辽宁省名校联盟2025届高三高考模拟（调研卷）（四）数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1辽宁省名校联盟2025年高考模拟卷（调研卷）（四）数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集集合..则（）A B.C.或 D.或【答案】B【解析】由题意得，则，故.故选：B.2.知，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意得，故.故选：A.3.已知在正六边形中，是线段上靠近的三等分点，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】依题意得，因为，所以.故选：C.4.已知函数的部分图象如图所示，其中，若将的图象向右平移个单位长度后关于轴对称，则（）A. B.3 C.4 D.2【答案】D【解析】设的最小正周期为，依题意得，则，所以，因为将的图象向右平移个单位长度后关于轴对称，则，可得，则，当时，，故，将代入可得.故选：D.5.为了加快生产进度，公司决定使用某种检测机器对加工零件的等级（分为一等品和二等品）进行初筛和复查，已知该机器初筛的过程中零件被标记为一等品的概率为，被标记为二等品的概率为，被标记为一等品的零件有的概率为二等品，被标记为二等品的零件中也有的概率为一等品.在初筛的过程中，已知一个零件是二等品，则它被正确标记的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设事件表示“零件为一等品”，事件表示“零件为二等品”，事件表示“零件被标记为一等品”，事件表示“零件被标记为二等品”，则，故，故选:B.6.已知，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，，故，故选：D.7.已知椭圆的左、右焦点分别为，以为圆心的圆经过点，且与轴正半轴交于点，若线段的中点在上，则的离心率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设，由题知圆的半径为，且，得为等边三角形，则，设线段的中点为，则，且，因为点在上，所以得，即，即的离心率为.故选：A.8.已知长方体外接球的表面积为，其中为线段的中点，过点的平面与直线垂直，点在平面与底面形成的交线段上，且，则四面体外接球的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依题意得，解得，如图，取线段的中点，连接，平面，平面，所以，因为，所以又平面，所以平面，因平面过点，所以平面即为平面，所以点在线段上，因为，所以为线段的中点，且边上的高为，故为等腰直角三角形，且其外接圆半径.设四面体外接球的半径为，则，故所求外接球的体积为.故选:C.二､多选题，本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知实数满足，则（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】由，得，则，对于A，，A正确；对于B，令，，则，B错误；对于C，，则，C正确；对于D，若，则，D错误.故选：AC10.震级是以地震仪测定的每次地震活动释放的能量多少来确定的，我国目前使用的震级标准，是国际上通用的里氏分级表，共分9个等级，其中能量（单位：焦耳）与里氏震级的对应关系为，则（）A.若某次地震的震级不超过2级，则产生的能量低于焦耳B.若某次地震的震级超过4级，则产生的能量高于焦耳C.5级地震的能量是4级地震的能量的100倍D.3级地震的能量是7级地震的能量的【答案】ABD【解析】记表示震级为级地震的能量，对于项，若，则，所以，故A项正确；对于B项，若，则，所以，故B项正确；对于C项，，则，故C项错误；对于C项，，则，故D项正确.故选：ABD.11.已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，是的准线与轴的交点，则下列说法正确的是（）A.若，则直线的斜率为B.C.（为坐标原点）D.当取最小值时，【答案】ABD【解析】依题意得，设直线：，联立得，则，则，解得或，则，或，则直线的斜率，故A项正确.，当且仅当时等号成立，故B项正确.因为，所以，故C项错误.，则，由抛物线的定义可得，因为，所以，当且仅当时取等号，此时，故D项正确.故选：ABD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.展开式中含项的系数为__________.【答案】175【解析】依题意得含项的系数为.故答案为：175.13.已知数列解前项和为，若，则__________，__________.【答案】①.78②.【解析】当时，，解得，当时，，解得，则.当时，由得，两式相减整理得，即，因为，所以数列是首项为9，公比为9的等比数列，则，即.故答案为：78；14.已知正方体的表面积为6，三棱柱为正三棱柱，若，，且在正方体的表面上，则当三棱柱的体积取得最大值时，__________.【答案】【解析】设，则，解得.连接，则，因为平面，所以，因为平面，所以平面，所以.因为，所以，所以，同理可得，因为平面，所以平面，连接，过点作的平行线与交于点，因为，所以，在中，，所以，易得为正三角形，所以，则三棱柱的体积，则，令，解得，当时，，当时，，所以，故当三棱柱的体积取得最大值时，.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知的内角所对应的边分别为，若.（1）求；（2）求面积的最大值.解：（1），得到，由余弦定理知，，因为，所以．（2），得到，当且仅当取等，所以，（当且仅当取等．）故面积的最大值为．16.如图，在直四棱柱中，，点的线段上.（1）是否存在点，使得平面？若存在求；若不存在，请说明理由；（2）若平面里平面夹角的正切值为，求的值.解：（1）依题意得平面平面，所以.取的中点，连接，因为，所以四边形是平行四边形，所以，所以.又平面，所以平面，因为平面，所以，故要使得平面，假设存在点，只需，此时，显然则，易得，所以，所以存在点，且.（2）以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，因为，所以，，则，设，则.因为平面平面，所以，又由（1）知，，所以平面，所以平面的一个法向量为.设平面的法向量为，则取，则，则.设平面与平面的夹角为，因为，所以，所以，解得或（舍去），所以.17.将某新开业的创意甜品店的开业天数与利润（单位：千元）之间的相关数据统计如表1所示.表1102030405050657095120（1）已知与呈线性相关关系，求关于的经验回归方程；（2）为了庆祝甜品店开业两个月，店家在开业刚好两个月这天组织消费者参加消费返利抽奖游戏，游戏规则如下：在抽奖盒中放有5张卡片，其中2张写有“幸运顾客”，3张写有“不要泄气”，一轮次机会中参加游戏的消费者有放回地抽取3次，每次抽取1张卡片，每一轮次抽奖之后根据表3计算奖金，消费金额（单位：元）在的消费者分别有轮次的抽奖机会.已知这天顾客的消费情况以及每一轮次抽奖后具体的奖励情况如下，求这天返利总金额的数学期望.表2消费金额人数622253584表3“幸运顾客”卡片数32其他情况奖励金额（单位：元）30200参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距最小二乘估计分别为.解：（1）依题意得，则1700，，则，，故关于的经验回归方程为.（2）设表示参加一轮次抽奖所获得的奖励金额，则的可能取值为，因为抽取一张卡片，抽到“幸运顾客”卡片的概率，所以，，，所以元，所以元.18.已知双曲线的右焦点为，直线与的右支交于两点.（1）若线段的中点坐标为，求直线的方程；（2）当过点时，过点分别作直线的垂线，垂足分别为，且直线，交于点，求面积的最小值.解：（1）设，则，直线的斜率，因为在椭圆上，则，两式相减得，整理可得，即，可得直线的方程为，即，经检验符合题意，所以直线的方程为.（2）由题意可得：，显然直线的斜率不为0，设直线：，联立方程，消去x整理得，则，且，因为，可得，因为直线的方程为，令，得，因为，可得，所以直线过定点，由对称性可知直线过定点，即直线与的交点为，则，令，则，则，因为函数在区间内单调递减，所以当时，的面积取得最小值，最小值为.19.给定两个正整数，函数在处的阶帕德逼近定义为，且满足（注：为的导函数，为的导函数，为的导函数，以此类推）.已知函数.（1）记为在处的阶帕德逼近，判断函数的单调性；（2），求的取值范围；（3）求证：（为自然对数的底数）.解：（1）由题意得，，由，得，所以，则，由，得，所以，由，得，则，故，则，所以在区间内单调递增.（2