安徽省马鞍山市当涂县部分学校2024-2024学年 九年级下学期联考数学试题（原卷版+解析版）

2024-2025学年度九（下）联考数学试题注意事项：1．本试卷满分为150分，考试时间120分钟；2．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”答题是无效的；3．考试结束后，请将“答题卷”交回．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的）1.﹣5的绝对值是（）A.5 B.﹣5 C. D.2.太阳中心的温度高达1500万摄氏度，用科学记数法将1500万表示为（）A. B. C. D.3.用5个大小相同小正方体搭一个几何体，其主视图、左视图如图2，现将其中4个小正方体按图1方式摆放，则最后一个小正方体应放在（）A.①号位置 B.②号位置 C.③号位置 D.④号位置4.如图，AB是的直径，C、D是圆上两点，连接AC，AD，CD．若∠CAB＝35°，则∠ADC的度数为（）A.55° B.45° C.35° D.25°5.如图，已知双曲线（）经过直角三角形斜边的中点D，且与直角边相交于点C．若面积为6，则k的值为（）A.5 B. C.4 D.6.如图，是中国秦初至清末部分朝代历经的时间．下列说法正确的是（）A.明朝时间最长 B.隋朝时间最短C.有4个朝代超过250年 D.若西汉，东汉合并为汉，则汉朝时间最长7.如图，在菱形中，，，过菱形的顶点分别作边对角线，的平行线，两两相交于点，，，，则四边形的周长为（）A. B.C. D.8.二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（）A. B. C. D.9.如图，在矩形中，，，为的中点，为上一动点，点、分别是点、关于直线的对称点，连接交于点，则的最小值为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）10.若代数式有意义，则实数的取值范围是________．11.方程的解是________．12.在1，2，3，4，5这五个数中，任取两数相加，其和为偶数的概率是__________________．13.设直线与抛物线相交于，两点，且，与直线相交于点．（1）当时，_____；（2）若，则的取值范围是_____．三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）14计算：．15.用适当的方法解方程．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）16.随着我国科技事业的不断发展，国产无人机大量进入快递行业．现有A，B两种型号的无人机都被用来运送快件，A型机比B型机平均每小时多运送20件，A型机运送700件所用时间与B型机运送500件所用时间相等，两种无人机平均每小时分别运送多少快件？17.【观察思考】观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；【规律发现】（1）第5个等式是；（2）猜想第n个等式是(用含n的代数式表示)；【规律论证】（3）请证明猜想的第n个等式．五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）18.如图，是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路上由北向南行驶，在处测得桥头在南偏东方向上，继续行驶1500米后到达处，测得桥头在南偏东方向上，桥头在南偏东方向上，求大桥的长度．（结果保留整数，参考数据：，，，）19.如图，为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在的延长线上，与半圆相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点E，．（1）求证：；（2）若，，求的长．六、解答题（本题满分12分）20.《感动中国》感人的故事历久弥新，感动的力量经久不息，某校举办了一场“中国事，我知道”的知识竞赛．现从九（1）班和九（2）班各抽取m名学生进行知识竞赛，并将成绩按A，B，C，D四个等级进行了收集、整理和分析（得分用x表示），部分信息如下：A：；B：；C：；D：．信息一：九（1）班学生成绩的频数分布直方图如下：信息二：九（2）班抽取的学生成绩如下：65，73，76，68，80，82，91，80，87，95．请根据以上信息，解答下列问题：（1）____________，____________；（2）九（1）班学生成绩的中位数在等级____________；（3）小刚说“我的成绩在本班排到前50%”，小红看到小刚的成绩说“很遗憾，你的成绩在我们班进不了前50%”，问：小红是九年级哪个班级的学生，并说明理由．七、解答题（本题满分12分）21.在中，为直线上一点，为直线上异于点一点，连接，使．（1）如图1，若点在线段上，，求证：；（2）如图2，若点在线段上，，求的长；（3）如图3，若点在线段的延长线上，点在线段上，交于点，，求的值．八、解答题（本题满分14分）22.点、、的坐标为分别，抛物线经过这三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点，是抛物线上的两个动点，且点在直线下方．①如图1，过点作轴垂线，垂足为，交直线于点，连接，，，猜想与的数量关系，并说明理由；②如图2，点在直线上，且横坐标为，过点作轴于点，求线段长度最大值．

2024-2025学年度九（下）联考数学试题注意事项：1．本试卷满分为150分，考试时间120分钟；2．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”答题是无效的；3．考试结束后，请将“答题卷”交回．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的）1.﹣5的绝对值是（）A.5 B.﹣5 C. D.【答案】A【解析】【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案．【详解】解：|﹣5|=5．故选A．2.太阳中心的温度高达1500万摄氏度，用科学记数法将1500万表示为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：用科学记数法将1500万表示为．故选：C．3.用5个大小相同的小正方体搭一个几何体，其主视图、左视图如图2，现将其中4个小正方体按图1方式摆放，则最后一个小正方体应放在（）A.①号位置 B.②号位置 C.③号位置 D.④号位置【答案】B【解析】【分析】本题考查了由三视图判断几何体，掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确解答的关键．根据题意主视图和左视图即可得到结论．【详解】据主视图、左视图可知，最后一个小正方体应放在②号位置．故选：B4.如图，AB是的直径，C、D是圆上两点，连接AC，AD，CD．若∠CAB＝35°，则∠ADC的度数为（）A.55° B.45° C.35° D.25°【答案】A【解析】【分析】连接BD，求出∠ADB＝90°，根据内角和定理即可解答【详解】解：连接BD，∵弧BC=弧BC，∴∠CDB＝∠CAB＝35°，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADC＝∠ADB﹣∠CDB＝55°，故选A．【点睛】此题考查圆周角定理，解题关键在于作辅助线5.如图，已知双曲线（）经过直角三角形斜边的中点D，且与直角边相交于点C．若面积为6，则k的值为（）A.5 B. C.4 D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．设，利用点D为的中点得到，接着表示出，然后根据三角形面积公式得到，再解关于k的方程即可．详解】解：设，∵点D为的中点，∴，∵，∴C点的横坐标为，∴，∴，∴．故选：D．6.如图，是中国秦初至清末部分朝代历经的时间．下列说法正确的是（）A.明朝时间最长 B.隋朝时间最短C.有4个朝代超过250年 D.若西汉，东汉合并为汉，则汉朝时间最长【答案】D【解析】【分析】本题考查了条形统计图，根据题意，从统计图中获取正确的信息即可求解．【详解】解：由统计图可知A、唐朝时间最长，故A不符合题意；B、秦朝时间最短，故B不符合题意；C、有3个朝代超过250年，故C不符合题意；D、若西汉，东汉合并为汉，则汉朝时间最长，故D符合题意，故选：D．7.如图，在菱形中，，，过菱形的顶点分别作边对角线，的平行线，两两相交于点，，，，则四边形的周长为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，30度所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键．先证明四边形、、是平行四边形，得到，，然后利用等腰三角形的性质，求得，在中利用勾股定理求得，，从而得到和，最后算得答案．【详解】解：连接，，与相交于点，如图所示：，四边形、、是平行四边形四边形是菱形，，，，，，则四边形的周长为:故选：D8.二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数与反比例函数图象的性质，掌握二次函数与反比例函数的图象和性质是解题的关键．根据二次函数中二次项系数、一次项系数的分析得到二次函数图象，从而判断反比例函数图象即可求解．【详解】解：二次函数，对称轴直线为，当时，二次函数图象开口向上，则反比例函数的图象经过第一、三象限；当时，二次函数图象开口向下，则反比例函数的图象经过第二、四象限；只有B选项符合题意，故选：B

．9.如图，在矩形中，，，为中点，为上一动点，点、分别是点、关于直线的对称点，连接交于点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查矩形和折叠，勾股定理，垂线段最短，连接，先根据折叠得到点E在上，即当时，最小，然后根据勾股定理得到长，再利用面积法求出的最小值即可．【详解】解：连接，，由折叠得，∴点B、E、D共线，即点E在上，∴当时，最小，这时，∵是矩形，∴,，又∵，∴，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）10.若代数式有意义，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】本题考查了二次根式有意义条件，根据二次根式被开方数为非负数得出，计算即可得解．【详解】解：∵代数式有意义，∴，解得：，故答案为：．11.方程的解是________．【答案】【解析】【分析】本题考查解分式方程，先去分母化为整式方程，然后解整式方程求出x的值，最后检验即可．【详解】解：两边同时乘以得：，解得，经检验：是原方程的解，故答案为：．12.在1，2，3，4，5这五个数中，任取两数相加，其和为偶数的概率是__________________．【答案】##

【解析】【分析】先列表展示出所有等可能的结果，再数出其中和为偶数的情况，然后根据概率的概念计算即可【详解】解：列表得：∴它们的和是偶数的概率为故答案为：．【点睛】本题考查了利用列表法与树状图法求概率的方法：先利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果数n，再找出其中某事件可能发生的可能的结果m，然后根据概率的定义计算出这个事件的概率．13.设直线与抛物线相交于，两点，且，与直线相交于点．（1）当时，_____；（2）若，则的取值范围是_____．【答案】①.8②.【解析】【分析】本题考查根与系数的关系，求图象的交点，掌握函数与方程的联系是解题的关键．（1）联立方程组消去得到关于x的方程，利用根与系数的关系解题即可；（2）解方程组求出的值，然后借助图象得到的值小于抛物线与直线的交点横坐标解题即可．【详解】解：（1）当时，方程组消去y可得，∴，故答案为：8；（2）方程组消去y可得，，且，又∵，∴，解方程组得到或，当直线过时，∵，∴借助图象可得，解得；故答案为：．三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）14.计算：．【答案】【解析】【分析】本题考查实数的混合运算，先运算零指数次幂、算术平方根，和乘方，然后运算加减解题即可．【详解】解：．15.用适当的方法解方程．【答案】，．【解析】【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法．利用因式分解法求解可得．【详解】解：∵，即，因式分解得，∴或，解得，．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）16.随着我国科技事业的不断发展，国产无人机大量进入快递行业．现有A，B两种型号的无人机都被用来运送快件，A型机比B型机平均每小时多运送20件，A型机运送700件所用时间与B型机运送500件所用时间相等，两种无人机平均每小时分别运送多少快件？【答案】A型机平均每小时运送70件，B型机平均每小时运送50件【解析】【分析】设A型机平均每小时运送x件，根据A型机比B型机平均每小时多运送20件，得出B型机平均每小时运送（x-20）件，再根据A型机运送700件所用时间与B型机运送500件所用时间相等，列出方程解之即可．【详解】解：设A型机平均每小时运送x件，则B型机平均每小时运送（x-20）件，根据题意得：解这个方程得：x=70．

经检验x=70是方程的解，∴x-20=50．∴A型机平均每小时运送70件，B型机平均每小时运送50件．【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．17.【观察思考】观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；【规律发现】（1）第5个等式是；（2）猜想第n个等式是(用含n的代数式表示)；【规律论证】（3）请证明猜想的第n个等式．【答案】（1）；（2）；（3）见解析【解析】【分析】本题考查了数字规律、有理数混合运算、整式混合运算，分式的运算等知识；解题的关键是熟练掌握分式的减法法则，从而完成求解．（1）根据题意规律，结合有理数混合运算的性质计算，即可得到答案；（2）结合题意，根据数字规律、分式混合运算的性质分析，即可得到答案．（3）根据分式的混合运算计算等式左边，即可求解．【详解】解：（1）根据题意可得：第5个等式是：故答案为：．（2）猜想第n个等式是．故答案为：．（3）证明：等式左边左边=右边，∴等式成立．五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）18.如图，是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路上由北向南行驶，在处测得桥头在南偏东方向上，继续行驶1500米后到达处，测得桥头在南偏东方向上，桥头在南偏东方向上，求大桥的长度．（结果保留整数，参考数据：，，，）【答案】982米【解析】【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题关键．分别过点，作，垂足分别为，结合矩形的判定和性质可得出，．根据三角形外角的性质可求出，即得出．再根据锐角三角函数可求出，，进而即可由求解．【详解】解：分别过点，作，垂足分别为，四边形为矩形，，．，，．在中，，，，，．在中，，，米．答：大桥的长度约是982米．19.如图，为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在的延长线上，与半圆相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点E，．（1）求证：；（2）若，，求的长．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用等边对等角可得出，连接，利用切线的性质可得出，利用等边对等角和对顶角的性质可得出，等量代换得出，然后利用三角形内角和定理求出，即可得证；（2）设，则可求，，，，在中，利用勾股定理得出，求出x的值，利用可求出，即可求解．【小问1详解】证明：连接，∵，∴，∵是切线，∴，即，∵，∴，∵，，∴，∴，∴；【小问2详解】解：设，则，∴，，∴，在中，，∴，解得，（舍去）∴，，，∵，∴，解得，∴．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，切线的性质，勾股定理，解直角三角形的应用等知识，灵活运用以上知识是解题的关键．六、解答题（本题满分12分）20.《感动中国》感人的故事历久弥新，感动的力量经久不息，某校举办了一场“中国事，我知道”的知识竞赛．现从九（1）班和九（2）班各抽取m名学生进行知识竞赛，并将成绩按A，B，C，D四个等级进行了收集、整理和分析（得分用x表示），部分信息如下：A：；B：；C：；D：．信息一：九（1）班学生成绩的频数分布直方图如下：信息二：九（2）班抽取的学生成绩如下：65，73，76，68，80，82，91，80，87，95．请根据以上信息，解答下列问题：（1）____________，____________；（2）九（1）班学生成绩的中位数在等级____________；（3）小刚说“我的成绩在本班排到前50%”，小红看到小刚的成绩说“很遗憾，你的成绩在我们班进不了前50%”，问：小红是九年级哪个班级的学生，并说明理由．【答案】（1）10，2（2）B（3）九（2）班，理由见解析【解析】【分析】本题主要考查数据的分析，熟知众数，中位数，平均数的概念和运算方法是解题的关键．（1）根据九（2）班抽取的学生人数，可求得的值，根据九（1）班学生成绩的频数分布直方图可求得的值；（2）根据九（1）班学生成绩的频数分布直方图结合中位数的定义即可求解；（3）比较九年级（1）班和九年级（2）的中位数即可得小红同学是九（2）班的学生．【小问1详解】解：由九（2）班抽取的学生人数，知；；故答案为：10；2；【小问2详解】解：九（1）班抽取了10名学生，最中间的数是第5、6个数的平均数，∴九（1）班学生成绩的中位数在等级B；故答案为：B；【小问3详解】解：小红是九（2）的学生，理由：将九（2）班抽取的学生成绩重新排列为65，68，73，76，80，80，82，87，91，95，∴九（2）的中位数是分，∵九（1）班的中位数在B等级：，∴小红是九（2）的学生．七、解答题（本题满分12分）21.在中，为直线上一点，为直线上异于点的一点，连接，使．（1）如图1，若点在线段上，，求证：；（2）如图2，若点在线段上，，求的长；（3）如图3，若点在线段的延长线上，点在线段上，交于点，，求的值．【答案】（1）见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质和角的和差运算可求得，即可