三角形中的四心问题与奔驰定理的应用（5大题型）解析版-2025高考数学重难题型解题技巧

i重难题型•解题技巧攻略

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专题07三角形中的四心问题与奔驰定理的应用

*>-----------题型归纳•定方向-----------*>

目录

题型01重心....................................................................................1

题型02外心...................................................................................4

题型03内心...................................................................................9

题型04垂心..................................................................................14

题型05奔驰定理..............................................................................21

0---------------题型探析•明规律------------

题型01重心

【解题规律•提分快招】

一、三角形的重心

1.定义：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点；

2.重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.

②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.

在平面向量的应用：(1)设点6是小ABC所在平面内的一点，则当点6是仆ABC的重心时，有

GA+GB+GC=O或PG=；(PA+PB+PC)(其中P为平面内任意一点)；

(2)在向量的坐标表示中，若G、A、B、C分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为G(x,y)、

X1+?+X3Y1++Y3

A(x,,yj、B(X2,y2),C(x3,y3),则有G(^,).

【典例训练】

一、单选题

1.(2024•全国•模拟预测)已知在ABC中，G为11Ase的重心，。为边中点，贝|()

A.AB+AC=2AGB.AD=3AG

C.AB-AC=AD2-BD2D.ABAD=ACAD

【答案】C

【分析】利用三角形的重心的向量表示及向量的线性运算即可求解.

【详解】在ASC中，G为VABC的重心，D为边BC中点,

3

对于A,因为A3+AC=2AD=2><—AG=3AG,故A错误;

2

3

对于B,因为=故B错误；

对于C,因为在VA2C中，。为边BC中点,

则AB=A£>+=A£>-BD,AC=AD+DC=AD+BD,

所以48.47=（4£>-80）.（40+喇=4。2-2。2,故c正确;

对于D,若AB-AO=AC-A。成立,

则（AB-AC）.AZ>=0,即C8-AO=0,则CB_LA。，

又D为边BC中点,故AB=AC,这不一定成立，故D错误.

故选：C.

2.（2024・全国•二模）点。，尸是VABC所在平面内两个不同的点，满足O尸=。4+OB+OC，则直线0P经过

VABC的（）

A.重心B.外心C.内心D.垂心

【答案】A

【分析】根据向量的运算，并结合数形结合分析，即可判断.

【详解】设3C的中点为点O,所以O8+OC=2OO,

贝（IOP-Q4=AP=2O£）,

若4,尸,。,£>四点共线时，即点。,「都在中线AD上，所以OP经过三角形的重心,

若A,P,O,。四点不共线时，AP//OD,且AP=28,连结AD,OP,交于点G,

如图,

AC1Ap

怒=%=2,即点G是三角形的重心，即O尸经过VA5C的重心,

CJL）OL）

综上可知，OP经过VA5c的重心.

故选:A

3.(2024高三•全国•专题练习)G是VABC的重心,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若aG4+bG8+上cGC=0,

3

则角A=()

A.90°B.60°C.45°D.30°

【答案】D

【分析】根据三角形的重心求得°:c,再利用余弦定理来求得正确答案.

3

【详解】因为G是VABC的重心，所以有GA+G5+GC=0.

^aGA+bGB+—cGC=Q,所以a:b:走c=l:l:1.

33

设°=石，贝！］有a=A=l.由余弦定理，可得cosA=二中1=",0。<4<180。，所以A=30。.

2V32

故选：D

二、多选题

4.(2024・辽宁・二模)VABC的重心为点G,点O,尸是VABC所在平面内两个不同的点，满足

OP=OA+OB+OC，贝!！()

A.O,P,G三点共线B.OP=2OG

C.2OP=AP+BP+CPD.点P在VA2C的内部

【答案】AC

【分析】根据三角形重心的性质，向量共线的判定及向量的线性运算即可判断.

【详解】OP=OA+OB+OC=OG+GA+OG+GB+OG+GC

=3OG+GA+GB+GC,

因为点G为VABC的重心，

所以GA+GB+GC=0,所以OP=3OG,

所以。，尸,G三点共线，故A正确，B错误；

AP+BP+CP=AO+OP+BO+OP+CO+OP

=(AO+BO+CO)+3OP,

因为OP=OA+O3+OC，

所以(AO+3O+CO)+3OP=-OP+3OP=2OP,即20P=AP+8尸+CP,故C正确；

因为0P=3OG，

所以点P的位置随着点0位置的变化而变化，故点尸不一定在VABC的内部，故D错误；

故选：AC.

三、填空题

5.(2024.四川南充.模拟预测)已知点。是VABC的重心，OA=2,OB=3,OC=3,则

OAOB+OAOC+OBOC=.

【答案】-11

【分析】根据三角形重心的性质可得OA+O3+OC=0,平方后即可求得答案.

【详解】由于点。是VABC的重心，故。4+O2+OC=0，

故(04+08+002=0,

即。4+OB+OC+2(OAOB+OAOC+OBOC)=Of

-1/22.2、

^OAOB+OAOC+OBOC=--^OA+OB+OC)

=-1(22+32+32)--11,

故答案为：-11

四、解答题

6.（2024•浙江温州•模拟预测）VABC的角A,3,C对应边是a,b,c,三角形的重心是O.已知

O4=3,O8=4,OC=5.

⑴求a的长.

（2）求VABC的面积.

【答案】（1）用；

（2）18.

【分析】（1）根据给定条件，利用三角形重心的向量表示，结合数量积的运算律求出a的长.

（2）由（1）的信息，利用三角形面积公式，结合三角形重心的性质计算即得.

【详解】（1）在VABC中，由O是重心，得OA+OB+OC=D,即有AO=O8+OC,

0°4

于是AO?=+oc-+20B-OC=4?+52+2X4X5COSNBOC=3?，解得cosN8OC=-y,

^BC=OC-OB,所以。=|BC|=4OC1+OB-2OCOB=J42+52-2x4x5x（-1）=#73.

（2）由（1）得sinN80C==|,又o是重心，

133

所以VABC的面积S钻©=3SOBC=3x-OBOCsinZBOC=-x4x5x-=18.

题型02外心

【解题规律•提分快招】

一、三角形的外心

1.定义：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等；

2.外心的性质：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点.

②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在

三角形的外部.

③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而

一个圆的内接三角形却有无数个.

3.外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆.

在平面向量的应用：若点0是△ABC的外心，贝U|OA|=|OB|=|OC|或

(OA+OB)BA=(OB+OC)CB=(OC+OA)AC=0；

【典例训练】

一、单选题

1.(2024・天津北辰.三模)在VABC中，|相|=20,。为VABC外心，且AO.AC=1，则的最大值

为()

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】A

【分析】

根据三角形外心性质及数量积的几何意义，可得AO在AC方向上的投影向量为;AC，从而求得|AC|=拒，

再根据余弦定理及基本不等式可求得最值.

【详解】

由O为△ABC外心，可得AO在AC方向上的投影向量为〈AC，

贝！==1,故=

又,8卜2及，设=

6+/

2x2。

>2

当且仅当4=6时等号成立,

由0°<ZABC<180°可知,0°<ZABC<30°,

故ZA5c的最大值为30。.

故选：A.

2.(2024・安徽•模拟预测)已知VABC的外心为G,内角AB,C的对边分别为瓦c,且a:6:c=5:5:8.若

CACB=-28,贝1JCGC8=()

A.不B.50C.25D.25后

【答案】B

【分析】由题意设/=5〃?,C=8〃Z(〃7>0),由余弦定理结合CA-C8=-28可求出机，从而可求出名上。

的值，求得VABC外接圆半径R,由向量的线性运算、数量积运算化简求解即可.

【详解】由已知，令a=5〃z,Z?=5〃?,c=8m(/w>0),所以VA2C是等腰三角形.

由余弦定理，得cosZACB=⑸”.+⑸--(8附2=一二.

2x5mx5m25

因为。1・。8=-28,所以5/〃x5mxcosZ4CB=-28,解得〃?=2(负值已舍去)，

所以“=10,6=10,c=16.

设VA2C的外接圆半径为R,

因为sin/ACB=Jl-cosZCB=1-(--)2=—,

所以2R=-=/所以…G=g

由VABC为等腰三角形知NGCB=；NACB,

所以COS2ZGCB=cos2(|ZACB)="。。片宵=白，即cosZGCB=1.

所以CG-CB=|CG||CB|COSZGCB=yxl0x1=50.

故选：B.

3.(23-24高三下•新疆•阶段练习)在VABC中，AC=2近，。是VABC的外心，M为3c的中点，ABAO=8,

N是直线上异于M、0的任意一点，则裁.陇=()

A.3B.6C.7D.9

【答案】B

【分析】根据外心的性质得到OMJLBC,设蜀=2圜，根据数量积的运算律得到

UUULUL1UUUUULIUUUULUUIU__一..、、—一.一、.,,,

ANBC=-AO-AB+AO-AC，再由数量积的定乂及几何意乂求出AO-AC,从而k得解.

【详解】因为。是VABC的外心，M为BC的中点，设AC的中点为D,连接OD,

A

,、ruumUUUL

所以OM_L3C,ODA.AC,设。N=4OM,

贝！jA7V.20=（AO+ON）-20=AO-BC+XOM.2C

=AOBC=AO^BA+AC）

UUULUUUUUIUUUILL

=AOBA+AOAC=-AO-AB+AOAC>

又0是VABC的外心，所以AO•AC=|AO|-|AC|COSZCAO=（|AO|COSZCAO）.|AC|

=||AC|2=；x倒⑺2=14,

uumULIUUUIUUUUUUUIUUlU

所以4V•8C=-AO-A8+AO-AC=-8+14=6.

故选：B

【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是根据外接圆的性质将㈱.甜转化为-瑞.蓝+明.浅，再一个

就是利用数量积的几何意义求出AOAC.

4.（24-25高三上•辽宁•期中）设VA3C的外心为0,重心为G,并且满足|。4|=sin2A+sin23+sin2C,则当

10a最大时，VABC的外接圆半径为（）

A.2B.-C.BD.-

4422

【答案】D

【分析】设外接圆半径为，，根据向量数量积的运算律结合重心的性质与二倍角的余弦公式得

|0G『=g（9产-4r3）,再利用导数求出极大值点即可.

则根据重心向量公式有。6=3。4+02+00,

_]/-2-2-2

贝！JIOG『=+OB+OC+2OAOB+2OBOC+2OC-OA

+r2+r2+2/(cos2C+cos2A+cos28)]

=-{3r2+2产[3-2(sin2A+sin2B+sin2C)]}

=I[3r2+2r2(3-2r)]=-(9r2-4r3),

令/⑺=：(9--47)，此时/(r)=|r(3-2r),

当0<r<；时，f(r)>0,此时〃r)单调递增；

当厂>不时，/(r)<0,此时/⑺单调递减；

故当|0G|最大时，VA2C的外接圆半径为

故选；D

二、多选题

5.（2024•全国•模拟预测）已知。为VABC的外心，AB+AC=CO,贝!J（）

A.08与AC不共线B.08与OA+OC垂直

C.cosZOAC=—D.cosZBOC=—

44

【答案】BC

【分析】利用向量的线性运算可得2AC=80,可判断A；由。为VA5c的外心，可得OA+OC与AC垂直；

进而可得。8与。4+0C垂直，可判断B；利用已知可求得AC=1,进而可求得cos/tMC可判断C；由已

知可得OB+2OC=2OA,两边平方可求得cos/BOC.

【详解】选项A：由42+*=。0=40-4。得24。=40-42=20，则0B与AC共线，故A错误.

选项B：因为。为VABC的外心，所以Q4=0C,所以OA+OC与AC垂直，

（在△A0C中，取AC的中点O,连接OD,则OA+OC=2OZ），所以0DLAC,

所以（OA+OC），AC）,因为。8与AC共线，所以0B与。4+0C垂直，故B正确.

选项C：设03=2,贝！)Q4=OC=2,由2AC=30得AC=1,

1

所以c°s/OAC=dAHC」,故©正琳

OA4

选项D：设VASC的外接圆半径为1,由A2+AC=C。得02—0A+0C-0A=T?C，

所以O3+2OC=2OA,两边同时平方得af+4OC2+4OBOC^4OA，

即l+4+4cos/3OC=4,所以cosNBOC=-』，故D错误.

4

故选：BC.

三、填空题

6.(2024.四川凉山・三模)在VA2C中，已知AB=1,AC=3,点G为VABC的外心，点。为VABC重心，

则OG-8C=.

【答案】|

uun1uunuuu

【分析】设8C的中点为。，根据三角形外心性质，得GDL3C,由重心性质得。。=w(AB+AC),再根

6

据数量积运算即可求解.

【详解】设BC的中点为。，连接A£),G。，

由点G为VABC的外心，可得GDLBC,

由点O为VABC重心，nS^OD=-AD=-(AB+AC),

36

故OGBC=(OD+DG)-BC

=ODBC+0

=-(AB+AC)-(AC-AB)

6

1221/、4

=-(AC-AB)=-X(9-1)=7

o63

BD

4

故答案为：—.

题型03内心

【解题规律•提分快招】

一、三角形的内心

1.定义：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心

2.内心的性质：①三角形的内心到三角形三边的距离相等

②三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角.

3.内切圆

与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做

圆的外切三角形

在平面向量的应用：若点1是仆ABC的内心，则有|BC「IA+|CAH[B+|AB|JC=O

【典例训练】

一、单选题

，v2

1.(23-24高三下•山西晋城•阶段练习)己知耳，尸2是椭圆C:*+2=l(a>6>0)的两个焦点，M为C的顶

ab

点，若M打耳的内心和重心重合，则C的离心率为()

A.且B.也C.1D.-

3223

【答案】C

【分析】根据AM耳工的内心和重心重合，判断△阿心为等边三角形，得a=2c即可.

22

【详解】如图所示，M为椭圆C：=+与=1(a>6>0)的顶点，

ab

且鸟的内心和重心重合，

所以鸟为等边三角形，

又因为I"用=1MF2\=a,l耳工|=2c,

所以〃=2c,

日n01

a2

故选：C.

ACABR4

2.(2024・四川南充•三模)已知点尸在VABC所在平面内，若PA・(----------------)=PB(----------------)=0,则

\AC\\AB\\BC\\BA\

点尸是VABC的（）

A.外心B.垂心C.重心D.内心

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及数量积的定义可得AP平分一&1C,平分NABC,结合

三角形内心定义判断即得.

ACABAC=PA*

【详解】在VABC中，由)=0,得

|AC|两而\AB\

即4人1=4尸・史-,由尸2•（空———）=0,同理得BP且二=2P出

\AC\IAB|\BC\\BA\\BC\\BA\

显然AP*0，即尸与A不重合，否则coszABC=l,同理BPwO,

贝!11ApicosNPAC=|AP|cosNPAB,BPcosAPAC=cosZPAB,NPAC=NPAB,

于是AP平分NA4C,同理3尸平分NAFC,

所以点P是VABC的内心.

故选：D

3.（2024高三・全国•专题练习）若满足4.Q4+6.O3+C.OC=0，则。为VA3C的（）

C.重心D.垂心

【答案】B

【分析】延长CO交A8于E,延长2。交AC于尸，延长A。交BC于。，利用04,0。共线，得出

|cr>|_bAC

,'得AD是-A4c的平分线'同理题,5都是™C的内角平分线,从而可得。为VABC的

内心.

【详解】延长CO交AB于E,延长3。交AC于尸，延长49交BC于

BDBD/x\CD\BD

OD=OB+BD=OB+-------BC=OB+------(OC-OB]=~\-OB+-------OC

BCBC\)\BC\BC

hr

又因为〃.OA+bOB+cOC=0,所以OA=—OB+—OC,

aa

而04,0。共线，则存在实数3使得OD=ZOA,

CDBD

所以----OB+——，OC=—OB+—OC.

BCBCaa

CDkbBD\kc

因为QB,OC不共线，所以■k=一,丹=一，

BCaBC\a

\CDbAC\

所以£=一二为，所以AD是-A4c的平分线，同理尸都是VABC的内角平分线，

\BDcAB\

所以。为VABC的内心.

故选：B.

4.（2025高三・全国・专题练习）设ABC的内角A,B,C的对边分别为。,b,c,P是ABC所

cb_c2ca_「2

在平面上的一点，PAPB=-PAPC+-^-PA=-PBPC+-^PB,则点尸是一ABC的（）

bbaa

A.重心B.外心C.内心D.垂心

【答案】C

【分析】条件可转化为PA•A3=：PA•AC,BAPB=-PBBC，结合数量积的定义证明，R4B=-PAC,

ba

NPBA=NPBC由此确定P的位置.

【详解】因为？4?8=£尸4尸。+^^?1+,

bbaa

所以尸4尸2_尸/二£PA・（PC-PA）,PAPB-PB2=-PB（PC-PB）,

^PAAB=-PAAC,BAPB=-PBBC,

ba

所以|PJ^CCOSZPAB=||PA|.Z??A£AC,

|PB^ccos^PBA=-1-a?A:BBC.

所以cosN'BABucos/BlC,cos/PBA=cos/PBC,

又NPAB,NPAC,NPBA,NPBCe[0,TT],

所以，B4B=/B4C,/PBA=/PBC,

所以AP在NBAC的平分线上，BP在/ABC的平分线上，

所以点P是ABC的内心.

故选：C.

二、填空题

22

5.（2024・全国•模拟预测）已知椭圆£:5+以=1（。>6>0）的左、右焦点分别为斗鸟,尸为椭圆上不与顶点

ab

重合的任意一点，/为-PK瑞的内心，记直线OP,。/的斜率分别为《,白，若匕=；幻，则椭圆E的离心率

为.

【答案】y/0.25

【分析】由椭圆的性质结合题意得到国T|=%+。，再由椭圆的第二定义得到|尸阊=。-气，解出尤,=倏,

然后由等面积法得到y=金”，最后利用勺==瓦解出即可.

c+a4

【详解】设尸(%,%),/(XQ,),设圆与尸G，P工,X轴相切于点M,N,T,

所以|PM=|PN|,闺=

所以闺T|+|PN|+|m|=a+c,

即闺刀+|Pg|=a+c,又寓7=x,+c.

由椭圆的第二定义可知|「耳|=a-exQ9

所以闺T|=a+c-(<7-/)，所以玉=%,

由等面积法得到g(2a+2c)y,=gx2c%,

所以％=，少

c+a

cy0

因为匕=：匕，所以达=；X0±C,所以a=4c,即e=：

4xn4cx04

a

故答案为：:

【点睛】关键点点睛：本题的关键是能利用椭圆的第二定义得到|桃卜〃-夕。后再结合椭圆的性质和

Sp尸尼二S尸巧+Sp*+SIFF^求出y=—%.

22

6.(2024•全国•模拟预测)已知尸为椭圆土+匕=1上任意一点，耳工为左、右焦点，/为.尸耳耳的内心,

98

记△尸片6A/PG，△/尸鸟的面积分别为S,&,$2,则三邑的值为.

kJ

、3

【答案】-/0.75

4

【分析】不妨设P5,%乂%>0),且PFp2的内切圆半径为r,由s咫&=S叫+Sg+S厘，取得%=4r,

再结合椭圆的定义即可求解.

【详解】由椭圆<+《=1,可得“=3,6=2及，则，=不^=1，所以|耳司=2,

98

如图所示，不妨设尸(%,%"%>0),且刊例的内切圆半径为r，

可得s不弓=J6与卜%=为,sg=；w用",5帙=叱=!"阳周"，

又由SPFiF2=S/国+S[pF2+S/B,

可得%=((1M+|%+闺&|)"=g(2a+2c)=4厂，即％=",

又由s=,,PFF,【【

X2S1=SPR,s?=SpF?,

所以S+邑(户周+户段)2a-、3.

sy0y04

题型04垂心

【解题规律•提分快招】

一、三角形的垂心

1.定义：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心；

在平面向量的应用：若H是△ABC的垂心，则百•而=而.瓦=瓦.前或

.2.2,2.22.2

HA+BC=HB+AC=HC+AB

【典例训练】

一、单选题

1.(23-24高三下.广东汕尾•期末)在VABC中，AB=AC,点。为VABC的垂心，且满足AO=xAB+yAC,

cosZft4c=g,贝！|x+y=()

111

A.——B.-1C.-D.-

242

【答案】D

【分析】一方面：根据已知得出AC=3AE，另一方面：由三点共线的推论即可列式求解.

【详解】由题意可知VABC是以A为顶角的等腰三角形,

如图所示：ADJ.BC,BEVAC,则ADBE=O,

ApAE1

在直角三角形院中,cosZBAC=—=-，BPAC=3AE.

ABAC

贝！J；l（；AB+；AC）=xA5+yACn；l=2x=2y,

AO=AB+jLiBE=AB+jn^AE—AB^=（1—//）AB+juAE=xAB+yAC=xAB+3yAE,

所以x+3y=4%=2（x+y）=l,所以％+y=+.

故选：D.

2.（23-24高三下•广东惠州•期中）已知三棱锥尸-ABC中，若F4,PB,PC两两互相垂直，作尸平面A3C,

垂足为0,则点。是VABC的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【答案】D

【分析】连接A0并延长，交BC于点D,连接8。并延长，交AC于点E,所以证明平面尸BC,得到

上4，3C,再由线面垂直得到尸015C,即可得到BC±平面PAO,从而得到13C,同理可证BEVAC,

即可得解.

【详解】如图，连接A。并延长，交BC于点D,连接8。并延长，交AC于点E.

因为“_LPB,PA1PC,PBcPC=P,PB,PCPBC,

所以PAL平面PBC,BCu平面尸BC,所以P4LBC.

因为尸O,平面ABC,BCu平面ABC,所以PO13C,

又PAIPO=P,PAPOu平面PAO,所以3C_L平面PAO,

又AOu平面PAO,所以AO_L3C,即AD13C,

同理可证BE，AC,所以。是VABC的垂心.

故选：D.

3.（2025高三•全国・专题练习）设。是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三点，动点尸满足

‘ABAC'

OP=OA+A--------------+---------------,Xe[0,+8）,则点p的轨迹经过VABC的（）

1<1AB|cosB|AC|cosCJ

A.内心B.外心C.垂心D.重心

【答案】c

【分析】计算法.蹙，可得AP8C=0,结合三角形的性质得出答案.

/、

ABBCACBC

【详解】OPBC=OABC+A+'=OA-BC+A（-\BC\^Bd\\=OA-BC,

|AB|COSB|AC|cosCjv117

贝（IOPBC-OA-BC=0,BPAP-BC=0,

故APJ_3C,即点P的轨迹经过VA3C的垂心.

故选：C.

4.（23-24高三下.贵州贵阳•期末）已知点O、N、尸在VABC所在平面内，且=,

NA+NB+NC=0^PAPB=PBPC=PCPA,则点。、N、尸依次是VABC的（）

A.外心、重心、垂心B.重心、外心、垂心

C.重心、外心、内心D.外心、重心、内心

【答案】A

【分析】利用三角形外心、重心、垂心的定义和性质判定即可.

【详解】因为|酢|=|0B|=|0C|,即O到VA2C各顶点距离相等，所以O为VABC的外心；

取AB,AC,的中点分别为D,E,F,连接ND,NE,NF,

贝!J有NB+NC=2.NF=-NA,NA+NC=2.NE=-NB,NB+NA=2ND=-NC,

所以4N、尸三点共线，C、N、。三点共线，B、N、E三点共线，

即N为VABC的重心；

由尸A•尸8=尸3PCnP8«PA-PC)=0=P8C4,即PBLAC,同理P4_L3C,

所以P为VABC垂线的交点，故P为VABC的垂心.

故选：A

二、多选题

5.（23-24高三下・重庆渝中•阶段练习）在等腰VA5C中，已知小?=4,C4=CB=8,若W、G、/分别为VA2C

的垂心、外心、重心和内心，则下列四种说法正确的有（）

A.AHBC=OB.AW-BC=2.4

C.AG-BC=16D.AIBC=12

【答案】ABC

【分析】根据三角形各心的性质结合向量的加减法则即可求得.

【详解】A选项：H为垂心，为高线的交点，则A“.BC=O,选项A正确.

B选项：AW-BC=AW-AC-AW-AB=^\AC\1-1|AS|2=32-8=24,选项B正确；

22

C选项：AG-JBC=1（AC+AB）-（AC-AB）=|（|AC|-|AB|）=16,选项C正确；

D选项：AI-BC=AI-AC-AI-AB=2-\AC\-2\AB\=S,选项D错误；

故选：ABC

6.（24-25高三上•四川达州•阶段练习）抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线

反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线y?=4x的焦点为尸为坐标原点，从点P（无。,%乂4%＞蜉＞0）发出平

行于x轴的光线经过抛物线上的点N反射后再经过抛物线上另一点则（）

A.存在点尸使得点P,N,O,M.都在以尸为圆心的圆上

B.存在点尸使得点尸是了。河的垂心

C.存在点尸使得点尸是,的重心

D.点M到直线PN的最短距离为4

【答案】BCD

【分析】根据圆的性质，以及抛物线的对称性，即可判断A,根据光学性质，利用点尸的坐标表示点

的坐标，再根据垂心，重心，即可判断BC,利用坐标表示点M到直线PN的距离，即可判断D.

【详解】A.由题意可知，三点共线，根据对称性可知，若存在点尸使得点P,N,O,M.都在以下为圆

心的圆上，贝！为通径，则XM=XN=1,|%|=2,则以点尸为圆心的圆的半径为2,但同=122,所以

不存在点尸使得点P，N,O,M.都在以尸为圆心的圆上，故A错误；

（v21*=%=4%4v

B.由则N拳为,而一,_］一尤-4,则直线即：＞=京）（＞1）,与抛物线方程y2=4x联

-44(4一公

则为>可=-4,所以加=,贝!Jx”=W，即—，若存在点尸使得点尸是尸的垂心，贝!j

%%(%y0)

OFLPM,OP±FM,

,<4-44

OF=(1,0),PM=--x0,——%,贝！］0艮尸加=_一/=0,①

1%%)%

OP=(x0,%),FM=，则OPFM=当-/-4=。，②，且4%>y：>0,③，联立①③，得%>1,

1%yQ)%

联立①②，得焉一%-4=0,则A＞。，得为=1±普＞1成立，故B正确；

4-4

C.若存在点尸使得点尸是尸QW的重心，则]0+%+a,0J+%+37,

-3一3

得X。=2,%=±2,即尸（2,±2）,故C正确；

D.点M到直线PN的最短距离为J=|y|+|y0|＞26卜闾=4,当;=y。时，即％=±2时等号成立,

点M到直线PN的最短距离为4,故D正确.

故选：BCD

【点睛】关键点点睛：本题的关键是结合光学性质，利用点尸的坐标表示点的坐标.

三、填空题

7.（23-24高三下•北京东城•阶段练习）在三角形ABC中，点。是三角形ABC所在平面内一点，VABC的三

个内角A民C的对边分别是a,瓦c,则下列给出的命题：

①若OA.OB=OB.OC=OC.OA,则点。是三角形ABC的垂心；

②若向量AP=2（AB+AC）（AeR）,则点p的轨迹通过VABC的重心；

/\/\

ATARRA

③若04，।AC1-11=OB-11-1—।=0,则点。是三角形A3C的内心；

UIMJU叫时

@^（0A+0B]-AB=（0B+0C\BC=Q,则点0是三角形45c的内心.

其中正确的命题是：.（填写正确结论的编号）

【答案】①②③

【分析】根据向量运算，以及三角形垂心、重心、内心、外心等知识对4个命题进行分析，从而确定正确

答案.

【详解】①由=得，OB（OA-OC）=OBCA=G,即O3J_C4,

同理可得，OA1BC,OCA.AB,则点。是VABC的垂心，①正确;

②在VABC中，以AB、AC为邻边作平行四边形ABDC,贝!）A8+AC=AD,

从而AP=XAZ）,进而P一定在VABC的3C边的中线上，

由此得到点尸的轨迹一定过VA3C的重心，②正确；

、

BCBA

=OB-=。时,

BC\BA

ACAB

向量网'网分别表示在边AC和AB上取单位向量AC和AB'>

/、

An

它们的差是向量9。，当厂1-厂1=0,即Q42.3'C',

UACIMJ

而三角形ABC’是等腰三角形,

所以点。在-ZMC的平分线上，同理可得点。在-ABC的平分线上,

故。为VABC的内心，③正确；

④（OA+0到=（02+OC）-8C=0时,

\OA+OB\是以|。4|、|。目为平行四边形的一条对角线,

而|A8|是该平行四边形的另一条对角线，（。4+。3）.43=0时,

表示这个平行四边形是菱形，即囱=画，同理得匹卜画

故。为VABC的外心，④错误.

故答案为：①②③

四、解答题

8.（23-24高三下•广西桂林•阶段练习）已知VA5C的内角A,B,C所对的边分别为。，b,c,4=6,

Z?+12cosB=2c.

⑴求A的大小；

(2)请在下列三个条件中选择一个作为己知条件，使VA5C存在，并解决问题：

M为VABC内一点，AM的延长线交于点。，求VA3C的面积.

①〃为VABC的外心，AM=4；

②Af为VABC的垂心，MD=6；

③/为VABC的内心，AD=3A/3.

【答案】Q)A=]

(2)选①，不合要求，选②③，面积为94

【分析】⑴由余弦定理得到〃+c2-36=26CCOSA,得到COSA=5,求出A=(

(2)选①，M为VA3C的外心，AM=4,由正弦定理得到尺=26，与AM=4矛盾，舍去；

选②，计算出N9WD=ZACB,故指tanZACB,C£>=73tanZABC,根据8D+CD=6,得到

tanNABC+tanNAC2=2VL利用正切和角公式得到tanNABCtan/AC3=3,从而求出

tan/ABC=tan/AC8=若，所以/ABC=/ACB=1，VABC为等边三角形，求出VABC的面积；

选③，根据542^=5.0+548和三角形面积公式得到》+。=£，结合〃+。2一36=A，求出反=36,求

出三角形