函数中的同构问题-2024高考数学压轴大题（学生版）

函数中的同构问题

I考情分析

近年来同构函数频频出现在模拟试卷导数解答题中，高考真题中也出现过同构函数的身影，同构法是将

不同的式子通过变形,转化为形式结构相同或者相近的式子,通过整体思想或换元等将问题转化的方

法,这体现了转化思想.此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式、不等式问题中，或利

用函数单调性定义确定函数单调性，利用此方法求解某些导数压轴题往往能起到秒杀效果.

解题秘籍

(一)同构函数揭秘

同构式是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式，导数中同构函数问题大多属于指对跨阶问题，比

如e'+,与2+Inc属于“跨阶函数"，而e'+lna:属于“跳阶函数”，对于指对跳阶的函数问题，直接求解,

一般是通过隐零点代换来简化，并且有很大局限性，有些题若采用指对跨阶函数进行同构，可将跳阶函

数问题转化为跨阶函数问题，从而使计算降阶，通常构造的同构函数有以下几类：/(，)=，e",/(c)=

xlnx,f(x)=x+ex,f(x)=x+Ina;,f(x)=ex—x+a,/(rc)=In/—力+Q等，在一些求参数的取值范围、

零点个数、不等式证明、双变量问题中，利用复合函数单调性,复合函数零点个数等问题中常通过构造同

构函数求解.利用同构函数解题要注意一些常见的凑形技巧，如；。=einx,x=lne',xe'==

X

x—\nx

题1(2024居陕西南西安市部分学校高三上学期考试)已知函数/⑺=Inx-3-；

(1)当a=2,求/(宏)的极值;

(2)若/Q)e-如恒成立，求a的取值范围.

-1-

题2（2024届重庆市南开中学高三上学期第一次质量检测）已知函数/（乃=/+lnc+加在①=1处的切线

I和直线x-\-y=Q垂直.

（1）求实数Q的值；

（2）若对任意的^,^6（0,2］，，芹g,都有/（&）—1曲）11+忌>小成立（其中e为自然对数的底数），

eJe2

求实数M的取值范围.

（二）趾。型同构

皿（2023届吉林看长春外国语学校高三上学期才试）已知函数/（乃=e—ac（e是自然对数的底数）.

⑴当a=l时，求/（%）的极值点；

（2）讨论函数/（力）的单调性；

x

（3）若g（力）=e（x—l）—alnx+/（a?）有两个零点,求实数Q的取值范围.

•2•

(三)(劣+a)lnx型同构

用14(2023届福建省宁嬉市博健培文学校高三高考读最后一卷)已知函数/(%)=野+rn(meR).

(1)讨论函数/(①)的零点的个数；

(2)当小=0时，若对任意0,恒有*+1)>/(。)(/+1),求实数a的取值范围.

(四)e"+ac+b型同构

题15(2024居耦定盾漳州市高三上学期第一次载学质量检测)已知函数/(2)=aex+x+1.

(1)讨论了(,)的单调性；

(2)当c>1时,/Q)>In①二1+re,求实数a的取值范围.

•3•

（五）lnc+ax-\-b型同构

016已知/（，）=1+-2,。（乃=a+*+ln”,aER

XX

（1）当力e（l,+oo）时,求函数g（宏）的极值；

（2）当a=0时,求证：f（x）>g（力）.

典例展示

吼JJ2024居江苏省徐州市邳州市新世纪学校方三上学期月考）已知函数/（乃=（/+l）lnc—g.

（1）若Q=l,求/（力）的最小值；

（2）若方程/（为=0趾2。一力2有解,求实数Q的取值范围.

•4•

吼2（2024居安微南六校载IT研究会高三上学窥素质测试）已知函数/（C）=ae—He是自然对数的底数）.

（1）讨论函数/（①）的单调性；

（2）若g（C）1）—In力+/（力）有两个零点,求实数a的取值范围.

幽3（2024居重庆市常北中学南三上学期月才）已知函数/⑺=5旺心（力-1）,g⑶=/（2）+/—52

+力.

⑴当。=一1时,求函数/（力）的极值；

（2）若任意为、X2E（1,+OO）且2声电，都有"&）一仪切＞1成立,求实数如的取值范围.

力1一/2

4已知/(力)=x2ex—a(x+21n/)

⑴当L=e时，求/(力)的单调性;

(2)讨论/(力)的零点个数.

5已知函数/(C)=ex—alnx,aER.

(1)当a=0时，若曲线g=/(力)与直线g=k/相切于点P,求点P的坐标；

(2)当a=e时，证明：/(6)>e；

(3)若对任意力e(0,+oo),不等式/⑺>alna恒成立，请直接写出a的取值范围.

,6,

Ml6已知函数/(2)=x—alnz,(aGR)

(1)请讨论函数/(，)的单调性

⑵当ce「工,+8)时，若e》—(ln(lnz+2+1)+1)恒成立，求实数A的取值范围

L6/X

------\-1

厘1兀(2023居广东省深圳市光明区高三二模)已知函数/(力)=*二1的图象在(1,7(1))处的切线经过

点(^2.2).

(1)求a的值及函数/Q)的单调区间；

2_1

(2)设g(x)=半二L，若关于x的不等式双父多)We如—1在区间(l,+oo)上恒成立,求正实数A的取值范

mx

围.

•7・

期底(2023居海南看海口市龙华区海命华侨中学高三一模)已知函数/(z)=］物+1.

(1)讨论函数/(，)的单调性；

(2)已知4>0,若存在cC(1,+8),不等式—>.(，)J>lnx成立,求实数4的最大值.

(遍产+1x-1

画自名(2024届山东看部分学校方三上学期联考)已知函数/(①)=aln(rc+l)—a工.

(1)当aW0时，讨论/(力)的单调性；

(2)当c>-1时,f(x)>咐—f：+&恒成立,求实数a的取值范围.

x-rl

•8・

题目⑷已知函数/（力）=e3g（力）=sin/.

（1）求g（x）=sin/在力=0处的切线方程；

（2）求证:g（力）・g'（力）+1V力・/（力）—In/.

（3）当力G[0,7r]时，g（力）—2[J（x）—1]<mln（rr+1）,求实数m的取值范围.

题目互j已知函数九（力）=x^—mx.g{x）=Inx+a:+1.

（1）当馆=1时,求函数h{x}的单调区间：

（2）若人（力）>g（力）在力e（0,+8）恒成立，求实数7n的取值范围.

题目五|已知函数/（力）=力e1—a力一aln力.

（1）若。=已,求/（力）的单调区间；

（2）是否存在实数Q,使/（力）＞1对力G（0,+8）恒成立，若存在，求出。的值或取值范围;若不存在,请说明

理由.

［题目7］已知函数/㈤=Q/+ln/+l.

（1）若/Q）在（0,+8）上仅有一个零点,求实数a的取值范围；

（2）若对任意的。＞0,/3）＜既21恒成立,求实数0的取值范围.

•10•

——2_i

题目回已知函数/(，)=气其图象在；r=e处的切线过点(2e,2e2).

(1)求a的值；

(2)讨论/(2)的单调性；

(3)若4>0,关于，的不等式Axf(x)<e加一1在区间［1,+oo)上恒成立，求A的取值范围.

题目回已知函数f(x)=e。一ac—a，g(0=ax2+a-e>o),其中e是自然对数的底数.

X

⑴当a=e时，

(i)求在点(1,/(1))处的切线方程；

(ii)求/㈤的最小值；

(2)讨论函数g(