青海省西宁市大通县2025届高考一模考试数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1青海省西宁市大通县2025届高考一模考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合，而，所以.故选：C2.复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】依题意，，所以对应点位于第一象限.故选：A3.已知直线：与圆：交于，两点，则（）A. B.4 C. D.2【答案】B【解析】圆：的圆心，半径，点到直线：的距离，直线与圆相交，则.故选：B4.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的形状是（）A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不确定的【答案】C【解析】因为，，所以，，所以，，易知，即，设，则，，则，可得，所以是锐角三角形.故选：C.5.如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】在正方体中，取的中点，的中点，连接，由是的中点，得，则四边形为平行四边形，，由是的中点，得，梯形是正方体被平面所截得的截面，，，所以所求截面的周长是.故选：B6.已知向量，，若与的夹角为锐角，则x的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为，，所以.又与的夹角为锐角，所以，且与不共线，则，解得，且.即x的取值范围为.故选：C7.已知函数，若正实数a，b满足，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】的定义域为R，且，所以函数是奇函数，又在R上单调递增，由，得，则，即，而，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是．故选：B．8.如图，已知圆台形水杯（不计厚度）的杯口直径为6，杯底的直径为4，高为，水杯中盛有部分水.当杯底水平放置时，杯中水的高度为，将半径为的小球放入杯中，小球被完全浸没，水恰好填满水杯，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】圆台水杯上底面圆半径为，下底面半径为，当杯底水平放置时，液面半径为，为方便理解，画出圆台的轴截面图如下所示：因为此时杯中水的高度为，故为；整个水杯盛满水时的体积为：，未放置小球前水的体积为：，又小球体积为；故，即，解得故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.为了丰富校园文化生活，展现学生的才艺风采，激发学生的艺术创造力和表现力，某校举行了“绽放青春，艺路有你”才艺大赛.甲、乙两位同学才艺表演结束后，6位评委对甲、乙进行打分（满分10分），得到如图所示的折线统计图，则（）A.甲得分的平均数大于乙得分的平均数B.甲得分的众数大于乙得分的众数C.甲得分的中位数大于乙得分的中位数D.甲得分的方差大于乙得分的方差【答案】BCD【解析】甲、乙的得分从小到大排列如下：甲：，乙：，甲得分的中位数为，乙得分的中位数为，甲得分的中位数大于乙得分的中位数，故C正确；甲得分的众数，乙得分的众数为，甲得分的众数大于乙得分的众数，故B正确；甲得分的平均数，乙得分的平均数，所以甲得分的平均数等于乙得分的平均数，故A错误；由图可以看出甲得分的波动比乙大，故甲得分的方差大于乙得分的方差，故D正确.故选：BCD10.已知函数的定义域为，对任意，均满足，且，则（）A.函数为偶函数B.8是的一个周期C.的图象关于点对称D.【答案】BC【解析】对于A，令，得，所以，令，得，即，所以为偶函数，所以，则为奇函数，故A错误；对于B，令，，即，所以4是的一个周期，8也是的一个周期，故B正确；对于C，令，，所以，所以关于对称，且，又周期为4，所以，故C正确；对于D，令，得，即，令，，得，所以，所以，所以，故D错误；故选：BC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.11.函数的极小值是______.【答案】【解析】函数的定义域为R，求导得，由，得；由，得或，因此当时，取得极大值，当时，取得极小值，所以函数的极小值为.故答案为：12.甲、乙等5名学生到这三个公司实习，要求每个公司至少有1人去实习，且每人只能到1个公司实习，则甲去公司实习的不同情况有______种.（用数字作答）【答案】【解析】若公司只有甲名学生，则另外名学生到两个公司，若两个公司各有名学生，则有种，若两个公司有一个有名学生，另一个有名学生，则有种，若公司有名学生，则有种，若公司有名学生，则有种根据分类加法计数原理，共有种.故答案为：.13.已知函数的图象关于直线对称，则下列结论正确的是（）A.B.若，则的最小值为C.若是的极值点，则是函数的零点D.和所有交点的横坐标之和是【答案】ACD【解析】对于A，由的图象关于直线对称，得，而，则，A正确；对于B，，，因此的最小值为的半周期，B错误；对于C，由是的极值点，得，则，即，C正确；对于D，，由解得：或，且在，上的图象分别关于直线，对称，直线和的图象有4个交点，其横坐标由小到大依次为，，因此，D正确.故选：ACD14.已知，分别是双曲线：的左、右焦点，如图所示，点，分别在双曲线的左、右支上，且，若，则双曲线的离心率为______.【答案】【解析】延长与双曲线交于另一点，连接，由，得，由对称性知四边形为平行四边形，设，则，，，在中，，即，解得，设双曲线的焦距为，在中，，解得，所以双曲线的离心率.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设数列的前项和为，且.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和；（3）若，求的最小值.解：（1）因为，令可得，当时，所以作差得，所以，所以，所以是首项，公比为3的等比数列，；（2）因为，所以；（3）因为，所以；又因为，所以，所以，因为单调递增，且，所以，则的最小值为5.16.已知抛物线：，过点的直线交抛物线于，两点，且点到抛物线的准线的距离为.（1）求抛物线的方程；（2）已知为坐标原点，直线的斜率为，的面积为，求直线的方程.解：（1）抛物线的准线方程为，由点到抛物线的准线的距离为，得，解得，所以抛物线的方程为.（2）由（1）知，直线方程为，设，由消去得，则解得或，，，令直线与轴的交点，则的面积，因此，解得，所以直线方程为.17.如图，在四棱柱中，，，，，，分别是棱，的中点.（1）证明：平面.（2）若，直线与平面所成角的正弦值为.①求四棱柱的体积；②求平面与平面的夹角的余弦值.（1）证明：在梯形中，，，则，在中，，，则，，而，平面，所以平面.（2）解：①由，平面，得平面，取中点，连接，由是的中点，得，由（1）知，平面，则是直线与平面所成的角，即，，，所以四棱柱的体积.②连接，由①知平面，，则平面，平面，则，而，于是，又平面，所以平面，因为平面，所以，由是的中点，得，共面，因此是平面与平面的夹角，，所以平面与平面的夹角的余弦值是.18.某餐馆2024年12月份共有800个线上外卖订单，其中好评订单有600个，其余均为非好评订单.为了提升菜品品质，增加营业额，该餐馆在2025年1月份更换了厨师，更换厨师后该餐馆2025年1月份共有2000个线上外卖订单，其中好评订单有1600个，其余均为非好评订单.（1）根据统计数据，完成下列表格，并依据小概率值的独立性检验，分析该餐馆订单的好评率是否与更换厨师有关联.好评非好评合计更换厨师前更换厨师后合计（2）现从更换厨师前的订单中按好评和非好评，按比例用分层随机抽样法抽取8个订单进行电话回访，再从这8个订单中随机抽取3个订单发放新品品尝券并让顾客评价，记抽取的3个订单中好评的订单个数为，求的分布列和数学期望.（3）用样本频率估计总体概率，现从更换厨师后所有订单中随机抽取100个订单，记其中好评的订单个数为，求使事件“”的概率最大时的值.附：，其中.0.10.050.010.0052.7063.8416.6357.879解：（1）列联表如下：好评非好评合计更换厨师前600200800更换厨师后16004002000合计22006002800零假设为餐馆订单的好评率与更换厨师无关联，根据列联表中数据，经计算得到，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为该餐馆订单的好评率与更换厨师有关联，此推断犯错误的概率不大于.（2）依题意，用分层随机抽样法抽取的8个订单中，好评订单有个，非好评有2个，而从这8个订单中随机抽取3个，其中好评的订单个数的可能值有，则，所以的分布列为：123数学期望.（3）依题意，更换厨师后好评率为，从更换厨师后所有订单中随机抽取100个订单，则，于是，由，由，解得，而，则当时，单调递增；由，解得，则当时，单调递减，所以使事件“”概率最大时的值为80.19.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角