正方形的性质和判定（知识解读+达标检测）-2024-2025学年苏科版八年级数学下册题型专练（含答案）

第06讲正方形的性质和判定

题型归纳________________________________________

【题型1利用正方形的性质求解】

【题型2添一个条件使四边形是正方形】

【题型3证明四边形是正方形】

【题型4中点四边形】

【题型5正方形的判定与性质综合】

基础知识,知识梳理理清教材

考点1：正方形的概念与性质

正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。

※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是

轴对称图形，有两条对称轴）

题型分类深度剖析,）

【题型1利用正方形的性质求解】

【典例1］（23-24八年级下•山东德州•期中）

1.如图，在正方形"BCD的外侧，作等边三角形如用，则4ED的度数为（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

【变式1-1］（23-24九年级下•辽宁鞍山•期中）

2.如图，正方形NBCD的顶点A、8分别落在直角坐标系的x轴、了轴上,

4（0,3）、8（1。则点C的坐标为（）

试卷第1页，共12页

A.（2,4）B.（4,2）C.（1,4）D.（4,1）

【变式1-2]（24-25九年级上•陕西榆林•期末）

3.如图，点。为正方形428对角线/C的中点，连接并延长至点£,连接

AE,CE.若为等边三角形，AB=2,则的长度为（）

E

A.V6B.四C.V6-V2D.2

2

【变式1-3]（23-24八年级下•河北沧州•阶段练习）

4.如图，点E在正方形内，满足N/E8=90。，AE=6,BE=8,则阴影部

基础知识,知识梳理理清教材

考点2：正方形的判定

※正方形常用的判定：

有一个内角是直角的菱形是正方形；

邻边相等的矩形是正方形；

试卷第2页，共12页

对角线相等的菱形是正方形；

对角线互相垂直的矩形是正方形。

注意：正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系（如图3所示）:

图3

题型分类深度剖析,）

【题型2添一个条件使四边形是正方形】

【典例2】（24-25九年级上•全国•期中）

5.如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是正方形，那么原来四边形的

对角线一定满足的条件是（）

A.互相平分B.相等C.互相垂直D.互相垂直且相等

【变式2-1]（24-25九年级上•广东佛山•阶段练习）

6.如图在中，NACB=90。,的垂直平分线跖交2C于点。，交于点

E,且=3尸，为了使四边形3ECF是正方形.可以添加一个条件（）

A.CE=CFB.DE=DFC.乙4=45。D.E为的中点

【变式2-2]（24-25九年级上•山东济南•阶段练习）

7.如图，在矩形/BCD中，对角线NC、3。交于点。，添加下列一个条件，能使

矩形成为正方形的是（）

试卷第3页，共12页

A.BD=ACB.DC=ADC.ZAOB=60°D.OD=CD

【变式2-3]（24-25九年级上•广东深圳•期中）

8.如图，在中，N/=90。，点。，E,尸分别是边8C，CA,的中点，

要使四边形4FOE为正方形，不添加辅助线，可以添加的条件是（添加一个

条件即可）.

【题型3证明四边形是正方形】

【典例3】（24-25九年级上•陕西西安•阶段练习）

9.如图，四边形8CE。是平行四边形，。为边上的中点，AC=BC,连接

AE,CE.

（1）求证：四边形WCE是矩形.

⑵若判断四边形"CE的形状，并说明理由.

【变式3-1]（24-25九年级上•陕西咸阳•阶段练习）

10.如图，在正方形中，AOX.BD,垂足为。，过点。分别作8c于点

E,。尸，CD于点尸，求证：四边形OEC尸是正方形.

试卷第4页，共12页

【变式3-2](2024•湖北武汉•模拟预测)

11.如图，在平行四边形”88中，对角线/C与8。相交于点£,ABAC=90°,

点G为4。的中点，连接CG,CG的延长线交切的延长线于点R连接。尸.

⑴求证：AB=AF-

(2)请增加一个条件，使得四边形/CDb为正方形.(不需要说明理由)

【变式3-31(24-25九年级上•辽宁盘锦•开学考试)

12.如图，已知平行四边形中，对角线NC、2。交于点。，£是/C延长线

上一点，若BE=DE.

(1)求证：四边形"CO是菱形.

(2)若NBDC=ZACD,判断四边形/BCD的形状，并说明理由.

【题型4中点四边形】

【典例4】(22-23八年级下•江苏泰州•阶段练习)

13.如图，在四边形中，E、E分别是40、8c的中点，G、H分别是3D、

/C的中点.

⑴请判断四边形EGW的形状，并说明理由.

(2)四边形满足什么条件时，四边形EG/0是菱形，请说明理由.

(3)四边形相。满足什么条件时，四边形EGF”是矩形，请说明理由.

试卷第5页，共12页

【变式4-1]（24-25九年级上•广东佛山・期中）

14.如图，点E,F,G,a分别为四边形/BCD的边BC,CD,。的中点,

下列说法中不正确的是（）

A.四边形EPG〃一定是平行四边形

B.若AC=BD,则四边形斯G”是菱形

C.^ACIBD,则四边形EPG"是矩形

D.若四边形28。是矩形，则四边形斯G”是正方形

【变式4-2]（23-24八年级下•浙江温州•阶段练习）

15.如图，在四边形/BCD中，对角线NC,8。互相垂直，点E、F、G、X分别是

边盟2C,Q）,A4的中点，依次连接这四个中点得到四边形斯GH.

（1）求证：四边形EFG"是矩形；

（2）若/C=9,2。=7,求四边形EFG8的周长.

【变式4-3]（23-24八年级下•湖北武汉•期末）

16.已知四边形N2C。，

(1)(2)

试卷第6页，共12页

(1)如图(1),^AC=BD,点£、F、G、H分别为43、BC、CD、04的中点,

判断四边形即GH的形状，并说明理由.

(2)如图(2),若于。，AB=4,8=6,求BC2+N£>2的值.

【题型5正方形的判定与性质综合】

【典例5](23-24八年级下•全国•单元测试)

17.如图，在正方形/3CD中，射线NE与边8交于点E,将射线NE绕点Z顺时

针旋转，与C3的延长线交于点RBF=DE,连接也.

(1)求证：是等腰直角三角形；

(2)若四边形/EC尸的面积为36,DE=6,直接写出NE的长.

【变式5-1](23-24八年级下•吉林松原•阶段练习)

18.在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：

第一步：将矩形纸片的一角，利用图①所示的方法折叠，使点3落在4)上的点尸

处，得到折痕连接斯，然后把纸片展平；

第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点尸处，得到折痕如

图②.

根据以上操作，解答下列各题.

(1)求证：四边形4砧尸是正方形；

(2)若45=8,AD=n,求线段的长.

【变式5-2](23-24九年级上•陕西榆林•阶段练习)

19.如图，在矩形中，/胡。的平分线交于点E,EF4D于点、F,DGJLAE

试卷第7页，共12页

于点G,DG与EF交于■点、O.

(1)求证：四边形/BE尸是正方形；

(2)若=求证：4B=AG；

⑶在(2)的条件下，已知/8=1,求。下的长.

【变式5-3](2023八年级下•江苏•专题练习)

20.在ZUBC中，NACB=90°,N4BC、/A4c的平分线相交于点。，DE1BC,

DF1AC,垂足为E、F.

(1)求证：四边形OEC尸为正方形；

⑵若3c=8,AC=6,求正方形DEC尸的面积.

、幅达标测试，

(24-25九年级上•广东清远•期末)

21.如图，在正方形/8C。中，等边三角形NE尸的顶点E,尸分别在边3C和上,

则NCEF=()

A.75°B.60°C.50°D.45°

试卷第8页，共12页

（24-25八年级上•山东青岛•期末）

22.如图，正方形点E为边上一点，4E=3,BE=1.NEDC的平分线

交2C于点尸，点G是DE的中点，则GP的长为（）

（24-25八年级下•山东聊城•开学考试）

23.顺次连接一个四边形四边的中点得到的四边形是矩形，则原四边形一定是

（）

A.矩形B.平行四边形

C.对角线互相垂直的四边形D.任意四边形

（24-25八年级下•山东聊城•开学考试）

24.在四边形NBCD中，点。是对角线的交点.在下列条件中，能判定这个四边

形为正方形的是（）.

A.AC=BD,AB//CD

B.AD//BC,ZA=NC

C.OA=OB=OC=OD,AC1BD

D.OA=OC,OB=OD,AB=BC

（2025•河北秦皇岛•一模）

25.小明用四根长度相同的木条首尾相接制作了能够活动的学具，他先活动学具

成为图1所示形状，并测得乙8=60。，接着活动学具成为图2形状所示，并测得

乙48c=90。，若图2中对角线8。=10/cm,则图1中对角线8。的长为（）

A.10cmB.loCcmC.10V3cmD.10V6cm

试卷第9页，共12页

（24-25九年级上•山西运城•期中）

26.如图，在正方形中，P是对角线8。上一动点，过点尸分别作尸

于点瓦小_LC。于点尸，连接NP,放.在点P运动的过程中，下列结论不成立的

是（）

A.AP=EFB.AP1EF

C.NPFE=NBAPD.NPEF=NABP

（24-25九年级下•河北保定•开学考试）

27.小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为

图1所示的菱形，并测得/2=60。，对角线/C=8cm,接着活动学具成为图2所示

的正方形，则图2中正方形对角线/C的长为cm.

（23-24八年级下•重庆•期末）

28.如图，正方形E,尸分别是加，8C的中点，AF,OE相交于点G,

连接CG,若｛8=2,则CG的长为.

（24-25九年级上•山西晋中•期末）

29.如图，在正方形延。中，E是对角线2。上的一点，且8E="，连接CE.若

AB=2,则△C8E的面积为.

试卷第10页，共12页

(24-25九年级下•福建福州•开学考试)

30.如图，在中，ZACB=90°,48=10,BC=6.

(1)尺规作图，求作正方形8所，使。，E,尸分别在/C,AB,BC±.

(2)求(1)的条件下，求正方形CDE尸的边长.

(24-25八年级上•新疆喀什•期末)

31.正方形中，E为上一点，尸为C5延伸线上一点，且/回吆=45。.

(1)求证：AF=CE；

(2)你认为/尸与CE有怎样的位置关系？说明原因.

(24-25九年级上•湖南株洲•期末)

32.如图，在正方形N2C。的外侧，作等边角形血汨，连接BE、CE.

(1)求证：4BAE会4CDE；

(2)求乙的度数.

(24-25九年级上•江西吉安•期末)

试卷第11页，共12页

33.【课本再现】

(1)如图1,正方形N8CD的对角线相交于点。，点。又是正方形N£G。的一个

顶点，而且这两个正方形的边长都为1,四边形。匹尸为两个正方形重叠部分，

正方形44C0可绕点。转动.则下列结论正确的是(填序号即可)

①△4E02BF0；②)OE=OF；③四边形。£8尸的面积总等于;；

④连接EF，总有AE2+CF2=EF2.

【类比迁移】

(2)如图2,矩形的中心。是矩形4耳。。的一个顶点，4。与边相交于

点E,G。与边C8相交于点尸，连接EF,矩形44G。可绕着点。旋转，猜想

AE,CF,£尸之间的数量关系，并进行证明.

44N----7\D

BFBTFC

c,G

图1图2

试卷第12页，共12页

1.c

【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形

的性质和判定的应用，由等边三角形的性质可得ND4E=ZAED=60°,进而可得N3/E=150。,

又因为=结合等腰三角形的性质，可得NN班的大小，进而可求出ZB即的度数.

【详解】解：•・・△4DE是等边三角形，

:./DAE=zAED=60AD=AE,

•••四边形是正方形，

:./BAD=90°,AD=AB,

.•./民4£=90。+60。=150。，AE=AB,

.•^^£5=1(180°-150°)=15°,

ZBED=60°-15°=45°.

故选：C.

2.D

【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造全等

三角形是解题的关键.

由“A4S”可证A/OBGABEC,可得O/=8E=3,OB=CE=1,可求解.

【详解】解：过点C作轴于E,

:4(0,3),5(1,0),

OA—3,OB=1,

•・•四边形48cD是正方形，

AB=BC,AABC=9Q0,

："ABO+NCBE=9G。,

-ZABO+ZBAO=90°,

：・/CBE=/BAO,

答案第1页，共27页

•・•NAOB=NCEB=90。,

：oAOB%BEC（AAS）,

；.BE=OA=3,CE=OB=\,

OE=3+1=4,

故选：D.

3.A

【分析】此题考查了正方形的性质，勾股定理，等边三角形的性质.由四边形是正方

形，得4B=BC=2,ZABC=90°,OA=OC=^AC,利用勾股定理求出NC的长度，再利

用等边三角形的性质，勾股定理，线段和差即可解决问题.

【详解】解：•••四边形是正方形，

AB=BC=2,ZABC=90°,OA=OC=-AC,

2

•••由勾股定理得：AC=yjAB2+BC2=V8=2>/2>

・・•△/CE为等边三角形，

•••AC=AE=EC=2日

Ar1—

,-.AO=OC=OD=——=V2,OELAC,

2

••・N/OE=90。，

・•・由勾股定理得：OE=[AE2-AO?=在，

故选：A.

4.C

【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关

键.计算出正方形与三角形的面积即可得到答案.

【详解】解：・・•/4石5=90。，AE=6,BE=8,

AB=jAE2+BE2=A/62+82=10,

/.Sdp*=—2xA2ExBE=—x6x8=24,

S阴-S正方形NBC。-S“EB=10x10-24=76.

答案第2页，共27页

故选c.

5.D

【分析】此题主要考查了正方形的性质定理，中位线定理，熟练应用中位线定理和正方形的

性质是解题的关键.

根据题意画图，利用中位线定理得即〃尸G〃/C,EF//BD//HG,EF=^BD=GH,

FG=；AC=FG,然后根据正方形的性质得四个角是直角，四条边相等，然后，根据平行

线的性质即可解答.

【详解】根据题意画出图形如下：

•••E、F、G、〃分别是四边形/BCD各边/2、BC、CD、4D的中点，

：.EH//FG//AC,EF//BD//HG,

：.EF=-BD=GH,FG=-AC=FG,

22

•.・四边形EbG"是正方形，

EF=FG=GH=HE,ZEFG=ZFGH=ZGHE=ZFEH=90°,

；.AC=BD,AC1BD,

故选：D.

6.C

【分析】根据菱形的判定定理，正方形的判定定理解答即可.

本题考查了菱形的判定，正方形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键.

【详解】解：•.•8C的垂直平分线跖交于点。，交4B于点E,

BD=DC,EFIBC,EB=EC,FB=FC,

■■CE=CF,

BE=BF=EC=FC,

.•・四边形8EC尸是菱形，

故A不符合题意；

答案第3页，共27页

当添加尸时，则四边形BECP是平行四边形，

BE=BF,

二四边形3EC「是菱形，

故B不符合题意；

当乙4=45。时,

NACB=90°,

；.NABC=ZECB=45°,

ZBEC=90°,

二菱形3ECF是正方形，

故C符合题意；

当£为48的中点时，得到BE=CE

无法判定菱形8ECF是正方形，

故D不符合题意；

故选：C.

7.B

【分析】根据矩形的性质及正方形的判定来添加合适的条件.本题考查了矩形的性质，正方

形的判定的应用，解题的关键是能熟记正方形的判定定理.

【详解】解：要使矩形成为正方形，可根据正方形的判定定理解答：

（1）有一组邻边相等的矩形是正方形，

（2）对角线互相垂直的矩形是正方形.

，添加。C=/。，能使矩形N8CZ）成为正方形.

故选：B.

8.AB=AC（答案不唯一）

【分析】此题重点考查正方形的判定、三角形中位线定理等知识，推导出四边形NFDE是矩

形是解题的关键.由中位线定理得到。E〃//，DF//AE,DE：AB,DF=\AC,结

合乙4=90°得四边形4FDE是矩形，当尸时，四边形/EDE是正方形，据此可添加

条件ZB=/C.

【详解】解：,点，E,尸分别是边8C,CA,的中点，

DE//AB,^.DE=-AB,DF//AC,^.DF=-AC,

22

答案第4页，共27页

DE//AF,DF//AE,

，四边形/EDE是平行四边形，

NN=90°,

四边形/EDE是矩形，

当DE=。尸时，四边形AFDE是正方形，

添加的条件可以是48=/C,

故答案为：AB=AC.（答案不唯一）

9.（1）见解析

⑵四边形/DCE是正方形，理由见解析

【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，正方形的判定，直角三角形斜边上的

中线等于斜边的一半，熟知相关概念是解题的关键.

（1）根据等腰三角形的性质，可得/D_LCD,再利用平行四边的性质得到〃CE,且

=证明四边形/DCE是平行四边形，即可解答；

（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到=解答.

【详解】（1）证明：,•・四边形3CED是平行四边形，

:.BD=CE,BD//CE.

•.•。为边上的中点，

/.AD=BD,

/.AD=CE,AD//CE,

四边形/DCE是平行四边形.

•••D为边上的中点，AC=BC,

CDAB,

.1/ADC=90°,

四边形4JCE是矩形.

（2）解：四边形/OCE是正方形，

理由：：AC1BC,AC=BC,

.•.A/C8是等腰直角三角形.

为边48上的中点.

CD=AD.

由（1）,可知四边形/DCE是矩形，

答案第5页，共27页

二四边形4DCE是正方形.

10.见解析

【分析】本题主要考查正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，根据正方形的性质

可得40=48,ZC=90°,ACDB=ACBD=45°,再证明A。。尸会AO8E(AAS),可得

OF=OE,四边形OECF是矩形，再根据邻边相等的矩形是正方形即可求证.

【详解】证明：•••四边形/BCD是正方形，

AD=AB,ZC=90°,ZCDB=ZCBD=45°,

■：AOIBD,

DO=BO,

•/OF1CD,OEIBC,

ZOFD=ZOEB=NOFC=ZOEC=90°,

:.AODF知OBE(AAS),

OF=OE,

■：NOFC=ZOEC=ZC=90°,

四边形O£C尸是矩形，

又♦:AD=AB,

四边形OEC尸是正方形.

11.(1)见解析

⑵AB=AC

【分析】此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质、正方形的

判定方法.

(1)利用平行四边形的性质以及全等三角形的性质解决问题即可；

(2)证明四边形4co尸是平行四边形，进而证得=/尸，根据正方形的判定即可得到结

论.

【详解】(1)证明：,•・四边形/BCD是平行四边形，

AB=CD,AB//CD,

ZAFG=NGCD,

•・•点G是4D的中点，

AG=DG,

答案第6页，共27页

在44G尸和ADGC中,

ZAGF=ZDGC

<NAFG=NDCG,

AG=DG

.•.△/GF丝ADGC（AAS）,

AF=CD,

AB=AF；

（2）解：当=时，四边形/CD尸是正方形.

证明：由（1）知，AF=CD,

又；AB//CD,

：.AF//CD,

四边形NCDR是平行四边形，

由（1）知，AB=AF,

AB=AC,

AF=AC,

四边形/CD尸是菱形，

ABAC=90°,

ZCAE=90°,

四边形/CD尸是正方形.

故答案为：AB=AC.

12.⑴见解析

（2）四边形/2CD是正方形，理由见解析

【分析】本题考查了菱形的判定与性质、正方形的判定、平行四边形的性质、等腰三角形的

判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形为菱形是解题的关键.

（1）由平行四边形的性质可得80=。。，再由等腰三角形的性质可证8。_L/C,即可得出

结论；

（2）由（1）知，四边形/BCD是菱形得到。4=OC,OD=OB,然后证明出OC=。。，

得至！=则平行四边形N8CD是正方形.

【详解】（1）证明：•••四边形N8CD是平行四边形，

BO=DO,

答案第7页，共27页

BE=DE,

；.BDLAC,

・•・平行四边形/5C。是菱形；

(2)解：四边形45C。是正方形，理由如下：

由(1)知，四边形是菱形，

：.OA=OC,OD=OB

•・・/BDC=/ACD,

：.OC=OD,

AC=BD,

・•・四边形45CD是正方形.

13.(1)四边形EG五〃是平行四边形，理由见解析

(2)/8=CD,理由见解析

(^ABICD,理由见解析

【分析】(1)根据三角形的中位线定理，进行判断即可；

(2)根据邻边相等的平行四边形是菱形，进行判断即可；

(3)根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，进行判断即可.

【详解】(1)解：••・£、产分别是8C的中点，G、H分别是BD、NC的中点，

EG//AB,HF//AB,EH//CD,GF//CD,EG=-AB,HF=-AB,EH=-CD,GF=-CD,

2222

.-.EG//HF,EH//GF,

••・四边形EGFH是平行四边形；

(2)当四边形/BCD满足/8=C。时，四边形EG"/是菱形，理由如下：

EG=—AB,EH=—CD,AB=CD,

22

EG=EH,

・•・平行四边形EG尸H是菱形；

(3)当四边形48C。满足时，四边形EG五〃是矩形，理由如下：

•/ABLCD,EG//AB,EH//CD,

：.EG1EH,

ZGEH=90°,

四边形EGFH是矩形.

答案第8页，共27页

【点睛】本题考查中点四边形.解题的关键是掌握三角形的中位线定理，以及菱形和矩形的

判定定理.

14.D

【分析】本题考查了中点四边形，中位线的性质，特殊四边形的判定，根据平行四边形，菱

形，矩形，正方形的判定定理逐项分析判断，即可求解.

【详解】解：；点E,F,G,b分别为四边形A8CD的边48,BC,CD,£%的中点，

:.EF、FG、G4分别为A/8C、ABCD、ANDC的中位线，

:.EF=-AC,EF//AC,FG=-BD,FG//BD,GH=-AC,GH//AC,

222

EF=GH,EF//GH,

四边形EFG”为平行四边形，

当4c=AD时，EF=FG,则平行四边形EFG”为菱形，

当时，EFLFG,则平行四边形EFGH是矩形，

若四边形4BCD是矩形，则四边形E/G〃是菱形，不一定是正方形，

故不正确的选项是D,

故选：D.

15.⑴见解析

⑵16

【分析】本题考查了中点四边形，三角形中位线的性质，矩形的性质与判定.

(1)设GP,/C交于点K,/。,5。交于点。，先根据三角形的中位线定理，得到

HG=EF,HG//EF,HE=GF,HE//GF,证明四边形EFG”是平行四边形，再根据

AC1BD可得ZAKF=ZEFG=ZFGH=ZEHG=90°,即可证明四边形EFGH是矩形；

(2)由(1)得HG=EF=gAC,HE=GF=gBD,结合4C=9,KD=7,即可求解.

【详解】(1)证明：如图，设G£/C交于点K,AC,BD交于点O,

答案第9页，共27页

点、E、F、G、〃分别是边曲8Gs刃的中点,

.［即是△4BC的中位线，即£尸=工/C,砂〃NC,

2

同理，是△NDC的中位线，^HG=^AC,HG//AC,

G尸是△BCD的中位线，即GF=；AD,G尸〃AD,

总是的中位线，即HE=gBD,HE〃BD,

HG=EF,HG//EF,HE=GF,HE//GF,

四边形EFGX是平行四边形，

•••AC1BD,

ZAOB=ZAKF=90°,

NAKF=ZEFG=NFGH=4EHG=90°,

四边形EFGH是矩形；

（2）解:由（1）知四边形EFG"是矩形，

HG=EF=-AC,HE=GF=-BD,

22

•••AC=9,BD=1,

1917

HG=EF=-AC=-,HE=GF=-BD=-,

2222

二四边形的周长为：HG+EF+HE+GF=16.

16.（1）四边形EFGH是菱形，证明见解析

⑵52

【分析】本题考查的是中点四边形、勾股定理、三角形中位线定理，熟记四条边相等的四边

形是菱形是解题的关键.

答案第10页，共27页

(1)根据三角形中位线定理得到斯=g/c,FG=；BD,GH=^AC,EH=^BD,得到

EF=FG=GH=EH,根据菱形的判定定理证明；

(2)根据勾股定理计算即可.

【详解】(1)解：四边形斯G”是菱形，

理由如下：,点£、F、G、//分别为NB、BC、CD、W的中点，

EF>FG、GH、EH分别为MBC、八BCD、△/DC、的中位线，

:.EF^-AC,FG=-BD,GH=-AC,EH=-BD,

2222

AC=BD,

EF=FG=GH=EH,

四边形EFGH是菱形；

(2)解：•••AC1BD,

ZAOB=ZBOC=ZCOD=ZAOD=90°,

在RtA/Q8中，AB=4,

由勾股定理得：OA2+OB2=AB2=16,

在RtvCOZ)中，CD=6,

由勾股定理得：OC2+OD2=CD2=36,

BC2+AD2=OB2+OC2+OA2+OD2=16+36=52.

17.(1)见解析

(2)672

【分析】本题考查了正方形的性质和全等的性质和判定，还涉及到勾股定理等知识，解决本

题的关键是能熟练运用相关的几何定理.

(1)由四边形4BCD是正方形易得NAB尸=/。，AB=AD,再根据班'可证得

△48尸会△4DE,即可导得NK4E=90。，进而证得△/斯是等腰直角三角形；

(2)由(1)得44BF2AADE,进而得到正方形的面积为36,计算出4。=6,再

利用勾股定理计算出AE的长度.

【详解】(1)证明：,•・四边形428是正方形，

AAB=AD,NABC=ZD=ABAD=90°,

ZABF=180°-ZABC=90°,

•••NABF=ND,

答案第11页，共27页

vBF=DE,

在/和"DE中,

AB=AD

<ZADE=ZABF

DE=BF

,“ABFRADE（SAS）,

AF=AE,/FAB=/EAD.

/.ZFAB+/BAE=/LEAD+NBAE=90°,

，/\AEF是等腰直线三角形；

（2）解：由（1）得LABF%AADE,则明，

v四边形/ECF的面积为36,

==

而S^ECFS/\ABF+SABCE^AADE+ABCE=ABCD，

•••正方形ABCD的面积为36,

AD=6,

在RMADE中，AE2=AD2+DE2,

■-AE=V62+62=6五•

18.（1）详见解析

Q）BM=2

【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，正方形的判定和性质；

（1）根据矩形的性质和折叠的性质可得48=/尸，BE=EF,NBAE=NFAE=45。,从而

得到ZDAE=ZAEB=ZBAE,进而得到AB=BE=EF=AF,继而得到四边形ABEF是菱形，

即可求证；

（2）根据矩形的性质和折叠的性质可得尸加=。1/=8（7-8/=12-8河.在RtZ\FA"中，利

用勾股定理建立方程即可求得的值，从而求解.

【详解】（1）证明：•••四边形/8C。是矩形，

ABAD=NABC=90°,

・•・将矩形纸片/BCD折叠，使点8落在上的点尸处，

AB=AF,BE=EF,NBAE=NFAE=45°,

•••AD\\BC,

答案第12页，共27页

/./DAE=ZAEB=ZBAE,

/.AB=BE,

AB=BE=EF=AF,

四边形/BE尸是菱形，

•••NB=90°,

菱形/B跖是正方形.

(2)解：•••四边形ABCD和四边形CDFE都是矩形,

EF=AB=S,BC=AD=12,EC=FD=AD-AF=U-S=4,

:.ME=BC-BM-EC=12-BM-4=8-BM,

■：AMNF是由AMNC折叠得到的，

:.FM=CM=BC-BM=12-BM.

在中，由勾股定理，得：ME2+EF2=FM2>

gP(8-W)2+82=(12-W)2,

解得2M=2.

19.(1)见解析

(2)见解析

(3)V2-1

【分析】(1)根据角平分线的性质证得£F=仍，根据正方形的判定即可证得结论；

(2)根据三角形全等的判定证得△NG。丝△NBE(AAS),由全等三角形的性质即可得到结

论；

(3)根据△/GD也ZX/BE可得。G=4B=/尸=/G=l,即可求得=

DF=y/2-l>再由^FDO=ZFOD=45°OF=DF=42-1.

【详解】(1)•.•矩形48cD,

■.ZBAF=ZABE=90°.

•­•EF1AD,

.•・四边形ABE尸是矩形.

•；AE平分NB4D,

*'•EF=EB,

二四边形4BE尸是正方形；

答案第13页，共27页

(2)-；AE平分NBAD,

：.ZDAG=ZBAE.

在△NGZ>和中，

ADAG=ABAE

<4AGD=ZABE,

AD=AE

AAGDg△T!5£'(AAS),

.-.AB=AG；

(3)由(1)知，四边形/BE尸是正方形；

•••AB=AF=\.

由(2)知△/GD也ZX/BE,

：.DG=AB=AF=AG=1,

AD=AE=Vl2+12=V2，

•：EF-LAD,ZDAG=ZADG=45°,

NFDO=ZFOD=45°,

OF=DF=42-1.

【点睛】】本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质和判定，等腰直角三角形性质和判定,

角平分线的性质，熟悉正方形的性质与判定是解题的关键是解决问题的关键.

20.(1)见解析

⑵4

【分析】(1)根据N/C8=9O。，DE1BC,。/工/C可得四边形DECF是矩形，结合角

平分线性质即可得到DF=DE,即可得到证明；

(2)根据勾股定求出根据等积法求出。尸，即可得到答案；

【详解】(1)证明：过。作。N1/3,连接CD,

答案第14页，共27页

B

-.■ZACB=90°,DEIBC,DF1AC,

，四边形DECF是矩形，

•:N4BC、N8/C的平分线相交于点。，DEA.BC,DF1AC,DN1AB,

：.DF=DN,DE=DN,

DF=DE,

••・四边形DEC尸是正方形；

(2)解：v5C=8,AC=6,

AB—+8。=10，

-.-S=-xBC-DE+-xAC-DF+-xABDN,

“BC222

...1x6x8=1x(6+8+10)xZ)F,

•••DF=2,

S正方形=DF2=4；

【点睛】本题考查角平分线的性质及正方形的判定与性质，解题的关键是作出辅助线及利用

等积法求出正方形的边长.

21.D

【分析】根据题意直接证明mRt44D尸(HL),进而得CE=C尸，根据等腰直角三

角形的性质即可求解.

【详解】解：••・四边形/BCD是正方形，

AB=AD=BC=CD,ZB=ND=ZC=90°,

••・△/斯是等边三角形，

AE=AF,

：.VX^xABE=RtA^F(HL),

答案第15页，共27页

*'•BE=DF,

CE=CF,

.•.△CEF是等腰直角三角形，

:.NCEF=45°,

故选：D.

22.B

【分析】延长/尸交的延长线于点打，根据正方形的性质得=

ZA=ZABC=ZC=90°,AB//CD,则。£=5,根据角平分线的定义及平行线的性质得

/CDF=/EDF=/H,则EH=DE=5,进而得CD=8〃=4,证明AC£>b和AAF/斤全

等得CF=BE,则GF是硒的中位线，然后根据三角形中位线定理可得出GF的长.

【详解】解:延长。尸交48的延长线于点b,如图所示：

AB=AE+BE=4,

•・•四边形力BCD为正方形，

AD=AB=BC=CD=4,N4=N4BC=NC=90。,AB//CD.

・•.在RL4D£中，由勾股定理得:DE=」AD?+AE?=5，

,：DF平分NECD.

・•・/CDF=NEDF

vAB\\CD.

・・・NCDF=/H,NC=NCBH=90。

・•・ZEDF=NH

:,EH=DE=5.

：.BH=EH—BE=5—1=4,

・・.CD=BH=4.

在尸和ABHF中

答案第16页，共27页

NC=NCBH=9。。

CD=BH

NCDF=NH

.MCDF%BHF(ASA),

:.CF=BF.

•・•点G是。E的中点，

:.GF是©EH的中位线，

：.GF==EH=25.

2

故选:B.

【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解正方形

的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理是解决问题关键.

23.C

【分析】本题主要考查了矩形的性质和三角形中位线定理，解题的关键是构造三角形利用三

角形的中位线定理解答.首先根据三角形中位线定理知：所得四边形的对边都平行且相等,

那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形的对角线必

互相垂直，即可解题.

【详解】解：如图，四边形斯G8是矩形，且E、F、G、〃分别是48、BC、CD、AD

的中点，

根据中位线定理可得GF||DB\\HE,HG\\AC\\EF,

••・四边形跖G”是矩形,

HGLGF,

DBLAC,

故选：C.

24.C

答案第17页，共27页

【分析】本题考查的知识点是正方形的判定，解题关键是熟练掌握正方形的判定方法.

根据正方形的判定:对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的

答案.

【详解】解：A选项，不能，一组对边平行，对角线相等，无法判断是什么四边形，故A

选项错误；

B选项，不能，只能判定为平行四边形，B选项错误；

C选项，对角线相等而且平分的四边形是矩形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故四

边形可判定为正方形，C选项正确；

D选项，不能，只能判定为菱形，D选项错误.

故选：C.

25.C

【分析】根据勾股定理即可求得正方形的边长，根据菱形的性质和勾股定理即可求得图1

中BD的长.

【详解】解：由题意可知，AB=BC=CD=DA,

二四边形A8CZ）是菱形（图1）,

当a1BC=9O。时，四边形ABCL•是正方形（图2）,

.•.图2中，4=90。,

.,.在RtAABD中，AB2+AD2=BD2,

也

AB=AD=—BD=10cm,

2

AC1BD,OB=OD,OA=OC,N4BO=30。,

OA=AB=5cm,OB=CoA=5^cxn,

BD=2OB=1oV3cm;

故选：C.

答案第18页，共27页

【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、正方形的性质，勾股定理以及含30。的直角三角形

的性质，利用勾股定理得出正方形的边长是关键.

26.D

【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，延长尸尸交于点N,延长

AP交EF于点、M,证明四边形3NPE是正方形，四边形CEPE是矩形，然后得到

△ANP为FPE,即可判断A、C选项；然后根据等量代换得到/P九r=//*=90。，判断B

选项；然后利用正方形的性质判断D解题即可.

【详解】解：延长EP交48于点N,延长4P交E尸于点”，

•.・四边形是正方形.

ZABP=ZCBD.

-.■NP±AB,PE1BC,

.•・四边形3NPE是正方形，四边形CFPE是矩形，ZANP=ZEPF,

NP=EP,

AN=PF,

♦:在AANP马AFPE中,

NP=EP,ZANP=ZEPF,AN=PF,

:.AANP经xFPE,

.-.AP=EF,ZPFE=ZBAP,故A、C正确；

•••&APN与AFPM中,NAPN=NFPM,ZNAP=ZPFM,

ZPMF=ZANP=90°,

•••AP1EF,故B正确.

P是BD上任意一点，

••・只有当尸EC尸是正方形时，ZPEF=ZABP=45°,故D不一定成立，

故选：D.

27.8-^2

【分析】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱

答案第19页，共27页

形和正方形的性质.

如图1,图2中，连接/C.在图1中，证△NBC是等边三角形，得出

AB=BC=AC=8cm.在图2中，由勾股定理求出NC即可.

图1图2

图1中，•••四边形N3CD是菱形,

AB=BC,

・・・28=60。,

:必ABC是等边三角形，

AB=BC=AC^Scm,

在图2中，•••四边形4BCD是正方形，

=BQAB=90°,

・•.A48c是等腰直角三角形，

AC=6AB=86cm,

故答案为：872.

28.2

【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，正确作出

辅助线是解题的关键.

延长/尸、DC相交于X,先证明ANEGA/B/，得到=//，从而得到

ZDGH=ZADE+ADAG=NBAF+ADAG=ABAD=90°,再证明“BF知HCF,得至I]

AB=HC=2,从而得到OC="C,即可由直角三角形的性质得出CG=；DH,即可求解.

【详解】解：延长/尸、0c相交于X,如图，

答案第20页，共27页

•••正方形48C。，AB=2

DA=CD=BC=AB=2,/BAD=/B=/BCD=90°,

ZB=ZHCF=90°,

■■E,厂分别是48,BC的中点，

AE=—AB,BF=CF=—BC,

22

AE=BF,

在与△，射中，

DA=AB

<NDAE=ZB,

AE=BF

・•.ABF(SAS),

・•・ZADE=ZBAF,

ZDGH=/ADE+ZDAG=Z.BAF+/DAG=ABAD=90°,

在445厂与尸中，

AB=ZHCF

<BF=CF,

/AFB=ZHFC

：oABF知HCF(ASA),

AB=HC

:,HC=CD=2,

故答案为：2.

答案第21页，共27页

29.V2

【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，连接NC,交AD于点O,由正方形的性质

得到利用勾股定理求出/。=2近，进而求出。。=0,即可解答.

【详解】解：如图，连接"C,交AD于点。，

•.•四边形A8CD是正方形，

.-.AB=BC=2,AC±BD,ZABC=90°,OC=-AC,

2

•••AC=NAB2+BC。=2V2,ZBOC=90°，

•••oc=也，

BE=AB,

BE—2,

••.△C8E的面积为：；BECC=；x2乂航=也

故答案为：＞/2•

30.⑴见解析

24

(2)正方形CDEP的边长为了

【分析】本题主要考查了尺规作图，角平分线的性质，勾股定理，正方形的判定和性质等知

识点，熟练掌握其性质并能正确作出图形是解决此题的关键.

(1)利用角平线的性质可得。£尸，利用垂线的性质可得NCDE=NC尸£=90。=/。