河北省邯郸市武安市某中学2024-2025学年高二年级上册10月期中考试数学试题（含答案）

武安一中2024——2025学年第一学期10月期中考试

局一数学

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项符合题目要求）

1.设。为实数，已知直线4：办+3了-2=0,，2：6x+（"3万+4=0,#〃％,则。=（）

A.6B.-3C.6或—3D.-6或3

【答案】A

【解析】

【分析】由两条直线的一般式方程平行的条件求解即可.

【详解】因为4〃/2,所以a（a—3）=18,解得：a=6或a=—3.

当〃=6时，-6x+3y—2=0,/216x+3y+4=0,平行；

当Q=—3时，4:—3x+3y—2=0,：6x—6歹+4=0,可判断此时重合，舍去.

故选：A

22

2.已知焦点在x轴上的椭圆二+匕=1的焦距为6,则实数机等于（）

m3

A.1B.6C.12D.12-673

【答案】C

【解析】

【分析】根据椭圆的焦点位置以及焦距，列式求解，即得答案.

22

【详解】由于焦点在X轴上的椭圆土+匕=1的焦距为6,

m3

故加—3=32,...加=12,

故选：C

3.如图是元代数学家郭守敬主持建造的观星台，其可近似看作一个正四棱台4用G。1，若

45=244,点M在上，且氏以二3。幽，则CA/=（)

3—■3—•5—•3—■3—•5—•

A.-AA.+-AB——ADB.-AA.+-AB——AD

41884148

3—■3—•5—•3—■3—•5—•

C.-AA.——AB——ADD.-AA,——AB+-AD

41484188

【答案】C

【解析】

【分析】利用空间向量的基本定理可求解.

【详解】因为：近=怒+击=熬+1■砺，

所以:BD.=AD,-AB=AA.+-AD-AB.又因为：BM=3DM,

2X

—■3—■3—•3—•3—•

所以:BM=-BD.=-AA,+-AD--AB，

414184

—*，—--—-3—-3—*3—►—►3——►3一5—►

所以:CM=BM-BC=BM-AD=-AA.+-AD--AB-AD=-AA--AB--AD

418441}48

故C项正确.

故选：C.

4.过点且与圆/+/=5相切的直线方程为（）

A.x-2y+5=0B.x+2y+5=0

C.2x-y-5=0D.2x+y+5=0

【答案】A

【解析】

【分析】先判断出点〃在圆上，进而求出切线斜率即可得到答案.

92

【详解】因为（―1）~+22=5,所以点〃在圆上，而左0.=一=—2,

则切线斜率为g,所以切线方程为：y-2=^（x+l）^2y-x-5=0

即x-2〉+5=0

故选：A

5.“加＞2”是，方程^+上二=1表示双曲线”的（）条件

2-mm+1

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】利用集合法进行求解.

22

【详解】因为方程+一匚=1表示双曲线，所以（2—加）（加+1）＜0,解得加＜—1或加＞2.

2-mm+1

即加£（-00,-1）U（2,+G0）.

因为（2,+00）是（―8,—1）D（2,+8）的真子集，

22

所以“加＞2”是“方程^—+3^=1表示双曲线”的充分不必要条件.

2-mm+1

故选：B.

6.一条光线从点P（4,2）射出，经过直线＞=x反射后与〉轴相交于点。（0,-2）,则入射光线所在直线的

方程为（）

A.x-3y-2=0B.3x-j-2=0C,x-3y+2=0D,x+3,v-10=0

【答案】C

【解析】

【分析】先求出点Q（0,-2）关于直线y=x的对称点。（-2,0）,由光学知识可得反射光线经过点P,Q',

由直线的两点式即可求解.

【详解】根据题意可得反射光线经过点。（0,-2）,易得入射光线所在直线经过点。（-2,0）,

因为入射光线经过点P（4,2）,所以入射光线所在直线的方程为匕2=三土，

即x—3y+2—0.

故选：C.

7.已知M为直线/：2x+3y+l=0上的动点，点尸满足赤=（2,-4）,则点尸的轨迹方程为（）

49

A.3x-2y+9=0B.（x-2）2+（v+4）2=—

4Q

C.2x+3y+9=0D.（x+2）2+（j^-4）2=—

【答案】C

【解析】

【分析】由点P坐标，得到M坐标，代入直线方程即可.

【详解】设点尸（x,y）,因为砺=（2,—4）,所以M（x-2j+4）,

代入直线方程可得：2（x—2）+3（y+4）+l=0,

化简可得：2x+3y+9=0

所以尸的轨迹方程为2x+3y+9=0.

故选：C

8.已知抛物线C:/=4y的焦点为尸，该抛物线C与直线/：了=去+1相交于两点，则|MF|+3|八4|

的最小值为（）

A.2+26B.2+4百

C.4+26D.4+4百

【答案】C

【解析】

112

【分析】证明入^+转由=一=1，根据基本不等式求|+31M3的最小值.

【详解】根据题意判断可得直线I过该抛物线的焦点F,

_112,1111

所以।人/"1+1AHI=一=1，（联立直线与抛物线，应用韦达定理及用R+JT充=-----7+-------；即可证

1^1\NF\p\MF\|A^F|yM+lyN+l

明），

所以司+3|A/F|=（四盟+3|2VF|）[占+/]=4++粤》4+2后，

111111|^VF|J\MF\pvr]

当且仅当IMF|=I八"|=Ji+1时取“=”.

故选：C.

二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符

合要求，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9.已知双曲线C：=1（。〉0/〉0）的离心率e=2,C的右支上的点到其右焦点的最短距离为

a2b"

1,则（）

A.双曲线C的焦点坐标为（±2,0）

B.双曲线。的渐近线方程为y=±mx

C.点（2,3）在双曲线C上

D.直线加x-y7*=0（meR）与双曲线C恒有两个交点

【答案】AC

【解析】

【分析】由题意求出见“c,即可求出双曲线方程，可得焦点坐标，判断AB；代入验证可判断C；求出直

线相加=0（加eR）所过定点，结合举特值，即可判断D.

【详解】双曲线C上的点到其焦点的最短距离为c—a=l,离心率e=£=2,所以a=l,c=2,

a

2

所以〃=3,所以双曲线C的方程为——=所以。的焦点坐标为（±2,0）,A正确.

双曲线C的渐近线方程为^=±2%=±瓜，B错误.

a

因为22—1=1,所以点（2,3）在双曲线。上，C正确.

直线加x—y-加=0即y=7"（x—l）,恒过点（1,0）,即双曲线的右顶点，

当加=±6时，直线与双曲线C的一条渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个交点，D错误.

故选：AC

10.已知48为圆=4的直径，且45不与〉轴重合，直线/子=丘+1与〉轴交于点M,则

（）

A./与C恒有公共点

B.是钝角三角形

C.AABM的面积的最大值为1

D./被C截得的弦的长度的最小值为2#

【答案】ABD

【解析】

【分析】/是一个在圆内的定点，可以判断A,B选项；根据48是定值可以判断到的距离最大时，三角

形面积最大，从而判断C选项；/被C截得的弦的长度的最小时，圆心到直线的距离最大，从而判断D选

项.

【详解】直线/：y=Ax+l与歹轴交于点所以易知M在圆。：/+/=4内部，

所以/与C恒有公共点，/正确.

因为/在圆C:/+r=4内部，所以为钝角，所以A/AW是钝角三角形，B正确.

点”到的最大距离即点■与圆心之间的距离,为L所以…？4xl=2,C错误.

/被C截得的弦的长度最小时，圆心到直线/的距离最大，易知此距离为点M与圆心之间的距离为1,

所以最短弦长为2x在二「=2百，D正确.

故选：ABD

11.如图，在正三棱柱48C—451G中，侧棱长为3,AB=2,空间中一点尸满足

A.若》=工，则三棱锥尸-44。的体积为定值

2

B.若了=；,则点尸的轨迹长度为3

C.若x+y=l,则尸片的最小值为今|1

3

D.若％=y，则点尸到8C的距离的最小值为一

2

【答案】ACD

【解析】

【分析】A：做出图像，由已知和选项找到点P的位置，判断P到平面441。的距离为定值，又△Z&C的

面积为定值可求出；B：作图找到点尸位置，判断轨迹长度即可；C：由向量共线得到尸的位置，再点到直

线的距离求必1最小值；D：建系，用空间向量关系求出产到8C的距离，再用二次函数的性质求出最值.

对A,若x=万，分别作棱AB，44的中点。，E,连接£>£,则P在线段QE上，易知DE//平面441c，

故点P到平面N&C的距离为定值，又△幺4。的面积为定值，所以三棱锥P-44c的体积为定值，故A

正确；

若V=5，分别作Z4，85]的中点N,则点P的轨迹为线段易知MN=/8=2,故B错误;

若x+y=l,则4,P,3三点共线，即点尸在线段48上，易求点4到/逐的距离为鼠叵，故尸片的

13

最小值为小叵，故C正确；

13

若彳=歹，则点尸在线段Z81上，易证£>8，DC,DE两两垂直，以。为坐标原点，DB,DC,£>£所

在直线分别为x,z轴建立空间直角坐标系，

则5(1,0,0),C(O,Ao),4(—1,0,3),4(1,0,3),

所以诟=(2,0,0),^C=(l,V3,o],5C=(-1,73,0),14=(0,0,3))衣=x(赤+怒)=(2x,0,3x),

所以而=Q—方=(2x—2,0,3x),

所以cosBP,BC

所以点尸到BC的距离d=\BP\x)-=yJ12x2-6x+3=

13

所以当X=7时，4血=Q，故D正确.

故选：ACD.

【点睛】方法点睛：本体考查平面向量关系和空间立体几何的位置关系判定和体积，距离的求法，利用点

到直线的距离和二次函数和建立空间直角坐标系解答，计算量大，属于比较难的试题.

三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)

12.过点尸(1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为.

【答案】2x—y=0或x—y+1=0

【解析】

【分析】直线过原点有直线方程为2x—夕=0；直线不过原点时，设x轴截距为a(aw0),则〉轴截距为一

根据截距式并结合所过的点求。，写出方程.

【详解】当直线过原点时，得直线方程为2x—y=0；

当在坐标轴上的截距不为零时，设x轴截距为a(aw0),则歹轴截距为一。，可设直线方程为2+工=1,

a-a

将P(l,2)代入方程，可得Q=-1,得直线方程为X—歹+1=0.

工综上，直线方程为2x—y=0或y+1=0.

故答案为：2x~y=0或％—y+l=0.

13.若双曲线］——=1的一条渐近线与圆(x—lY+r=1交于48两点，贝

【答案］巫

5

【解析】

【分析】根据双曲线的标准方程，得到。，4c的值，结合双曲线的几何性质，求得双曲线的渐近线方程，再

利用圆的弦长公式，即可求解.

【详解】由双曲线匕——=1,可得。=2/=1,

4

又由双曲线的其中一条渐近线方程为^=-=2x,即2x—y=0,

b

因为圆(X—1)2+/=1的圆心为(1,0),半径r=1,

」2x1-0275

所以圆心到渐近线的距离为d=+一=

#+(-1)25

由圆的弦长公式，可得|第=2,2—/=2

故答案为：正

5

14.已知椭圆。5+，=19>6>0）的左、右焦点分别为公,鸟，若尸为椭圆C上一点,

PF[_1片与。四巴的内切圆的半径为三，则椭圆C的离心率为

【答案】-

3

【解析】

【分析】由内切圆半径的计算公式，利用等面积法表示焦点三角形F与片的面积，得到生。方程，即可得到

离心率e的方程，计算得到结果.

【详解】由题意，可知尸片为椭圆通径的一半，故尸片="，△尸耳"的面积为4・2c・尸片=”,

a2a

又由于△下>片片的内切圆的半径为;，则月的面积也可表示为:（2a+2c）q,

所以g2c.p£=g（2a+2c）5，即C£=g（2a+2c>|,

整理得：2/—℃—3c2=0,两边同除以/,

2

得3/+e—2=0，所以e=§或一1,

2

又椭圆的离心率ee（0,1）,所以椭圆C的离心率为].

故…答案i为：—2.

3

四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.已知圆/过点（3,3）,圆心M在直线2X+.V—5=0上，且直线x—2y+5=0与圆M相切.

（1）求圆M的方程；

（2）过点。（0,-2）的直线/交圆加于48两点.若A为线段。8的中点，求直线/的方程.

【答案】（1）（X—2）2+（y—1）2=5

（2）x=0或5x-12y-24=0.

【解析】

【分析】(1)由待定系数法即可求解;

(2)设/(x,y),从而得到B(2x,2y+2),由48在圆上，代入方程求解即可解决问题.

【小问1详解】

设圆M的方程为(x-a)2+(y-6)2=/，

因为圆M过点(3,3),所以(3—4+(3-4=/①，

又因为圆心M在直线2x+y—5=0上，所以2a+6—5=0②,

\a-2b+5\

直线x—2y+5=0与圆”相切，得至i]r=T=③,

45

由①②③解得：a=2,6=1/=若因此圆M的方程为(x—2)2+(y—1)2=5.

【小问2详解】

设/(x,y),因为/为线段3。的中点，所以5(2x,2y+2),

24

X=——

(x—2)2+"—丁=5x=013

因为48在圆M上，所以解得《或V

(2X-2)2+(2J+1)2=5"0一16

y=----

13

当A(0,0)时,由。(0,—2)可知直线I的方程为％=0；

_2+16

当/蒋，—时,由。(0,—2)可得斜率k=yp-=-1-，

I1313yN-1Z

故直线/的方程为y=，x—2,即5x—12y—24=0.

综上，直线/的方程为x=0或5x—12y—24=0.

16.如图，四棱锥P—48C。的底面为正方形，尸2，平面48。。,48=2,尸2=3,2同7=砺，

m=NDjH=^PA.

p

BC

>(1)证明：C,M,H,N四点共面；

(2)求点尸到平面跖VC的距离.

【答案】(1)证明见解析

c6V109

109

【解析】

—•3——•1—■

【分析】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，结合空间向量线性运算的坐标表示可得CH=—CW+—CN,

42

进而求证；

(2)求出平面MVC的法向量，结合空间向量知识求解即可.

【小问1详解】

证明：因为PZ_1_平面45c,4Du平面48cZ),48u平面48cZ),

所以,

又四边形48C£»为正方形，所以A8_L/D.

以A为坐标原点，45,4D,4P所在直线分别为x轴、>轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

由2而=而,两=而两=；沟,

\PM\1\PN\1\PH\_1

倚阿3，\PD\2'I%4

则。（2,2,0）也停,0,2）,吊0,1，）,五（0,0,0,尸（0,0,3）.

所以国=1_2,_2,(1,而=]_g4,—2,2)国=m，

3

^CH=ACM+JJCN,

4

-2=——2-2//

331

则《—2=—22—〃,解得2=—,fj.=—

42

93

-=22+-//

42

所以函=3国+工西，

42

敬C,M,H,N四点共面.

【小问2详解】

设平面MNC的法向量为庆=（/"c）,

4

——。一26+2。=0

CM-m=03

由＜_，得＜

3

CN-m=0-2a-b+—c=0

2

取a=3,则成=（3,6,8）,

又加=1o,o，T，

8

所以点尸到平面跖VC的距离HP-m46^/109.

17.已知椭圆。：［+4=1伍〉6〉0）的左、右顶点分别为48，点产（0,2）,连接尸4必交椭圆C于点

a"b"

3

M,N,△尸48为直角三角形，且MN=—AB.

5

（1）求椭圆的标准方程;

(2)设直线/与椭圆。交于AE两点，若BD-BE=。，求证：直线/过定点

2

【答案】(1)—+y2=1

4

(2)证明见解析

【解析】

1312

【分析】(1)根据题意知。P=一4B,求出。，再由MV=-48=—求出6,即可求出椭圆的标准方程;

255

(2)设。(X]，x),£(%,%)，设DE的方程为x=0+加(加彳2),联立椭圆方程消元后得到韦达定理，

由丽・砺=0代入求出m=-|,即可求出直线恒过的定点.

【小问1详解】

解：因为△尸48为直角三角形，

所以由椭圆的对称性知，OP=-AB,

2

即2=：x2a,所以a=2,JW=|/5=],则

代与+?=1，得SiCT1，解得，b=l,

a2b2^+==1

ab

2

所以椭圆的标准方程为土+J?=1.

4

【小问2详解】

证明：由题意，可设直线DE的方程为*=加+加(加彳2),

2

fx2,

联立<4消去x得，(k1+4)j^2+2kmy+m2-4=0,

x=ky+m

设。(国,%),£自2，/)，则乂+J2=7T^7=7^7®

k+4k+4

因为诙‘市,所以丽•屉=0,由⑴知，8(2,0),

所以丽=区—2,%),而=(%—2,%),

贝|-2)(X2-2)+yxy2=0,

将xl=ky]+m,x2=ky2+m代入上式得,

(k-+1)必歹2+k(m-2)(%+%)+(加—2)2=0，

将①代入上式，(左2+1)二——-+k(m-2)+(加-2/=0=>5m2-16m+12=0

KIT-KIT,

解得，加=［或加=2(舍)，故直线/恒过点g,0)

18.如图，在四棱锥尸—4BS中，平面PDC,平面48CD,4D，£>C,48〃£>C,

4B=LCD=/£>=1,M为棱PC的中点.

2

(2)若PC=®PD=\,

(i)求二面角尸—DM-3的余弦值;

(ii)在线段PN上是否存在点。，使得点。到平面5。/的距离是城？若存在，求出尸。的值；若不

~一9

存在，说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)(i)—1；(ii)存在，尸0=述

63

【解析】

【分析】(1)通过证明四边形/a0N是平行四边形，可得BMIIZN,即可证明;

(2)(i)建立空间直角坐标系，利用向量法求解；(ii)利用点到面距离的向量法求解即可.

【详解】(1)取尸。的中点N,连接AN,MN,如图所示：为棱PC的中点，

•••AB//CD,Z8=；CD,AB//MN,AB=MN,

四边形48W是平行四边形，.•.8M||ZN,

又BMy平面PAD,ANu平面PAD,BM//平面PAD.

(2)vPC=45,PD=1,CD=2,PC2=PD2+CD2PD1DC,

..•平面PDC±平面ABCD,平面PDCA平面ABCD=DC,PDu平面PDC,

PD1平面ABCD,

又AD,CDu平面ABCD,:.PDLAD,而，CD,AD±DC,，以点。为坐标原点,

。4。。,。尸所在直线分别为方A2轴建立空间直角坐标系，

如图：则P(O,O,1),D(0,0,0),/(1,0,0),C(0,2,0),

•.•M为棱尸。的中点，

设平面BDM的一个法向量为n=(x,y,z),

_——.1

n-DM=y+—z=0

则《2，令z=2,则y==,.元=(1,一1,2),

n-DB=x+y=0

平面POM的一个法向量为£%=(1,0,0),

n-DA1V6

cos(n,DA)=

\n\\~DA\~1x^6"6'

根据图形得二面角P-OM-3为钝角，则二面角的余弦值为-Y6

6

(ii)假设在线段PZ上存在点。，使得点。到平面8。M的距离是哀8,

一9

设®=2中,OWX<1,

则2(2,0,1-2),50=(2-1,-1,1-2),

由(2)知平面的一个法向量为为=(1,—1,2),

BQ-n=2-1+1+2(1-A)=2-A,

点Q到平面BDM的距离是

\BQ-n\2-22A/