函数的应用（4大题型+高分技法+限时提升练）学生版-2025年高考数学二轮复习提升

热点07函数的应用

明考情-知方向

三年考情分析2025考向预测

2024年分段函数的应用，函数与方程的关系，函数分段函数的应用、函数与方程的综合运用

与方程的综合运用

2023年函数的零点与方程根的关系，根据实际问题

选择合适的函数模型

2022年分段函数的应用、函数与方程的综合运用

热点题型解读

逊1函数的零点与方程根的关系

辘2函数与方程的综合g用

函数的应用

题型3分段函数的应用

整4根据翅「诵选触数理

题型1函数的零点与方程根的关系

1.求解函数零点个数的基本方法

(1)直接法：令人x)=0,方程有多少个不同的实数根，则人x)有多少个零点.

(2)定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等.

(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数.

2.根据函数零点的情况求参数的三种常用方法

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式确定参数(范围).

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域确定参数范围.

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后利用数形结合法求解.

1.(2023•上海)己知函数〃无)=2、1,且g(x)=］乎(：+D'X对，则方程g(x)=2的解为.

2.(2024•闵行区校级三模)已知函数了=5山无+$m2%在(-a,a)上恰有5个零点，则实数°的最大值

为.

mx,x<0

3.(2024•闵行区校级三模)已知函数/(%)="，若函数〃(%)=/(%)+/(f)的零点一共有3个，则

—,x>0

、x

实数用的取值为.

4.(2024•普陀区模拟)已知awA,若关于x的不等式a(x-2)"，-x>0的解集中有且仅有一个负整数，则

a的取值范围是.

(x-I)3,0令<2,

5.(2024•青浦区二模)对于函数y=/(x),其中〃x)=<2，若关于x的方程/(x)=foe有两个

一，x》2

、x

不同的零点，则实数上的取值范围是.

题型2函数与方程的综合运用

00—4!

i.对于二次函数零点分布的研究一般从以下几个方面入手।

(D开口方向；

(2)对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系；

(3)判别式，决定函数与x轴的交点个数；

I

(4)区间端点值.

2.对于复合函数歹=Ag(x))的零点个数问题，求解思路如下：I

⑴确定内层函数〃=g(x)和外层函数歹=/(〃)；

⑵确定外层函数>=/(〃)的零点〃=%(2=1,2,3,,,,,n);

(3)确定直线〃=%«=1,2,3,…,几)与内层函数〃=g(x)图象的交点个数分别为的，a?，。3,…，斯，则函数I

1

ss

yuyCg。))的零点个数为a\-ra2-ra3-\-----Fa”.

1.(2024・上海5现定文如下：当无e(%"+1)时(〃eN),若/(x+l)=「(x),则称/'(x)为建鹿函薮.现看,

当xe(0,l)时，g(无)=，与力(工)=幺°均为延展函数，则以下结论()

(1)存在了=履+6(左，bwR；k,620)与》=8。)有无穷个交点

(2)存在y=fcc+6(左，bwR；k,6#0)与夕=〃(幻有无穷个交点

A.(1)(2)都成立B.(1)(2)都不成立

C.(1)成立(2)不成立D.(1)不成立(2)成立

2.(2025•上海•模拟预测)关于x的方程|尤-1|+|兀-回=兀-1的解集为

3.(2024•上海普陀•模拟预测)对于正整数力，设x”是关于x的方程〃X3+2X-〃=0的实数根，记

«„=[(«+!>„](«>2),其中卜]表示不超过实数x的最大整数，则/(出+%+…+g6)=.

4.(2022•上海)已知函数“X)的定义域为R,现有两种对/(x)变换的操作：0变换：/(x)-/(x-f)；0

变换：+其中t为大于0的常数.

(1)设/(x)=2*,t=l,g(x)为/(x)做/变换后的结果，解方程：g(x)=2；

(2)设/(x)=x2,〃(x)为了(无)做。变换后的结果，解不等式：f(x)^/i(x);

(3)设〃尤)在(-8,0)上单调递增，/(x)先做夕变换后得到w(x),“(x)再做。变换后得到九(x)；/(x)先

做。变换后得到v(x),v(x)再做夕变换后得到％(x).若4(x)=a(x)恒成立，证明：函数/(x)在灭上单调

递增.

5.(2024•上海)记Af(a)={t\t=f(x)-f(a),x^a},L(a)={t\t=f(x)-f(a),x^a].

(1)若〃x)=f+l,求"(1)和A(1)；

(2)f(x)=x3-3x2,求证：对于任意aeR,都有V(a)c[-4,+co),且存在a,使得-4eM(a).

(3)已知定义在及上有最小值，求证”/(x)是偶函数“的充要条件是“对于任意正实数c,均有

M(-c)=L(c)”.

6.(2024•长宁区校级三模)设函数y=/(x)的定义域为。，对于区间/=[°,6](/包。)，若满足以下两个

性质之一，则称区间/是y=/(x)的一个“好区间”.

性质①：对于任意x°e/,都有了(Xo)e/；性质②：对于任意都有

(1)已知函数/(x)=f2+2x,xwR.分别判断区间[0,2],区间[1,3]是否为了=/(无)的“好区间”,

并说明理由；

(2)已知加>0,若区间[0,如是函数/0)=；/-/-3》+12,的一个“好区间”，求实数m的取

值范围；

(3)已知函数y=/(x)的定义域为R,其图像是一条连续的曲线，且对于任意都有/(a)-/

(b)>b-a,求证：y=〃x)存在“好区间”，且存在x°eR,M为不属于y=/(x)的任意一个“好区

间”.

7.(2024•杨浦区校级三模)设函数y=/(x)定义域为Z.若整数s、/满足/(s)/(t)，0,则称s与1“相

关”于7•

(1)设〃x)=|x+l|-2,xwZ,写出所有与2“相关”于/■的整数；

(2)设了=/(尤)满足：任取不同的整数s、fe[l,10],s与/均“相关”于求证：存在整数

8],使得7"、机+1、机+2都与2024“相关”于/；

(3)是否存在实数a,使得函数/(x)=(l+ax)e*+(a+l)x-l,xeZ满足：存在x()eZ,能使所有与吃

“相关”于/■的非零整数组成一个非空有限集？若这样的a存在，指出/(%)和0的大小关系(无需证明),

并求出。的取值范围；若这样的a不存在，说明理由.

8.(2024•黄浦区校级模拟)已知a为实数/(x)=(x+a)历(x+1).对于给定的一组有序实数⑸加)，若对任

意再,x2e(-l,+oo),都有向[一/(X[)+加][g-/(.)+利》0，则称(左,加)为/(x)的''正向数组

⑴若。=-2,判断(0,0)是否为/(x)的“正向数组”，并说明理由；

(2)证明：若(左，加)为/(x)的“正向数组"，则对任意x>-l,者B有米-/(x)+m<0；

(3)已知对任意%>-1,("),广(%))都是“X)的“正向数组”,求a的取值范围.

题型3分段函数的应用

0。日式

1.(1)分段函数求值的方法

①先确定要求值的自变量属于哪一段区间.

②然后代入该段的解析式求值.当出现册0))的形式时，应从内到外依次求值.

⑵已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函

数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解.

(3)若分段函数的自变量含参数，要考虑自变量整体的取值属于哪个范围，从而根据对应的解析式整体代入,

转化为方程或不等式问题.

2.分段函数图象的画法

(1)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，

再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.

(2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函

数，然后分段作出函数图象.

3.分段函数的实际应用

(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而

分段函数图象也需要分段画.

(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨

论，从而写出相应的函数解析式.

1.(2024•上海)己知〃x)=f,g(x)=[*x),x2°,求(尤其2-芯的x的取值范围________.

[-/(-x),x<0

"2

ax-1x<0

2.(2022•上海)若函数/(x)=<X+Qx>0,为奇函数，求参数Q的值为

0x=0

3.(2024•杨浦区二模)若函数g(x)=2'T"W0'为奇函数，则函数歹=〃幻，xe(0,+oo)的值域为______.

［/(x),x>0

2x,x>0,

4.(2024•闵行区校级模拟)若机wH,/(x)=<1，则满足/(冽-2)力(加+3)的根的最大值为_______.

—,x<0

l2x，

5.(2024•黄浦区校级模拟)已知函数/(x)=-「+2x'x20,若关于》的不等式［〃诩2一伍+1)/⑶+”<()

［x-2x,x<0

恰有一个整数解，则实数0的取值范围是.

.万、71

Cl\X+X<~

兀//

6.(2024•浦东新区校级四模)已知函数/(x)=,COSX,一〈X给出下列四个结论:

2

e~x+71+4a,x>71

①若/(X)有最小值，则。的取值范围是［-工,0］;

71

②当a>0时，若/(尤)=1无实根，则,的取值范围是［四，甸+◎；

③当a时，不等式/，+2)>/(|x|+4)的解集为(-2,2)；

④当时，若存在再<%2，满足一1</区)=/(%)<0，贝!|%1+%2>0.

其中，所有正确结论的序号为.

题型4根据实际问题选择函数类型

0。混

i.三种函数模型的性质

函数

y=ax[a>\)y=logx(«>l)尸］气。>0)

性质fl

在(0,+°°)

单调递增单调递增单调递增

上的增减性

增长速度越来越快越来越慢相对平稳

随X的增大逐渐表现随X的增大逐渐表现随a值的变化而各有

图象的变化

为与V轴平行为与X轴平行不同

2.常见的函数模型

函数模型函数解析式

一次函数模型於）=狈+6（0,b为常数，aWO）

二次函数模型fix）=ax2-\~bx-\-c（a,b,c为常数，a#0）

k

反比例函数模型段）=一+/鼠b为常数,左WO）

X

指数函数模型外）=6凝+C（Q,b,c为常数，a>0且aWl,bWO）

对数函数模型fix）=blogax+c（a,b,c为常数,a>0且aWl,bWO）

a

塞函数模型J（x）=ax+b（afb,a为常数，QWO,aWO）

1.（2024•上海杨浦•一模）小李研究数学建模"雨中行”问题，在作出“降雨强度保持不变"、"行走速度保持不

变"、"将人体视作一个长方体”等合理假设的前提下，他设了变量:

人的身高人体宽度人体厚度降雨速度雨滴密度行走距离风速行走速度

hd匕PDV

并构建模型如下：

当人迎风行走时，人体总的淋雨量为7=—[〃，+%（七+v）].

根据模型，小李对“雨中行"作出如下解释：

①若两人结伴迎风行走，则体型较高大魁梧的人淋雨是较大；

②若某人迎风行走，则走得越快淋雨量越小，若背风行走，则走得越慢淋雨量越小;

③若某人迎风行走了10秒，则行走距离越长淋雨量越大.

这些解释合理的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

2.（2024•闵行区三模）对24小时内降水在平地上的积水厚度（相加）进行如下定义:

0〜1010〜2525〜5050〜100

①小雨②中雨③大雨④暴雨

小明用了一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于等级—.（只填入雨水等级所对应的

序号）

3.（2024•静安区二模）我们称右图的曲线为“爱心线”，其上的任意一点尸（x,y）都满足方程

x2-2\x\y+y2-j2\x\+242y=0.现将一边在x轴上，另外两个顶点在爱心线上的矩形称为心吧.若已

知点M（学,-0）到“爱心线”上任意一点的最小距离为“，则用d表示心吧面积的最大值为.

4.（2024・上海宝山•一模）某物流公司为了扩大业务量，计划改造一间高为6米，底面积为24平方米，且背

面靠墙的长方体形状的仓库.因仓库的背面靠墙，无须建造费用，设仓库前面墙体的长为尤米

（44x46）.现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：仓库前面新建墙体每平方米400元，

左右两面新建墙体每平方米300元，屋顶和地面以及其他共计28800元；乙队给出的整体报价为

（1+—）x6左Xi。,元（左＞。）.不考虑其他因素，若乙队要确保竞标成功，则实数上的取值范围是.

X

5.（2025•上海•模拟预测）如图所示，正方形N8CD是一块边长为4的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀的

区域，其余部分完好，曲线为以/。为对称轴的抛物线的一部分，DM=DN=3.工人师傅现要从完好

的部分中截取一块矩形原料30PR,当其面积有最大值时，的长为.

6.（2024•长宁区二模）甲、乙、丙三辆出租车2023年运营的相关数据如下表:

甲乙丙

接单量f（单）783182258338

油费S（元）107150110264110376

平均每单里程后（公里）151515

平均每公里油费a（元）0.70.70.7

出租车空驶率=出租?由三孑慧誓程;依据以述数据，小明建立了求解三辆车的空驶率的模型

出租车行驶的总里程

u=f{s,t,k,a）,并求得甲、乙、丙的空驶率分别为23.26%、21.68%>x%,则》=（精确

到0.01）.

7.（2024•浦东新区校级四模）如图所示，甲工厂位于一直线河岸的岸边/处，乙工厂与甲工厂在河的同侧，

且位于离河岸40初2的2处，河岸边。处与工处相距50加7（其中两家工厂要在此岸边建一个

供水站C,从供水站到甲工厂和乙工厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，供水站C建在岸边距离工

处痴才能使水管费用最省.

8.（2023•上海）为了节能环保、节约材料，定义建筑物的“体形系数”S旦,其中片为建筑物暴露在

匕

空气中的面积（单位：平方米），匕为建筑物的体积（单位：立方米）.

（1）若有一个圆柱体建筑的底面半径为R,高度为X,暴露在空气中的部分为上底面和侧面，试求该建筑

体的“体形系数”S;（结果用含R、X的代数式表示）

T2

（2）定义建筑物的“形状因子”为了=二，其中/为建筑物底面面积，工为建筑物底面周长，又定义T为

A

总建筑面积，即为每层建筑面积之和（每层建筑面积为每一层的底面面积）.设“为某宿舍楼的层数，层高

为3米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为$=尸+上.当/=18,7=10000时，试求当该宿

VT3n

舍楼的层数〃为多少时，“体形系数”s最小.

限时提升练

（建议用时：60分钟）

一、填空题

1.（2023•上海徐汇•一模）函数P=lg（2x+l）+lgx的零点是.

2.（2023•上海徐汇•模拟预测）已知幕函数了=/（x）的图像过点P（2,8）,则函数y=/（x）-x的零点为.

3.（2023・上海宝山•三模）若存在实数。，使得x=l是方程（x+a）2=3x+b的解，但不是方程尤+a=，3x+6

的解，则实数6的取值范围是.

4.（2023•上海浦东新•模拟预测）若/（x）的值域为{0J2},则8（M=（八力7）（〃耳-2"至多有个

零点.

5.（2023•上海长宁•一模）在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标.其值了（单位：dB）定义为

丫=101g/.其中I为声场中某点的声强度，其单位为W/n?,/。=10*W/m2为基准值.若/=10W/m?,则其相

70

应的声强级为dB.

6.（2023•上海浦东新•三模）已知函数/（x）是R上的奇函数，当x<0时，f[x}=A-Xx,若关于x的方程

/（7（x））=加有且仅有两个不相等的实数解，则实数%的取值范围是.

7.（2023•上海杨浦•模拟预测）若实数。使得存在两两不同的实数x、Az,有=七£.=二±£=一3,

y+zz+xx+y

则实数。的取值范围是.

8.（2023•上海青浦•一模）若函数V=cos（x+0）是奇函数，则该函数的所有零点是.

9.（2023・上海金山•一模）若函数/（X）=|（1-X2）（X2+G+6）|_C（CW0）的图像关于直线x=-2对称，且该函

数有且仅有7个零点，则a+b+c的值为.

10.（2023•上海嘉定•一模）关于x的方程--3x+2卜必有三个不同的实数解，则实数加的值为.

11.（2024•上海三模）设a＞0,已知函数/（x）=ln（x2+ax+2）的两个不同的零点X1、x2,满足人-引=1，

若将该函数图象向右平移机（加＞0）个单位后得到一个偶函数的图象，则〃?=.

12.（2023・上海虹口•三模）若存在实数。及正整数力，使得〃x）=cos2x-asinx在区间（0,〃兀）内恰有2022个

零点，则所有满足条件的正整数〃的值共有个.

二、单选题

13.（2024・上海松江•二模）已知某个三角形的三边长为。、6及c,其中。＜b.若a,b是函数）二收?-床+c

的两个零点，则。的取值范围是（）

x+l,xe[-l,0)

2

14.（2023•上海普陀,一模）已知函数〃x）=3X-2若函数g(x)=/(x)-%x+]加在[T,l)内有

-----.XG[0,1)

、1—X

且仅有两个零点，则实数加的取值范围是（）

A.U[3,8）B.-1,0U[3,9]U（9,+»）

C.-1,0U[3,8]D.机e]-1,0u[3,9）U（9,+»）

15.（2024・上海・三模）设集合N={l,a/},集合8=，卜=xy+：,x,yeN,xNy},对于集合2有

下列两个结论：①存在a和6,使得集合8中恰有5个元素；②存在。和6,使得集合8中恰有4个元

素.则下列判断正确的是（）

A.①②都正确B.①②都错误C.①错误，②正确D.①正确，②错误

7T

16.（2024•上海普陀•一模）在平面直角坐标系中，将函数y=/（x）的图象绕坐标原点。逆时针旋转7后，所

得曲线仍然是某个函数的图象，则称函数y=〃久）为"R函数”.对于命题；

①设加eR,若函数g（x）=（mT）尤+：为"R函数"，则加>1；

②设上eR,若函数〃（工）=?»为"/?函数"，则满足条件的人的整数值至少有4个.

则下列结论中正确的是（）

A.①为真②为真B.①为真②为假C.①为假②为真D.①为假②为假

三、解答题

17.（2023・上海青浦,一模）上海各中学都定期进行紧急疏散演习：当警报响起，建筑物内师生马上有组织、

尽快地疏散撤离.对于一个特定的建筑物，管理人员关心房间内所有人疏散完毕（房间最后一个人到达安

全出口处）所用时间.数学建模小组准备对某教学楼第一层楼两间相同的教室展开研究.为此，他们提出

1.疏散时所有人员有秩序地撤离建筑物；

2.所有人员排成单列行进撤离；

3.队列中人员的间隔是均匀的；

4.队列匀速地撤离建筑物.

（1）上述模型假设是否合理，请任选两个模型假设说明理由；

⑵如图，设第一间教室（图中右）的人数为4+1,第二间教室（图中左）的人数为"+1，每间教室的长度

为/,其中多,%都是正整数，/>0,忽略教室门的宽度及忽略教室内人群到教室门口的时间.请再引入适

当的变量，建立两个教室内的人员完全撤离所用时间的数学模型.

18.（2024・上海•模拟预测）已知函数/（》）=23。+£：05（2》-$-1.

⑴求函数的在［0,兀］上单调递减区间；

⑵若函数/'（x）在区间电机］上有且只有两个零点，求加的取值范围.

19.（2024・上海•模拟预测）若/（x）=log,x（a＞0,awl）.

（1）＞=/卜）过（4,2）,求〃2x-2）＜〃x）的解集；

⑵存在x使得〃x+1）、〃狈）、〃x+2）成等差数列，求。的取值范围.

20.（2023・上海崇明•一模）某公园有一块如图所示的区域O/C8,该场地由线段O/、OB、/C及曲线段2C

围成.经测量，乙408=90。，。/=。8=100米，曲线3c是以08为对称轴的抛物线的一部分，点C到

04、08的距离都是50米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场OEL（尸，其中点。在曲线段2C上，点£、F

分别在线段。/、上，且该游乐场最短边长不低于30米.设。尸=x米，游乐场的面积为S平方米.

⑴试建立平面直角坐标系，求曲线段8c的方程;

（2）求面积S关于x的函数解析式5=/（x）；

⑶试确定点。的位置，使得游乐场的面积S最大.

21.（2023・上海金山•一模）设函数y=/