上海市某中学2023-2024学年高二年级下册期中考试数学试卷（解析版）

2023-2024学年上海市普陀区曹杨二中高二(下)期中数学试卷

1.—2与一8的等差中项是.

【答案】-5

【解析】

【分析】根据等差中项的定义计算即可.

【详解】设等差中项为无，贝|2x=—2+(—8)nx=—5,

故答案为：-5

2.某学校开设4门球类运动课程、5门田径类运动课程和2门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1

门课程学习，则不同的选法共有种.

【答案】11

【解析】

【分析】直接根据分类加法计数原理得答案.

【详解】根据分类加法计数原理得不同选法共有4+5+2=11种.

故答案为：11.

3.已知数列｛a,｝(77>1,〃eN)的通项公式是%=。3"+1,则2a是该数列中的第项.

【答案】9

【解析】

【分析】利用通项公式的概念求解〃的值.

【详解】根据题意，得回n=2币,

解得〃=9,所以2甘是该数列中的第9项.

故答案为：9

4.已知｛4｝为等比数列，且8%+%=。，则｛4｝的公比为.

【答案】-2

【解析】

【分析】设出等比数列｛4｝公比，利用等比数列通项公式列式计算作答.

【详解】设等比数列｛4｝公比为4,依题意，8出+//=0,而生/0,解得q=-2,

所以｛4｝的公比为-2.

故答案：-2

5.设函数/(x)=cosx,则

【答案】也

2

【解析】

【分析】根据常用函数的导函数计算即可.

也

【详解】由/"(x)=cosx

~T,

故答案为：显

2

6.等比数列｛a“的前3项的和等于首项的3倍，则该等比数列的公比为一.

【答案】-2或1

【解析】

【详解】试题分析：当公比q=l时，等比数列｛a“的前3项的和等于首项的3倍；当公比q，l时,

(1-H3)

_2__-.由此能求出该等比数列的公比.

1-q-3Jaal

解：•••等比数列｛an｝的前3项的和等于首项的3倍，

当公比q=l时，等比数列｛an｝的前3项的和等于首项的3倍，成立；

(1-

当公比时，_l_=3a，解得q=-2.

1-q1

该等比数列的公比为-2或1.

故答案为-2或1.

考点：等比数列的通项公式.

7.若｛。,dc｝u｛-3,—2,—1,0,1,2,3,4｝,则符合条件的二次函数y=加++c的解析式有个.

【答案】294

【解析】

【分析】由分步乘法原理求解

【详解】y=+6x+c是二次函数，故awO.

由集合元素的互异性知风仇c互不相同，故符合条件的函数解析式有7x7x6=294个.

故答案为：294

8.设曲线y=在点(0,1)处的切线与直线尤+2y+l=0垂直，则。=

【答案】2

【解析】

【详解】

【分析】丫'=念%yk=o=a.由题意知，—1,：.a=2

9.已知双曲线工—匕=1,其右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线方程为.

a2

2

【答案】x2-^=l

2

【解析】

【分析】求出抛物线/=46x的焦点坐标，可得出双曲线的右焦点坐标，进而可求出片的值，由此可得

出该双曲线的方程.

【详解】抛物线产=4氐的焦点坐标为(6,0),

所以，双曲线5=1的右焦点坐标为(6,0),则£+2=3,得标=1.

2

因此，该双曲线的方程为k—匕=1.

2

2

故答案为必―21=1.

2

【点睛】本题考查双曲线方程的求解，同时也考查了抛物线焦点坐标的求解，考查运算求解能力，属于基

础题.

10.记数列｛4｝的前〃项和为S,,若q=l,%+i=2S“(九为正整数)，则数列｛4｝的通项公式为

l,n=l

【答案】a=<

n2-3n-2,n>2

【解析】

【分析】当2时，a“=2S"__所以两式相减得见+1—4=2（S„—S,T）,所以化简有旦旦=3,又因

an

为彳=2,可得数列｛4｝是以出=2为首项，公比为3的等比数列，即可求出数列｛““｝的通项公式.

【详解】因为q=L%=2S”,

所以当〃=1时，a?=24=2〃]=2,

当心2时，4=2S“_I，所以两式相减得：«„+1-«„=2（S„-S„_1）,

则a〃+i-=2%,所以‘^=3,又因为a=2,

a

anx

所以数列｛。“｝是以外=2为首项，公比为3的等比数列.

n2

所以当2时，an=2-3-.

1,〃二1

所以数列｛4｝的通项公式为:

2-3n-2,n>2

1,H=1

故答案为：a=

n2-3n-2,n>2

(1),于16'32)

keN）组中的第一个数是.

n-1

【分析】根据等差数列的求和公式计算第女组中的第一个数位于数列《的第几项即可.

n-1

【详解】由条件可知第七组即有女项，则第女组的第一个数是数列《卜的第1+2+3+…+左一1+1

项,

计算1+2+3+…+左-1+1=

2

Mbi)

…(6、

为第％组中的第一个数.

咱I2J

Mi)

故答案为:

———e2,x<0

12.已知函数y(x)=<e'____，点A/、N是函数y=/(x)图象上不同的两个点，设。为坐标原

-yjl+x2,x>Q

点，贝Utan/MON的取值范围是.

【答案】(°，1+|

【解析】

【分析】作出函数/(%)的图形，求出过原点且与函数/(力(xWO)的图象相切的直线的方程，以及函数

/(x)=—J1+♦(%>0)的渐近线方程,结合两角差的正切公式，数形结合可得出tan/MON的取值范围.

【详解】当XV。时，/(%)=三一e2,则r(x)=E>0,

ee

所以，函数/(九)在(7,0]上为增函数；

当尤>0时，由y=_&+%2<0可得y2=]+/,即y2—x2=l,

作出函数八％)的图象如下图所示:

设过原点且与函数/(%)(%W0)的图象相切的直线的方程为

y=kx,设切点为,

所以，切线方程y言r+e?=-—%0),

2

将原点坐标代入切线方程可得—7^-+e=—(1—x0),

222_2

即3=e2,构造函数g(x)=三，其中xv。，贝i]g，(x)=5—W0,

所以，函数g(x)=三在(f,0］上单调递减，Mg(-e)=e2,

由g(x0)=eM%=e?，解得x()=—e，所以，k=~=e+1>

而函数/(%)=-Vi+x2(x>o)的渐近线方程为y=一%,

设直线y=-％与y=(e+l)光的夹角为。，设直线y=(e+l)x的倾斜角为a,

371

3兀tanJana_(e+l)_^2

则tanS=tan--6Z

1+tan-tancrl-(e+l)e

4

结合图形可知，0<tan/MON<l+Z.

故答案为：j.

【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于求出设过原点且与函数/(x)(%<。)的图象相切的直线的方程以

及函数/(%)=-Vl+x2(x>0)的渐近线方程，再利用两角差的正切公式以及数形结合思想求解.

13.已知T，6,a,,T四个实数成等差数列，4,伪，1三个正实数成等比数列，则十’=()

-4

111

A.—B.--C.i—D.+2

222

【答案】A

【解析】

【分析】由等差数列及等比数列的定义与性质计算即可.

【详解】设T，%，a2,-1四个实数所成等差数列的公差为d,

f-1-(-4)

则由题意可得<2%——3=>1=1，4=土2,

月=4x1

,a.-a1

又4为正实数，故

故选：A

14.“6=痴"是七是"、b的等比中项”的()条件

A.既不充分也不必要B.充分不必要

C.必要不充分D.充要

【答案】A

【解析】

【分析】分别举反例判断充分与必要条件是否满足即可

【详解】当G=a=Z?=O时，满足G=J茄，不满足G是。、b的等比中项；当G是。、6的等比中项，

如a=l,b=4,G=—2,但不满足G=J拓，故"G=J法”是“G是。、6的等比中项”的既不充分也不必

要条件

故选：A

15.函数/(%)=-7，〃<匕<1,则()

e

A./(fl)=/(Z?)

B.

C.f(a)>f(b)

D.关系不确定

【答案】C

【解析】

【分析】求得了'(x),结合导数/'(力的符号，即可求得外力的单调区间，进而可判断结果.

【详解】解：由已知可得,，⑴―x'e。：(e1_

eee

令/'(x)=0,解得x=l.

当时，/f(x)<0；当xe(l,+8)时，/,(x)>0；

故/(%)在上单调递减，在(1,+。)上单调递增.

因为a<Z?<l,所以/(a)>/0).

故选：C

16.函数/(%)的导函数为/'(%)的图象如图所示，关于函数/(%),下列说法不正确的是(

VT

tnr

A.函数(—1,1),(3,+8)上单调递增

B.函数在(―8,—1),(1,3)上单调递减

C.函数存在两个极值点

D.函数有最小值，但是无最大值

【答案】C

【解析】

【分析】利用导函数图象，得到原函数单调性即可判断AB,利用极值点的定义判断C,利用函数的单调性

及最值的概念判断D.

【详解】根据/'(X)的图象可知,

函数在(-M)和(3,+“)上/'(尤)>0,/(%)单调递增，A选项正确；

函数在(―8,—1)和(1,3)上//(尤)单调递减，B选项正确；

所以/(九)的极小值点为T，3,极大值点为1,C选项错误；

由上述分析可知，函数的最小值是/(-1)和/(3)两者中较小的一个，没有最大值，D选项正确.

故选：C

17.已知等差数列的前三项依次为a,4,3a,前n项和为S“，且邑=110.

(1)求。及左的值；

(2)设数列｛瓦｝的通项公式瓦=。，证明：数列｛。〃｝是等差数列，并求其前〃项和

n

【答案】(1)4=2,左=10；(2)证明见解析，〃="("+3)

2

【解析】

【分析】(1)设该等差数列为｛为｝,根据等差数列的前三项依次为4,4,3a,由。+3a=8,求得°,再利用等

差数列前”项和的公式，由8=110求解；

（2）由（1）得到S尸“（2+2"）=%+9进而得到6"=&,再利用等差数列的定义证明.

2n

【详解】（1）设该等差数列为｛斯｝,则。1=4,“2=4,的=3。，

由已知有〃+3。=8,得。I=Q=2,公差d=4—2=2,

所以Sk=ka\-\~^——--d=2k+——X2=N+Z,

22

由&=110,得S+1—110=0,

解得左=10或左=一11（舍去），故1=2,攵=10.

（2）证明：由（1）得S〃="2+2〃）="（〃+1）,

2

S

则bn=—=n+l,

n

故bn+i—bn=（n+2）—（n+l）=lf又6=1+1=2,

所以数列｛a｝是首项为2,公差为1的等差数列，

后i、i丁n（2+n+l）n（n+3）

所以T=----------=-------.

n22

2

18.已知双曲线G：X2-^=1.

4

（1）求与双曲线C1有相同的焦点，且过点p（4,J3）的双曲线。2的标准方程.

（2）直线/：y=分别交双曲线C1的两条渐近线于A，8两点.当西.历=3时，求实数加的值.

2

【答案】（1）~■—y2=1（2）m-+\[3

【解析】

【分析】（1）先求双曲线G的焦点坐标，然后结合条件计算出双曲线G的标准方程

（2）设4（%,2%）,3（九2,-2%）构造新曲线方程，联立直线方程与曲线方程，求出两根之积，代入向量的

表达式求出结果

【详解】（1）双曲线G的焦点坐标为（、后,0），（-Ao）,

22

设双曲线。2的标准方程为――与=1（。〉0]〉0）,

ab

a2+b2=5

片二4

163，解得,

-n---T—1b2=1

双曲线G的标准方程为--/=1.

(2)双曲线G的渐近线方程为y=2%,y=—2x.

设4(%，2光J,6(九2,一2%)•

2-匕=0.

4,消去》化简得3Y—2/nx—疗=0,

y=x+m

由A=(—2^)2—4x3x(一根2)=16机2>0,

得小玉工2-~~~

OAOB=%/+(2玉)•(-2X2)=-3七％，

m2=3>即加=±百■

【点睛】本题考查了求双曲线标准方程以及结合向量求参数的值，题目较为基础，需要掌握解题方法

19.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函

数解析式可以表示为：

1,3

y=------%3——%+8(0<x<120).已知甲、乙两地相距100千米.

12800080

(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？

(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

【答案】(1)17.5L.(2)当汽车以80km/h的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为1L25L.

【解析】

【详解】本试题主要考查了导数在物理中的运用.

解:(1)当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了W2=25小时，

答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升.

(2)当速度为x千米/小时，汽车从甲地到乙地行驶了竺2<|、日寸，设耗油量为h(x)升，依题意得

h(x)=(」_f-上一虺=上入垩二哄上功),

128000SOX1280x4

h'(x)=------------sr=---------；—其中0<xW120

磔I®X'1,侬叫广

令；j'(x)=0,得x=80.

当xd(0,80)时，万，(x)<0,h(x)是减函数;

当xd(80,120)时,h，(x)>0,h(x)是增函数.

当x=80时,h(x)取到极小值h(80)=11.25.

因为h(x)在(0,120)上只有一个极值，所以它是最小值.

答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少,

最少为11.25升.

20函数/(x)=-x(x-a)2(xwR)，其中awR.

(1)当。=1时，求曲线y=/(x)在点(2,〃2))处的切线方程；

(2)当awO时，求函数/a)的极大值和极小值；

(3)当a>3时，证明存在左«—1,0],使得不等式/(左-85')》/(好-(：。5%)对任意的》6及恒成

立.

【答案】(1)5x+y-8=0；

(2)见解析

(3)证明见解析.

【解析】

【详解】试题分析：该题属于导数应用的综合问题，第一问考查的是导数的几何意义，利用点斜式求得对应

的切线方程，第二问对函数求导，解得导数等于零的点，对两个值的大小进行分类讨论，从而确定出函数在

相应的区间上的单调性，从而确定出函数的极值点，代入解析式，求得函数的极值，第三问利用函数的单调

性将函数值的大小转化为自变量的大小，最后转化为最值来处理，从而证得结果.

试题解析：(1)当。=1时，/(%)=-x(x-1)2=-X5+lx1-x,得/(2)=-2,且

f\x)--3x2+4x-l,尸(2)=-5.

所以，曲线y=—x(x—Ip在点(2,—2)处的切线方程是y+2=—5(x—2),整理得5x+y—8=0.

解：/(x)=-x(x—a)2=-X，+,f\x)——3x2+4tzx—ci~»

令/'(x)=0,解得x或x=。，由于「wo,以下分两种情况讨论,

(1°)若。>0,当x变化时，/'(X)的正负如下表：

a

Xa(a