江苏省徐州某中学2023-2024学年高二年级上册期中考试数学试卷

江苏省徐州高级中学2023-2024学年高二上学期期中考试数

学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.若一条直线经过两点a。）和&'e），则该直线的倾斜角为（

)

71712兀5兀

A.6B.§C.3D.6

2.数列3,5,9,17,33,…的通项公式为

A.2"B.2"-1C.2"+1D.2"+1

3.已知直线4：3x+e+l=O,/2：（a+2）x+y+a=0,当/J4时，a的值为（）

_3

A.IB.-3C.-3或1D.万

4.若点「（I'）为圆Y+V-6y=°的弦的中点，则弦N2所在直线的方程为（）

A2x—y—1—0B%—2y+1-0QX+2）—3—0D2X+y—3—0

22

±_2L=1

5.双曲线/b2的渐近线方程为了=±2苫，则双曲线的离心率为（）

厂—

A.75B.2C.2D.4

6.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，改编书中一道题目如下：把60

个大小相同的面包分给5个人，使每个人所得面包个数从少到多依次成等差数列，且

较少的三份之和等于较多的两份之和，则最多的一份的面包个数为

A.16B.18C.19D.20

2

X/

7.已知椭圆优b2的上顶点为A,左、右焦点分别为九，心,连接

“巴并延长交椭圆C于另一点B,若闺司：囚@=7:3,则椭圆C的离心率为（）

1£1

A.4B.3C.2D.3

8.已知实数和乙，%，%满足*=4,.+婕=4,尤］，+%%=0,则

%+y「4|+W+%-4|的最大值是（）

A.3V2B.6C.6行D.12

试卷第1页，共4页

二、多选题

9.记S"为等差数列｛%｝的前"项和.若囚+%=°,则以下结论一定正确的是（）

A."4=°B.S"的最大值为显

C.耳=，6D.同〈㈤

10.设抛物线「=4x,尸为其焦点，尸为抛物线上一点，则下列结论正确的是（）

A.抛物线的准线方程是x=TB.当小‘X轴时，忸用取最小值

C.若，（2,3）,则怛W十户刊的最小值为3D.以线段尸尸为直径的圆与了轴相切

11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个

定点A、8的距离之比为定值*1）的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他

的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xQy中，

1^1_i

”（2,2）,2（-4,2）,点p满足|尸印2,设点尸所构成的曲线为C,下列结论正确的是

（）

A.C的方程为一+/-8工一4y+4=°

B.在C上存在点M到点（-3,-2）的距离为4

C.0上的点到直线%-4歹+6=0的最大距离为6

D.过点3作直线/,若C上恰有三个点到直线/的距离为2,则该直线的斜率为

15

12.已知首项为正数的等比数列｛°」的公比为以曲线£，：°/2+%+|/=1,则下列叙

述正确的有（）

A.4=为圆

B.q=T，Q离心率为2

c.g>iC"离心率为丫q

D.4<°，G为共渐近线的双曲线

试卷第2页，共4页

三、填空题

13.已知Q>0,若圆(%—")2+y2=2与圆N+。—q)2=8外切，则Q=.

14.直线/分别交x轴和了轴于/、8两点，若MO」)是线段的中点，则直线/的

方程为.

22

------1

15.以双曲线169的下焦点为焦点的抛物线的标准方程为一.

16.在数列S"｝中，若q=1，。"+2+(-1)%.=2,记S,是数列S.｝的前"项和，则&。。=

四、解答题

17.已知直线/经过a2)

(1)当直线的倾斜角为45。时，求直线/的方程；

(2)当直线/在两坐标轴上的截距相等时，求直线’的方程.

18.已知S"是等差数列｛%｝的前"项和，且为=1,1=25,求：

(1)数列｛"/的通项公式；

⑵数列［％。"眼J的前力项和看.

19.已知圆川：x2+/_4x+2y-3=0和圆N：f+「=9.

(1)若直线/过点P(°'一3),且被圆加截得的弦长为4,求/的方程：

⑵求圆M与圆N的公共弦的长.

20.已知在等比数列位"｝中，%=2,且％,电，。3-2成等差数列.

(1)求数列的通项公式；

—F2lo§2一1

(2)若数列出｝满足："a”,求数列血，｝的前"项和S”.

—5-+、=1(">6>0)e=—

21.已知椭圆M：a6的离心率为2,左顶点/到左焦点尸的距

离为1,椭圆M上一点3位于第一象限，点2与点C关于原点对称，直线C尸与椭圆

M的另一交点为D.

试卷第3页，共4页

(1)求椭圆M的标准方程;

(2)设直线的斜率为匕，直线的斜率为伍.求证：网为定值.

22

八C:-=1(CL>0,/)>0)

22.在平面直角坐标系x勿中，已知双曲线/b-的右焦点为

(工°),且经过点G⑸)

(1)求双曲线C的标准方程：

(2)已知A,8是双曲线C上关于原点对称的两点，垂直于的直线/与双曲线C相切

于点尸，当点尸位于第一象限，且VP4B被x轴分割为面积比为3：2的两部分时，求直

线月8的方程.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.B

【分析】应用直线斜率公式，结合直线斜率与倾斜角的关系进行求解即可.

【详解】因为一条直线经过两点G6）,

V3-0=

所以该直线的斜率为2-1",

则有该直线的倾斜角满足tana=3,因为ae［0,兀），

71

a=—

所以3,

故选：B

2.C

【分析】本题考查用规律来推导数列的通项，注意对每项进行标序，方便推导，如：

q=3,2=5,...an

【详解】观察可知3=2+1，5=2?+1,9=23+1,1.,所以通项公式是a“=2〃+l.

【点睛】本题属于基础题,主要考查利用数列的规律求通项，关键是找到规律.

3.B

【分析】利用两直线平行的充要条件即得.

［详解］由直线4：3x+ay+l=O,/2：S+2）x+y+a=0,

。+21a

----二-w-

...3a1,得〃=一3

故选：B.

4.B

【分析】利用点差法求出直线力5的斜率，进而得到方程，注意检验是否符合题意即可.

【详解】设则再之十才―6%=0,6%=0,

两式做差可得X；一只+y'7；-6%+6%=0,

即a+X］）（西一X2）+（必+y2）（M一%）—6（弘一%）=0,

又因为尸0，1）是的中点，则再+%=2,必+%=2,

因此2（七一工2）+2（%-%）-6（%-%）=0,即2（占-乙）一4（弘-%）=0,

答案第1页，共14页

必一》

k^B

所以%-x22

因此直线的方程为=即x-2y+l=0,

经检验，符合题意，故弦所在直线的方程为》-2歹+1=0.

故选：B.

5.A

-=2

【分析】由双曲线的渐近线的方程可得。，再利用"=/+〃，将所得等式转化为关于

离心率的方程，即可解得离心率.

22

二一匕=1

【详解】Q双曲线“2b2的渐近线方程为V=±2x

22

c=5Q2,e=5f:.e=45

故选：A

【点睛】本题主要考查了求双曲线的离心率，属于常考题.

6.A

【分析】由题意可得首项和公差的方程组，解方程组再由通项公式可得.

【详解】由题意可得递增的等差数列｛“"｝共5项，设公差为”,

5x4

S=5a,+——1=5/+104=60,一，1

由题意可得总和2.又%+%=%+%+%,

,2%+74=34+32,联立解得q=8,d=2,

二最多的一份为%=%+4d=8+2x4=16.

故选A.

【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查计算能力，属基础题.

7.C

【分析】根据椭圆的定义求得比势火同，在一幽中,利用余弦定理求得c°s/JZ4,在

中，再次利用余弦定理即可得解.

【详解】解：由题意可得国3卜怩却=2。,

答案第2页，共14页

因为H⑷：因却=7:3,

73

闺同=a

=—a,\F2B\~

所以

因为A为椭圆的上顶点,

8

所以3周=叫=。，贝产一二",

在V/3中，

2642_竺/

\AF^+\AB2-BF^aH----a

COSZFAF=2525

222MlAB2x”,2

5

在中,

归B「=I/片『+-2M用恒用cos/月/工

c_1

即4c2=/+/一/=",所以。-5,

即椭圆C的离心率为万.

【分析】分析所给出条件的几何意义，作图，根据几何意义运用点到直线的距离公式即可

求出最大值.

【详解】如图：

答案第3页，共14页

设（1,必），（2,歹）2,则原题等价于点A,B是圆f+/=4上两点，

UUUULMIUMUUMU

并且=（演，%>°'=（“2，％），0/0'=国'2+=°,所以OA±OB,

"弘-4|+民+力-4|=瓜陪最+/xR#

V12+12V12+12,

所以所求最大值就是48两点到直线x+y-4=°的距离之和H4+忸8的④倍，

设的中点为"，由上图可知：以0+忸8=2|九回，就是M点到直线x+y-4=0的距

离的2a倍，

\OM\=-\AB\=-x2V2=V2

由于V4B0是直角三角形，।।।2,设的中点为M,所以

加在圆*+y=2上运动，

所以本题等价于求河到直线x+y-4=0的距离2贬倍的最大值，

显然，最大值=原点。到直线x+>-4=°的距离与圆/+丁2=2的半径之和的2&倍

=2V2x^-Ji=+V2=12

故选：D.

9.AC

【分析】利用等差数列的通项公式得到为=一3"，借助通项公式、求和公式、等差中项性

质依次分析，即得解.

答案第4页，共14页

【详解】设等差数列｛""｝的公差为“,

因〃]+%=0则％+%+6d=0故％=—3d

所以4=%+（"1）"=（"-4"，所以为=。，故A正确;

由于”的正负不清楚，故国可能为最大值或最小值，故B错误;

因为邑—E=6%+154-%=5（%+34）=0,则S[=$6,故C正确;

因为%+%=2%=0,所以％=-%,即同|=|%|,故D错误.

故选：AC.

10.AD

X=_P_

【分析】选项A：根据标准方程为/=2px的抛物线的准线方程是2判断；选项B：

设尸点坐标，由抛物线定义表示卢同，结合尸点坐标的范围，即可求忸制的最小值；选项

C：数形结合，尸为动点，根据几何关系，当P、4、歹三点共线时取最小值；选项D：求

出圆的半径与圆心，比较圆心横坐标和半径即可知是否与V轴相切口

4।

x=—=—1

【详解】A：抛物线的准线为4,故A正确；

B：设尸（X。/。），则心0,诉=4"（1,0）,则附=%+1汽当％=。时取得最小值,此

时兴°，°）在原点，故B错误；

C：作图分析：

当横坐标为2时抛物线上位于第一象限内的点为（2'2右），此点位于点S3）的下面，故

A在抛物线外部，

故当P、4尸三点共线时|即取最小值恒司=/"1＞（3-。）2而，故c错误；

D：根据题意，可得抛物线「=2"的焦点为/0，。），

答案第5页，共14页

设P（m,n）,PF的中点为〃（再,必），可得%-万。+叫

由抛物线的定义，得四H尹国mI

x=-\PF\

21I即点M到了轴的距离等于以尸尸为直径的圆的半径,

因此，以刊7为直径的圆与y轴相切，故D正确口

故选:AD

11.ACD

【分析】根据题意求出P的轨迹，结合圆中的相关知识进行分析判断即可.

PA_J（x_2）+（y_2）_1

【详解】设尸（X/）,则0'J—4）2+0-2）2。

化简得，，+/-8X-4）+4=0,则选项A正确；

将圆C的方程化为标准方程为（“一守+&-2）2=16,则圆心为（4,2）,半径为%

则圆上的点到点（一3，-2）的最小距离为卜3一货+（一2一2）2一4=痴一4>4,

则在圆C上不存在点M到点（-3,-2）的距离为4,则选项B错误；

C上的点到直线3x-4y+6=0的最大距离为圆心到直线3x-4y+6=0的距离加半径,

112-8+61

1.'+4=6

即V9+16,则选项c正确；

显然直线/的斜率存在，设直线/的方程为V-2=/+4）,即履7+44+2=0,

由于圆C的半径为4,则要使C上恰有三个点到直线/的距离为2,

冲=2

只需圆心到该直线的距离为2,即0公+1

k=±叵

解得好,则选项D正确.

答案第6页，共14页

故选：ACD.

12.ACD

【分析】利用等比数列的性质及圆锥曲线的概念逐项分析即得.

【详解】•••首项为正数的等比数列包｝的公比为"曲线6"一+%+1廿=1

C\x+y——>0z、

当4=1时，所以n"％,即曲线G,为圆心为（。，。），半径为

1

%的圆，故A正确;

当4=T时，所以％与"用互为相反数且不为0,故6：%/+%+4=1为

等轴双曲线，故曲线G的离心率为也，故B错误;

C11

0<a<a,一>2」2_1

当“1时，数列为递增数列，nn+l%%+】，所以曲线J：%、+%e$焦点在

x轴上的椭圆,

当4<°时，%与八异号，故曲线Q：4一+%/=1为双曲线，其渐近线为

22y=±J—x

。“厂+眄歹=°,即Nq,故D正确.

故选：ACD.

13.3

【分析】由圆心距等于半径和求解.

【详解】圆（x—a）2+V=2的圆心坐标为（"@,半径为亚，圆x2+（y—°）2=8的圆心坐标为

（0，。），半径为2&,

两圆外切，则而-°）2+（°-。）2=3+20,解得a=3（因为a>0）,

故答案为：3.

14.x+2y-4=0

答案第7页，共14页

【分析】由"（2』）是线段的中点，可得/、8两点坐标，后可得直线方程.

【详解】因/、3两点在x轴和了轴上，设/（乂°>p（°y\

因“（2,1）是线段"的中点，则"（4,0），6（02）,

—+—=l=>x+2y-4=0

故直线43的截距式方程为：42

故答案为：x+2k4=0.

6*=-20F

_£_

【分析】求出双曲线的下焦点坐标，即为抛物线的焦点，则万=5，代入即可.

2222

乙一土=1L-土=1

【详解】由双曲线169得：°=4/=3,C=5,因为双曲线169的下焦点为抛物

线的焦点，抛物线的焦点坐标为（°，芍），设抛物线方程为/=-2加，所以x2=-20y

故答案为：，=-20了.

16.2550

【解析】当"为奇数时，可得数列｛"/的奇数项为公差为2的等差数列，当〃为偶数时，

可得偶数项的特征，将所求问题转化为奇数项和偶数项求和即可.

［详解］...%=l，a.+2+（T）"a"=2,

・•・当”为奇数时，为+2-%=2,即数列的奇数项为公差为2的等差数列，

当"为偶数时，"a+见=2

50x49

ax+a3+a5+L+tz99=50x1H---------x2=2500

(。2+)+(06+)+(%0+。12)+L+(°48+。50)=2X25—50

,Si。。=2500+50=2550

故答案为：2550.

【点睛】关键点点睛:

（1）得到数列｛"/的奇数项为公差是2的等差数歹!J；

（2）得到数列也｝的偶数项满足%+2+%=2

答案第8页，共14页

17.⑴x-»+l=°

（2）工+,_3=0或21_/=0

【分析】（1）由直线的倾斜角为45。时，求得斜率为左=tan45o=l,结合点斜式方程，即

可求解；

（2）当直线过原点时，得到2》-＞=0；当直线不过原点时，设方程为“a,

代入点O'）,求得。=3,即可求解.

【详解】（1）由题意，直线/的倾斜角为45。时，可得直线/的斜率为左=tan45。=1,

又由直线/经过。2）,所以直线/的方程为＞-2=x-l,即直线/的方程为x—+l=0.

（2）当直线/过原点时，因为直线/经过（1"）,可得直线/方程为＞=2x,即2x-y=°；

—+—=1（a7：：0）

当直线不过原点时，可设直线/的方程为。a,

j_+2=1

因为直线/过点口2）,可得Ja一，解得。=3,所以直线/的方程为x+y-3=0.

综上所述，直线/的方程为x+»-3=0或2x7=0.

18.⑴%=2"1

T=—^—

⑵“2/7+1

【分析】（1）设等差数列”"的公差为"，再根据前"项和的公式求解即可；

（2）根据（1）可得见=2"-1,再裂项相消求和即可

5x4

S,=52+——d=5xl+10d=25

【详解】（1）设等差数列〃〃的公差为“，则2，所

以"=2.

所以。〃=l+（〃—l）x2=2〃-1,即。〃=2〃一1

（2）由（1）知，%%=（2"一1）（2〃+1）=丁（2"1-2〃+1）,

1

丁-ixa_i+i-i+L+-______o=ixfi_

所以”2113352n-l2/i+lJ212n+iJ2n+l

19.⑴x=°或产一3

答案第9页，共14页

12加

⑵5

【分析】（1）先求得圆”的标准方程，由此求得"=2,再分类讨论直线/斜率存在的情况,

利用点线距离公式即可求得直线/的方程；

（2）先由圆心距判断得两圆相交，再由圆的一般方程相减得到公共弦方程，由此利用弦长

公式即可求得公共弦长.

【详解】⑴由/+/-4尤+2夕-3=0得。-2）2+（尸1）2=8,故圆”的圆心为"GT）,

半径为r=2叵

设圆心河到直线的距离为d,由弦长公式得2=4,故d=2,

若直线/斜率不存在，则x=0,此时圆心“（2，T）到直线/的距离为2,符合题意；

若直线/斜率存在，设直线方程为歹=丘-3,即质-了-3=0,

故"'I,解得上=。，则直线方程为了二-3,

所以直线/得方程为x=°或片一

（2）因为圆N：/+/=9,所以圆N的圆心为N（0,。），R=3,

所以阿M=,22+（-1）2=遥,R+-3+20,R-r=3-2也，

故R+"即圆"与圆N相交，

22

<x+y-4x+2“y-3=0

联立〔f+V=9,两式相减得公共弦方程为2》-夕-3=0,

JO-O-3|_3

所以圆心N（°，°）到公共弦的距离为'G旧,

2A/7?2-d2=2199=12石

又因为及=3,所以公共弦长为V55.

【解析】（1）根据题意，得到2%=%+（%-2）=%,求得4=2,进而求得数列｛%｝的通项

答案第10页，共14页

公式;

，=(一)"+21

(2)由(1)可得2,结合等差数列和等比数列的前〃项和公式，即可求解.

【详解】(1)设等比数列｛%｝的公比为彳

因为为,电，。3-2成等差数列，可得2a2=%+(%-2)=2+(%-2)=。3,

o-幺一2

所以%，所以数列缶"｝的通项公式%=%广=2"(〃eN).

b„=~+2log2%-1=4)"+2log22--l=(与+2"-1

⑵由(1)可得见22,

吐S“=(：+l)+[(：)2+3]+[(：r+5]+L+[(1)«+(2«-1)]

所以2222

=[1+(1)2+(1)3+L+(1)-]+[l+3+5+L+(2«-1)]

[

二1一(；力+小[1+(2"叨="—1r+I

j__22

2

【点睛】分组求和的解题策略：

1、一个数列的的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时

可用分组求和法，分别求和后相加减；

2、分组转化求和的常见类型：

①若数列也｝满足c“"”士％(｛%｝，也｝为等差或等比数列),可分组求和；

为奇数

②若"他",〃为偶数(｛%｝，｛"｝为等差或等比数列)，可分组求和.

22

工+了-1

21.(1)43

(2)证明见解析

【分析】(1)根据椭圆离心率公式，结合椭圆的性质进行求解即可；

(2)设出直线C尸的方程与椭圆方程联立，根据斜率公式，结合一元二次方程根与系数关

系进行求解即可.

C1

e——

[详解](1)(1)a2,AF=a-c=\,.-.a=2,c=l,b2=o2-c2=3,

答案第11页，共14页

(2)设°(再，必)，。(工2,歹2),则5(一石,一歹1),CF：x=my~^

x=my-1

22

——%+—y=i1

联立〔43

-9

3m2+4

6m

（2

3m+4»—6my—9=03m2+4

%

k=々+2=%（%-2）=%（帅-1-2）=%（加%-3）=切]为-3%

色必切6+2）必（即2T+2）%（"沙2+I）myly2+yl

%]—2

-9加（6m_v）-27m

=3加2+413〃/+4=3/»4+3%=3

-9m-9m

7-----+^O-----+弘

3疗+4-13/+41

【点睛】关键点睛:利用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.

22

二一匕=1

22.（1）63

Vio

y=-------X

⑵5

a2+b2=9

‘§」=1

【分析】(1)由题意可得〔二廿，解方程组即可求出结果；

(2)分别将直线42以及直线/的方程与双曲线联立，表示出点3与点尸的坐标，然后根

据题意得到关于幺加的方程组，解方