高中数学【三角函数、解三角形】

第四章三角函数、解三角形

第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数

新课程标准考向预测

1.了解任意角的概念和弧度制，能1.象限角与终边相同的角

命题角度2.扇形弧长及面积公式的应用

进行弧度与角度的互化.

3.三角函数的定义及应用

2借.助单位圆理解任意角三角函数

(正弦、余弦、正切)的定义.核心素养直观想象、数学运算

知识重点准疑点清结论要熟记课前自修

［知识梳理］

1.角的概念的推广

(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着皿从一个位置旋转到另一个位置所成的图

形.

J按旋转方向不同分为此龙、兔鱼、雯鱼.

(2)分类j按终边位置不同象限角和轴线角..-----

----------------:终边相同的角不一；

(3)终边相同的角：所有与角G终边相同的角，连同角a在/定相等.但相等的角:

内，可构成一个集合S={缈=a+2E,&WZ}.二些经当二色理县

2.弧度制的定义和公式

(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度记作rad.

(2)公式：

角a的弧度数公式|a|=~(Z表示弧长)

①1°一］80「ad；②1rad一(n)

角度与弧度的换算

弧长公式l=\o\r

5=/=如/

扇形面积公式

芍关角度与弧度的两个注意点

(1)角度与弧度的换算的关键是冗=180。，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，

不可混用.

(2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.

3.任意角的二角函数

(1)定义：设。是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么sina=j,cosa

y

=x,iana=#xWO).

(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在X轴，，

余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0).如图中有向线段MP,OM,AT分别叫做

角a的正弦线、余弦线和正切线.

［常用结论］

1.一个口诀

三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦.

2.三角函数定义的推广

设点P(x,y)是角a终边上任意一点且不与原点重合，r=|OP|,则sina=^,cosa=*

tana=*xW0).

3.象限角

第一致限角J卜性7TVaV2*〃+箜■/◎)

第二象限角］,性"号＜aV2A"”"wz}

角

的弋第三象限角){*"十"十害"%

^7

>第喉限角］,性"粤VaV25+27T/£Z,

4.轴线角

A/终边落在」轴上的角|{可a=A7T"£Z}

A卜T终边落在y轴上的角］{。1=卜+左，"£2}

V、终边落在坐标轴上的角］何、=冬神父}

［基础自测］

一、走进教材

1.(必修4PM)A组T?改编)角一225°=弧度，这个角在第象限.

答案：一3二

2.(必修4Pis练习T?改编)设角6的终边经过点P(4,—3),那么2cos<9-sin0-.

344

解析：由已知并结合三角函数的定义，得sin0=一cos0=5，所以2cos0—sin0=2X§

-(4)=V.

答案：H

3.(必修4PioA组T4,改编)一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为

弧度.

答案：f

二、走出误区

常见误区：①终边相同的角理解出错致误；②三角函数符号记忆不准致误；③求三角函

数值不考虑终边所在象限致误.

4.下列与空的终边相同的角的表达式中正确的是()

9

A.2E—45°(%wZ)B.女・360°+平(％wZ)

C.女SGOOTH伏£Z)D.E+景k《Z)

解析：选C与7■的终边相同的角可以写成2E+7(&£Z),但是角度制与弧度制不能混

用，所以只有C正确.故选C.

5.若sina<0,且tan公>0,则a是()

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

解析：选C由sina<0知a的终边在第三、第四象限或)，轴的非正半轴上；由tan。>0

知a的终边在第一或第三象限，故a是第三象限角.故选C.

6.已知角a的终边在直线y=—x上，且cosa<0,则tana=.

解析：如图，由题意知，角a的终边在第二象限，在其上任取一点[

P(x,y)t则y=­xt由三角函数的定义得tana=^=-^=—1.,

o\*

答案：一1

【分:类茯皴

考点理解透规律明变化究其本课堂讲练

考点一［基础自学过关］

象限角及终边相同的角

［题组练透］

1.集合中的角所表示的范围(阴影部分)是()

解析：选B当&=2〃(〃£Z)时，2n7cWaW2n7c+：(〃£Z),此时a的终边和OWaW；的终

边一样，当％=2〃+l(〃£Z)时，2,沉+TTWQW2〃兀+jt+*〃eZ),此时a的终边和北

的终边一样.

2.若角a是第二象限角，则与是()

A.第一象限角B.第二象限角

C.第一或第三象限角D.第二或第四象限角

解析：选C・・•1是第二象限角，

若+2hrVa(7t+2E,kGZ,

k^Z.

当2为偶数时，今是第一象限角；

当女为奇数时，黑第三象限角.故选C.

3.在一720。〜0。范围内所有与45。终边相同的角为

解析：所有与45。终边相同的角可表示为：

£=450+&X360。伏WZ),

则令-720°<45。+kX3600<0?(AeZ),

得一765。WkX360。〈一45。伏eZ),

解得一痂Wk—森(kwZ),

从而攵=-2或女=一1,

代入得£=一675。或6=一315。.

答案：一675。或一315°

4.终边在直线)，=小不上，巨在［一2%，2兀)内的角a的集合为.

解析：如图，在坐标系中画出直线)，=小工，可以发现它与x轴的夹”

|7=73x

角是W，在［0,270内，终边在直线上的角有两个：号，筝在［-2兀，

0)内满足条件的角有两个：一尊-y,故满足条件的角a构成的集合为/|

(57：27rn4it］

IT*—*T，3,Tp

较安.2_如卫生4

口木.I3，3，3，3j

［解题技法］

1.象限角的2种判断方法

图象在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几

法象限角

转化先将已知角化为。360。+以0。忘0(<360。，k£Z)的形式，即找出与已知角终边相

法同的角a,再由角a终边所在的象限判断已知角是第儿象限角

2.求蓝或〃0(〃£N")所在象限的步骤

(1)将。的范围用不等式(含有3且ACZ)表示；

(2)两边同除以〃或乘以〃；

(3)对k进行讨论，得到(或〃仇〃WN")所在的象限.

［提醒］注意“顺转减，逆转加”的应用，如角a的终边逆时针旋转180。可得角a+180°

的终边，类推可知a+/180。伏£Z)表示终边落在角a的终边所在直线上的角.

考点二

［师生共研过关］

扇形的弧长及面积公式的应用

［例1］已知扇形的圆心角是a,半径是r,弧长为/.

(1)若a=100。，r=2,求扇形的面积；

(2)若扇形的周长为20,求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数.

［解］⑴因为。=100。=100乂焉=济

所以5&町=夕厂=$户=3、等X4=当匹.

(2)由题意知，Z+2r=20,即=20—2厂，

故SAm=^Z-r=^(20—2r)-r=­(r—5)2+25,

当r=5时，S的最大值为25,此时/=10,则a=:=2.

［解题技法］

有关弧长及扇形面积问题的注意点

(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.

(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到

解决.

(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.

［跟踪训练］

1.若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为()

257T

AB.

A，63

C.3D.小

解析：选D如图，等边三角形ABC是半径为/*的圆。的内接三角形，

则线段AB所对的圆心角N4OB=苧，

作。垂足为W,

在RtZ\AOM中，AO=rtNAOM=小

；・AM=^r,AB=y［3r,

由弧长公式得a=:=华=#.

2.已知一扇形的弧长为停面积为手则其半径r=,圆心角8=.

解析：因为扇形的弧长为号，所以面积帚=；X系Xr,解得,=2.由扇形的弧长为普

=28,解得0=g.

答案：2

考点三

［定向精析突破］

三角函数的定义及应用

考向(一)三角函数的定义・

［例2］(1)函数)，=10劭(1-3)+23>0且aWl)的图象过定点尸，且角a的顶点在原点,

始边与x轴非负半轴重合，终边过点P,则sina+cosa的值为()

(2)已知角a的终边经过点P(—x,—6),且cosa=一高则.

1DSill(A1<111<Z

［解析］⑴因为函数-3)+2的图象过定点P(4,2),且角a的终边过点P,所以

x=4,y=2,r=2小，所以sina=乎，cos所以sina+cos.故选

D.

(2)因为角a的终边经过点P(—x,—6),且cosa=一总所以cosa5_

、『+3613'

即或X=-］(舍).所以

2

-

3

2

阁刘⑴-

)D3

［解题技法］

三角函数的定义中常见的三种题型及解决方法

(1)已知角a的终边上的一点P的坐标，求角a的三角函数值.

方法：先求出点尸到原点的距离，再利用三角函数的定义求解.

(2)已知角a的一个三角函数值和终边上一点P的横坐标或纵坐标，求与角a有关的三角

函数值.

方法：先求出点P到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立

方程，求出未知数，从而求解问题.

(3)已知角Q的终边所在的直线方程。=履，女W0),求角。的三角函数值.

方法：先设出终边上一点P(m版)，求出点P到原点的距离(注意〃的符号，对〃

分类讨论)，再利用三角函数的定义求解.

考向(二)三角函数值符号的判定,

［例3］(2020•江西九江一模)若sinxvO,且sin(cosx)>0,则角4是()

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

［解析］*.*—1WcosxW1,且sin(cosx)>0,/.0<cos工W1,又sinx<0,・••角x为第四象

限角，故选D.

［答案］D

［解题技法］

三角函数值符号及角所在象限的判断

三角函数在各个象限的符号与角的终边上的点的坐标密切相关.sin0在一、二象限为正,

cos。在一、四象限为正，tan。在一、三象限为正.

学习时首先把取正值的象限记清楚，其余的象限就是负的，如sin。在一、二象限为正,

那么在三、四象限就是负的.值得一提的是：三角函数的正负有时还要考虑坐标轴.上的角，

如si磋=1>0,cos7t=_1<0.

［跟踪训练］

卜.列各选项中正确的是(

sin300°>0B.cos(-305°)<0

D.sin10<0

解析：选D300°=360°-60°,则300°是第四象限角，故sin300°<0;—3050=—360°

+55。，则一305。是第一象限角，故cos(-305°)>0;一号=一8兀+与，则一号是第二象限

角,故tan(一第<0:3届10<与，则10是第三象限角，故sinl0<0,故选D.

2.已知点P(cosa,tana)在第三象限，则角Q的终边在()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

cosa<0,cosa<0,

解析：选B由题意得所以角a的终边在第二象限.

tana<0

3.(2019•河北旃山笫二次模拟i己知角a的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合,

终边上一点A(2sina,3)(sina#0)：则cosa=()

C坐D.一坐

解析：选A由三角寄数定义得tan即黑看=2s"，得3cosa=2sin2a=2（1

—cos2«）＞0,解得cosa=3或cosa=-2（舍去）.故选A.

r课时过关检测i&

A级——夯基保分练

i.给出下列四个命题：

①一个是第二象限角；鳄是第三象限角；③一400。是第四象限角；④一315。是第一象

限角.

其中正确的命题有（）

A.1个B.2个

C.3个D.4个

解析：选C一,是第三象限角，故①错误粤=兀+,，从而当是第三象限角，②正确.一

400°=-360°-40°,从而③正确.一3150=—360。+45°,从而④正确.

2.（2019•黑龙江哈尔滨六中质母检测）已知圆上的一段弧长等于该圆内接正方形的边长，

则这段弧所对圆心角的弧度数为（）

A乎B,孚

C.巾D.2^2

解析：选C设圆的半径为夕，则该圆内接正方形的边长为啦乙即这段圆弧长为小r,

则该圆弧所对的圆心角的弧度数为华故选c.

3.若角a与夕的终边关于x轴对称，则有（）

A.。+4=90°

B.〃+4=90。+"360。，kEZ

C.a+£=2L180°,keZ

D.a+£=180°+L360°,kwZ

解析：选C因为。与£的终边关于x轴对称，所以少=2k180。-a,k£Z.所以a+6=

2A180。，kGZ.

4.若。是第三象限角，则丁=仪的值为()

A.0B.2

C.-2D.2或一2

解析：选A因为Q是第三象限角，

所以2kn+it<a<2kn+^(kZ),

所以E+多与<E+竽(％£Z),

所以挑第二象限角或第四象限角.

.aa

sinTcosz

当强第二象限角时，v=—^-—^=0,

sin]co»2

.aa

S1I)2COST

当彳是第四象限角时，y=-U+--=0,故选A.

sin]co$2

27c

5.(多选)下列与角号的终边不相同的角是()

2kn—^(ZreZ)

A号B.

27c(2欠+1)九+号(女£Z)

C.2^+亍(&£2)D.

解析：选ABD与角号的终边相同的角为2E+引£Z),其余三个南的终边与

终边不同.

6.(多选)在平面直角坐标系;tOy中，角a以。x为始边，终边经过点P(—1,〃?)(m>0),

则下列各式的值一定为负的是()

A.sina+cosaB.sin«-cosa

sina

C.sinacosaD'tana

tn1

解析：选CD由已知得「=|0~|=(〃尸+1,则sina=丙28sL两〈0

tana=_m<0,Asina4-cosc(的符号不确定，sina-cosa>0,sinacosa<0,~^=cosa<0.

[ana

故选C、D.

7.若a=1560。，角。与a终边相同，且一360。<6<360。，则

解析：因为a=l560°=4X3600+120。，

所以与a终边相同的角为360°X〃+120。，k《Z,

令人=-1或2=0,可得0=—240。或0=120。.

答案：120。或一240。

8.若两个圆心角相同的扇形的面积之比为1:4,则这两个扇形的周长之比为

解析：设两个扇形的圆心角的弧度数为出半径分别为r,R（其中/■</?）,

所以公=1：2,两个扇形的周长之比为赤嬴=「2.

答案：1:2

9.在直角坐标系xOy中，O为坐标原点，A（小，1）,将点4绕。逆时针旋转90。到8

点，则5点坐标为.

解析：依题意知。4=OB=2,NAQx=30。，N8Qx=120。，

设点8坐标为（x,y）,

则x=2cos1200=—1,y=2sin120。=4,即8（—1,小）.

答案：（-1,.）

10.（一题两空）在平面直角坐标系xQy中，角a的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负

半轴重合,终边交单位圆O于点尸3，。）,且a+b=,,则ab=,cos（2a+］）=.

解析：由题知sina=b,cos；.sina+cosa=，.两边平方可得sin2a+cos2a

49492412

+2sinacosa=行，*,•1+2sinacosa=/.2sinacosa=E；・sinacosa=ab=芯，

25^

24

sin2a=-2sinacosa=

25-

答案卷24

~25

“•已知焉=一焉，且Ig（cosa）有意义♦

⑴试判断角a所在的象限；

（2）若角a的终边上一点〃，，且OM=1（O为坐标原点），求机及sina的值.

解：⑴由焉=一念，得sina<0,

由Ig（cosa）有意义，可知cosa>0,

所以以是第四象限角.

⑵因为0M=1,所以（1〉+“i2=1,解得w=±j.

又a为第四象限角，故"7<0,

〃广4.ym4

从而机=_予sma=；=丽=—亍

12.如图，在平面直角坐标系工缶，中，角Q的始边与工轴的非负半轴重

合且与单位圆相交于4点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点8,始边

不动，终边在运动.

4

(1)若点8的横坐标为一5，求tana的值；

(2)若AAOB为等边三角形，写出与角。终边相同的角夕的集合.

解：(1)设点8的纵坐标为〃?,

则由题意，层+(一,)2=।,

所以故《一,，,),

且/n>0,

3

根据三角函数的定义得tana=-^=

-5

(2)若△40B为等边三角形，则NA08=],故与角a终边相同的角§的集合为

•*=1+2E,kGZ

B级——提能综合练

13.若一^<a<—从单位圆中的三角函数线观察sina,cosa,lana的大小是()

A.sina<tana<cosaB.cosa<sina<tana

C.sina<cosa<tanaD.tana<sina<cosa

解析：选C如图所示，作出角a的正弦线MP,余弦线OM,

正切线AT,因为一竽va<一3所以a终边位置在图中的阴影部分,

现察可得AT>OM>MPf故有sinot<cosa<tana.

14.如图，在RtAPBO中，NPBO=90。，以。为圆心、0B为半径作圆

弧交。尸于A点.若圆弧AB等分APOB的面积，且NAOB=a,则舌7=

Idll0C

解析：设扇形的半径为r,则扇形的面积为&r，在RtAPO^中，PB

=ziana,则△POB的面积为5/lana,

答案：

15.已知Q为第三象限角.

⑴求角皴边所在的象限；

(2)试判断tan^sin*x)号的符号.

解：⑴由2E+?tVaV2E+素k£Z,

得2兀+3<与<桁+竽，keZ,

当k为偶数时，角瓢边在第二象限；

当上为奇数时，角f终边在第四象限.

故角今终边在第二或第四象限.

⑵当角斑第二象限时，

tan.VO,sin^>0,cos3V0,

所以tan卷sin*:os卷取正号；

当角触第四象限时，

tan^<0,si成VO,cos^>0,

所以tan/sm]co”也取正方.

因此ta卷in.os推取正号.

C级——拔高创新练

16.在一块顶角为120。、腰长为2的等腰三角形厚钢板废料0A8中用电焊切割成扇形,

现有如图所示两种方案，既要充分利用废料，又要切割时间最短，则方案最优.

所以4=8=5，AM=BN=\tAO=2,

所以方案一中扇形的弧长=2：嚷=为；方案二中扇形的弧长=1义母=孕；

o353

方案一中扇形的面积=：X2X2X*=/,方案二中扇形的面积=：X1X1义空=/

乙IJJ

由此可见：两种方案中利用废料面积相等，方案一中切割时间短.因此方案一最优.

答案：一

第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式

新课程标准考向预测

1.同角三角函数基本关系式

的应用

1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x+

命题角度2.诱导公式的应用

,sinx

cosx-btcosx-tanx-

3.同用三角函数基本关系式

2.借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公与诱导公式的活用

式俘:a、n±a的正弦、余弦、正切)

核心素养数学运算

隧:点浇实

知识重点准疑点清结论要熟记课前自修

［知识梳理］

1.同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2a+cos2a=1；

(2)商数关系：tan&=妥.平方关系对任意角都成立，而商数关系中arE+和YZ).

2.诱导公式

—»二三四王六

2桁+

7t7t.

7i+a-a7i-a2~a爹+〃

a伏WZ)

sina—sina—sinasin，cos_acos_a

cosa—cosacosa-cos_asin_a-sin_a

tanatana-tana-tan_a

诱导公式可简记为：母变偶不变.符号看象限.••奇”••偶”指

的是”・冷十京―，）”中的k是奇数还是偶数.“变”与••不

变”是指函数的名称的变化•若k是奇数.则正、余弦互变；

若k为偶数.则函数名称不变.“符号看象限''指的是在••友・

肯~+o（良£，）“中•将Q看成锐角时•£■+a（员£/）”的

终边所在的象限.

［常用结论］

同角三角函数的基本关系式的常见变形

(l)sin2a=1-cos2a=(l+cosa)(l-cosa)；

cos2a=1-sin2a=(l+sina)(l-sina)；

(sintt±cosa)2=l±2sinacosa.

(2)sina=tanacos自+E,.WZ)

［基础自测］

一、走进教材

1.(必修4P2()练习T］改编)已知sina=坐则tana=()

A.-2B.2

C，2D.—2

解析：选D因为，WaWir,所以cosa=—yj1—sin2a=*~^5^=一4^，所以tan

sinaI

cosa~2'

2.(必修4P29B组T2改编)已知sinW+a)=］,那么cosa=()

A.B.

C.1D.|

解析：选CVsin^+a^sin^+a^cosa,Acos«=1.

cos0

3.(必修4P2练习改编)若sin6cos。=］，则tan夕+布工=.

砧士匚.一।cos6sin6।cos。1八

解析：tan0+smj-os6>+sin厂cosOsin3~2-

答案：2

二、走出误区

常见误区：①用平方关系求角时，没有考虑角的象限致误：②诱导公式记忆不熟致误.

2

4.已知cosE+a）=§,贝Utana=（

B答

R2A/5

D.土；

2

解析：选C因为cos（7c+a）=§,

2

所以cosa=—2,

则a为第二或第三象限角，

所以sina=±\j1-cos2a=

“，si.na等Jyj《j

所以3na=a%=二

~3

5.sin2490°=

解析：sin2490°=sin（7X360。-30。）=一sin30°=

cos（普=527r1671+冗+?

cos3=cos

【分】类关城

理解透规律明变化究其木课堂讲练

考点一［定向精析突破］

同凭三角函数基本关系式的应用

考向（一）“知一求二”问题•

［例1］已知了£（今，兀），tanx=-*则cos（—x—5等于（）

44

C--

5D.5

4

［解析］:lank予

Acosx=-|sinx,

:.sin2x+cos2x=sin2x4-^sin2j=y|sin2x=1,

16

2X4

=-

2>5

4sinxe

OS

44

+X-

-X5

［答案］C

考向（二）sina,cosa的齐次式问题•

［例2］已知潦詈r-L求下列各式的值:

sina-3cosa

⑴sina+…

(2)sin2«+sinacosa+2.

［解］由已知得tana=；.

sina_3cosatana—35

(1)------:---------=-------r-r=-T

sina+cosatana-r13

(2)sin2a+sinQCOSa+2

sin2a+sinacosa

=-r~~5—+2

sin-a+cos-a

tan2a+(an«,

=ta/a+l+之

考向（三）"sina土cosa,sinacosa”之间的关系的应用

［例3］已知］£（一%，0）,sinx+8sx=亍

(1)求sinx—cosx的值;

sin2r+2sin%

(2)求的值.

1-tanx

［解］(1)由sinx+cosx=g,

平方得sin2x+2sinxcosA:+COS2X=^,

整理得2sinxcosx=—

i49

/.(sinA—cosx)~=1-2sinxcosx=行

由x£(一兀，0),知sinx<0,

又sinx+cosx>0,

cosx>0,则sin%—cosA<0,

.7

故smx—cosx=­y

sin2工+2$2%2sinx(cosx+sinx)

⑵1—tanx-]sinx

cosx

2sinxcosx(cosx+sinx)

COSA:-sinx

7175-

5

［规律探求］

考向（一）是公式的直接应用，即已知sina,cosa,tana中的一个求另外两个

的值.解决此类问题时，直接套用公式sida+cos2a=1及tana=黑吃即可，

看但要注意a的范围，即三角函数值的符号.

个考向（二）的分式中分子与分母是关于sina,cosa的齐次式，往往转化为关于

性tana的式子求解.

考向（三）是考查sina±cosa与sinacosa的关系.

对于sina+cosa,sina—cosa,sinacosa这三个式子，利用（sinatcosa>=

l±2sinacosa,可以知一求二.

⑴利用sin2a+cos%=l可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角a所在象

找

限确定符不；利用;os〃一（ana可以突现前a的弦切互化；利用（sina±cosa）一

共

性=l±2sinacosa的关系可实现和积转化.

（2）注意方程思想与转化思想的应用.

［跟踪训练］

1.已知。£（0,兀），且cosa=一百，贝lj$•卷一a}tana=（）

12B,七

A.-f3

-12

Cl3

512

解析：选（）=由诱导公式及同角三角函数的

CVae0,7t,JLcos«=-13'Asin«YJ»

sina._12_

商教关系知sinl的ksina=声故选C.

.sina+3cosa则cos2a+^sin2a=（）

2.（2019•平顶山联考）已知:;-------:-=5,

3cosa—sina

3

AB.

-55

C.-3D.3

,sin6t+3cosa,jana+3一皿

解析：选A由=7^=5得m^=5,可得tana=2,

cos2a+sinacosa1+tana3

则cos2an2。=cos%+sinacosa=

cos2a+sin2a1+tan2c5,

3.已知sinacosa=3g,且兀*。4兀，贝ijcosa-sina的值为（）

A.；口1

B.±2

c-4D.-z

3

-

）_

8"sina~=cos_a2sinacosa+sin~a=1-2sin

acosa=1-2X1=w，因为faq,所以cosavsina,即cosQ-sina<0,所以COSQ-sina=

1

-2,

考点二［师生共研过关］

诱导公式的应用

噌⑴…与青蔻r…贝T

(2)已知cos6-0)=a,则cos停+0)+sin停一0)的值是

心(一2sina)(—cosa)+cosa2sinacosa+cosacosa(1+2sina)

］(1)大A")j+sin2a+sina—cos2a2sin2a+sinasin«(l+2sina)

熹,所以：一钓=(1230二(：*。=+=小.

tanrVJ成-4兀+乞la咔

⑵因为cos管+8)=COS［L《一e)］=_cos/一夕)=_〃，sin停-e)=sin|^+《一@=

cos6一。)=〃，所以cos管+@+sin停一。)=0.

［答案］(1)^3(2)0

［解题技法］

1.学会巧妙过渡，熟知将角合理转化的流程

任意负利用诱任意正利用诱导。〜2”利用诱导锐角

角的三导公共一角的三公式一.的角的三吗.三角

角函数三或一角函数角函数或四或五函数

也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了.”

2.明确三角函数式化简的原则和方向

⑴切化弦，统一名.

(2)用诱导公式，统一角.

(