高考数学二轮优化5-7

专题五ZHUANTIWU

解析几何

第一讲直线与圆

・高考集训•考情分析芦迷避还--------把脉高考明确

授课提示：对应学生用书第52页

1.（2020•全国卷II）若过点（2,1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x—y—3=0的距

离为（）

2^5

5

3小4下

5-5

解析：由题意可知圆心在第一象限，设为（〃，b）.

•.,圆与两坐标轴均相切，:.a=b,且半径r=a,

/.圆的标准方程为（X—〃）2+（y—〃）2=。2.

・・,点（2』）在圆上，・•・（2-4）2+（1—a）2=a2,

，层一6〃+5=0,解得a=1或a=5.

当。=1时，圆心坐标为（1,1）,

此时圆心到直线2x->-3=0的距离>芈

当a=5时，圆心坐标为（5,5）,

综上，圆心到直线2x—y—3=0的距离为

答案：B

2.（2020•全国卷I）已知。M：/+），2—〃一2）-2=0,直线/：2x+y+2=0,P为/上的

动点.过点P作。M的切线PA,PB,切点为A,B,当IPMMBI最小时，直线AB的方程为（）

A.2x—y—1=0

B.2x+y-\=0

C.2x~y+l=0

D.2x+y+i=0

解析:QM:(x—l)2+(y—1)2=4,

则圆心0M的半径为2.

如图，由题意可知PM_LAB,

：.S^PAMB^PM\-\AB\^\PA\-\AM\^2\PA\,

：.|PAf|-|AB|=4|B4|=4-\/|PAf|2-4.

当最小时，|PM最小，此时PM_U.

故直线PM的方程为y—I=g(x—1),即x—•2y+l=0.

x—2v+1=0,\x=—\,

由‘得八.”(一1,0).

〔2x+y+2=0,l)'=o,

又：出与。M相切，.,.直线%的方程为X=-1(在。M中，一IWXWI),

二出_Lx轴，PA±MA,

又直线AB与/平行，

设直线AB的方程为2x+y+m=0,

将A(—1,1)的坐标代入2x+y+，〃=0,得m=1.

直线A8的方程为2x+y+l=0.

答案：D

3.(2018・全国卷I)直线y=x+l与圆炉+)a+2y—3=0交于两点，则|48|=

解析：由f+V+Zy—3=0,得/+。+1)2=4.

...圆心C(0,-1),半径r=2.

I1+U

圆心C(0,—1)到直线x-y+l=0的距离4==y^2,

：.\AB\=2\1/一层=244-2=2^2.

答案：2^2

4.(2019・全国卷I)已知点A,8关于坐标原点。对称，\AB\=4,。”过点A,B且与直

线x+2=0相切.

(1)若A在直线x+y=0上，求。M的半径；

(2)是否存在定点P,使得当A运动时，|MA|一|MP|为定值？并说明理由.

解析：(1)因为。M过点A,B,所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知得A在直线

x+y=O上，且A,B关于坐标原点0对称，所以M在直线y=x上，故可设M(tz,a).因为

0M与直线x+2=0相切，所以。M的半径为r=|“+2］.由已知得HO|=2.

又MOJ_A。，故可得2a2+4=(〃+2)2,解得〃=。或“=4.

故OM的半径r=2或r=6.

(2)存在定点P(l,0),使得为定值.

理由如下：

设M(x,)，)，由已知得，。例的半径为r=|x+2|,|AO|=2.

由于MOJ-A。，故可得小+>2+4=。+2)2,化简得，M的轨迹方程为)2=4X.

因为曲线C:产=4犬是以点P(l,0)为焦点，以直线》=-1为准线的抛物线，

所以|MP|=x+l.

因为|MA|—|MP|=r-\MP\=x+2~(x+1)=1,

所以存在满足条件的定点P.

［把脉考情］

1.直线的方程及应用(直线的斜率，两直线的位置关系).

考什么2.圆的方程及应用(求圆的方程，与圆有关的最值、范围问题).

3.直线与圆的位置关系(切线、弦长、与圆有关的三角形面积问题).

在导数知识背景下求直线的斜率、切线方程或通过弦长及三角形面

新动向积问题考查直线与圆的位置关系，常与平面向量、椭圆、双曲线、

抛物线相结合，主要考查数学运算、逻辑推理核心素养.

题型突破•我点探究深度剖析通法悟道

授课提示：对应学生用书第52页

题型一直线方程及其应用自主探究

1.过点(2,0)且与直线2x-4y~\=0平行的直线的方程是()

A.工一2y—1=0B.2x+y—4=0

C.x—2y—2=0D.x+2y—2=0

解析：因为直线2x—4y—1=0的斜率k=3,所以过点(2,0)且与直线2x—4y—1=0平行

的直线的方程为y-0=1(x-2),即工一2〉一2=0.

答案：C

2.已知过点4(一2,，”)和点Bg,4)的直线为且直线6：2x+y-l=0,直线从x+

ny+\=O.若/i〃，2,，2_L/3,则机+〃的值为（）

A.-10B.-2

C.0D.8

4—inI

解析：'：h//l,：.k=—T：=-2,解得〃，一二义（-）解得

2ABm-rZ?=-8.n2=-1,

〃=-2,.•・〃?+〃=-10.

答案：A

3.(2021・合肥模拟)直线3x+4y—3=0与直线6x+〃?y+14=0平行，则它们之间的距离

为()

A.*B.2

c-¥D.8

解析：直线3x+4y—3=0即为6元+8丁一6=0,它与直线6无+nzy+14=0平行，所以

|—6—14|^

=8,则它们之间的距离d=2

^62+82-

答案：B

4.(2021•广州模拟)若直线4尸总-4)与直线“关于点(2,1)对称，则直线b过定点

解析：由题意知直线人过定点(4,0),则由条件可知，直线b所过定点关于点(2,1)对称的

点为(4,0),故可知直线/2所过定点为(0,2).

答案:(0,2)

方提炼方法，技巧展示

法

总

结

.

1.求直线方程时易忽视斜率人不存在的情形.

2.利用斜率与截距判断两直线平行或垂直关系时易忽视斜率不存在的情形.

3.有关截距问题易忽视截距为零这一情形.

题型二圆的方程及其应用自主探究

1.(2021•玦县中学月考)圆心为点(1,1)且过原点的圆的方程是()

A.(x-l)2+(y-l)2=l

B.。+1)2+。+1)2=1

C.(x+l)2+&+1/=2

D.(x-I"。-1产=2

解析：由题意，设圆的方程为(X—1)2+°,—1)2=加(加>0),因为该圆过原点，所以(0—1)2

+(0—l)2=7n(/n>0),解得根=2,所以所求圆的方程为(％—1)2+()，一1尸=2.

答案：D

2.(2021•成都七中月考)已知P是圆O：/+产=1上的动点，则点P到直线/：x+厂2g

=0的距离的最小值为()

A.1B.^2

C.2D.2吸

=2,且圆的半径r等于1,所以圆上的点P到直线/的最小距离为“一r=2—1=1.

答案：A

3.(2021•六安中学开学考试)已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最

小值为()

A.4B.5

C.6D.7

解析：设圆心C(x,y),则.(》-3)2+6，-4)2=1.化简，得(x—3)2+(y—4)2=1.所以圆

心C的轨迹是以点M(3,4)为圆心，1为半径的圆，所以|OC|+1夷|OM|=#32+42=5,所以

|OC|>5-1=4,当且仅当点C在线段OM上时取等号.

4%”)(3,4)

3

2

1012345x

答案：A

4.已知两点4(&0),»(-«,0)(«>0),若圆。一小)2+什-1尸=1上存在点尸，使得NAP8

=90。，则正实数〃的取值范围为()

A.(0,3]B.[1,3]

C.[2,3]D.[1,2]

解析：以AB为直径的圆的方程为》2+)2=42,则由题意知圆Q--小户+G；-1)2=1与圆

炉+),2="2有公共点，则此一i|W\/(小产+FWa+1,解得lWaW3.

答案：B

示

巧展

法，技

方提炼方

法

总

结

.

求法

的两种

的方程

1.圆

本量和

圆的基

而求得

，进

关系

位置

圆的

圆与

圆、

线和

、直

性质

圆的

研究

：通过

何法

(1)几

方程.

.

各系数

件求得

再由条

程，

的方

出圆

先设

数法

定系

：用待

数法

(2)代

值问题

关的最

与圆有

2.

求解.

不等式

函数或

件建立

根据条

；二是

分析

进行

结合

数形

条件

利用

一是

究

合作探

关系

位置

圆的

线与

三直

题型

=0.

4y+3

+2x—

+)2

C：/

知圆

分)已

］(12

［典例

；

方程

线/的

,求直

长为2

联弦

截得

被圆C

0)且

一2,

喈(

直缴

(1)若

，

=IPOI

足1PM

，满

原点

坐标

O为

为M,

切点

线，

条切

C引一

向圆

点尸

外一

圆C

(2)从

❸

.

方程

轨迹

P的

求点

❹

题］

［学审

息

条件信

么

注意什

法

想到方

存

上是否

分斜率

方程时

设直线

利用

问题要

、切线

弦长

(1)涉及