数转化为/（/）=/+：,利用基本不等式即可求解.

【详解】〃x）的定义域为（一双2）,令"挺二I,x=2-产J>0

f（t）==t+';:t>0,t+>2日当且仅当/=G，即x=—1时取“等号”

•••/（X）的值域为12百,+8）.

故答案为：［2道,+8）

x+1

10.（23-24高二下•辽宁本溪•期末）己知函数/'（x）满足2yx,则/>3=

X

【答案】

【分析】利用解方程组法和换元法即可求解.

1

【详解】由+X①,

X

得2小一.一小+）=一X②,

由①②得3/11+J=x,则/1+J=；x(xwO)

令i+5，则

所以“"可号"1）‘

故〃x）=C^（xT

故答案为：可占

11.（2024高三•全国•专题练习）已知函数y=2x-3-Ja-4x的值域为卜叫，,则实数。的值为

【答案】13

【分析】令Ja-4x=f（U0）,则＞=一;一+羡一3,结合二次函数的性质即可求解.

【详解】由题意可得。-4x20可得

4

________22

令八-4x=I（才之0）,则2x="，y=~~2~^^?

.,・当,=-1时取得最大值，

但由于f»0,故当，=0即x=（时，^=|-3=|,解得。=13.

故答案为：13.

易错点03：研究单调性'奇偶性时忽略定义域

,易错陷阱与避错攻略

典例（2024高三•全国・专题练习）函数＞京云的单调递减区间是（）

A.(一叫1)B.(0,1)C.(1,2)D.(1,+℃)

【答案】c

【分析】令仁-/+2x,再根据复合函数单调性的判断方法求解出了=厅式的单调递减区间.

【详解】由-x2+2xN0可得0Wx42,所以函数.=J-/+2工的定义域为[0,2],

令"-尤2+2xe[0,l],利用复合函数单调性判断方法来分析＞=的单调性，如下表：

Xt=­X2+2xty=4ty=yj-x2+2x

(0,1)单调递增(。,1)单调递增单调递增

(1,2)单调递减(0,1)单调递增单调递减

由表知，y=J_Y+2x的单调递减区间为。,2).

故选：C.

【易错剖析】

本题再求单调区间时容易忽略定义域，而求出单调递减区间为(1,+8)而致错.

【避错攻略】

函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学的始终。函数的定义域是构成函数的三大要素之一，

函数的定义域(或变量的允许值范围)似乎是非常简单的，然而在解决问题中不加以注意，常常会使人误入歧

途。

1.函数单调性与定义域

函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨

论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。

(1)单调区间区间/是定义域的子集，即应在函数的定义域内研究单调性.

(2)如果函数y=«x)存在多个单调区间，应当用“，”或“和”连接.

(3)单调性是函数的局部性质，增(减)函数是函数的整体性质.

(4)复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增(减)函数，内层

函数是增(减)函数，复合函数是增函数；外层函数是增(减)函数，内层函数是减(增)函数，复合函

数是减函数.

2.函数奇偶性与定义域

偶函数的定义：如果对一切使尸(x)有定义的x,F(—x)也有定义，并且尸(一方)=网幻成立，则称F(x)为

偶函数.

奇函数的定义：如果对一切使F(x)有定义的x,F(-x)也有定义，并且尸(一x)=-F(x)成立，则称尸(x)

为奇函数.

(1)奇偶函数定义的等价形式.

奇函数气/{—X)=一/)二次—x)+危)=0,偶函数气A—x)=«x)uW—x)—/(x)=0.

(2)函数具有奇偶性的前提是定义域关于原点对称.

一个函数不论是奇函数还是偶函数，定义域必须关于原点对称，否则这个函数就不满足是奇函数或是

偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数.例如y=«,定义域为[0,+-),不具有奇偶性.

易错提醒：|利用函数性质解决题目的时候，应该养成先求定义域的习惯，要注意定义域对自变量的限制.

举一反三

1.(23-24高三上•浙江绍兴•期末)函数了=ln(一一2”的单调递减区间是()

A.(-℃,1)B.(1,+℃)C.(-℃,0)D.(2,+oo)

【答案】C

【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数单调性可求得函数的单调递减区间.

【详解】由>=ln(--2x),

-2x>0,解得x<0或x>2,

所以函数>=In(X。2x)的定义域为(一%o)U(2,+⑹，

^U=X2-2X,则函数〃=*-2x在(-8,0)上单调递减，在(2,+⑹上单调递增，

而函数>=InM在(0,+8)上为增函数，

由复合函数单调性可得N=ln(*-2x)的单调递减区间为(-«>,()).

故选：C.

2.(24-25高三上•福建福州•期中)已知定义在[-3,3]上的函数/(x)=e、-2x—1,若

/(川)+/■(加—2)+2g0,则加的取值范围是()

A.[-1,2]B.[-1,1]C.[-1,A/3]D.[-73,1]

【答案】B

【分析】根据〃x)=g(x)-l的奇偶性以及单调性，即可将问题转化为g(〃/)Wg(2-加)，即可求解.

【详解1记g(x)=L-尸-2x,则/(x)=g(x)-1

所以所求解不等式为/(m2)+f{m—2)+2=g(m2)+g(m-2)<0,

g(-x)=e-x-ex+2x=-(e1-e-x-2x)=-g(x)，二g(x)是奇函数

g'(x)=e-Y+e-x-2>2je*xef—2=0,，g(x)在［T3］上是增函数

由g(m2)+g(m—2)W0得g(m2)<-g(m-2)=g(2-m)

-3<m2<3-y/3<m<V3

化简得，心加工5解得:—I：加si,

「.<-3<2-m<3

m2<2—m-2<m<\

所以冽的取值范围是HU],

故选：B.

3.（24-25高三上•上海•期中）函数/"）=Jl-x?+"=的奇偶性为__________.

y/l-X

【答案】非奇非偶函数

【分析】先求得函数的定义域，然后根据奇偶性的定义来求得正确答案.

【详解】由解得所以〃x）的定义域是[-U）,

l-x>0

由于/（X）的定义域不对称，所以/（X）是非奇非偶函数.

故答案为：非奇非偶函数

叁易错题通关

1

1.（23-24高三上,山东荷泽•阶段练习）函数丁=的单调增区间为（)

6—5x—X2

5

A.-B.

C.一和(1,+8)D.(-oo,-6)U

【答案】C

【分析】令，5%+6,根据二次函数的性质求出，的单调区间，再由复合函数的单调性即可得函数的

单调增区间.

【详解】设:-%2_5%+6,贝!I有"-6且xwl,

549(49

t=-x2-5x+6=一(x+-)2+—,贝！J%w(-oo,0)Ul0,—

所以函数y=—~的定义域为:{x|%w-6且xw1},

6—5x—x

由二次函数的性质可知I的单调递增区间为：（-巩-6）1-6,-g；单调递减区间为:

又因为y在区间（-8,0）和（0,+。）上单调递减，

由复合函数的单调性可知：函数〉=」-r的单调增区间为：和（1,+8）.

故选：C.

2.（2024高三・全国•专题练习）函数/（x）=j2/-x-3的单调递增区间为（）

A.（一叫；］B.（-oo,-1］C.|■，+D.：，+°°

【答案】C

【分析】先求出函数的定义域，再根据二次函数及复合函数的性质求解即可.

【详解】由题意可得2/7-320,BP（2x-3）（x+l）>0,解得xV-1或骨或

令/=2f一x-3（x<-l^x>-）,贝仃=〃，

因为/=2/一；（；-3的对称轴为》=:，

4

所以/=2f-》一3在（一巴一1］上递减，在上递增，

因为了=〃在定义域内递增，

所以“x）=j2x2-x-3在（-叫-1］上递减,在|,+幻］上递增.

故选：C

3.（24-25高三上•陕西渭南•阶段练习）若函数“xhlogo/ax-/）在区间（TO）上单调递增，则。的取值

范围是（）

A.（0,2］B.［一2,0）C.［2,+oo）D.2］

【答案】D

【分析】利用复合函数的单调性，结合对数函数、二次函数的单调性即可求解.

【详解】由于y=logo产在（0,+8）上单调递减,令公—%2+ax，xe（-l,0）,

因为歹=10go5/为减函数，又/（x）=10g°.5（办-巧在区间㈠⑼上单调递增，

由复合函数的单调性法则可知，f=+ax在（T,0）上单调递减，

且％=-x2+ax>0在(-1,0)上恒成立，

因为l=-x2+ax为二次函数，开口向下，对称轴为x=T，

由Uf2+ax在(T,。)上单调递减，可得解得-2,

由/=-X?+ax>0在(TO)上恒成立，即ax>/,xe(-1,0),

可得a<x在(-1,0)上恒成立，贝I].4—1,

综上，实数a的取值范围为(-吗-2].

故选：D

4.(24-25高三上•陕西汉中•期中)设函数〃X)=X；+3X+4,则下列函数中为奇函数的是()

A.〃x+l)+lB.+1

C./(x-l)+lD./(x-l)-l

【答案】D

【分析】运用奇函数的定义证明即可.

【详解】〃+31胃=瑞三+】,贝心)=小->「工，

定义域为R,且尸(f)=7^=-尸(x),则/(x-l)-l是奇函数.

故选：D.

5.定义在(0,+功上的函数〃x)满足VX],X2e(0,+s)且X]#X2,有[/(网)-/(今独占一电)>0,且

2

/(孙)="X)+f(y),/(4)=-,则不等式/(2x)-/(x-3)>l的解集为().

A.(0,4)B.(0,+co)C.(3,4)D.(2,3)

【答案】C

【详解】解:；/(盯)=/(x)+/(y)

71

.-./(4)=/(2x2)=/(2)+/(2)=-,BP/(2)=-,

■.■/(8)=/(4x2)=/(4)+/(2)=3/(2)=3x1=l,

.../(2x)-/(x-3)>l,可转化为：/(2x)-/(x-3)>/(8),

即〃2x)>/•⑻+〃x-3),

即〃2x)>/[8x(x-3)]=/(8x-24),

；/(x)满足VX],%e(0,+oo)且国片马，有[/'(再)-/'(工2)](再-马)>0,

.•./(x)在(0,+8)上单调递增，

2x>0

即x-3>0,解得：3<x<4,

2x>8x-24

即不等式/(2x)-〃x-3)>1的解集为：(3,4),

故选：C.

l,x<2

6.已知函数/(x)=<x—l,2Wx<3,且/(%)=2,则/=()

x2-7,x>3

A.1B.2C.3D.6

【答案】C

l,x<2

【详解】因为/'(x)h尤-l,2Wx<3,且/(%)=2,

x2-7,x>3

2</<3卜

则解得x0=3.

x0-l=2或[焉-7=2

故选：C

7.已知/(x)是定义在卜1』上的增函数，且-3x),则x的取值范围是.

【答案】宣

12

【详解】由题意可得，TO3X(1,

x—1>1—3x

所以X的取值范围是(gg.

.火生4(12]

故答案为：I.

8.(2024高三・全国•专题练习)已知函数〃x)=-x|x|,xe(-l,l),贝U不等式〃1一加)</(机,—1)的解集

为.

【答案】(0,1)

【分析】先把函数/'(X)写成分段函数的形式，利用二次函数的性质分析函数单调性，把函数不等式转化为

代数不等式，求解即可.

【详解】由已知得

则无)在(-1,1)上单调递减，

-1<1-m<1

・•.<-1</_i<i解得()<加<1,

l-m>m2-I

••・所求不等式的解集为(0,1).

答案：(0,1).

9.若函数外)=办2+/+30+6是偶函数，定义域为[a—1,2a],则a=,b=.

【答案/0

3

【解析】因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a—1=—2a,解得。=L

3

又函数兀0=$2+加+6+1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得6=0.

易错点04：对分段函数的理解不到位出错

叁易错陷阱与避错攻略

I_丫2।,a*_6丫<1

典例(24-25高三上•河北沧州•期中)若函数/(x)=一一’一在R上是增函数，则。的取值范围

[alnx+5,x>1

为()

A.[1,+℃)B.[1,6]

C.(-oo,l]u[6,+oo)D.(0,l]U[6,+oo)

【答案】B

【分析】由分段函数在R上递增需满足条件可得答案.

【详解】设g(x)=-x?+2ax-6,x<1；=alnx+5,x>1.

为使/（X）在R上递增，则g（x）在（-8』上递增,力（X）在（1,+8）上递增，

a>\

且g⑴/⑴，即a>0=>l<a<6.

2a-7<5

故选：B

【易错剖析】

本题在求解过程中容易只注意到分段函数递增，则每一段都递增，忽略比较分段点处函数值的大小而

错选A.

【避错攻略】

1.分段函数的定义

在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式.像这样的函数，通常叫做分段函数.

【理解】（1）分段函数是一个函数，而不是几个函数.

（2）处理分段函数问题时，要首先确定自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系.要注

意写解析式时各区间端点的开闭，做到不重复、不遗漏.

（3）分段函数的定义域是各段定义域的并集，分段函数的值域是分别求出各段上的值域后取并集.

2.分段函数的题型

（1）分段函数图象的画法

①作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图

象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.

②对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分

段函数，然后分段作出函数图象.

（2）分段函数的求值

①确定要求值的自变量属于哪一段区间.

②代入该段的解析式求值，直到求出值为止.

（3）求某条件下自变量的值（或范围）

先对x的取值范围分类讨论，然后代入不同的解析式，解方程（不等式）求解，注意需检验所求的值是否

在所讨论的区间内.若题目是含有多层尸'的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理.

（4）根据分段函数的解析式解不等式

①对变量分类讨论代入相应的解析式求解.

②画出分段函数的图像判断单调性，利用单调性求解.

（5）求分段函数的最值

分别求出每一段的最值或值域进行比较求出最值

（6）根据单调性求参数

从两方面入手，一是分析各段的单调性，二是比较分段点的大小关系.

易错提醒：(1)求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自

变量的值，切记代入检验.

(2)已知分段函数的单调性求参数，切记不要漏掉分段点处函数值大小的比较，常见的类型及应满足的条

件如下：

类型1：函数/(刈=［＜(幻",“，在R上单调增递，则“X)满足两个条件：

(1)」(x)在(-00,a］上单调增递增;

(2)上(X)在(a,+◎上单调增递增；

(3)工⑷”(a).

类型2：函数=，在R上单调增递减，则“X)满足两性个条件：

［力⑴,%＞a

(1)工(刈在上单调增递减；

(2)上(%)在(0,+功上单调增递减；

⑶工⑷2”)

举一反三

1.(2024・吉林•模拟预测)已知〃力=五若/S)=l，则实数。的值为()

——,x＞1.

I2

A.1B.4C.1或4D.2

【答案】B

【分析】分。＜1和心1,求解〃a)=l,即可得出答案.

【详解】当。＜1时，/(«)=2a-'=l,则"1=0,解得：“=1(舍去)；

当a21时，/(a)=^-=l,贝lj6=2,解得：a=4.

故选：B.

2-(24-25高三上・江苏南京・期中)已知函数“上4.在R上单调递增,则实数”的取值范围是

A.(-1,3]B.C.[3,+co)D.(-^,-l]u[3,+oo)

【答案】C

【分析】根据一次函数和二次函数单调性，结合分段函数区间端点的函数值大小关系求解即可.

/、f2x+4,x<(2

【详解】已知函数/x=2,，当xWa时，

[x+l,x>a

/(x)=2x+4单调递增，所以最大值为2a+4；

当X>a且a>0时，/(x)=x2+l在(a,+oo)上单调递增，最小值为/+1；

/、[2x+4,x<a

所以要使函数/X=2/在R上单调递增，

[x+l,x>a

®a2+\>2a+4,解得。13或aV-l(舍去).

故选：C.