2024年二次根式知识点及习题

二次根式知识點一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被開放数可以是数，也可以是單项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：由于负数没有平方根，因此是為二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。知识點二：取值范围1.

二次根式故意义的条件：由二次根式的意义可知，當a≧0時，故意义，是二次根式，因此要使二次根式故意义，只要使被開方数不小于或等于零即可。2.

二次根式無意义的条件：因负数没有算术平方根，因此當a﹤0時，没故意义。知识點三：二次根式（）的非负性（）表达a的算术平方根，也就是說，（）是一种非负数，即0（）。注：由于二次根式（）表达a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，因此非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），這個性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝對值、偶次方类似。這個性质在解答題目時应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。知识點四：二次根式（）的性质（）文字語言论述為：一种非负数的算术平方根的平方等于這個非负数。注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的結论。上面的公式也可以反過来应用：若，则，如：，.知识點五：二次根式的性质文字語言论述為：一种数的平方的算术平方根等于這個数的绝對值。注：1、化简時，一定要弄明白被開方数的底数a是正数還是负数，若是正数或0，则等于a自身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不管a取何值，一定故意义；3、化简時，先将它化成，再根据绝對值的意义来進行化简。知识點六：与的异同點1、不一样點：与表达的意义是不一样的，表达一种正数a的算术平方根的平方，而表达一种实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的成果是有差异的，

，而2、相似點：當被開方数都是非负数，即時，=；時，無意义，而.知识點七：二次根式的性质和最简二次根式如：不具有可化為平方数或平方式的因数或因式的有√2、√3、√a（a≥0）、√x+y等；具有可化為平方数或平方式的因数或因式的有√4、√9、√a^2、√（x+y）^2、√x^2+2xy+y^2等（3）最终止果分母不含根号。知识點八：二次根式的乘法和除法1.积的算数平方根的性质√ab=√a·√b（a≥0，b≥0）2.乘法法则√a·√b=√ab（a≥0，b≥0）二次根式的乘法运算法则，用語言论述為：两個因式的算术平方根的积，等于這两個因式积的算术平方根。3.除法法则√a÷√b=√a÷b（a≥0，b>0）二次根式的除法运算法则，用語言论述為：两個数的算数平方根的商，等于這两個数商的算数平方根。4.有理化根式。假如两個具有根式的代数式的积不再具有根式，那么這两個代数式叫做有理化根式,也称有理化因式。知识點九：二次根式的加法和減法1同类二次根式一般地，把几种二次根式化為最简二次根式後，假如它們的被開方数相似，就把這几种二次根式叫做同类二次根式。2合并同类二次根式把几种同类二次根式合并為一种二次根式就叫做合并同类二次根式。3二次根式加減時，可以先将二次根式化為最简二次根式，再将被開方数相似的進行合并。知识點拾：二次根式的混合运算1确定运算次序2灵活运用运算定律3對的使用乘法公式4大多数分母有理化要及時5在有些简便运算中也許可以约分，不要盲目有理化知识點拾一：分母有理化分母有理化有两种措施I.分母是單项式如:√a/√b=√a×√b/√b×√b=√ab/bII.分母是多项式要运用平方差公式如1/√a＋√b=√a－√b/(√a＋√b)(√a－√b)=√a－√b/a－b如图注意：1.根式中不能具有分母2.分母中不能具有根式。“二次根式”經典练习題【經典例題】一.运用二次根式的双重非负性来解題（（a≥0），即一种非负数的算术平方根是一种非负数。）1.下列各式中一定是二次根式的是（）。A、；B、；C、；D、2.x取何值時，下列各式在实数范围内故意义。（1）（2）（3）（4）（5）若，则x的取值范围是（7）若，则x的取值范围是。注：（書写格式（4）由5+x≥0且x+4≠0得x≥－5且x≠－4∴當x≥－5且x≠－4時代数式在实数范围内故意义）3.若故意义，则m能取的最小整数值是4.若是一种正整数，则正整数m的最小值是________．5..當x為何整数時，有最小整数值，這個最小整数值為。6.若，则=_____________．7．若，则8.设m、n满足，则=。9.若适合关系式，求的值．10.若三角形的三边a、b、c满足=0，则第三边c的取值范围是11.方程，當時，m的取值范围是（）A、 B、C、 D、二．运用二次根式的性质=|a|=(即一种数的平方的算术平方根等于這個数的绝對值)来解題1.已知＝－x，则（）A.x≤0B.x≤－3Ｃ.x≥－3D.－3≤x≤02.．已知a<b，化简二次根式的對的成果是（）A．B．C．D．3.若化简|1-x|-的成果為2x-5则x的取值范围是（）A、x為任意实数B、1≤x≤4C、x≥1D、x≤44.已知a，b，c為三角形的三边，则=5.當-3<x<5時，化简=。6、化简的成果是（）A．B．C．D．7、已知：=1，则的取值范围是（）。A、；B、；C、或1；D、8、把根号外的因式移入根号内，化简成果是（）。A、；B、；C、D、三．二次根式的化简与计算（二次根式的化简是二次根式运算中的基本规定，其重要根据是二次根式的积商算术平方根的性质及二次根式的性质：（）2=a（a≥0），即。）1.把下列各式化成最简二次根式：（1）（2）（3）（4）2.下列各式中哪些是同类二次根式：（1），，，，，，；（2），，a3.计算：（1）6（2）；（3）（4）（5）－（6）4.计算（1）2（2）5．已知，则x等于（）A．4B．±2C．2D．±46..已知，求的值。四．二次根式的分母有理化1已知：，求的值。2..已知:x=，求代数式3x2－5xy+3y2的值。3.＋＋＋…＋4.已知，试求的值。五．有关求二次根式的整数部分与小数部分的問題1.估算eq\r(31)－2的值（）A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间2．若的整数部分是a，小数部分是b，则3.已知9+的小数部分分别是a和b，求ab－3a+4b+8的值4.若a，b為有理数，且++=a+b，则b=.六．二次根式的比较大小（1）（2）－5（3）（倒数法）二次根式提高测试題一、选择題1．使故意义的的取值范围是（）2．一种自然数的算术平方根為，则与這個自然数相邻的两個自然数的算术平方根為（）（A）（B）（C）（D）3．若，则等于（）（A）0（B）（C）（D）0或4．若，则化简得（）（A）（B）（C）（D）5．若，则的成果為（）（A）（B）（C）（D）6．已知是实数，且，则与的大小关系是（）（A）（B）（C）（D）7．已知下列命題：①；②；③；④．其中對的的有（）（A）0個（B）1個（C）2個（D）3個8．若与化成最简二次根式後的被開方数相似，则的值為（）（A）（B）（C）（D）9．當時，化简等于（）（A）2（B）（C）（D）010．化简得（）（A）2（B）（C）（D）二、填空題11．若的平方根是，则．12．當時，式子故意义．13．已知：最简二次根式与的被開方数相