高一数学新人教版(A版) 必修第1册：二次函数与一元二次方程、不等式(1)-教学设计

课程基本信息

课例编号2020QJ10SXRA012学科数学年级高一学期QJ

课题二次函数与一元二次方程、不等式（1）

书名：高中数学人教A版必修一

教科书

出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月

教学人员

姓名单位

授课教师刘鹏北京市第一六六中学

指导教师李颖北京市东城区教师研修中心

教学目标

教学目标：

1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义；

2.理解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，认识到函数的重要性，体会数学的整体性；

3.能够体会归纳，概括的方法，把握三者之间的内在联系，借助二次函数，求解一元二次不等式，渗

透数学建模的素养，提升数学运算素养.

教学重点：

从函数的观点看一元二次方程、一元二次不等式，在建立二次函数与一元二次方程、不等式的联系中，

获得用二次函数求解一元二次不等式的一般性方法.

教学难点：

从函数的观点看一元二次方程、一元二次不等式，并归纳概括出一元二次不等式的一般性解法.

教学过程

时间教学环节主要师生活动

同学们，大家好，今天我们来一起学习第二章第三节，二次函数与一元二次

方程、不等式.二次函数与一元二次方程我们已在初中学过，你还记得它们吗？

我们先来复习二次函数的图象及性质：

图象为一条抛物线，开口向上2（）或者向下（），是轴对称图形，

�=��+��+��≠0

这条抛物线与轴是否相交以及交点个数我们可以由判别式来判断：

�>0�<0

当时，这条抛物线与轴有两个不同的交点；2

�∆=�−4��

当时，这条抛物线与轴有且仅有一个交点；

∆>0�

当时，这条抛物线与轴无交点；

∆=0�

那么我们如何求解交点的横坐标呢？

∆<0�

借助一元二次方程：

当时，一元二次方2程有两个不相等的实根

��+��+�=0�≠0

∆>0，

22

−�+�−4��−�−�−4��

122�

当�=时2，�一元二次�方=程有两个相等的实根：

�

当∆=0时，方程无实根.�1=�2=−2�

5引入下面我给出一个新的定义，二次函数的零点.

∆<0

二次函数的零点：一般地，对于二次函数，我们把使

22

的实数叫做二次函数的零点.所以，�=求�解�二+次�函�+数�的零点，就是�求�解+

�二�次+函�数=图0象与轴�交点的横坐标，也就是求一元二次方程的根，

所以零点的可能情况与方程解的情况是相同的.2

���+��+�=0

那何为一元二次不等式呢？顾名思义，它也应该是一元二次大家族里的一个

成员，同时它又属于不等式的范畴，在介绍他之前，我们先来看一个实际问题！

引例：我家里有一块空地，根据它的大小我买了一段24米长的栅栏.我想用

这段栅栏围成一个面积大于20平方米的矩形苗圃.设该矩形的一边长为米，请你

确定实数可以取哪些值？

�

�

我们设矩形的一边长为米，其邻边的长度就为米.

学生活动一：

�12−�

同学们，你能把这道题中对于矩形面积的要求转化为一个不等式吗？

对矩形面积的限制可以用不等式表示：

大家在处理实际问题时一定要注意未知数的实际意义，这往往会带给未知数

�12−�>20

一些限制：与均表示栅栏的长度，所以.

怎么解这个不等式呢，很多同学是不是已经跃跃欲试了？！

�12−�0<�<12

尝试一：观察这个不等式的形式，左侧是两个因式与相乘的形式，

我们能否利用这个特征来解呢？

�12−�

右侧的20可以分解为，显然，

346

20=4×5=2×10=1×20

986

�

没什么有用的规律，所以从这个特征出发不易求解，即便现在解出来了，如

12−�

果把20换成非常大的数字就不好解了.

尝试二：有些同学注意到且这个特征，运用不等式同解原理，

15给出定义两侧同时除以或者，转化为：

�>012−�>0

探索解法

�12−�或

2020

虽然左侧化为了一元一次形1式2，−但�右>侧�是分式�形>式1，2−仍�然不能求解！

显然这是一类我们不曾接触过的不等式，用我们已学的方法解决不了.我们先

来研究一下，应该如何为它命名.我们回想一下一元一次不等式，它只含有一个未

知数，所以叫做“一元”.我们再来看这个不等式（用手指着屏幕），它也只含有

一个未知数，所以它是一元的.接下来看它的次数，不等式经过去括号运算，再

将左侧的移至右侧，整理为，左侧代数式中未知数

�

的最高次项的次数2为2次，所以我们应该2称它为一元二次不等式！

12�−��−12�+20<0�

定义：我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一

元二次不等式，他的一般形式是：

或

当然，还包括2或2

��+��+�>0��+��+�<0

其中，为常2数，.2

��+��+�≥0��+��+�≤0

这道实际问题中涉及的一元二次不等式的一般形式：

�,�,��≠0

怎么求解呢？让我们来观察它左式的特征吧，如果把未2知数换成，你是不

�−12�+20<0

��

是会联想到二次函数？那么这二者之间是否存在关联呢？如果

你想不到的话，可以换成一2次函数与一元一次不等式，

�=�−12�+20

二者有何关联呢？

�=12�+2012�+20<0

首先，我们会发现就是函数值.

解不等式，就是求解2未知数取哪些值能使，转化为二次函

�−12�+20<0�<0

数，就是求解自变量取哪些值能使函数值.2这时，我们自然会想到利用二次

��−12�+20<0

函数的图象.

��<0

右图是这个二次函数的图象，很显然，自变量在这一范围（用手指着屏幕比

划）内取值时，函数值.由图可知，的可能取值有无穷多个，不可能一一求

�

出，要想表达的取值范围，必须求出这个范围的边界值！

�<0�

如何求解边界值呢？

�

我想这可难不倒聪明的同学们，对不对？这些边界值正是二次函数的零点值，

也是对应的一元二次方程的根啊！

我们用一元二次方程来解出边界值.

计算判别式2，

�−12�+20=0

2

求根公式：∆=−12−4，×1×20=64>0，

12−6412+64

所以边界值为�1=2，=2�，2=2=10

所以不等式的解集为.

�1=2�2=10

答：这个矩形苗圃的边长取大于2且小于10的数时，苗圃的面积会大于20

�2<�<10

平方米.

�

学生活动二：

借助这个例题，我们认识了一种新的不等式—一元二次不等式，并且尝试利

用二次函数与一元二次方程解出了它的解集.同学们，现在你们能否自己写出一个

一元二次不等式并把它解出来呢？

你们看，我写出了两个一元二次不等式，你能把它们解出来吗？

例1.求解下列关于的一元二次不等式

（1）

�

特征：这2个不等式的不等号是“>”号.

�−5�+6>0

分析：设二次函数，绘出其图象，观察图象的哪些特征呢？

开口方向与零点.2

�=�−5�+6

解一元二次方程，得到二次函数的零点：，，

看函数的图象，写2出不等式的解集：或.

�−5�+6=0�1=2�2=3

（2）

��>3�<2

特征：一般式2，，二次项系数为负值，不等号为“”号.

2�−�+3<0

分析：有两种解法，2

−�+2�+3<0<

法一：设二次函数，绘出其图象，要注意开口是向下的.

解一元二次方程2，得到二次函数的零点：

�=−�+2�+3

，，2

−�+2�+3=0

看函数的图象，写出不等式的解集：或.

�1=−1�2=3

法二：一般式，二次项系数变为正值，不等号为“”号.

��>3�<−1

设二次函2数，绘出其图象，开口向上.

�−2�−3>0>

解一元二次方程2，与同解，得到：

�=�−2�−3

，，22

�−2�−3=0−�+2�+3=0

看函数的图象，写出不等式的解集：或.

�1=−1�2=3

��>3�<−1

学生活动三：

通过这两个例子，我们发现在解一元二次不等式的过程中，二次函数与一元

二次方程起到了举足轻重的作用，更确切地说，我们在二次函数的图象中看出未

知数的取值范围，利用一元二次方程解出这个范围的边界值.由此可以看出，二

次函数、一元二次方程、一元二次不等式，这三者是紧密联系在一起的，我们应

�

该如何描述他们之间的关系呢？

二次函数

一元二次方程：2

�=��+��+��≠0

一元二次不等式：2或，

��+��+�=0�≠0

通过每一个二次函数2，我们可以构造与之对2应的一元二次方程与一元二次不

��+��+�>0��+��+�<0�≠0

等式，它们左侧的代数式与函数的解析式是完全相同的.从这个角度来说，方程本

质上就是在解自变量取何值时函数值等于零，对应的就是二次函数的零点，不等

式就是在解自变量取何值时函数值大于零或小于零，不等式解集的边界值就是二

次函数的零点，也就是方程的解，方程与不等式合在一起解决了自变量取何值时

函数值为正、为零、为负的问题！

从这个角度思考，在解一元二次不等式时，我们回归到二次函数是很自然的

事情啊！二次函数是本质嘛！

接下来，我们就尝试初步得出一元二次不等式的通用解法：

对于一元二次不等式或，

第一步，我们设二次函数22

��+��+�>0��+��+�<0�≠0

观察开口方向，并计算零点.其2实我们可以改进这一步，通过例1（2）我们

�=��+��+��≠0

不难发现，开口向下的情形可以通过在不等式两侧同乘转化为开口向上的情

形，只需改变不等号的方向.所以在这里我们只需归纳概括

−1

一元二次不等式或

的通用解法.22

��+��+�>0��+��+�<0�>0

第二步，通过解一元二次方程：解出二次函数的零点.前

面的例题都是有两个不等实根的情2形，请同学们回忆一下，实际上一元二次方程

��+��+�=0�>0

的解有几种情况啊？

当时，方程有两个不相等的实根，，；

−�+∆−�−∆

∆>0�1=2��2=2�

当时，方程有两个相等的实根，；

�

当∆=0时，方程无实根，函数无零点.�1=�2=−2�

那么这三种情况下，不等式的解集分别是什么呢？

∆<0

请各位同学完成下表：

一元二次不等式或的解集的一般性结

论22

��+��+�>0��+��+�<0�>0

判别式

2

∆=�−4��∆>0∆=0∆<0

二次函数

O

L

2O=

�=�的�图+象��+�O

一元二次方程

无实根

−�±∆

2

1,212�

��+的��根+�=0（�不妨=设2�）�=�=−

2�

�1<�2

2或

的解集R

��+��+�>0�

��<�1�>�2��≠−

2�

2

��+的�解�+集�<0

��1<�<�2

练习.求解下列关于的一元二次不等式

（1）

�

解：设二2次函数

9�−6�+1>0

2

开口向上，�=9�−6�+1，零点为