第3届全国大学生数学竞赛决赛试卷参考答案（数学类）

第三届全国大学生数学竞赛决赛试题参考解答数学类1一(本题15分)设有空间中五点:A(1,0,1),B(1,1,2),C(1,−1,−2),D(3,1,0),E(3,1,2).试求过点E且与A,B,C所在平面Σ平行而与直线AD垂直的直线方程解:平面ABC的法向量设所求直线的方向向量为l=(a,b,c),则由条件得l·n=0,由此可解得l=(0,c,c)(c0),取l=(0,1,1).于是所求直线方程为二、(本题15分)设f(x)在[a,b]上有两阶导数且f′′(x)在[a,b]上黎曼可积,证明:f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+(x−t)f′′(t)dt,∀x∈[a,b].证明2即f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+(x−t)f′′(t)dt.三n为给定的正整数n为实参数指出函数f(x)=sink0x+A1sink1x+···+Ansinknx在[0,2π)上零点的个数n变化时)的最小可能值并加以证明2解:当A1=A2=···=An=0时,函数f(x)在[0,2π)上恰有2k0个零点,下面n取什么值f(x)在[0,2π)上都至少有2k0个零点考虑函数易见F1(0)=F1(2π)=0,F(x)=f(x).设F1(x)在[0,2π)上的零点个数为N,则由Rolle定理知F(x)在(0,2π)上至少有N个零点,从而F(x)在(0,2π)上至少有N—1个零点,于是F(x)在[0,2π)上至少有N个零点记F0(x)=f(x).重复上面的过程,得到一列函数满足F′+1(x)=Fs(x),s=0,1,2,···,从而若Fs(x)在[0,2π)上的零点个数为N,则f(x)在[0,2π)上的零点个数至少为N.令n,可取充分大的正整数s,使得从而有—1时,或者成立,或者3成立不论何种情形都存在使得g=0,m=0−1.由此可知Fs(x)在[0,2π)上的零点个数N>2k0,故f(x)零点个数的最小可能值为2k0.四(本题10分)设正数列an满足求证证明:令xn=lnan,则由题设条件,xn=0,xn<+xk=0.首先假设所有的xn>0.由上面第二式可知存在A>0,使得所有的xn≤A.易知当0≤x≤ln2时,成立不等式ex≤1+2x.对于固定的n,令Sn={i∈Z|1≤i≤n,xi≤ln2},Tn={i∈Z|1≤i≤n,xi>ln2},则有因此由于并且4由夹逼准则得对于一般情形作数列则zn=0.令yn=xn+zn,则yn>0,且由上面已证的结论eyk=1.又因为zn>0,从而xn≤yn,于是有再次由夹逼准则,得到五(本题15分)设A,B分别是32和23实矩阵求BA.解:易知AB的特征多项式为λ(λ—9)2.由于AB和BA有相同的非零特征值(并且重数也相同),可知BA的特征值均为9.由此可知BA可逆,即存在2阶矩阵C,使得CBA=BAC=I2.AB的最小多项式为λ(λ—9),从而A(BA—9I2)B=ABAB—9AB=AB(AB—9I3)=0,于是有BA—9I2=CB·A(BA—9I2)B·AC=0,即5六、(本题20分)设{Ai}i∈I,{Bi}i∈I是数域F上两个矩阵集合,称它们在F上相似如果存在F上与i∈I无关的可逆矩阵P使得P−1AiP=Bi,∀i∈I.证明:有理数域Q上两个矩阵集合{Ai}i∈I,{Bi}i∈I,如果它们在实数域R上相似在有理数域Q上也相似证明:∀i∈I,考虑Mn(R)的子空间Ui,R={T∈Mn(R)|AiT=TBi}以及Mn(Q)的子空间Ui,Q={T∈Mn(Q)|AiT=TBi},其中Mn(R)和Mn(Q)分别表示实数域R和有理数域Q上全体n阶矩阵构成的向量空间令由题意知UR0.由于所涉及到的向量空间的维数都不超过n2,因此UR与UQ实际上都只能是有限个Ui,R和Ui,Q的交集求Ui,R与Ui,Q的基底实际上就是解线性方程组(这些方程组都是由AiT=TBi给出的),并且求它们基础解系的步骤相同因此可以取到一组公共基底,设为T1,T2,···,Tl.考虑多项式由UR0可知,存在一组实数s1,s2,···,sl满足f(s1,s2,···,sl)0,从而可知f作为Q上的多项式不是零多项式因此存在一组有理数r1,r2,···,rl使得f(r1,r2,·l)0,此时矩阵rkTk∈UQ且可逆−1AiP=Bi.七(本题15分)设F(x),G(x)是[0,+∞)上的两个非负单调递减函数证明xcostdt=0.(ii)若进一步有证明:证明:(i)由条件可知=0,从而∀ε>0,6其中α=min,β=max因此下面只需证明由Dirichlet判别法可知这个反常积分收敛将这个积分作如下变形这是一个收敛的交错级数因此+∞xFcostdtcostdt≤2xF→0,x→+于是得到(ii)只需考虑x→0+的情形这等价于证明由(i)的结论,这又只需证明其中0<ε0≤.下面先证明事情上7而由题设条件可知limxG(x)=0,limG(x)=0,从而有x→+∞x→+∞于是得到现在用类似于估