第六单元面积篇·不规则或组合图形的面积【七大考点】-2023-2024学年五年级数学上册典型例题系列（解析版）北师大版

篇首寄语我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生，但面对琳琅满目的资料时，总是费时费力才能找到自己心仪的那份，编者也常常为此苦恼。于是，编者就常想，如果是自己来创作一份资料又该怎样？再结合自身教学经验和学生实际情况后，最终创作出了一个既适宜课堂教学讲解，又适宜课后作业练习，还适宜阶段复习的大综合系列。《2023-2024学年五年级数学上册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点真题总结与编辑而成的，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、分层试卷篇等四个部分。1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精炼高效，实用性强。4.分层试卷篇，根据试题难度和不同水平，主要分为基础卷、提高卷、拓展卷三大部分，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我改进，欢迎您的使用，谢谢！101数学工作室2023年11月1日2023-2024学年五年级数学上册典型例题系列第六单元面积篇·不规则或组合图形的面积【七大考点】专题解读本专题是第六单元面积篇·不规则或组合图形的面积。本部分内容是组合图形的面积，题目综合性强，难度较大，建议根据学生掌握情况选择性进行讲解部分考点，一共划分为七个考点，欢迎使用。目录导航目录TOC\o"1-1"\h\u【考点一】不规则图形的面积 3【考点二】加法分割思路求图形的面积：S=S1+S2 7【考点三】减法添补思路求图形的面积：S=S整体-S空白 10【考点四】容斥原理 12【考点五】平移法 15【考点六】差不变原理 17【考点七】一半模型：重叠等于未覆盖 19典型例题【考点一】不规则图形的面积。【方法点拨】对不规则图形面积的估算，注意放在表格之中，利用表格求图形的面积。【典型例题1】求不规则图形的面积。你能想办法计算下图的面积吗？（小方格的边长为1厘米。）【答案】39.5平方厘米【分析】如图，将这个图形分成两个三角形和一个梯形，数出需要的数据，根据三角形面积＝底×高÷2，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，分别求出三个图形的面积，相加即可。【详解】7×2÷2＋（5＋7）×5÷2＋5×1÷2＝7＋12×5÷2＋2.5＝7＋30＋2.5＝39.5（平方厘米）【对应练习1】利用方格纸估计自己手掌的面积。【答案】（答案不唯一）35平方厘米【分析】估计不规则图形的面积时，可以根据图形的特点转化成已学过的图形，再利用面积公式来估算面积。如下图：图中每个小方格的面积是1平方厘米，把手掌的形状近似地看成平行四边形。底是5厘米，高是7厘米，根据平行四边形的面积＝底×高，即可计算出手掌的面积。【详解】5×7＝35（平方厘米）【对应练习2】下图中每个小方格的面积是1平方厘米，计算涂色部分的面积。【答案】24平方厘米；32平方厘米【分析】图一涂色部分的面积＝一个边长为8厘米的正方形面积－一个底为8厘米、高为4厘米的三角形面积－一个底为6厘米、高为8厘米的三角形面积，根据正方形面积公式和三角形面积公式，代入数据解答；图二用数小方格的方法估算不规则图形的面积，通常是先数整格数，再数不足格数，整格数按一个面积单位计算，不足格的按半个面积单位计算。【详解】8×8－8×4÷2－6×8÷2＝64－16－24＝24（平方厘米）图一的面积是24平方厘米。观察图形可知，整格28个，不足格8个，28＋8÷2＝28＋4＝32（平方厘米）图二的面积大约是32平方厘米。【对应练习3】一个池塘的形状如下图（涂色部分），图中每个小方格的面积是1平方米，请你估计这个池塘的面积。【答案】101平方米【分析】用数小方格的方法估算不规则图形的面积，通常是先数整格数，再数不足格数，整格数按一个面积单位计算，不足格的按半个面积单位计算。【详解】观察图形可知，整格83个，不足格36个，83＋36÷2＝83＋18＝101（平方米）这个池塘大约是101平方米。【典型例题2】比较不规则图形的面积。看图填空。(每个小方格的边长表示1cm)图形()的面积最大，图形()的面积最小。解析：②；④【对应练习1】下列图形中，面积与其他两个不同的是(

)。A． B． C．解析：C【对应练习2】比一比，看谁的面积大。(在括号里填“＞”“＜”或“＝”)（1）A的面积()B的面积（2）A的面积()B的面积解析：＜；＝【对应练习3】填一填。（1）与图①面积相等的图形有：（）。（2）与图②面积相等的图形有：（）。（3）与图③面积相等的图形有：（）。解析：⑥、⑦；⑤、⑨；④、⑧【考点二】加法分割思路求图形的面积：S=S1+S2。【方法点拨】加法分割思路是把所求图形面积分割成几块能用公式计算的规则图形（三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形），然后分别计算出面积，最后相加得出所求图形的面积。【典型例题】计算下面组合图形的面积。（单位：厘米）

【答案】164平方厘米【分析】观察图形可知，该组合图形的面积等于梯形的面积加上平行四边形的面积，根据梯形的面积公式：S＝（a＋b）h÷2，平行四边形的面积公式：S＝ah，据此进行计算即可。【详解】（8＋14）×6÷2＋14×7＝22×6÷2＋14×7＝66＋98＝164（平方厘米）【对应练习1】计算下面组合图形的面积。（单位：cm）【答案】466cm2【分析】观察图形可知，组合图形的面积＝平行四边形的面积＋梯形的面积，根据平行四边形的面积＝底×高，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据计算求解。【详解】平行四边形的面积：23×12＝276（cm2）梯形的面积：（14＋24）×10÷2＝38×10÷2＝190（cm2）组合图形的面积：276＋190＝466（cm2）组合图形的面积是466cm2。【对应练习2】计算阴影部分的面积。【答案】80平方厘米【分析】阴影部分是由一个底为12厘米，高为5厘米的三角形和一个上底为12厘米，下底为8厘米，高为5厘米的梯形组合而成，那么分别利用三角形和梯形的面积公式求出这两个图形的面积，再相加即可求出阴影部分的面积。【详解】12×5÷2＋（12＋8）×5÷2＝60÷2＋20×5÷2＝30＋50＝80（平方厘米）即阴影部分的面积是80平方厘米。【对应练习3】求下面组合图形的面积。【答案】56cm2【分析】此图的面积＝梯形的面积＋直角三角形的面积，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，三角形的面积＝底×高÷2；依此计算。【详解】（6＋10）×4÷2＝16×4÷2＝64÷2＝32（cm2）8×6÷2＝48÷2＝24（cm2）32＋24＝56（cm2）即组合图形的面积是56cm2。【考点三】减法添补思路求图形的面积：S=S整体-S空白。【方法点拨】减法添补思路是把不规则图形阴影部分面积拓展到包含阴影部分的规则图形中进行分析，通过计算这个规则图形的面积和规则图形中除阴影部分面积之外多余的面积，运用“总的”减去“部分的”方法解得答案。【典型例题】求下图中彩色部分的面积。（单位：cm）

【答案】414cm2【分析】彩色部分的面积等于长方形的面积－空白梯形的面积，将数据代入长方形面积公式：S＝ab及梯形的面积公式：S＝（a＋b）×h÷2，计算即可。【详解】36×24－（18＋36－4）×18÷2＝36×24－50×18÷2＝864－450＝414（cm2）图中涂色部分的面积是414cm2。【对应练习1】计算下面涂色部分的面积。【答案】460【分析】由图知：涂色面积＝平行四边形面积－梯形面积。平行四边形面积＝底×高，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，将数据代入后计算即可。据此解答。【详解】30×20－（10＋18）×10÷2＝600－28×10÷2＝600－140＝460（）涂色部分的面积是360。【对应练习2】求图中阴影部分的面积。

【答案】1300dm2【分析】观察图形可知，阴影部分的面积＝长方形的面积－空白梯形的面积，根据长方形的面积＝长×宽，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据计算求解。【详解】长方形的面积：52×34＝1768（dm2）梯形的面积：（52＋26）×12÷2＝78×12÷2＝468（dm2）阴影部分的面积：1768－468＝1300（dm2）阴影部分的面积是1300dm2。【对应练习3】求出下图的周长和面积。（单位：厘米）【答案】80厘米；186平方厘米【分析】计算出围绕封闭图形一周的线段的长度就是图形的周长；长方形的面积＝长×宽，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，如图所示，图形的面积＝长方形的面积－梯形的面积，据此解答。【详解】周长：20＋12×2＋6×2＋7×2＋10＝20＋24＋12＋14＋10＝（20＋10）＋（24＋12＋14）＝30＋50＝80（厘米）面积：20×12－（20－6×2＋10）×6÷2＝20×12－（20－12＋10）×6÷2＝20×12－18×6÷2＝240－54＝186（平方厘米）所以，图形的周长是80厘米，面积是186平方厘米。【考点四】容斥原理。【方法点拨】重叠、分层思路是图形中不规则的阴影部分看作几个规则图形用不同的方法重叠的结果，利用分层把重叠部分分出来，组成重叠图形各项个规则图形的面积总和减去分掉的那面积，就是剩下所求那部分面积。【典型例题】如图是两个相同的直角梯形叠在一起，阴影部分是一个不规则的图形。（1）利用“转化思想”你知道阴影部分面积和图中哪部分图形的面积相等吗？请将它涂色。（2）请求出阴影部分的面积。（单位：厘米）解析：（1）阴影部分的面积和BFGI的面积相等。如图：（2）（13－3＋13）×4÷2＝23×4÷2＝46（平方厘米）答：阴影部分的面积是46平方厘米。【对应练习1】两个完全一样的直角三角形如下图叠放，求阴影部分的面积。（单位：厘米）解析：（8－2＋8）×4÷2＝14×4÷2＝56÷2＝28（平方厘米）答：阴影部分的面积是28平方厘米。【对应练习2】如图，有两个边长是8cm的正方形卡片叠在一起，求重叠部分的面积。解析：（8－4）×（8－4）＝4×4＝16（cm2）答：重叠部分面积是16cm2【对应练习3】两个完全一样的直角三角形重合部分是三角形HEC（如图）。已知：AB＝10cm，HE＝5cm，CF＝6cm，图中阴影部分面积是多少？解析：S阴影＝S三角形DEF－S三角形HEC＝S三角形ABC－S三角形HEC＝S梯形ABEH因为BE＋EC＝CF＋EC，所以BE＝CF（5＋10）×6÷2＝15×6÷2＝45（平方厘米）答：阴影部分的面积是45平方厘米。【考点五】平移法。【方法点拨】通过平移法，我们往往可以把不规则图形转变为已学的规则图形，进而求出图形的面积。【典型例题】如下图，是一块长方形草地，长方形的长是20米，宽是12米，中间有两条宽2米的道路，一条是长方形，一条是平行四边形，那么有草部分（阴影部分）的面积有多大？解析：（20－2）×（12－2）＝18×10＝180（平方米）答：有草部分的面积有180平方米。【对应练习1】四季公园里有一块长方形地，长15.6米，宽10米。图中白色部分是一条小路，宽是2米。园林工人计划在阴影部分种上鲜花，栽种鲜花的面积是多少平方米？解析：如图：把空白部分分为两部分，蓝色部分向上平移得到一个长15.6米，宽2米的长方形；黄色部分向右平移得到一个长（10－2）米，宽2米的长方形；栽种鲜花的面积＝长方形地的面积－空白部分小路的面积，据此解答。空白部分的面积：15.6×2＋（10－2）×2＝15.6×2＋8×2＝31.2＋16＝47.2（平方米）栽种鲜花的面积：15.6×10－47.2＝156－47.2＝108.8（平方米）答：栽种鲜花的面积是108.8平方米。【对应练习2】求阴影部分面积。（单位：m）

解析：30×20－2×30－2×20＋2×2＝600－60－40＋4＝504（平方米）答：阴影部分面积的面积为504平方米。【对应练习3】公园里有一块长36m、宽23m的长方形草地，中间有一条宽2m的小路(如下图)，求种草的面积是多少平方米．解析：(36－2)×23＝782(m2)【考点六】差不变原理。【方法点拨】差不变思想，即利用等式的性质来求面积：如果S甲=S乙，那么S甲+S空白=S乙+S空白，反之亦可。【典型例题】如下图，正方形ABFD的边长为6cm，FC＝7.5cm，涂色部分甲的面积比涂色部分乙的面积大多少？（单位：厘米）解析：6×（6＋7.5）÷2－6×6＝6×13.5÷2－36＝40.5－36＝4.5（平方厘米）答：涂色部分甲的面积比涂色部分乙的面积大4.5平方厘米。【对应练习1】看图计算。如下图，ABCD是边长为10厘米的正方形，三角形ABF比三角形CEF的面积大20平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？解析：10×10÷2－20＝50－20＝30（平方厘米）答：阴影部分的面积是30平方厘米。【对应练习2】如图，ABCD是平行四边形，BC＝8cm，EC＝6cm，阴影部分面积比△EFG的面积大12cm2，求FC的长。解析：分析可知，阴影部分面积－△EFG＝12cm2（阴影部分＋梯形BCFG）－（△EFG＋梯形BCFG）＝12cm2平行四边形ABCD－△BCE＝12cm2△BCE的面积：8×6÷2＝48÷2＝24（cm2）平行四边形ABCD的面积：24＋12＝36（cm2）FC的长度：3