高一数学新人教版(A版) 必修第1册：两角和与差的正弦,余弦和正切公式(2)-教学设计

课程基本信息

学

课例编号2020QJ10SXRA056数学年级高一学期第一学期

科

课题两角和与差的正弦，余弦和正切公式（2）

书名：普通高中教科书数学必修第一册（A版）

教科书

出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月

教学人员

姓名单位

授课教师许绮菲北京一七一中学教育集团

指导教师李颖北京市东城区教师研修中心

教学目标

教学目标：

1.以两角差的余弦公式为基础，用逻辑推理的方法得到两角和与差的正弦，余

弦及正切公式，熟记公式，掌握公式的功能及其结构；

2.初步应用这些公式，在引导学生进行观察，比较确定差异，寻找联系及联系

的途径的过程中，帮助学生认识三角函数式的特征，体会三角恒等变换的特点，发展学生数

学运算素养；

3.提升学生思维的有序性，逐步培养良好的思维习惯，发展学生逻辑推理素养，

培养数学整体观．

教学重点：

两角和与差的正弦、余弦和正切公式及其功能、结构、简单应用．

利用已知的函数模型解决实际问题.

教学难点：

两角和与差的三角函数与圆旋转对称性间的联系及对公式的全面理解．

教学过程

教学环

时间主要师生活动

节

１分新课引一新课引入

钟入上节课我们利用圆的旋转对称性推导出两角差的余弦公式，请同学们

在回顾推导过程的基础上写出差角的余弦公式

cos()coscossinsin

此公式给出了任意角的正弦、余弦与其差角的余弦之间的关系．

二新课讲解

问题１由两角差的余弦出发，你能推导出两角和的余弦公式吗？

追问1：比较cos()与cos(+)，它们的异同点是什么？

它们都是角的余弦，只是角的形式不同．

追问２：与+之间有何种联系呢？

一方面从运算的角度看，将加法转化为减法：

cos(+)cos[()]；另一方面可以从换元角度考虑，将两角差的

余弦公式中的换为．

追问３：基于上述差异与联系，如何由两角差的余弦公式得到两角和

的余弦公式？

新课讲

cos()cos()

解

coscos()sinsin()．

coscossinsin

问题２你能根据两角和与差的余弦公式推导出用任意角，的

正弦、余弦表示的sin()及sin()公式吗？

８分

钟

追问1：比较cos()与sin()，它们的异同点是什么？

它们包含的角相同，但是函数种类不同．

追问2：角的正弦与余弦是否可以建立联系呢？

通过诱导公式五（或六）可以实现正弦与余弦的互化．

追问3：诱导公式五及诱导公式六是什么呢？

π

sin()cos，

2

π

cos()sin，

2

π

sin(+)cos，

2

π

cos()sin．

2

追问４：基于上述差异与联系，如何由两角差的余弦公式得到两角差

的正弦公式？

ππ

sin()cos()cos()

22

ππ

cos()cossin()sin

22

sincoscossin

追问５：依照上述解决问题的思路，你能直接写出两角和的正弦公式

吗？

sin()sincoscossin

问题３你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，从两角

和与差的正弦，余弦公式出发，推导出用任意角，的正切表示

tan()，tan()的公式吗？

追问１：如何用正弦函数、余弦函数表示正切函数？

sin

tan．

cos

追问２：:两角和的正切公式是否可以利用两角和的正弦公式与余弦公

式求得？

sin()sincoscossin

tan()．

cos()coscossinsin

追问３：如何进一步转化为用任意角，的正切表示tan()？

通过对分子、分母同时除以coscos转化，即

sincoscossin

tan()

coscossinsin

tantan

=.

1tantan

追问4：如何用任意角，的正切表示tan()？

tantan

tan()=.

1tantan

教师小结：用逻辑推理的方法我们以两角差的余弦公式

cos()coscossinsin为基础，将两角差的余弦公

式中的换为或者利用cos(+)cos[()]得到两角和的余弦

公式cos()coscossinsin．

例利用诱导公式五（或六）建立余弦与正弦的关系，得到

９分题

sin()sincoscossin；进而类似的得到

钟讲

解

sin()sincoscossin．

利用正切函数与正弦函数与余弦函数的联系得到

tantan

tan()=；

1tantan

tantan

tan()=.

1tantan

同学们要逐步掌握公式的功能及其结构，熟记公式．

公式，，给出了任意角，的三角函数值与

S()C()T()

其和角+的三角函数值之间的关系．为方便起见，我们把这三个公式都

叫做和角公式．类似地，，，都叫做差角公式．

S()C()T()

问题４如何利用利用两角和与差的正弦公式求sin75的值呢？

sin75sin(4530)

sin45cos30cos45sin30

62

.

4

sin75sin(12045)

sin120cos45cos120sin45

62

.

4

问题５和（差）角公式中，，都是任意角．如果令为某

些特殊角，就能得到许多有用的公式．你能从和（差）角公式出发推导出

诱导公式吗？你还能得到哪些等式？请同学们课下思考．

三例题讲解

3π

例３已知sin，是第四象限角，求sin()，

54

ππ

cos()，tan()的值．

44

π

问题６根据题目已知条件，求解sin()的值会联系到什么公

4

式？

联系到两角差的正弦公式

sin()sincoscossin．

追问１：本题利用两角差的正弦公式求解时两角分别是什么？

π

及．

4

π

追问２：在求解过程中需要用到及哪些三角函数值？哪些值需要

4

根据已知进一步求解？

ππ

需要用到cos，sin，sin，cos四个值，cos需要根据已知

44

条件进一步求解．

3

解：由sin，是第四象限角，得

5

34

cos1sin21()2

55

3

sin3

所以tan5．

cos44

5

于是有

πππ

sin()sincoscossin

444

242372

()；

252510

追问３：如果去掉已知条件中给出的“是第四象限角”这一限制条

件，对求解过程和结果会有什么影响？

3

由于sin0，是第三象限或第四象限角，去掉这一限制条

5

42

件后要分类讨论，当是第三象限的角时，cos．结果为．

510

追问４：能否借鉴第（1）问经验求解第（2），（3）问？

πππ

cos()coscossinsin

444

242372

()；

252510

π

tantan

πtan1

tan()4

π

41tantan1tan

4

3

1

4=-7.

3

1()

4

追问5：由以上解答可以看到，在本题条件下有

ππ

sin()cos()．

44

那么对于任意角，此等式成立吗？若成立，你能予以证明吗？

这一计算结果具有一般性，对于任意角，

ππππ

sin()sin[()]cos()成立．

4244

例４利用和（差）角公式计算下列各式的值：

（1）sin72cos42cos72sin42；

（2）cos20cos70sin20sin70；

1tan15

（3）

1tan15

问题７和、差角公式把的三角函数式转化成了，的三

角函数式．本题呈现的为，的三角函数式，如何求解呢？

我们可以尝试从右到左使用公式，就可以将上述三角函数式化简．

（1）sin72cos42cos72sin42

追问1：在（1）中涉及了哪些角？

涉及了两个角：72及42．

追问２：（１）式的形式能联系到哪个公式？

能够联系到两角差的正弦公式

sin()sincoscossin．

解：由上述分析有

sin72cos42cos72sin42

=sin(7242)

sin30

1

.

2

追问３：根据第（1）问的经验，能否独立解决第（2）问？

３分

（2）中涉及了两个角：及，能够联系到两角和的余弦公式，

钟2070

课堂小于是有

结

cos20cos70sin20sin70

cos(2070)

cos90

0.

1tan15

追问４：能够联系到哪个公式？

1tan15

形式与两角和的正切公式

tantan

tan()=

1tantan

相似，但是只涉及了一个角15．

追问５：回顾例3求解过程

π

tantan

πtan1

tan()4

π

41tantan1tan

１分4

钟3

1

4=-7.

3

1()

作业4

能否有启发？

可以考虑把1转化为tan45，利用两角和的正切公式求解．

解：

1tan15tan45tan15

=

1tan151tan45tan15

tan(4515)

tan60

3.

四课堂小结

本节课我们以两角差的余弦公式为基础，用逻辑推理的方法得到两角

和与差的正弦，余弦及正切公式．

问题８你能准确写出这些公式吗？