勾股定理与几何辅助线压轴题30道（分类集训）解析版-2024-2025学年人教版八年级数学下册

勾股定理与几何辅助线压轴题精选30道

一.选择题（共10小题）

1.已知，如图在三角形/2C中，/C=4,N/=30°,ZABC=15°,延长/C到点D,使得。C=/C,

则BD的长为（）

A.5B.3V3C.4V2D.4V3-2

【分析】先作BE，/。，交的延长线于点E,然后根据勾股定理可以得到和/£的关系，再根据

等腰三角形的性质，可以得到CE和8E的关系，然后计算出8E和DE的值，最后根据勾股定理即可求

得2。的长即可.

【解答】解：作交的延长线于点£,如图，

设BE=x,

VZA=30°,

：.AB=2BE=2x,

'.AE-7AB2—BE2=J(2x)2—螟=73%,

VZBEC=90°,ZA=30°,ZABC=15°,

；.NBC"N4+NABC=45°,

：.ZBCE=ZCBE=45°,

：.BE=CE=x,

"：AE=yp3x,AE=AC+CE,AC=CD=4,

.'•V3x=4+x,

解得x=2g+2,

.*.Z)£=C£-C£>=x-4=2V3+2-4=2V3-2,

：.BD=7BE2+DE2=J(2V3+2)2+(2V3-2/=4V2,

故选：C.

B

2.四边形45CQ的边长如图所示，对角线4C的长度随四边形形状的改变而变化.当△45。为等腰三角形

时，△Z5C的面积为（）

B

A;3D

A.3V32B.3V7C.3b或3闻D.15

【分析】分AC=AB、C4=C8两种情况讨论.

【解答】解：当/C=4B=4时，

过/作/£_L3C,交8c于点E,

为B

D,

・：BC=6,

:・BE=CE=3,

由勾股定理，AE=y/AC2-CE^=V7,

1「

S4BC=5XBC=3yf79

当C4=CB=6时，

VAC不满足小于AD+CD,

・•・此种情况不存在，

故选：B.

3.如图，在△45。中，AB=AC,E是边4B上一点,连接CE,在5C的左侧作5歹〃4GSBF=AE,连

接C?若4C=26,BC=20,则四边形的面积为（）

c

BEA

A.120B.240C.360D.480

【分析】将四边形旗尸。的面积转化为然后进行求解.

【解答】解：・.Z8=4C,

・•・/ABC=NACB,

*：BF//AC,

：.NACB=NCBF,

：.NABC=NCBF,

・・・8C平分N/5R

过点。作CN_L45,CN2BF,

C

：.CM=CN,

11

♦：SAACE=]4E・CM，SACBF=~^BF*CN,BF=AE,

••S/\CBF=S“CE，

**•四边形EBFC^]^^/\—S^CBF^S^CBE=S^CE^S^CBE=S^CBA^

•・ZC=26,

・.AB=26,

设AM=x,贝ljBM=26-x,

由勾股定理，得：CM2=AC2-AM2=BC2-BM2.

：.262-x2=202-(26-x)2,

238

解得x=

238240

：.CM=262-(誉)2=廿

11240

:・S“BC=嫡B・CM=-x26x=240,

四边形EBFC的面积为240,

故选:B.

4.如图，△48C中，ZC=90°,N5的垂直平分线分别交/3、/C于点。、E,若BC=而，AE-.EC=3：

2,则48的长为()

A.V41B.V30C.V10D.3

【分析】连接BE,根据线段垂直平分线的性质得到再根据勾股定理计算即可.

【解答】解：如图，连接3E,

:DE是4B的垂直平分线，

:.AE=BE,

设AE=BE=3x,

\'AE：EC=3：2,

:.EC=2x,

在RtaEBC中，BE2=BC2+EC2,即(3x)2=(V5)2+(2x)2,

解得：x=l(负值舍去)，

则/E=3x=3,EC—lx—1,

：.AC=AE+EC=5,

：.AB=VBC2+AC2=J52+(V5)2=V30.

故选：B.

5.如图，在中，斜边45=6,以4。为边向外作等边三角形4CZ）,以5c为腰作等腰RtA

BCE,连结。£若4C为a,BC为b,DE为c,则下列关系式成立的是（）

A.ab+S=c2B.a2+b2=2c2C.a2+c2=3b2D.ab+36=c2

【分析】过点E作EG，。。交。C的延长线于点G,证明NC£G=30°,利用勾股定理即可解决问题.

【解答】解：如图，过点E作EG，。。交的延长线于点G,

•・•在Rt/iZBC中，斜边48=6,

AZACB=90°,

•/N4CD是等边三角形，RtZXBCE是以5C为腰的等腰直角三角形,

ZACD=60°,ZBCE=90°,

；・/DCE=360°-60°-90°-90°=120°,

AZECG=180°-120°=60°,

：.ZCEG=30°,

CD=AC=a,CE=BC=b,DE=c,

11

：.CG=-CE=~b,

：.EG=<3CG=^-b,

1

在RtADGE中,DG=DC+CG=a+~b,

根据勾股定理得：DG2+EG2^DE2,且/C2+3C2=a2+62=4g2=36,

/.(a+56)2+(亨6)2=c2,

化简得，ab+36=c2,

故选：D.

6.如图，在△NBC和△/AD中，AB=AC^AD,ACLAD,/E_L2C于点E,4E•的反向延长线与AD交于

点、F,连结8,则线段2RDF,CD三者之间的关系为（）

A.BF-DF=CDB.BF+DF=CD

C.BF2+DF2=CD2D.2BF-2DF=CD

【分析】由题意可得N/CD=//DC=45°,由4B=/C=4D可得N4BC+N4RD=45°=NCBD,由

AB=AC,/£_L8C可得/£是8C的垂直平分线，可得BF=CF,根据勾股定理可求8尸+£＞产的值.

\'AC^AD,AC±AD,

：.ZACD=45°=ZADC,

；AB=AC=AD,

：.ZABC=ZACB,ZADB=/ABD,

ZABC+ZACB+ZADB+ZABD+ZACD+ZADC^180°,

：.ZCBD=45°,

,；4B=AC,AELBC,

：.AE是线段BC的垂直平分线，

：.BF=CF,

:./CBD=/BCF=45°,即/CFD=90°,

BF2+DF2=CD2=AC2+AD2.

故选：c.

7.如图，△NBC与均为直角三角形，且NNC3=/C4O=90°,AD=2BC=12,AB：BC=5：3,

点E是AD的中点，则NE的长为()

A.3B.5C.4D.6

【分析】延长/£交8c的延长线于点尸，先证明△ZX4E之△8FE(AAS),得出5尸=/。=12,AE=FE,

则Cb=6,再在RtA^SC中利用勾股定理求出AC的长，然后在RtZ\/C尸中利用勾股定理求出AF的长，

即可得出结论.

【解答】解：如图，延长/E交3c的延长线于点尸，

J.AD//BF,

：.ZDAE=ZF,

;点E是BD的中点，

：.DE=BE,

在△£)/£■和45斤E中，

(/.DAE=LF

\ADEA=乙BEF,

WE=BE

:•△DAEWABFE(AAS),

：.BF=AD=12,AE=FE,

♦；AD=2BC=12,

：.BC=6,

：.CF=BF-BC=12-6=6,

■:AB：BC=5：3,

・・・45=10,

VZACB=90°,

・・・/C=7AB2—BC2=，102—62=8,ZACF=90°,

在RtZ\4CF中，由勾股定理得：AF=yjAC2+CF2=V82+62=10,

1

C.AE—FE=p尸=5,

故选：B.

8.如图，四边形/BCD中，对角线NC_L8D,点尸为CD上一点，连接N尸交8。于点E,AFLAB,DE=

DF,ZBAG=ZABC=45°,BC+AG=20V2,AE=2EF,贝U/尸=()

A

BC

L17V2

A.12B.8y/2C.10D.---

【分析】延长4RBC,交于点区先证明为等腰直角三角形，再判定△4BG2△H4C(ASA),

然后在等腰直角中，由勾股定理得48与4〃的值，设斯=%,则4E=2x,判定△ZGE之方

(AAS),从而FH=AE=2x,解得x的值，最后根据4F=ZE+ER可得答案.

【解答】解：延长/RBC,交于点H,如图：

9：AFA.AB,ZABC=45°,

ZBAH=90°,ZAHB=90°-45°=45°,

・・・△ZB”为等腰直角三角形，

：・AH=AB,

VZBAH=90°,ZBAG=45°,ZAHB=45°,

；・NGAE=/BAG=NAHB=45°,

U：AC.LBD,

：.ZABC+ZBAC=90°,

•；NBAC+NHAC=NBAH=90°,

:.ZABG=ZHAC,

在和△H4C中，

CZ.ABG=/LHAC

\AB=AH,

k^BAG=Z.AHC

：.AABG^AHAC(ASA),

：.AG=HC,

：.BH=BC+CH=BC+AG=20VL

22

在等腰直角△45"中，AH=AB,ZBAH=90°,由勾股定理得：AB+Alfi=BHf

：.AB=AH=2Q,

•：AE=2EF,

：.^EF=x,贝lj4E=2x,

■:DE=DF,

：.NDEF=ZDFE,

：.NAEG=ZHFC,

VZAHB=ZGAE=45°,

AZAGE=135°-ZHFC=ZFCH,

在AXGE和/中，

(Z.AEG=Z-HFC

\/.AGE=乙FCH,

14G=HC

:.AAGEqAHCF(AAS),

：.FH=AE=2x,

：.AH=AE+EF+FH=5x=20,

解得：x=4,

AF=AE+EF=3x=12,

故选：A.

9.如图，在△ZBC中，4D_L5C于点。，BF平分/ABC交AD与点、E,交4c于点RAC=13,40=12,

5C=14,则。E的长等于（）

A.-B.5C.D.7

【分析】利用勾股定理可得CD和45的长，进而由角平分线性质得EG=£。，再证明RtZXBDE之RtA

BGE(HL),得BG=BD=9,设4£=x,则助=12-x,然后根据勾股定理列方程可得结论.

【解答】解：

AZADC=ZADB=90°,

：.CD=y/AC2-AD2=4132-122=5,

:・BD=BC-CD=\4-5=9,

：.AB=7AD2+BD2=二122+92=15,

过点石作于点G,

•・・5尸平分NZ5C,AD2BC,

：.EG=ED,

在RtLBDE和RtABGE中，

(BE=BE

{ED=EG9

：.RtABDE^RtABGE(HL),

:.BG=BD=9,

：.AG=AB-BG=15-9=6f

设贝!J£7)=12-x,

：.EG=n-x,

RtZ\ZGE中，由勾股定理得：AG1+EG1=AE2,

即62+(12-、)2=/,

15

解得：%=三，

15

；・AE=—,

159

：.DE=AD-AE=12——=~

故选：A.

A

A

HDc

10.如图，△ZBC中，ZC=90°，AC=BC=、反，将△NBC绕点/顺时针方向旋转60°至也/笈。的位置,

连接CB,则CB的长为()

Br

上

A.2—V2B.C.—1D.1

【分析】连接8夕，延长2C'交AB'于点跖证明△4BC'空XB'BC',得到=NMBA=

30°；求出8/、CM的长，即可解决问题.

【解答】解：如图，连接28',延长8C'交AB'于点M；

B'

由题意得：ABAB'=60°,BA=B'A,

J.^ABB'为等边三角形，

:./ABB'=60°,AB=B'B；

在△4BC'与△夕BC中，

(AC=B'C

\AB=B'B,

(BC'=BC

.,.△ABC'mAB'BC(SSS),

：.ZMBB'=NMBA=30°,

J.BMLAB',且M；

由题意得：/〃=4,

：.AB'=48=2,AM^l,

1

：.C=1；

由勾股定理得：BM=也4B2-4M2=V22-l2=V3,

：.CS=V3-1,

故选：c.

二.填空题(共10小题)

11.如图，在△48C中，N8=/C,点。在边/C上，AAD=BD,过点/作交2。的延长线于

「25

点E,若/£=6,BC=2®0,则AD的长为—.

-4-

【分析】过2作于X,得到/E=N8AD=90°,根据全等三角形的性质得到2H=/E=6,DE

=CH,根据勾股定理得到CH=7BC2—BH2=2,求得N〃=/C-2,根据勾股定理得到4Hr=8,再根

据勾股定理得到结论.

【解答】解：过3作BHLAC于H,

：.ZE=ZBHD=90°,

在AADE与ABDH中,

fZE=4BHD

{/.ADE=乙BDH,

kAD=BD

:.LADE经ABDH(44S),

.'.BH=AE=6,

•；BC=2月,

：.CH=7BC2—BH2=2,

:・AH=AC-2,

AB=AC,

：.(AC-2)2+62=402,

：.AC=10f

•'.AH=8f

,:B伊=B*D*

2

：.BD2^62+(8-3。),

故答案为：—.

q

12.如图，在△NBC中，AD_L4C,点E是48的中点，BD于CE交于F点,且FB=FC,/C=£C=10时,

则BC的长是6V5.

A

【分析】过C作CML4B于根据等腰三角形的性质，可得NECW为//的余角，AM=EM,再根据

BDLAC,可得也是//的余角，所以这两个角相等，再根据尸，可得/E8C和//C3相

等，所以N/8C和NMC2相等，均为45°,设/则可以用x表示出a0,在△4CN中用勾

股定理求出x的值，进而求解2c的长即可.

【解答】解：过C作CM_L/5于如图：

A

■:AC=EC,

：.AM=EM,NACM=NECM=90°-ZA,

:BDL4C,

：.ZABD=90°-ZA,

：./ABD=/ECM,

*：BF=CF,

：./FBC=NFCB,

:・/MBC=/MCB=45°,

:・BM=CM,

设AM=EM=x,则AE=2x,

是AB的中点，

：・BE=AE=2x,

.'.BM=CM=3x,

在RtZXZCW中，X2+9X2=100,

.,.x=V10,

/.BM=3x=3V1U,

：.BC=4iBM=6瓜

故答案为：6V5.

13.如图，四边形45cZ）中，ZABC=ZADC=60°,NBAD>90°,ACLBC,若AB=2,AD=a,则

【分析】过点Z作NE，。。于点E,过点。作交的延长线于点R在RtZ\4£>E中，求出

DE,AE,在RtZiZBC中，求出BC,AC,可知4E=C£,得到N4cz)=45°,ZZ)CF=45°,再在RtA

CD/中，求出DRCF,最后在Rt△瓦卯中，可求出5D

【解答】解：过点4作4£J_CQ于点区过点。作。尸，8。交的延长线于点R

在RtZ\4DE中，

VZADC=60°,AD=五,

：.DE=^AD=AE=7AD2—DE2=J（鱼）2_（乌）2=乎,

在RtZUBC中，

VZABC=60°,AB=2,

1,______

：.BC=5AB=1,AC=7AB2—BC2=V22-12=V3,

在Rtz\ZCE中，

CE=7AC2—AE2=J（遍）2_（亨）2=孚,

:.CE=AE=^,8=CE+田区+返=叵退，

2222

AZACD=45°,

ZDCF=180°-ZACB-ZACD=180°-90°-45°=45°,

在Rt/XCZ）产中,

CF=DF=&D*J^=为

2222

：.BF=BC+CF=X+^=^,

22

在RtABDF中，

BD=7BF2+DF

故答案为：l+8.

1

14.如图，在△/BC中，N5=90°,点。在线段2C上，点E在线段4D上，/BAC=NDEC,/

ADB,CD=6,AB=12a,则线段2。的长为6.

【分析】如图，延长至IJT,使得BT=CB.证明。E=DC=6,设则。T=2x+6,再证明4。

DT=2x+6,根据勾股定理构建方程求解即可.

【解答】解：如图，延长。5到T,使得BT=CB.

VZABC=90°,

：.ABLCT,

,:BT=BC,

：.AT=AC,

：.ZBAT=ZBACf

1

•：/DEC=3/ADB,/ADB=/DEC+/DCE,

：./DEC=/DCE,

:・DE=CD=6,

设贝！J5T=8C=x+6,DT=2x=6,

丁/BAC=/DEC,

：.ZBAD+ZDAC=ZDAC+ZACE,

：.NBAD=NACE,

•；AT-AC,

：.NT=AACD=ZDCE+ZACE=/BAC+/BAD=/BAT+/BAD=/DAT,

:・DT=AD=2x+6,

在RtZUB。中，AD2=AB2+BD2,

：.(2x+6)2=(12V2)2+x2,

解得x=6(负根已经舍去).

:.BD=6.

故答案为：6.

15.如图，RtZ\48C中，N/C3=90°,AC=BC,2c上有一点D,连接40,^AELAD,且4&=40,

连接BE交AC于点F,使EF=V26CF,当CD=6时，则CF=2.

【分析】设CF=x,作EG_L/C于点G,证明(AAS),推出/G=CD=6,AC=EG,

再证明△(7/哈名Z\G尸£(44S),求得尸G=CF=x,得至I]EG=/C=6+2x,在RtZiEFG中，利用勾股定

理列式计算即可求解.

【解答】解：设CF=无，作EGL/C于点G,

EF=V26CF=V26x,

'CAELAD,NACB=9Q°,

AZDAE=90°=ZEGA,

：.ZDAC=90°-ZGAE=ZAEG,

'：AE=AD,

：./\DAC^/\AEG(44S),

:.AC=EG,AG=CD=6,

,:AC=BC,

：.EG=AC=BC,

VZACB=90°,EGLAC,

：.ZFCB=ZFGE=90°,

■:/CFB=/GFE,

：.ACFB^/\GFE(AAS),

:・FG=CF=x,

：.EG=AC=6+2x,

2

在RtZ\EFG中，EF2=FG2+EG-,§P(V26%)=x2+(6+2x)2,

整理得7x2-8x-12=0,

6

解得X1=2,%2=一'(舍去)，

故答案为：2.

16.如图，在四边形/BCD中和，AB=BC=6,ZABC=60°,ZADC=9Q°.对角线NC与8。相交于点

E,若BE=3DE,则£。=_3诟_.

【分析】过点2作于点过点。作。N,5M于点N,连接。”并延长到〃，使得必/=

1

MD,连接4”,先证明；.△NBC为等边三角形，得至lJ/C=/8=6,再由三线合一定理得到CM=4M=5

AC=3.则由勾股定理可得BM='BC2一CM2=3V3；证明(&4S),得至！JAH=CD,

1BE

ZMAH=ZMCD,再证明四△£UC,得到O”=/C,则DM=RC=3；由BE=3DE,得到力;=

ZDD

3-BM-ME3ME3

7，则一9八〃nz=?据此得到7?77=不设“石=30DN=4x,BE=3y,8O=4y在RtZXBME1中，由勾

4—D1V1•U1N4-UN4

2

股定理得8炉-〃£2=8〃2,可推出廿-/=3,

在RtZkBDN中，由勾股定理得8N2=16廿-16/=48,则8N=4b，MN=痘.利用勾股定理得到

DN=7DM2一MN2=V6.则80=y/BN2+DN2=3瓜

【解答】解：过点8作8MLNC于点过点。作。ML8M于点N,连接DWr并延长到〃，使得〃力

MD,连接

A

•••△Z5C为等边三角形，

：・AC=AB=6,

\'BM.LAC,

1

：.CM=AM=~AC=3.

：.BM=7BC2-CM2=3V3；

在和△COM中.

(AM=CM

\^AMH="MD,

(HM=DM

(SAS),

AZMAH=ZMCD,AH=CD,

VZADC=90°,

/.ZACD+ZCAD=90°,

：.ZCAD+ZCAH=90°,

：.DAH=90°=ZADCf

在和4c中，

(AH=CD

\z-DAH=/.ADC,

VAD=DA

：.AADH^ADAC(SAS),

:・DH=AC,

1

：.DM=-AC=3；

■;BE=3DE,

.BE3

••访=T

.SABDMBE3

SABMEBD4,

3

""-BM-DN=4，

2

.ME3

**F5v=4'

设B£=3y,BD=4y,ME=3x,DN=4x,

,：BE2-ME2=BM2,

：.9y2-9x2=27,

".y2-X2=3,

'：BN1=BD1-DN1,

.*.3解=16廿-16x2=48,

：.BN=4V3,

：.MN=V3.

：.DN=VOM2-MN2=V6.

：.BD=7BN2+DN2=V48+6=V54=3显.

故答案为：3瓜.

17.如图，在△4SC中，8。是/C边上的中线，NE是△48。中3。边上的中线，若/CBD=60°,/AEB

=150°,BD=4,则A8=7.

【分析】延长NE交8c于点凡延长3。，^BD=DG,连接NG,根据题意可得48跖=30°,ZBFE

1「

=90°,进而可求出BF=]BE=1,根据勾股定理求出EF=g,证明△ADC四△GD4,得到NG=/

CBD=60°,推出8C〃/G,得到NG4E=/BFE=90°,根据勾股定理求出在RtZUB尸中，由勾

股定理即可求解.

【解答】解：如图，延长4E交2c于点R延长AD,使AD=OG,连接NG,

B

V

G

VZAEB=150°,

AZBEF=\SO°-ZAEB=30°,

*：ZCBD=60°,

・•・ZBFE=\SO°-ZCBD-ZBEF=90°,

•；BD=4,4E是△45。中5。边上的中线，

1

DE=BE=—BD=2,

1

：.BF=~BE=1,

在中，由勾股定理得：EF='BE2一BF2=办2_1,2=存

•・,瓦)是4C边上的中线，

：.AD=CD,

在△5OC和△G"中，

(BD=GD

\ABDC=Z.GDA,

VAD=CD

:.dBDCmAGDA(SAS),

：.ZG=ZCBD=60°,

C.BC//AG,

：.ZGAE=ZBFE=90°,

・•・GE=DE+GD=2+4=6,

1

'.AG=~GE=3,

在Rt△4GE中,由勾股定理得：AE=7GE2—AG2=V62-32=3VI,

：.AF=AE+EF=3y[3+y/3=473,

在Rt448尸中，由勾股定理得：AB=7AF2+BF2=/(4V3)2+12=7,

故答案为：7.

18.如图，△NBC中，BC=8,AC-4B=3,。是△/3C外一点，且180°,CD=BD.若

ADLCD,则△3CP的面积是6.

【分析】延长C。至E,使得DE=CD,连接8E,AE,过点8作8尺LCO于点尸，证明/8_LBC进而可

得BE=3,然后根勾股定理求得CE,等面积法求得2斤，进而根据三角形的面积公式，即可求解.

【解答】解：延长CD至E,使得DE=CD,连接BE,AE,过点8作8尸1.CD于点R

,:DC=DE=DB,

:.NDCB=NDBC,ZDBE=ZE,

又,:ZDCB+ZDBC+ZDBE+ZE=l80°,

：.ZCBE=ZCBD+ZDBE=90°,

设NDCB=NDBC=a,

又；4D上CD,ABikBC,

：.ZADC^ZABC=90°,

：.ZDCB=ZDAB=a,ZADC=ZADE=90°,

：.ZDAB+ZE=90°,

.•.点8在/£上，

N4CD+NABD=ZDBE+ZABD=180°,

ZACD=ZDBE,

：.ZACD=ZE,

'.AE—AC,

,：AC-AB=3,

:・BE=3,

：.CE=\BC2+BE2=V73,

1V73

CD=DE=DB=-CE=--,

，2

•：BF_LCE,BC2AB,

11

：.-CBxBE=-CExBF

BCxBE8x324

■BF=CE=布=病

.01八1阮24

・・S^BCD=5。。*BF=~x——x=6,

故答案为：6.

19.如图，在等腰△45。中，AB=AC=10fBC=12,4。为△45。的中线，FE垂直平分45交4。于点

7

G,则GD=_^_

1

【分析】连接3G,根据等腰三角形的性质得到8。=58c=6,ADLBC,根据勾股定理得到/。=8,最

后根据勾股定理即可得到结论.

【解答】解：连接8G,

；FE是4B的垂直平分线，

J.AG^BG,

VAB=AC=10,8c=12,为△N8C的中线，

1

：.BD--BC^6,ADLBC,

:.NADB=90°,

：.AD=7AB2一BD2=4102-62=8,

设。G=x,贝IJ5G=/G=8-x,

由勾股定理得：5G2=5£>2+£»G2,

(8-x)2=X2+62,

7

・•・1=P

7

"G=『

7

BC=12V3,CD=20,Z.ADB=30°,Z.CAD=3/LBAD,则的长为

4V7_

【分析】设/氏40=a,根据导角得出NCBO=60°+a,以为边向右作等边△8PN,以3c为边作等

边△8CQ,连接N0,PC,得出3E〃0c进而可得N3CE=30°,进而根据含30度角的直角三角形的性

质，勾股定理，即可求解.

【解答】解："：AB=AC,NCAD=3NBAD,

1

设/5AD=a,则/C/Z)=3a,^BAC=4a,AACB=/.ABC=-(1800-zBXC)=90°-2a,

'：ZAFB=ZFAC+ZFCA=ZFBD+ZBFD,

.,.3a+90°-2a=ZC5Z)+30°,

：.ZCBD=60°+a,

以NB为边向右作等边△3P/,以8C为边作等边△3C0,连接PC,

U：AB^AC,BQ=CQ,AQ^AQ,

：.AABQ^AACQCSSS),

1

・•・"QB=4AQC=-(360°-60°)=150°,

ZABQ=180°-150°-2a=30°-2a,

ZPBC=ZABC-60°=90°-2a-60°=30°-2a,

又•：AB=BP,BQ=BC,

：.AABQ^APBC(SAS),

・・・/BCP=/BQA=150°,/BPC=/BAQ=2a,

'：AC=AB=AP,

：.ZAPC=ZACP=60°+N5?C=60°+2a,

XVZACQ=ZABQ=30°-a,

Z.ZQCP=ZQCA+ZACP=90°,

过点8作于点E,贝！J5E〃QC,

则NCBE=N4CB=60°,

:・/BCE=30°,

1J_________

：・BE—5BC=6V3,EC=VBC2—BE2=18,

:,DE=DC-EC=2,

在RtABDE中，BD=VB£2+DE2=J22+(6A/3)2=477,

故答案为：4V7.

三.解答题(共10小题)

21.在△48C和△4DE中，点。在BC边上，NBAC=NDAE=cc,AD=AE.

图1图2

(1)若A8=/C.

z）如图1,当a=90°时,连接EC,猜想并求线段DC,DE之间的数量关系;

ii)如图2,当a=60°时,过点N作。£的垂线，交8c边于点R若3C=8,BD=2,求线段CP的长;

（2）如图3,已矢口a=90°,过点/作。E的垂线，交2c边于点R若48=4而，AC=245,当Ck

1时，则线段AD的长为5.6

【分析】（1）力根据题意可证咨△€»£是直角三角形，根据勾股定理即可求解；万）连

接EF,CE,过点K作EGL5C延长线于点G,可得//是DE的垂直平分线，设C/=x,在Rt^EBG

中根据勾股定理即可求解;

（2）如图所示，延长/C到N,使得4C=NC=2V^,连接EN,延长BC交EN于点可证丝

△ANE,BD=EN,可得是直角三角形，可求出的值，由万）的证明可得。尸=£尸，在RtA

中，可求出。尸，的值，根据EN=EW+MN即可求解.

【解答】解：(1)z)ZBAC=ZDAE=a=90°,AD=AE,AB=AC,

：.NB=/ACB=ZADE=ZAED=45°,

VZBAD+ZDAC=ZDAC+ZCAE^90°,

ZBAD=ZCAE,

在A4BD,△，(?£中,

AB=AC

乙BAD=Z.CAE,

AD=AE

:.dABD出LACE(S4S),

:.BD=CE,NB=N4CE=45°,

AZACB+ZACE=450+45°=90°,

...△COE是直角三角形，

：.DE^=DC2+CE2,且CE=DB,

:.DB2+DC2=DE2；

ii)AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=a=60°,

.,.△ABC,△/£>£■是等边三角形，

；.AB=BC=4C=8,贝!]CD=8C-8£(=8-2=6,

如图所示，连接CE,EF,过点E作EG_L8c延长线于点G,

由上述证明可得，4ABD出AACE,

:.BD=CE=2,ZB=ZACE=60°,

/.ZACB+ZACE^60°+60°=120°,则NECG=180°-ZECB=60°,

在RtZ^ZC/中，ZECG=60°,CE=2,

1

：.CG=~CE=1,EG=WCG=V3,

•.•△NOE是等边三角形，AFLDE,

；.工尸是的垂直平分线，

：.DF=EF,

设CF=x,则DF=EF=BC-CF=6-x,FG=CF+CG=x+l,

在RtZiEFG中，EF2^FG2+EG2,

(6—x)2=(x+l)2+(V3)，

■,16

解得，x=—,

16

.•.c厂的长为万-；

（2）解：如图所示，延长/C到N,使得4C=NC=2V^,连接EN,延长BC交EN于点、M,过点工

作4PL8C于点尸，

A

■:NBAC=/DAE=ct=90°,AD=AE,

：.ZBAD+ZDAC=ZDAC+ZNAE=90°,

:./BAD=/NAE,

在AABD,中，

(AB=AN

\z-BAD=Z.NAE,

VAD=AE

：./\ABD^/\NAE(SAS),

:・/B=/N,BD=NE,

■:/ACB=/NCM,ZB+ZACB=90°,

AZNCM+ZN=90°,

：.ZCMN=90°,BPCMLMN,AiCW是直角三角形,

在RtZXZBC中，AB=4V5,AC=2V5,

：.BC=7AB2+"2=J(4V5)2+(2V5)2=10,

U：AP±BC,

11

:f^ABC-2AC'AB=2BC'AP,

AC-AB2V5X4V5

：.AP=4,

BC10

u：ZCMN=ZAPC=90°,ZACP=ZMCN,AC=NC,

:・AAPCmANMC(AAS),

：・MN=AP=4,

在RtZ^CW中，

解得,CM=2,MN=4,

VCF=1,

：.FM=FC+CM=1+2=3,

设DF=y,则BD=EN=BC-DF-CF=10-y-1=9-y,DM=DF+FM=y+3,

：.EM=EN-MN=9-y-4=5-y,

•是等边三角形，AFLDE,

尸是DE的垂直平分线，

:.DF=EF=y,

在RtZXEFM中，EF2^FM2+EM2,

.*.^2=32+(5-y)2,

解得，夕=3.4,

：.EM=5-y=5-34=1.6,贝！IEN=EM+MN=1.6+4=5.6,

：.BD=5.6,

故答案为：5.6.

22.已知△/2C是等腰直角三角形，ZACB=90°.

(1)如图1,点〃在斜边N2上，且/。=1+逐，MA=42,则线段MC=2

(2)如图2,点M在△NBC外，M4=2,MC=5,ZAMC^45°,求MS；

(3)如图3,点/在△ABC外，MA=3,MB=3逐,MC=6,求NC.

M

图3

【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质求出N8,过点C作CDL/8于点。，然后根据勾股定理即可

解决问题；

(2)过点C作CNLCM,交跖4的延长线于点N,连接BN,得△CW是等腰直角三角形，得MC=NC

=5,MN=5五,证明△/CMgABCN(”S),得BN=MA=2,ZAMC=ZBNC=45°,证明

90°,然后利用勾股定理即可解决问题；

(3)C作CD_LCW且CD=CM,连接2。、MD,延长DB交于点E,证明

(SAS),得BD=MA=3,ZAMC=ZBDC,然后证明NE=90°,设BE=x,再根据勾股定理列出方

程求出x的值，进而可以解决问题.

【解答】解：⑴•••△48C是等腰直角三角形，NACB=90°,

：.BC=AC=\+V3,

：.AB=V2L4C=V2+V6,

图1

•••△/BC是等腰直角三角形，

...CD垂直平分N8,

1V2+V6

:・AD=CD=BD=~AB=,

乙乙

'：MA=V2,

.V2^+V61-V6—V2

..MD—AD-MA=---------—V2=----------,

:.MC=、MD2+CD2=J(V6p/2y+V2+/6p==2,

V6—V2^V2+V61—

MB=MD+BD=-----------1-----------=V6,

故答案为：V6,2；

(2)过点。作交的延长线于点N,连接BN,

M

:・/MNC=45°,

•••△CW是等腰直角三角形，

：.MC=NC=5,

:・MN=&MC=5五,

•・・AABC是等腰直角三角形，

:・CA=CB,ZACB^90°,

・•・ZMCN-ZACN=ZACB-ZACN,

：.ZACM=/BCN,

:AACMmABCN(S4S),

：.BN=MA=2,ZAMC=ZBNC=45°,

：.ZMNB=90°,

在RtAMNB中，根据勾股定理得：MB=、MN2+BN2=J(5V2)2+22=V54=3V6；

(3)如图3,。作CZ)_LCW且CZ)=CM,连接5。、MD,延长DB交于点E,

图3

/.ZMCD=90°,MD=V2AfC=6V2,

是等腰直角三角形，ZACB=90°,

：.AC=BC,

：.ZMCD-ZMCB=ZACB-/MCB,

：./ACM=/BCD,

：./XACM^ABCD(SAS),

:・BD=MA=3,/AMC=/BDC,

VZAMC+ZCME=180°,

/.ZBDC+ZCME=\^°,

■:/MCD=90°,

AZE=360°-(ZMCD+ZBDC+ZCME)=90°,

在RtAMEB和RtAAffiD中，根据勾股定理得：

ME1=BM1-BE1=DM1-DE2,

设BE=x,

■:DB=3,MB=3后MD=6,

.\DE=x+3,

(3A/5)2-x2=62-(x+3)2,

•・x=3,

:,ME=7BM2-BE2=J(3V5)2-32=6,

・•・AE=AM+ME=3+6=9,

：.AB=\AE2+BE2=492+32=3V10,

V2「

..AC——^~AB=3近.

23.已知