江苏省苏州市2022-2023学年高三年级上册期中数学试题（解析版）

2022〜2023学年第一学期高三期中调研试卷

数学

2022.11

注意事项

学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：

1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第12题）、填空题

（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答

题结束后，请将答题卡交回.

2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡

的规定位置.

3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用

0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.

4.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠

笔.

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只

有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.已知集合4=印“2<4x},B={x|3x-4>0}；则4^3=（）

44

A.[0,+oo）B.[0,-）C.（-,4]D.（一8,0）

【答案】C

【解析】

【分析】先求得集合A的范围、集合B的范围，最后取它们的交集即可.

【详解】由题意，集合A={x,<4x}={x[0<xK4},

4,

所以AcB=-\X—<x<4>

3

故选：C.

2.设复数z满足(l+i)z=2i,则|z|二()

A.；B.—

22

C.72D.2

【答案】C

【解析】

【分析】求出z=l+i即得解.

2i2i(l-i)2+2i,.

【详解】解：由题意可得z=——,所以z=“〉、八.、=—^=1+1，

1+1(l+i)(l-i)2

所以|z|=jF+付=@\

故选：C

3.在A4BC中，点N满足丽=2标，记丽=£，NC=b^那么丽=()

A.a-2bB-a+2bC.a-~bD.a+b

【答案】A

【解析】

【分析】根据向量的线性运算将丽分解为丽=丽+丽，再转化为Z,方表示即可.

【详解】BA=BN+NA=BN-2NC=a-2b-

故选：A.

4.“sina+cosa=l”是“sin2o=0”的()

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】结合同角三角函数的基本关系式、二倍角公式、充分、必要条件的知识确定正确答案.

【详解】若sina+cosa=l,则(sina+cos夕产=l+2sinacosa=l+sin2。=1,即sin2a=0.

若sin2a=0,则sin2a+cos2a+sinla=(sina+cosa)2=1,贝！Jsina+cosa=±1.

故“sina+cosa=1”是“sin2a=0”的充分不必要条件.

故选：A

5.奇函数/⑴在R上单调递增，若正数也〃满足/—1)=0,则1+〃的最小值为()

nm

A.3B.472C.2+2夜D.3+272

【答案】D

【解析】

【分析】由题意可得2根+工=1,再根据'+"=+结合基本不等式即可得解.

nmym八n)

【详解】解：因为奇函数〃x)在R上单调递增，且/'(2机)+/('—1)=0,

n

所以=1-1),即/'(2附=工+1),

nn

所以2m-......bl,即2mH—=1,

nn

所以2m+—|=|3+-^―+2mnj>3+2.-2mn=3+20,

mvmAn)\mn)ymn

当且仅当'=2根〃，即机=三2,〃=拒+i时，取等号，

mn2

所以工+〃的最小值为3+2-41-

m

故选：D.

6.已知函数/(%)=Gcos。%-sin。％(刃＞0)的周期为2»,那么当x£[0,g]时，G/(X)的取值范围

是()

A.[-当今B.[—后向C.[-^,1]

D.[-1,2]

【答案】B

【解析】

【分析】首先化简函数/(%)，根据周期求。，再根据函数的定义域求函数的值域.

【详解】〃x)=2cosS+B,T=-=2TT,:.CD=1,

kco

71n5兀

时(%)=2cosx+0,—,X~\——€

3666

所以2cos［x+看卜［一百，百］

故选：B

7.古时候，为了防盗、防火的需要，在两边对峙着高墙深院的“风火巷”里常有梯子、铜锣、绳索等基本

装备.如图，梯子的长度为。，梯脚落在巷中的“点，当梯子的顶端放到右边墙上的N点时，距地面的高

度是〃，梯子的倾斜角正好是45。，当梯子顶端放到左边墙上的P点时，距地面的高度为6尺（1米=3尺）,

此时梯子的倾斜角是75。.则小巷的宽度A3等于（）

h+a„

A.6尺B.。尺C.(h+2)尺D.「^尺

2

【答案】A

【解析】

【分析】连接PN,过N作于C,则AB//NC且A5=NC.证明出△AMPgzXCPN，得到

NC=R4=6,即可求出A3.

【详解】

连接PN,过N作NCLQ4于C,则A5//NC且AB=NC.由题意可得：/NMB=45°,所以

ZMNC=/NMB=45。.

因为NPW=180°—75°—45。=60°且PM=,

所以APAW为等边三角形，即MN=PN=PM.

因为ZMNC=45°,所以/PNC=ZMNP-ZMNC=60°-45°=15°.

而ZAPM=90°-ZAMP=90°-75°=15°，所以ZAPM=ZPNC.

因为/B4〃=NPOV=90。，所以NPMA=ZNPC=75。.

又PN=PM,所以AAMP出△CPN(ASA),所以NC=PA=6AB=6.

故选：A.

8.已知实数a=log23,B=2COS36°，C=JL那么实数a,4c的大小关系是（）

A.b>c>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【答案】B

【解析】

【分析】利用余弦函数的单调性可得到Z7>c,利用对数函数的单调性可得到”>c,假设在AABC中,

AB=AC,NA=36°,角8的平分线交边AC于点D,利用长度关系和正弦定理可得到2cos36°=匕好，

2

然后利用作差法能得到,>。，即可求解

【详解】由于cos36°>cos45°可得2cos36°>忘即b>c，

又由于log23=log2、Q>log2J^=|">J5,所以”>c,

假设在AABC中，AB=AC,ZA=36°,角B的平分线交边AC于点。，

1QQO_36。

所以NC=NABC=------------=72。，/CBD=ZABD=36。，ZBDC=180°-36°-72°=72°,

2

所以刈8）~AABC,所以生=丝即CD="二，

CDBCAB

D/^2

所以AD=AC—CD=A3—-—

AB

所以BC=BD=AD=AB—-—

AB

所以…53—叱嘤=（第—1，解得自1，

ABBCABsin72°2sin36。cos36。

在△ABC*中，------=-------即nn----=-------=2cos36°,

sin72°sin36°BCsin36°sin36°

所以2cos36°=———，

2

1QQ

由于35<28即5山3<8如2,所以史上<9,

In25

所以a=log23<y,

rp|1+y[585+5y/5—165y/5—11-

因为---------=------------=—......〉0，所fiF以&>。，

251010

所以Z?>a>c

故选：B

【点睛】关键点点睛:这道题的关键时计算出2cos36°=比5,需假设在AABC中，AB=AC,ZA=36°,

2

角B的平分线交边AC于点D,然后利用相似三角形和正弦定理即可得到

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，都

有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分.请把

正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

9.已知非零实数”,4c满足。>6>°且。+6+0=0,则下列不等关系一定正确的有()

CCCCL

A.->-B.-+-<-2C.{a-by>(b-y

abacC

【答案】BD

【解析】

【分析】根据已知，利用不等式的性质以及特值法进行判断.

【详解】因为非零实数"C满足a>b>c且。+匕+。=0,

所以a>0,c<0,〃的正负不能确定，

11cC

对于A,若则一>0>不，则一〉一，故A错误；

abba

cccCl

对于B,因为一<0,所以——>0,所以一+—=—

aaac

对于C,当a=2,Z?=1,c=-3时，(〃—b)"=12=i,(/?—c)"=4?=16,

显然不满足S—c)",故C错误;

bc

对于D,因为〃>0,所以1>—>—,又〃+Z?+c=。,

aa

LLt、lc—a—cc1

所以一<------，解得一<一彳；

aaQ2

db

因为a>h>c,CVO,所以一<一<1,又〃+/?+C=0,

cc

所以4<—~-=———1,解得3<一所以—2<£<0；

cccc2a

c1

综上，—£(一2,-7).故D正确.

a2

故选：BD.

10.已知函数/(X)=cos2x-2cosxcos3x,贝|(

A./(x)的最大值为1

C./(%)在卜］*］上单调递增D.7(%)的图象关于直线x对称

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于A,先利用余弦的和差公式化得/(x)=—cos4x,由此易得的最大值为1；

对于B,代入角易得了

JIJIJI，，力，等］的单调情况，从而判断〃工)的

对于C,由——<x<一得一一<4%<——,先判断y=cosx在

12633

单调情况；

对于D,由余弦函数的图像性质得到了(%)的对称轴，由此可判断x为/(%)的对称轴.

详解】/(x)=cos2x-2cosxcos3x=cos(3x-x)-2cosxcos3x

=cos3xcosx+sin3xsinx-2cosxcos3x=-(cos3xcosx-sin3xsin%)=-cos(3x+%)=—cos4x,

对于A,因为—1<COS4X<1,所以一1<—cos4x<l,即所以〃幻的最大值为1,故A正

确;

-cos@-2兀2兀

对于B,因为了=-cos

I33

所以/[kJ=/[一§)，故B正确；

对于C,因为--—<x<—,所以一四<4x<@,

12633

又因为y=cosx在1_彳0*[-兀,0]上单调递增，在o,g]e[o,7i]上单调递减,

所以/(%)=-cos4x在111A上先减后增，故C错误;

对于D,因为V=cosx的对称轴为x=E(kEZ),

l^TV,、KTT

所以由4x=E得x=1，可知/(x)=-cos4x的对称轴为x=—(fceZ),

当％=1时，〃尤)的对称轴为x=£,故D正确.

故选：ABD.

11.在棱长为2正方体中，分别是棱的中点，线段MN上有动点P,棱CG上点E满足

A.直线GP与比是异面直线

B.直线CP〃平面5DE

C.三棱锥C-C}MN的体积是1

D.三棱锥C-GMN的体积是3

【答案】ABC

【解析】

【分析】对A选项：可用异面直线的判定方法判断;

对B选项：可通过证明面GMNH面BDE得到直线GP//平面BDE；

对C、D选项：将三棱锥C-C[MN的体积转化为三棱锥G-CMN的体积计算.

【详解】对A选项：异面直线的判断方法：经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内不经过该点的直

线是异面直线，

因为「三平面BG，。]€平面86，BEu平面BG，弓色直线班，故直线CP与5E是异面直线.

对B选项：下面先证明面£MN〃面BDE，再证直线CP〃平面

如图：连结AC与BD交于点。，与MN交于热F,

2G

AMB

在正方形A3CD中，有CF=3OE,又£C=3GE,故QF/IOE,

又£Fu面GMN,0E.面CMN,

所以0E〃面G"N,

又BDHMN,MNu面C[MN,面G"N,

所以BD//面,

BDu面BDE，OEu面BDE,BDcOE=O,

所以面G^N〃面

又C]Pu面GMN,故直线C1P〃平面皮）£，所以B正确.

对选项

C：SACMN=-MN-CF=-X42X-X2S/2=~,

113

X

VC-GMN=VC「CMN=§SSC、MN，CC]=2=1,故C正确D不正确；

故选：ABC

12.已知函数/(幻=(必—为(/+以+加的图象关于直线x=2对称，则()

35

A.a+b=5B./(>)的最小值是----

16

C./(X)图象与直线2x+y—8=o相切D./(劝图象与直线12x—y—48=0相切

【答案】AD

【解析】

【分析】根据函数的对称性代入特殊值，求即可判断A；

利用换元，转化为二次函数求最值，即可判断B；

联立函数与直线方程，利用方程组解，判断交点处的导数，判断是否相切，即可判断C；

利用导数求函数在尤=4处的切线方程，即可判断D.

【详解】因为>=/(尤)图象关于直线尤=2对称，当x=3时，/(3)=/(1)=0,于是9+3a+〃=0,当x=4

时，/(4)=/(0)=0,于是16+4。+。=0,于是a=—7,b=12,所以a+Z>=5,故A正确；

f(x)=(x2-x)(x2-7x+12)-x(x-l)(x-3)(x-4)=(x2-4x)(x2-4x+3),令

t=x2-4x>/之T，则g«)=/«+3)=/+3f,t>^,因为g(/)=〃+3/图象开口向上，对称轴是

3/3、9

r=--,所以g«)的最小值为81一5)=-1，故B正确；

联立方程-I八八',解得：x=4或x=2或x=l±VL

y=8-2x

/(%)=(2x-4)(x2-4x+3)+(x2-4%)(2%-4)=(2x-4)(2x2-8%+3),/(4)=12^-2,

⑵=0-2,/,(1±V2)=-18±10A/2^-2,

所以/(x)与直线2x+y—8=0不能相切，故C不正确；

/,(X)=(2X-4)(2X2-8X+3),/(4)=12,/(4)=0,所以函数y=/(x)在x=4处的切线方程为

12x—y—48=0,故D正确.

故选：AD

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

13.命题°:Hre7?,犬+nu+2”0,若"非p"为真命题，则根的取值范围是.

【答案】-272<m<272.

【解析】

【分析】写出命题的否定，由命题的否定全称命题且为真命题，结合一元二次不等式恒成立可得.

【详解】由题意知，命题0闫》6氏/+7加+2<0为假，即\/%€尺,%2+如+2>0恒成立，

所以/<0,所以加2—4x2<0，所以—2夜〈加<2夜.

故答案为：—20'<冽<2行.

2x,x<0,

14.已知函数/(x)=%,八则函数g(x)=2-7"(x)]的所有零点之积等于_.

|log2%|,x>0,

【答案】-2

【解析】

【分析】由题意，表示出函数/[/(%)]解析式，利用零点的定义，建立方程，可得答案.

【详解】求函数g(x)=2-7"(x)]的所有零点，则等价于求方程/[/(x)]=2的根，

当xWO时，/(司=2*>0,则/"(x)]=gg22]=f=2,解得％=—2；

当x>0且xwl时，/(%)=|log2%|>0,则/[/(%)]=|log2110g2M=2，

log2|log2x|=±2,可得|log2x|=4,|log2^-1=^>即log2X=±4,log2x=土;，

1「1

解得X=—或16或班或访；

16v2

当X=1时，/(l)=|log2l|=0,/[/(1)]=2°=1,不符合题意.

1l1

综上，—2x--xl6xv2x—==-2,

16

故答案为：-2.

311

15.在△ABC中，已知8>C,cosA=一,cos(B-C)=-,那么tan5=.

328

【答案】—文

9

【解析】

【分析】由题意，根据三角形内角和以及诱导公式和三角函数和差公式，建立方程组，可解得答案.

313131

【详解】由cosA=豆，且A=%—(3+C),贝Ucos(B+C)=,即得到cos5cosc—sin5sinC=,

由cos(B-C)=—,得到cos3cosC+sin3sinC,

88

273535

于是cos3cosc=-----,sinBsinC=一,故tan3tanC=------

646427

tanB+tanC,3^7

在△ABC中，tan(B+C)=----------------=-tanA=--------

1-tanBtanC31

2s35

于是tanB+tanC---------•再由tanBtanC——-，

9~27

解方程组得到tan5=-红或tan3=也，

由于3>C,mtanB=--

939

故答案为：—也

9

16.侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网,如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四

个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上.设外围第一个正方形AgG，的边长为

1,往里第二个正方形为4尾6。2,…，往里第九个正方形为HEC。,.那么第7个正方形的周长是

,至少需要前个正方形的面积之和超过2.（参考数据：1g2=0.301,

1g3=0.477).

【解析】

【分析】根据已知，利用勾股定理、正方形的周长公式、面积公式以及等比数列的通项、前“项和公式进

行求解.

4A2B、

【详解】

因为每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上,

且外围第一个正方形4片。1。的边长为1,所以44=1,不与=3,

由勾股定理有:AB,=JA,3J+B]B2=

设第n个正方形ABCR的边长为/„,则

,53125500

所以第7个正方形的周长是4。=4x——4-X_A_——4X____—____

36729729

第〃个正方形的面积为/广

则第1个正方形的面积为『=蜘=1，

则第2个正方形的面积为片=31=|,

则第3个正方形的面积为『=图,

则第"个正方形的面积为二

前〃个正方形的面积之和为SR++…+IYJ

当”=1时，Si=1=1，当〃=2时，S2=|

,工。9rl,5丫］151,工。9rl(1484。

当〃=3时，S3=/l-匕当"=4时，54=-^1-^j=^->2，

所以至少需要前4个正方形的面积之和超过2.

故答案为：——,4.

729

四、解答题：本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字

说明、证明过程或演算步骤.

17.在锐角AABC中，角4,3,C的对边分别为。，4c,且2bsinA-岛=0.

<1)求角8的大小；

(2)求COSACOSJBCOSC的取值范围.

71

【答案】(1)B=—

3

⑵(°，三］

O

【解析】

【分析】(1)由正弦定理将边化为角后即可求出角8的大小；

TC

(2)已知8=—后可以将AC全用B表示，将cosAcosBcosC表示为8的函数，利用三角恒等变换化为

3

一般式求范围，注意锐角三角形对角范围的限制.

【小问1详解】

由正弦定理，b=2RsinB,c=27?sinC,代入2bsinA-6a=0，

有2x27?sin5sinA-^3x27?sinA=0，

因为A是三角形的内角，sinAwO,所以sinB=43,

2

7t

在锐角AABC中，B=~.

3

【小问2详解】

427r2JI

由(i),B=~,A+C=——，C=——A

333

7i27r

于cosAcosBcosC=cosAcos—cos(--A)

=—cosA(-—cosA+sinA)=sinAcosA--cos2A

22244

A/3...11+cos2A1./c4n、1

=—sin2A——x------------=-sin(2A——)——

842468

在锐角△ABC中，由于8=2,有乙＜A＜工，〈苧，

362666

711171\1

于是sin(2A—')€(—』],-sin(2A--)——e(0,-].

624688

所以cosAcos5cosC的取值范围是(02].

8

18平面直角坐标系中，已知点E(cosa,sina)(其中将向量反逆时针方向旋转90°，

得到向量/，记A(l,0),B(0,-1).

(1)求|荏+衣|的最大值；

(2)试判断两向量恁与砺的位置关系.

【答案】(1)2+41

(2)两向量荏与前平行

【解析】

【分析】(1)利用垂直向量的坐标表示，求得点尸的坐标，利用模长公式以及三角函数恒等变换，可得答

案；

(2)利用平行向量的坐标表示，可得答案.

【小问1详解】

向量两逆时针方向旋转90°，则西_L赤，即加•赤;=0，得到点尸(—sin。,cos①，

又因为A(L0),所以XS=(cosa-l,sina),AF=(-since-l,costz),

所以AE+AT=(cosa—sin。-2,sina+cosa),

所以IAE+AF|=^/(cosa-sina-2)2+(sincr+cosa)2

=Vcos2+sin267+4—2sinacoscif—4cos6Z+4sincif+sin26Z+cos26Z+2sincifcos

.______________I「(叵百.~

=Jl+4—sin2。一4cosa+4sina+1+sin2。=J6—4j2—cosa----2--sina

\I2J

=j6+40sin[一＜76+472=2+72，

所以|/+/|最大值为2+狙，此时sin[e-：)=l,a.

【小问2详解】

由题意，AE=(cosa-1,sina),BF=(-sin(z,cosa+l),

因为(cosa-l)(cosa+1)-sintz(—sintz)=(cos2tz-l)+sin2a=0,

所以(cosa-l)(cos(z+1)=sina(—sina),

所以两向量A皆与而7平行.

19.如图，在三棱锥尸—ABC中，ZACB=9Q°＞底面ABC.

P

(1)求证：平面PACL平面P5C；

⑵若AC=BC=PA,/是尸3的中点，记AM与底面ABC所成角为a,AM与平面尸5c所成角

为夕，试研究a与夕的等量关系.

【答案】(1)证明见解析

(2)«+=1

【解析】

【分析】(1)由24,底面ABC,可得上4L8C,再结合ACL6C,由线面垂直的判定定理可得

平面PAC,再利用面面垂直的判定定理可得结论，

(2)取A3的中点N,连接可得就是直线40与底面ABC所成角々，在直角ZW4N中

可求得tana,取PC的中点“，连接可得乙4MH就是直线AM与平面P5c所成角夕，在

直角中可求得tan/7,从而可得答案.

【小问1详解】

证明：因为上4_L底面ABC,5Cu底面ABC,

所以/%_L5C.

又因为NACB=9。。，即

又因为R4,ACu平面PA。，且PA,AC相交于点A,

所以直线3C_Z平面PAC.

又因为BCu平面尸5C,

所以平面P5C1平面PAC.

【小问2详解】

取AB的中点N,连接MN,由于/是心的中点，有MN//PA,

又因为R4_L底面ABC,AB,ACu底面ABC,

所以PA，AB,PA，AC,

所以肱VLAB,肱VLAC,

因为45。4。=4筋,4。＜=底面45。，

所以MV,底面ABC,

所以ZA/W就是直线AM与底面ABC所成角1.

记4。=5。=%=2。，则AB=2&a，MN=：PA=a

MNaJ?

在直角Z\MAN中，tana=tan/MAN=-----==—,

AN41a2

p

c

取PC的中点"，连接由于AC=B4,有AHLPC.

由(1)3cl平面PAC,AHu平面P4C,所以BCLAH.

又因为PC,8Cu平面「5C，PC5C相交于点C,

所以AH,平面P5C,

所以aWff/就是直线40与平面P5C所成角夕.

在直角AAMH中，AH=-PC=-x2y/2a=j2a,MH=-BC=a,

222

B

所以tan°-tan/AMH=———=A/2，

a

所以tan。tan/?=1,

由于。、夕都是锐角，所以a+/?=g.

a72+1

2°-已知首项的数列｛叫的前〃项和为％对任意“水都有二n万.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)记c〃=*,数列｛g｝的前几项和为《，有AW[+J+…+JV3恒成立，求5—A的最小值.

2444

【答案】(1)%=("+?)?";

⑵

18

【解析】

rs§.一]

【分析】(1)依题意可得s“=—2,根据4=；二、c，作差得到3=2-4日，即可得到

〃+1[Sn—dn_pn>2n+1n

3是以2为首项，2为公比的等比数列，从而求出｛q｝的通项公式;

1211、

⑵由(1)可得g=〃+i,利用等差数列求和公式得到7,,),利用裂项相消

111111

法求出了+彳+L+彳，从而得到/+彳+L+彳的取值范围，从而得解.

【小问1详解】

an+1

n_2m1rl

解：由才命得到S"

n+1

当"22时，S“i=2(〃—1)加,

n

两式相减，有a”=2—迎二也」，得到亚二回L=X%,

n+1nnn+1

由于

n+1n

因为幺=2,由上述递推关系知卫wO

2n+1

所以是以2为首项，2为公比的等比数列，

H+1

所以4=2义2'1,

n+1

所以4=(〃+1)2".

【小问2详解】

解：由(1)cn=^-=n+l,

所以数列｛&｝的前〃项和为(=+D=""J)

122/1、

贝!J——---------——(------------),

Tn〃(〃+3)3n几+3

所J+4...+L=(!」)+工」)+平」)+...+工士)

Tn3143253363n

二3+一11)<2"+!)11

3123〃+1n+2zi+331239

又由于〉11111

30,-----1-------F•••H------N—=

T„Z2

111111

即5〈〒+〒+…+瓦＜石恒成立,

Z4121n,

结合题设恒成立，所以8-A2U-工=”

9218

所以3—A的最小值为213.