基本不等式及其应用（11题型+限时提升练）（学生版）-2025年高考数学二轮复习专项提升

热点02基本不等式及其应用

明考情.知方向——

三年考情分析2025考向预测

不等关系与不等式、分式不等式，绝对值不等式的解分式不等式，基本不等式及其应用

法、一元二次不等式及其应用、基本不等式及其应用

热点题型解读

殖1不初的性质

题型7基杯等西寸国雌应用

壁2分式襁式

题型8基本不等式与平面向量的综合应用

醒3绝对值不等式

避9基本不等式与三角函数和解三角形的综合应用暨上警

——及其应用

壁4一元二次不会

[睡1。基本不等式与导数的综合应用卜//\\

避5对数格式

谈1曲哪融应用

壁6基式用

题型1不等式的性质

-4■■HI■■

1.比较大小的常用方法

(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论.

(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论.

(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小.

2.判断不等式的常用方法

(1)利用不等式的性质逐个验证.

(2)利用特殊值法排除错误选项.

⑶作差法.

（4）构造函数，利用函数的单调性.

MIM・-MM-M-MM--MM・-I

L（2024•上海）a,b,ceR,b>c,下列不等式恒成立的是（）

A.a+b2>a+c2B.a2+b>a2+cC.ab2>ac2D.a2b>a2c

2.（2024•上海杨浦•二模）已知实数。，b,c,d满足：a>b>0>c>d,则下列不等式一定正确的是（）

A.a+d>b+cB.ad>beC.a+c>b+dD.ac>bd

3.（2024•上海闵行•三模）设a,b,。是不全相等的实数，随机变量自取值为。，b,c的概率都是:，随

,门*日〃口/上、IQ+2023bb+2023c。+2023。4人皿丁士,„1,,,.、

机变量〃取值为，,的概率也都是鼻,则（z）

/UNT"乙U4NU/r*J

A.£团<引司，D[^]<D[rj]B.£团=划〃],。团>。团

C.E[^]<E[rj],。团叫〃]D.E[^]=E[TJ],。团=。团

4.（2024•上海静安•二模）在下列关于实数a、6的四个不等式中，恒成立的是.（请填入全部正确的

序号）

①a+bWZ&J;②["7]Nab；（3）|a|-1|<|a-Z>|；@a1+b2>2b-\.

题型2分式不等式

00日卷

分式不等式的解法：

基本思路：应用同号相乘（除）得正，异号同号相乘（除）得负，将其转化为同解整式不等式。在此过程

中，变形的等价性尤为重要。

基本方法：①通过移项，将分式不等式右边化为零；②左边进行通分，化为形如△^的形式；

g（x）

③同解变形：皿〉00/（乃长（幻〉0；3<0o/（x>g（x）<0；

gWg（x）

/（X）〉n。J/（x）.g（x）20/（X）[/（x）•g（x）<0

--------2U<^><；-----sU<；

g（x）—〔g（x）中0'g（x）一〔g（x）w0

2Y-1

L（2024・上海闵行,一模）不等式式[<0的解集为_____.

x-1

2.（2023•上海普陀・曹杨二中校考模拟预测）不等式£20的解集是______.

X—1

题型3绝对值不等式

00日图

常见绝对值不等式的解法与结论：

①几个基本不等式的解集

(1)\x\<a(a>0)^x2<a2^-a<x<a；(2)\x\>a(a>0)<^x2>a2^x>a,^x<-a;

(3)\x-m|<a(a>O)^>-a<x-m<a<=^m-a<x<a+m；(4)\x-m\>a(a>O)^>x-m>a,^lx-m<-a^x>m+a,^x<m-a.

②几种主要的基本类型

⑴麻心尼⑺胃⑺^0乂平方法)；(2)|/(x)Ag(x)(g(x)>0)钙/(x)>g(x),或/(x)<-g(x);

(3)|/(x)|<g(x)(g(x)>O)=-g(x)勺(x)<g(x);

(4)含两个或两个以上绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法脱去绝对值符号求解.

1.(2023•上海)不等式|x-2|<l的解集为.

2.(2023•上海)不等式的解集为：.(结果用集合或区间表示)

3.(2024・上海静安•一模)不等式|2x-l|<3的解集为_______.

4.(2024•上海・三模)已知集合/=卜肛-1|<1},8=则/口8=.

5.(2022・上海.模拟预测)已知函数“X),甲变化：/(x)-/(*-?).乙变化：|/(x+t)-〃x)|,t>0.

⑴若"1,/(x)=2\〃x)经甲变化得到g(x),求方程g(x)=2的解；

(2)若〃x)=x2,〃x)经乙变化得到/7(x),求不等式以x)</(x)的解集；

⑶若“X)在(-8,0)上单调递增，将“X)先进行甲变化得到"(X),再将“(X)进行乙变化得到％(X)；将“X)

先进行乙变化得到v(x),再将v(x)进行甲变化得到似X),若对任意f>0,总存在4(x)=%(x)成立,求证:

/'(X)在R上单调递增.

题型4一元二次不等式

!00日嫉

一元二次不等式在求解时应当注意事项

（1）化标准：通过对不等式的变形，使不等式右侧为0,使二次项系数为正；

；（2）①因式分解；②判别式：对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式；

I（3）求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根；

!（4）画草图：根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图；

（5）写解集：根据图象写出不等式的解集。

I___________________________________________________________________

1.（2024•上海徐汇•一模）不等式f-4x+3<0的解集为.

2.（2024・上海奉贤•一模）已知xeR,则不等式x?-x+2>0的解集为.

3.（2024•上海崇明・二模）不等式x（x-D<0的解为.

题型5对数不等式

1.（2024：上海圣F二横5E就）>6>0,1血7)

A.a2>b2B.2。<2"

11log]a>log!b

c-庐D-

2.（2024•上海嘉定•一模）函数y=log2（x2-l）的定义域为.

题型6基本不等式及其应用

!00国卷

!i.几个重要的不等式的变形

!@a2+b2>2ab（a.6GR）.；②2+@N2（a、6同号）；］W联+”（a、6GR）.

abI2J2

己知x>0,y>0,贝!!

!2.平均值不等式与最值

£

\（1）若x+y=s（和为定值），则当x=y时，积灯取得最大值I；

（2）若孙="（积为定值），则当x=y时，和x+y取得最小值2斤；

即：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值:

两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。

1.（2024•上海静安•一模）若用/替换命题"对于任意实数d,有屋20,且等号当且仅当d=0时成立"中的

d,即可推出平均值不等式“任意两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值，且等号当且仅当这两个

正数相等时成立".则t=.

2.（2024・上海奉贤•三模）若a+b=l,则仍有最大值为.

3.（2024•上海徐汇・二模）若正数服b满足工+：=1,则2a+6的最小值为____.

ab

4.（2024・上海奉贤•二模）某商品的成本C与产量4之间满足关系式。=。（4）,定义平均成本已=已（4）,其

中心=詈，假设C（q）=；/+100,当产量等于时，平均成本最少.

题型7基本不等式与幕指对函数的综合应用

一④1

1.（2024•上海普陀•模拟预测）函数y=log”（x+2）-1（。>0,且。片1）的图像恒过定点4若点/在直线

加x+即+2=0上，其中加>0,">0,则'+'的最小值为.

mn

2.（2024・上海嘉定・模拟预测）已知函数/（%）=|1吗乂，若.<6,且/（°）=/伍），则“+2/1的取值范围是.

3.（2024•上海闵行•三模）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项,

毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今

天大致相同.若2"+2=1，贝U（4"+l）（4ft+1）的最小值为.

题型8基本不等式与平面向量的综合应用

1-（2024•上海金山•二模）已知平面向量“、b>c满足：|a|=|g|=l,a-c=b-c=\>则0.6+°~的最小值

为.

2.（2024・上海•三模）空间中42两点间的距离为8,设的面积为S,令即=|耳才•用用，若京2，，=3,

则S的取值范围为.

题型9基本不等式与三角函数和解三角形的综合应用

l."（2024-±WS^^）而函'「窠加百两看二瓶花应藏”苑:箕花疝■」而来7曲二汨莱，法五'-F

分别为CZ）的中点，左右两个扇形区域为花坛（两个扇形的圆心分别为A、B,半径均为20米），其

余区域为草坪.现规划在草坪上修建一个三角形的儿童游乐区，且三角形的一个顶点在线段所上，另外两

个顶点在线段C。上，则该游乐区面积的最大值为平方米.（结果保留整数）

2.(2024・上海宝山•二模)在A/8C中，角A、B、C的对边分别为4、b、c,已知

sin?/+sin2C=sin25+sirUsinC.

(1)求角8的大小；

⑵若AZBC的面积为向，求a+c的最小值，并判断此时A/BC的形状.

题型10基本不等式与导数的综合应用

工一(弓&7王^赢三灌『巨疝晏薮;irn温京;联;江三清/二装品;而》的血宿专甬名:

2.(2024•上海•模拟预测)对于一个函数和一个点“伍⑼，令S(X)=(X-4)2+(〃X)-6)2,若

尸(MJ伉))是s⑺取到最小值的点，则称尸是M在〃x)的"最近点”.

⑴对于〃x)=L(x>0),求证：对于点M(0,0),存在点尸，使得点P是"在〃x)的“最近点”；

X

(2)对于〃无)=e',〃(l,0),请判断是否存在一个点P,它是M在〃x)的“最近点"，且直线MP与y=〃x)

在点尸处的切线垂直；

(3)已知》=/«在定义域R上存在导函数/''(X)，且函数g(x)在定义域R上恒正,设点陷(f-1J⑺-g⑺),

M(f+l,〃/)+g«)).若对任意的feR,存在点尸同时是M，弧在〃x)的“最近点"，试判断〃无)的单调

性.

3.（2023・上海宝山,二模）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体.如：方程〉=履+1中，当上取给定

的实数时，表示一条直线；当人在实数范围内变化时，表示过点（0」）的直线族（不含了轴）.记直线族

2（a-2）x+4y-4a+/=0（其中a^R）为乎，直线族y=3/x-2/（其中f>0）为。.

⑴分别判断点4（0,1）,3（1,2）是否在中的某条直线上，并说明理由；

（2）对于给定的正实数/，点尸（%,%）不在。的任意一条直线上，求为的取值范围（用/表示）；

⑶直线族的包络被定义为这样一条曲线：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上

每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.求。的包络和平的包络.

题型11基本不等式与圆锥曲线的综合应用

———------―———一n

1.（2024・上海•三模）将离心率相等的所有椭圆称为〃一簇椭圆系〃.已知椭圆£:土+/=1的左、右顶点分

2

别为45,上顶点为。.

（1）若椭圆尸:二+片=1与椭圆£在"一簇椭圆系"中，求常数s的值；

s2

⑵设椭圆G：y+/=2（O<2<1）,过A作斜率为K的直线4与椭圆G有且只有一个公共点，过D作斜率为

融的直线4与椭圆G有且只有一个公共点，求当几为何值时，同+但|取得最小值，并求其最小值；

22

⑶若椭圆与椭圆K在"一簇椭圆系"中，椭圆”上的任意一点记为C（x0,外）,试判断

△4BC的垂心M是否都在椭圆E上，并说明理由.

2.（2023•上海普陀•一模）设双曲线「：，-/=1。>0）,点片是「的左焦点，点。为坐标原点.

⑴若「的离心率为\上，求双曲线「的焦距；

3

（2）过点片且一个法向量为的直线与「的一条渐近线相交于点若叉的4=；,求双曲线「的方

程；

（3）若/=血，直线/：kx-y+m=Q（QO,meR）与「交于尸，。两点，|赤+而|=4,求直线/的斜率左

的取值范围.

限时提升练

（建议用时：60分钟）

一、单选题

1.（2023•上海闵行•一模）下列不等式中，解集为卜卜1<》<1｝的是（）

A.x2-l<0B.|%|-1<0

C.7^~A-°D.

（x+l）（x-l）X+1

2.（2023•上海静安•一模）若实数%/满足/+4/-盯=3,则（）成立.

A.xy>\B.x2+4y2<4

C.x+2y>-V2D.x+2y<V2.

3.（23-24高三上•上海松江・期末）关于曲线〃：£+，=i，有下述两个结论：①曲线M上的点到坐标原

点的距离最小值是与；②曲线M与坐标轴围成的图形的面积不大于则下列说法正确的是（）

A.①、②都正确B.①正确②错误C.①错误②正确D.①、②都错误

4.（23-24高三上•上海普陀•期中）已知｛为｝是等比数列，公比为4,若存在无穷多个不同的

满足%+24%4%+一则下列选项之中，不可能成立的为（）

A.q>0B.q<0C.@<1D.|^|>1

二、填空题

5.（2024・上海•模拟预测）已知xeR,则不等式一一2工-3<0的解集为

Y+2

6.（2024•上海杨浦•一模）不等式一7＜0的解集为_______.

x-1

7.（23-24高三上•上海普陀•阶段练习）若一元二次不等式a/+4x+2＞0的解集是则实数。

的值为.

8.（2023・上海•模拟预测）已知正实数a、6满足。+46=1,则湖的最大值为.

9.（2024高三下•上海・竞赛）若正实数6满足仍=2a+6,贝~+2力的最小值是.

10.（23-24高二上•上海•期末）半径为R的球的内接正三棱柱的侧面积（各侧面面积之和）的最大值为.

11.（23-24高二上•上海•期末）已知直三棱柱中，AA{=A,ABLAC,过点4的平面a分别交

棱NC于点。，E,若直线与平面a所成角为60。，则截面三角形4小面积的最小值为.

12.（24-25高三上•上海•期中）抛物线j?=4x的焦点为尸，准线为/,43是抛物线上的两个动点，且满足

兀\MN\

NAFB=9设线段的中点M在准线/上的投影为N,则扁的最大值是.

3\AB\

13.（2024・上海长宁•二模）用铁皮制作一个有底无盖的圆柱形容器，若该容器的容积为兀立方米，则至少需

要平方米铁皮

14.（2024•上海普陀•二模）若实数。，6满足a-2b20,则2"+J的最小值为.

15.（24-25高三上,上海•期中）设a/e[0,l],记5=三+4+。-。）（1-〃），则它的最大值和最小值的差

1+b1+a

为.

16.（24-25高三上■上海•期中）已知实数X1、%、%、