高二数学 新人教版(A版) 选择性必修1：抛物线的简单几何性质-教学设计

课程基本信息

课例编号2020QJ11SXRA043学科数学年级高二学期上学期

课题抛物线的简单几何性质

书名：普通高中教科书数学选择性必修第一册A版

教科书

出版社：人民教育出版社出版日期：2020年5月

教学人员

姓名单位

授课教师刘薇北京市第二十五中学

指导教师雷晓莉北京市东城区教师研修中学

教学目标

教学目标：借助抛物线的图形和标准方程理解抛物线范围、对称性、顶点、离心率等几

何性质.

教学重点：抛物线的简单几何性质.

教学难点：应用坐标法解决一些与抛物线有关的问题.

教学过程

教

学

时间主要师生活动

环

节

问题1：在椭圆、双曲线里我们研究了它们的哪些几何性质？用什么方法研究

的？

1引

追问：你认为我们要研究抛物线的哪些几何性质？如何研究这些性质？

分钟入

范围，对称性，顶点，离心率；类比椭圆、双曲线研究几何性质的方法，

依然用先直观猜想，再方程验证的研究方法.

问题2：以开口向右的抛物线为例，对范围、对称性、顶点、

2

离心率逐一研究.�=2𝑝�>0

6新（1）范围：

分钟课追问1：观察直角坐标系中的抛物线，它的范围是什么？你能用它的方程给出

证明吗？

抛物线开口向右，除原点以外，曲线上其他的点都在轴右侧，向右上方

�

和右下无限延伸.

从方程可知，因为，等号左边是完全平方，所以

2

对于抛物线上�的=点2𝑝�，>0，都有x0，�>y0R；当x的值增大时，的值

也增大，这说明抛物�线�向右�上方和右下方无限延展.�

（2）对称性：

追问2：观察方程的曲线，开口向右的抛物线有对称轴、对

2

称中心么？类比椭圆�、=双2曲𝑝线�对>称0性的证明，你能从抛物线的方程入手，给出

证明吗？

由图象可知，方程的曲线关于轴对称，没有对称中心.

2

以代替，我们发现�方=程2𝑝�>0不变�，所以抛物线关于轴对

2

称.−我�们把抛�物线的对称轴叫做�抛=物2线𝑝的�轴>.0�

（3）顶点：

追问3：椭圆、双曲线的顶点如何定义的？

曲线与对称轴的交点叫做曲线的顶点，所以椭圆有四个顶点，双曲线有两

个顶点.

追问4：抛物线有几个顶点？能证明吗？

抛物线与对称轴交于原点，从方程来看，当时，，因此，抛

物线只有一个顶点，就是原点.�=0�=0

（4）离心率：0,0

它的定义是：抛物线上的点与焦点的距离和点到准线的距离的

MF����

比，叫做抛物线的离心率，用表示.由抛物线的定义可知，.

d

��=1

另几种开口方向的抛物线的性质，请同学们用同样的方法探究一下.

问题3：已知抛物线关于轴对称，它的顶点在原点，并且经过点

，，求它的标准方�程.

知

13识�追问21：−根2据2给定的条件，怎么求抛物线的标准方程？

分钟应根据待定系数法，设抛物线的方程，代入经过的点的坐标就可以确定

用

系数的值.�

追问�2：此题选择哪种抛物线的标准方程呢？

由于抛物线关于轴对称，顶点在原点，经过的点在第四象限，所以可

以判定抛物线开口向右�，焦点在轴的正半轴上，所�以设它的标准方程为

�.

2

因为点在抛物线上，�所=以2代𝑝入�坐>标0，得

�

2

解得.−22=2�×2�>0

因此，�所=求2抛物线的标准方程是

.

2

追问3：如果把条件“关于�轴=对4�称”改为“对称轴是坐标轴”，那么结果有

变化吗？�

点在第四象限，那么抛物线除了关于轴对称，还可以关于轴对称，

即开口向�下.��

此时，设标准方程为，同样采用待定系数法，代入点

2

�=2���>0�

2

的坐标，得，解得p.因此，所求抛物线的

22

2=2�×−22�>0

标准方程是.因此，如果条件“关于轴对称”改为“对称轴是坐

2

标轴”，那么�结=果−有两2�个，分别是，�.

22

小结：选择抛物线的标准方程是解�题的=关4�键点�，=所−以在2�设方程之前，先确定抛

物线的开口方向，而后，抛物线方程中只有一个待定系数，所以只要一个条

件就可以带入求值了.�

问题4：斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于

2

，两点，求线段的�长.�=4��

�追问�1：在前面椭圆、��双曲线的学习中，我们也遇到过类似的直线与椭圆、双

曲线相交的问题，回忆一下是如何解决的，对于这道题，你有什么解答思路？

解法一：可求得，直线的方程为

联立直线的方程�与抛物线�的=方�程−，1.

�2=�−1,

整理得.�=4�.

2

�−6�+1=0

x322，x3-22，

用求根公式解得或

y222.y2-22.

即，，，

由两�点3+间2距离2公2式+，2得2�3−222−22.

22

��=�2−�1+�2−�1

22

即线=段3的+长2为28−.3+22+2+22−2+22=8.

小结：这种方法与�之�前直线与椭圆、双曲线相交问题上所使用的方法是统一的，

说明它具有一般性，为我们解决直线与圆锥曲线问题提供了基本的解题思路.

但是在计算时有些麻烦.

追问2：能否不求出，两点的坐标而求出||呢？

在两点间距离公�式���中，我们只要求出

22

，的值�就�可=以求�2出−�1，+由此�2得−到�1解决这个问题的第二种

22

方�2法−.�1�2−�1��

解法二：设，，，，将直线的方程与抛物线

的标准方程��联1立�，1代入�消�元2得�2�，所以�=可�得−1，

22

，�=4��−6�+1=0�1+�2=6

�1�2=1

222

因为�2−�1，=�1+�2，−4�1�2=6−4×1=32.

22

所以，�1=�1−1�2=�2−1�2−�1=�2−�1.=32.

22

小结：相较第�一�种=解法�，2应−用�1一元+二�次2−方�程1根=与系3数2+关3系2，=计8算过程简化很多，

所以在解决数学问题时，希望同学们多注意观察和思考，用最简便的方法解决

问题.

追问3：根据题目条件作图观察，应用数形结

合的思想，再回忆一下抛物线的定义，有没有

给你一些启发？

解法三：直线过抛物线的焦点，根据抛

物线的定义可知，抛�物线上的点到焦点的距离

与该点到准线的距离相等，所以，

��=��'

那么

��=��'.,

��=��+��=��'+��'p

因为AA∥x轴，所以AA=x.

12

p

同理BB=x.

22

于是得，.

由题意知，��=，��再由+解��法二=，�联�'立+直�线�'的=方�1程+与�2抛+物�线方程，代入

化简得�=2根据根与系数关系，得�.所以，

2

�−6�+1=0..�1+�2=6

所以，线段��的=长�是1+8�.2+�=6+2=8

追问4：如果直线��不经过焦点，那么还等于吗？

由图观察，显�然����1+�2+�

��

��+��=�1++�2+=�1+�2+�

22

所以，如果直>线�不�经过焦点，那么

不等于.�同学们也可以�用代数法��，

设出直线�1+的�方2+程�，与抛物线方程联立，探究

与谁的�值有关，从而发现它的长度不是等

于��.

小结�1：+比�2较+三�种解题方法，可以发现这三种方法各有特点．解法一最直接，具

有一般性，