陕西省榆林市2024-2025学年高二年级上册1月期末考试数学试题（含答案解析）

陕西省榆林市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试

题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知数列｛4｝的通项公式为对="|,则下列选项中不是｛与｝中项的是（）

471113

A.—B.—C.—D.—

36912

2.据报道，从2024年7月16日起，“高原版”复兴号动车组将上线新成昆铁路和达成铁路,

“高原版”复兴号动车组涂装用的是高耐性油漆，可适应高海拔低温环境.“高原版”复兴号动

车组列车全长236.7米，由9辆编组构成，设有6个商务座、28个一等座、642个二等座，

最高运行时速达160千米，全列定额载客676人.假设“高原版”复兴号动车开出站一段时间

内，速度以1^6）与行驶时间上）的关系为"14+0.3匕/€[0,12],则当f=10s时，“高原版，

复兴号动车的加速度为（）

A.4.4m/s2B.7.4m/s2C.17m/s2D.20m/s2

3.已知直线4：〃?x-3y+2=O与直线冽+2）y+2=0平行，则实数加的值为（）

A.-3B.1C.-1D.-3或1

4.已知函数/（力=2/（0）1-/+3彳，贝！|/（0）=（）

A.6B.3C.-3D.-6

5.已知等差数列｛%｝的前〃项和为5,若S4=4,S|2=9,则5=（）

A.20B.16C.7D.2

6.若圆C:x2+（y-2呵=4与双曲线啖=1（°>0,6>0）的渐近线相切，则E的离

心率为（）

A.y/2B.V3c.2V2D.2V3

7.已知函数及其导函数广⑺的定义域均为R,若/（2）=-4,且/（无）+/（无）<0,

则不等式（--尤+2）/（--x+2）>-8的解集为（）

A.（0,1）B.（-oo,0）u（l,+<»）C.（-1,2）D.+8）

试卷第1页，共4页

8.已知数列｛/｝的首项为1,且a"+「%=2"（〃eN）也=21og2@+l）-l,设数列｛6,｝中不

在数列｛%｝中的项按从小到大的顺序排列构成数列｛g｝，则数列｛g｝的前200项和为（）

A.42602B.42609C.42770D.42762

二、多选题

9.下列求导结果正确的是（）

A.（6）=B.（in2）=gC.[j]=（x+；）ep（sin2x）=2cos2x

10.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线£:/+/-2x+ay+1=01eR）,贝I」下列说

法正确的是（）

A.若曲线E表示圆，则实数。的取值范围是

B.存在实数。，使得点（2,1）在曲线E内

C.若。=1,直线x7-l=0与曲线E相交于42两点，则线段的长度为逆

2

D.若。=0,则过点（2,3）且与曲线£相切的直线/的方程为》=2或4关-3户1=0

11.若过点C可以作抛物线的两条切线，切点分别是48,则称V/2C为“阿基米德三角

形”.已知抛物线E:/=8X的焦点为歹，过厂的直线/交E于42两点，以45为顶点的“阿

基米德三角形”为V/8C,则（）

JT

A.点C的横坐标为-2B.^ACB=-

2

C.\BC^>\AB\-\BF\D.V48c面积的最小值为16

三、填空题

12.已知等差数列｛氏｝的前〃项和为S"，若几=38,贝！|%。=.

13.若直线歹=履+3与曲线-3=，9-（y+3『恰有两个交点,则实数上的取值范围

是.

14.如图，在长方体488-44G〃中，AB=AD=2,e=3,点E为线段NC的中点,

试卷第2页，共4页

点尸是棱G2上一点，若直线环与平面44c所成角的正弦值为需，则跖=

四、解答题

15.已知函数/(无)=一；/+/+上+4.

(1)求曲线y=/(X)在点(-3,/(-3))处切线的方程；

⑵求函数/(X)的极值.

11Q

16.已知公比为正数的等比数列｛aj的前〃项和为S“，且生=药,5=药.

(1)求｛%｝的通项公式；

⑵若b„=logsa,,求数列｛%"｝的前"项和Tn.

17.如图，在四棱锥中，底面48。是正方形，侧面是等边三角形，且平

面M48J_平面N8CA,48=4,E为匐)的中点.

(1)求点E到平面MAC的距离；

(2)求平面MAC与平面EAC夹角的余弦值.

22

18.已知椭圆C:鼻+%=l(a>b>0)的左、右焦点分别为片，与，点A是C的上顶点，

2兀—

NFM1,△耳4e的面积为百.

(1)求椭圆C的方程；

⑵已知,右,£|,若直线/:y=*x+机与椭圆C相交于两点(异于点3),求证：直

试卷第3页，共4页

线的斜率之和为0.

19.若对\/网,迎e。且X［ex2,函数/(x),g(x)满足：

|/(西)一〃工2)|N/|g(xJ-g(X2)|(%>0),则称函数7'(x)是函数g(x)在区间。上的加级控

制函数.

⑴判断函数/(x)=2x是否是函数g(x)=V在区间卜1,1］上的1级控制函数，并说明理由；

⑵若函数/(x)=e，是函数g(x)=x在区间［0,3］上的机级控制函数，求实数小的取值范围；

⑶若函数/卜)是函数g(x)=lnx-x在区间(0,+s)上的加级控制函数，且函数/(X)在区间

(0,+8)上存在两个零点a,6,求证a+b>2.

试卷第4页，共4页

《陕西省，愉林市2024-2025学年高二上学期1月期3R考试数学试题》参考答案

题号12345678910

答案CBADCBADADACD

题号11

答案ABD

1.c

【分析】逐个选项进行验证即可判断.

4713

【详解】〃=2时，〃=5时，,〃=11时，％i=五，故ACD错误;

令7=2,解得〃=3.5eZ,故工不是数列中的项.

77+199

故选：C

2.B

【分析】通过求导，利用导数求瞬时变化率求解.

【详解】因为v=1.4/+0.3//£[0,12],所以M=06+1.4,

故当，=10时，=6+1.4=7.4,

即％=10s时，“高原版”复兴号动车的加速度为7.4m/s2,

故选：B

3.A

【分析】根据给定条件，利用两条直线平行的充要条件列式计算得解.

【详尚军】当加=—2时，/1:2X+3J-2=0,/2：X+2=0,显然不平行；

所以加w—2,由直线4:加工—3〉+2=0与直线/2:%—（加+2万+2=0平行,

m-32

——-------w-解得7M=-3,

1-（根+2）2

所以实数“Z的值为-3.

故选：A

4.D

【分析】先求出/'（X）,通过赋值法求得广（0）,代入/'（x）,即可得/（0）.

【详解】因为〃x）=2/'（O）e=x2+3x,

所以r（x）=（2（（0）ej-）'+（3尤）'=2（（0）e，-2x+3,

答案第1页，共14页

令x=0,得/(0)=2〃0k。+3=200)+3,

/(0)=-3,

所以/(x)=-6e，-x2+3x,故/(0)=-6e°=-6

故选：D.

5.C

【分析】根据邑凤-其,几-5成等差数列，得到方程，求出答案.

【详解】由题意得-邑,％-以成等差数列，

故S4+&—风=2(又一54)，即4+9-工=2区-4),

解得5=7.

故选：C

6.B

【分析】求出渐近线方程，由圆心到渐近线距离等于半径，得到方程，求出£=1+4=6.

a\a

22人

【详解】双曲线£：2-白=1(〃>0,6>0)的渐近线方程为了=±5尤，

圆C:/+(y-26)2=4的圆心C(0,2>A),半径为2,

12间

由对称性，圆心C(0,26)到渐近线y=±-x的距离d=7二T,

°匕

|2码_-

由题意得］^=2,故『+<=¥=£,

所以禺心率£=jl+I=y/i-

a\a

故选：B

7.A

【分析】先令g(x)=犷(x),根据题中条件，判断其单调递减；将所求不等式化为

g(x2-x+2)>g(2),结合单调性，得到/_尤+2<2,求解即可.

答案第2页，共14页

【详解】令g(x)=犷(x),因为/(x)+矿(x)<0,所以g'(x)=/(x)+V'(x)<0,

所以g(x)在R上单调递减；

又/(2)=-4,所以g⑵=一8,

因此不等式(x~-x+2)/(无~—x+2)>-8可化为g(x?-x+2)>g(2),

所以％2_工+2<2,解得0<x<1,

即不等式(--x+2)/(/-x+2)>-8的解集为(0,1).

故选：A

8.D

【分析】应用累加法得出%=2〃-1,进而得出a二2〃-1，再根据等差及等比数列求和公式计

算即可.

【详解】因为数列｛%｝的首项为1,且。用-。“=2”,a“-%T=2"\…,电-%=2、

所以a-.=2-1+---+2I=2"-2,即得

”a11-2

所以，=21og2(a„+l)-l=2M-l,

则数列｛cj的前200项和为数列｛勾｝的前208项的和减去数列｛%｝的前8项的和,

2

即数列｛。〃｝的前200项和为208。+2；208-1)+...+2s_8)=208~81=42762.

故选：D.

9.AD

【分析】利用基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导原则求解即

可.

(1_i_1

【详解】对于A,(Vx)z=/=—X'=—六，故A正确；

(J22Vx

对于B,因为M2是常数，所以(ln2)'=0,故B不正确；

对于C,㈢…,故C不正确；

(X1XXX

对于D,(sinlx)'=cos2x•(2x)=2cos2x,故D正确;

答案第3页，共14页

故选：AD.

10.ACD

【分析】根据。2+炉一”>0计算。的取值范围，判断A；根据点在圆内，列出不等式，计

算判断B；首先计算圆心到直线的距离，再利用垂径定理判断C；根据切线的斜率是否存在,

分别讨论判断D.

【详解】已知曲线£+必-2x+ay+/-a=0QeR),

对于A选项，若曲线E表示圆，(-2)2+a2-4(a2-fl)>0,即("2)(34+2)<0,

故所以A正确；对于B选项，要使得点(2,1)在曲线E内，

只需22+12_2.2+°+/-°<0,即/+1<0不成立，故B错误；

对于C选项，当“=1时，曲线为圆x2+/-2x+y=0,即卜力+露+；〔：，

设圆心石［1,-2］到直线x-y-l=0的距离为d,则/1+2-1V2,

I2)d=—,——=--

V1+14

又因为半径厂=弓，故弦长|/同=242一片=孚,故c正确；

对于D选项，当。=0时£:/+/-2工=0,即£:(尤-1『+/=1,

圆心(1,0),半径厂=1,当过点(2,3)的直线斜率不存在时，直线方程为x=2,

此时直线和圆相切；当过点(2,3)的直线斜率存在时，设直线方程为了-3=左@-2),

_\k-2k+3\

即船->-24+3=0,由直线与圆相切可得圆心到直线的距离4J/,1=1,

信+1

4

解得左=三，止匕时切线方程为4x-3y+l=0,故D正确.

故选：ACD.

11.ABD

【分析】设出直线/的方程，代入抛物线，写出韦达定理，利用导数求得切线，联立求交点,

可得A的正误；通过两直线垂直的斜率性质，可得B、C的正误，利用圆锥曲线中的弦长公

式以及两点之间距离公式，结合三角形的面积公式，可得D的正误.

【详解】对于A,尸(2,0),设/:x=〃沙+2,代入/=8x,

答案第4页，共14页

整理可得必-8叼-16=0,设4（占,%）,8（程力）（不妨设必＞0）,

则%+%=8相,乂％=T6.

由抛物线E：y=8无，整理可得函数＞=±2缶；，贝|］；/=±行；3,

11,1

设过点/的切线斜率为心/，易知再=§炉，则切线方程为〉一弘=心/（》_占），即

＞=巴》+?，同理可得：过点B的切线方程为＞=&x+券，

712%2

4J%1、

y=—X-I-------关=川％=-2

必2

联立可得,解得；,即故C（-2,4,〃）；

4x+及

y=.二不（乃+二2）=4加

、

y22乙

所以点C的横坐标为-2,故A正确；

对于B,由A可知：直线NC:y=dx+?,直线8C：y=3'+个，

必2y22

由臼.仝=上_=一1,则/CL3C,即N/C8=巴，故B正确；

“y2y^22

4加一0

对于C,由选项A可知C（-2,4,"）,则直线CF的斜率匕=1^=一切,

—2—2

由-1■为=T,则48_LCV.由选项B可知/C_LBC,

m

\BCBF

所以尸CfBCH,得病=记，即忸C|9=HM-故C错误；

对于D,由C可得：^sc=1.|^|-|CF|,

M却=Jl+疗回_刃=Jl+n?,J（必+%）~—4乂%-V1+»i2-A/64W2+64=8（1+m2），

|CF|=^（4/?1-0）2+（-2-2）2=J16疗+16，

3

则S,“一=16（1+机2）5，当机=。时，S.扉c取得最小值为16，故D正确；

4ABe\I

故选：ABD.

答案第5页，共14页

【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联

立方程组并消元得到关于X或V的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的

交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有X1%,%+Z或%%，乂+%,最后利用韦达定理

把关系式转化为若干变量的方程(或函数)，从而可求定点、定值、最值问题.

12.2

【分析】根据等差数列的求和公式，以及等差数列下标之和的性质，可直接求出结果.

【详解】因为几须)=1轲0=38,所以％。=2.

故答案为：2.

【分析】直线＞=履+3恒过点尸(0,3),曲线x-3=j9-(y+3)2表示以闻3,-3)为圆心,3

为半径的右半圆，根据直线与圆的位置关系求解.

【详解】如图，直线＞=6+3恒过点尸(0,3),

曲线x-3=j9-(y+3)2表示出以屈(3,-3)为圆心,3为半径的右半圆，

因为直线。=6+3与曲线.一3=19-5+3)2恰有两个交点,

一一，，，一3

所以kPA＜k＜kPC,所以-1(左＜-：.

故答案为

14.而

【分析】以A为原点，AB.AD、所在的直线分别为x、Az轴建立空间直角坐标系，求

答案第6页，共14页

出平面ABtC的一个法向量，根据直线EF与平面AB.C所成角的向量求法可得答案.

【详解】以A为原点，AB.AD、所在的直线分别为X、丫、z轴建立空间直角坐标系,

则/（0,0,0）,。（2,2,0）,4（2,0,3）,£（1,1,0）,设厂（％2,3乂04x42）,

藕=（2,0,3）,西=（0,-2,3）,而=（尤-1,19,

设行=（a,6,c）为平面48。的一个法向量,

[2。+3。=0

即一26+3…，令。=3,则—,

所以元=（3,-3,-2）,

因为直线EF与平面AB.C所成角的正弦值为双亘,

110

I一►」EFn|3x-3-3-6|9755

所以gs%配产尸1।广

\EF[\n\j9+9+4xJ(x-1)+1+9110

解得x=l,或x=61>2舍去,

所以尸（1,2,3）,|丽卜&?^=而\

故答案为：Vio.

【点睛】关键点点睛：解题的关键点是建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量求解.

15.（l）12x+y+23=0

7

（2）极小值为极大值为13

【分析】（1）求函数的导数，最后根据切点求切线方程；

（2）利用导数求极值.

【详解】（1）由/（无）=—+尤2++4,

答案第7页，共14页

得〃一3)=「Jx(-3y+(-3)2+3x㈠-4=13,

因为/'(X)=——+2x+3,所以/r(—3)=-(-3)2+2X(—3)+3=-12,

所以曲线尸/⑴在点(-3J(-3))处切线的方程为尸13=-12(x+3),

即12x+y+23=0.

(2)令/'(%)=-12+2x+3=0,得％=-1或%=3,

当％变化时，/'（X）,/（%）的变化情况如下表:

X(-GO,-1)-1(T3)3(3,+co)

/‘（X）-0+0-

极小值

单调递减单调递增极大值/（3）单调递减

/（-I）

77

又〃T）=§,"3）=13,所以函数〃x）的极小值为“极大值为13.

16.⑴%=佶］

【分析】（1）设出公比后代入计算即可得;

（2）借助错位相减法求和.

【详解】（1）设等比数列｛4｝的公比为夕,

得3+血+%=||，即11113

由名——,S-------z-H----------1------——

27327qq2727cli27q2727

所以12/-g-1=0,解得4=!或《=-：（舍）.

又。3$，所以%=3=；,%=%"

n

n

(2)由(1)得a=log3%==log35=-n,

答案第8页，共14页

所以a,A,

所以北=（一l）x；+（-2）

|2+(-!)><[也《x

两式相减，得§（=（-l）x+（T）x

i33

]_

1-n+l

33]_11n

=(—l)x—-----——-+n-

3

1--

3

33n

所以小-1+—I—

42

17.

7

【分析】（1）分别取力民。。的中点为O，a，连接MQOQ,建立如图空间直角坐标系，利

用空间向量法求点到面的距离；

（2）利用空间向量法求两平面夹角.

【详解】（1）分别取/瓦CD的中点为。,。厂连接MO,OQ,

因为底面/BCD是正方形，0,01分别为N8,CD的中点，所以OOi〃4D,OOJ4B.

因为侧面是等边三角形，。为48的中点，所以

又平面M48_L平面4&CD,平面M48c平面=,OWu平面M42,

所以OM_L平面/BCD,

又。qu平面/BCD,所以OO[_LOM.

如图所示，以。为坐标原点，。民。。|,。河所在直线分别为苫轴，y轴，z轴建立空间直角

坐标系，

答案第9页，共14页

则，（-2,0,0）,8（2,0,0）,。（2,4,。4-2,4,9，可°，°，叫，《-国、,

所以就=（4,4,0）,商=（2,0,26）,存=1,2,6）,

设平面腿4c的法向量为行=a，%/]）,

m•AC=4叫+4%=0,

则＜令玉二百，则必=-V3,马二一1,

m•AM=2%]+2@Z[=0

所以平面M4c的一个法向量为成=（百,-6-1卜

国.司2-2G-回272?

设点E到平面腿4c的距离为d,则”=下「=

7

即点E到平面M4c的距离为翌H.

7

（2）由（1）,得平面K4c的一个法向量为成=（若,一班,-1）,而=（4,4,0）衣=g,2,6b

设平面E/C的法向量为力=（%，%/2），

ii-AC=4X+4y2-0,

则2取/=V3，则%=—,Z?=1,

n.AE=x2+2y2+V3z2=0,

所以平面及IC的一个法向量为五=（V3,-A1）,

设平面MAC与平面EAC的夹角为wew]]

即平面M4c与平面E4c夹角的余弦值为

18.⑴1+/=i

（2）证明见解析

答案第10页，共14页

【分析】（1）分析焦点三角形，结合焦点三角形的面积，得出瓦C的关系即可求解;

（2）联立直线和椭圆，设出品■（%%）,N（%2，%）,利用韦达定理，斜率公式表示出原M+向N

然后运算求解.

【详解】（1）由题意，得耳（-c,0），B（c,0）,/（0,6）,其中一凡

因为/441=可，△月/月的面积为百，

所以一=tan—=y/3,—x2cxb=,解得6=1,c=V^,

632

所以求二万+/=4,

所以椭圆C的方程为《+V=i.

4

_1

因为N,N两点异于点B,所以所以魔”一乂一5,1.

BM再一百'""

所以

1百1

—xy+Hi-——X、+tn—

品"+kBN=262+262

答案第11页，共14页

+(/»-2)(X]+乙)-^Tim+\p3

玉一

将玉+尤2=-Cm,xrx2=/J?_1代入上式,

6m

得+^BN==0.

所以直线3M,5N的斜率之和为0.

19.(1)是，理由见解析

(2)(0,1］

(3)证明见解析

【分析】(1)利用给定定义判断并证明即可.

(2)利用给定定义结合导数建立不等式，再用分离参数法求解即可.

(3)利用给定