2025届高考数学一轮复习第十一篇复数算法推理与证明第1节数系的扩充与复数的引入课时作业理含解析新人教A版

PAGEPAGE5第1节数系的扩充与复数的引入课时作业基础对点练(时间：30分钟)1．(2024三明5月)若复数满意(3＋4i)z＝1－i(i是虚数单位是，则复数的共轭复数eq\o(z,\s\up6(－))＝()(A)eq\f(1,5)－eq\f(7,5)i (B)－eq\f(1,5)＋eq\f(7,5)i(C)－eq\f(1,25)－eq\f(7,25)i (D)－eq\f(1,25)＋eq\f(7,25)iD解析：由题意可得：z＝eq\f(1－i,3＋4i)＝eq\f(1－i3－4i,3＋4i3－4i)＝eq\f(－1－7i,25)＝－eq\f(1,25)－eq\f(7,25)i，结合共轭复数的定义可知：eq\o(z,\s\up6(－))＝－eq\f(1,25)＋eq\f(7,25)i，故选D.2．(2024昆明二模)已知a，b∈R，复数a＋bi＝eq\f(2i,1＋i)，则a＋b()(A)2 (B)1(C)0 (D)－2A解析：由题意得a＋bi＝eq\f(2i1－i,2)＝1＋i，所以a＝b＝1，a＋b＝2，故选A.3．已知eq\f(1－i2,z)＝1＋i，则复数z＝()(A)1＋i (B)1－i(C)－1＋i (D)－1－i答案：D4．i2024的共轭复数为()(A)i (B)－i(C)1 (D)1答案：A5．复数i3－eq\f(2,i)＝()(A)－i (B)－3i(C)i (D)3i答案：C6．给出下列四个命题：①满意：z＝eq\f(1,z)的复数有±1，±i；②若a，b∈R且a＝b，则(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数；③复数z∈R的充要条件是z＝eq\x\to(z)；④在复平面内，实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示虚数．其中正确结论的个数是()(A)0 (B)1(C)2 (D)3答案：B7．复数z＝1－i，则eq\f(1,z)＋z对应的点所在的象限为()(A)第一象限 (B)其次象限(C)第三象限 (D)第四象限D解析：∵z＝1－i，∴eq\f(1,z)＋z＝eq\f(3,2)－eq\f(i,2)，∴eq\f(1,z)＋z对应的点所在的象限是第四象限．8．已知i是虚数单位，且复数z1＝3－bi，z2＝1－2i，若eq\f(z1,z2)是实数，则实数b的值为()(A)6 (B)－6(C)0 (D)eq\f(1,6)A解析：∵eq\f(z1,z2)＝eq\f(3－bi,1－2i)＝eq\f(3＋2b,5)＋eq\f(6－bi,5)，当eq\f(6－b,5)＝0时，eq\f(z1,z2)是实数，∴b＝6.9．若复数z满意eq\f(\x\to(z),1－i)＝i，则z＝()(A)1－i (B)1＋i(C)－1－i (D)－1＋iA解析：∵eq\f(\x\to(z),1－i)＝i，∴eq\x\to(z)＝i(1－i)＝1＋i∴z＝1－i.故选A.10．在复平面内，复数eq\f(2,1－i)对应的点到直线y＝x＋1的距离是()(A)eq\f(\r(2),2) (B)eq\r(2)(C)2 (D)2eq\r(2)A解析：eq\f(2,1－i)＝eq\f(21＋i,1－i1＋i)＝1＋i，所以该复数对应的点为(1,1)，该点到直线y＝x＋1的距离为d＝eq\f(|1－1＋1|,\r(12＋－12))＝eq\f(\r(2),2)，故选A.11．在复平面内，复数z＝eq\f(2i,－1＋2i)的共轭复数的虚部为()(A)－eq\f(2,5) (B)eq\f(2,5)(C)eq\f(2,5)i (D)－eq\f(2,5)iB解析：由题意知z＝eq\f(2i,－1＋2i)＝eq\f(2i－1－2i,5)＝eq\f(4,5)－eq\f(2,5)i，∴eq\x\to(z)＝eq\f(4,5)＋eq\f(2,5)i，其虚部为eq\f(2,5)，故选B.12．(2024黄冈模拟)eq\x\to(z)是z的共轭复数，若z＋eq\x\to(z)＝3，z－eq\x\to(z)＝3i(i为虚数单位)，z的实部与虚部之和为()(A)0 (B)3(C)－3 (D)2B解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，由z＋eq\x\to(z)＝3，z－eq\x\to(z)＝3i，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋bi＋a－bi＝3，,a＋bi－a－bi＝3i，))所以a＝b＝eq\f(3,2).所以a＋b＝3.13．复数z满意zi＝3－i，则在复平面内，复数z对应的点位于()(A)第一象限 (B)其次象限(C)第三象限 (D)第四象限C解析：由zi＝3－i得z＝eq\f(3－i,i)＝－1－3i，对应点为(－1，－3)，位于第三象限，故选C.14．设z1，z2∈C，则“z1，z2中至少有一个数是虚数是“z1－z2是虚数”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件B解析：若z1，z2皆是实数，则z1－z2肯定不是虚数，因此当z1－z2是虚数时，则“z1，z2中至少有一个数是虚数”成立，即必要性成立；当z1，z2中至少有一个数是虚数，z1，z2不肯定是虚数时，如z1＝z2＝i，即充分性不成立，故选B.15．若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．答案：－216．若复数z满意3z＋eq\x\to(z)＝1＋i，则z＝________.答案：eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)i17．设复数z满意z2＝3＋4i，则|z|＝________.答案：eq\r(5)18．设复数a＋bi(a，b∈R)的模为eq\r(3)，则(a＋bi)(a－bi)＝________.解析：由|a＋bi|＝eq\r(3)得eq\r(a2＋b2)＝eq\r(3)，即a2＋b2＝3，∴(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝3.答案：319．(2024厦门模拟)设i是虚数单位，eq\x\to(z)是复数z的共轭复数，若复数z＝3－i，则z·eq\x\to(z)＝________.解析：由z＝3－i，得z·eq\x\to(z)＝|z|2＝(eq\r(32＋－12))2＝10.答案：1020．复数z＝eq\f(1＋i,i)(i是虚数单位)在复平面上对应的点到原点的距离为________．解析：复数z＝eq\f(1＋i,i)＝－i(1＋i)＝1－i.复数z＝eq\f(1＋i,i)(i是虚数单位)在复平面上对应的点(1，－1)到原点的距离为eq\r(2).答案：eq\r(2)实力提升练(时间：15分钟)21．下面是关于复数z＝eq\f(2,1－i)的四个命题：p1：|z|＝2；p2：z2＝2i；p3：z的共轭复数为－1＋i；p4：z的虚部为1.其中真命题为()(A)p2，p3 (B)p1，p2(C)p2，p4 (D)p3，p4C解析：∵z＝eq\f(2,1－i)＝eq\f(21＋i,1－i1＋i)＝1＋i，∴|z|＝eq\r(2)，z2＝2i，z的共轭复数为1－i，z的虚部为1.故p1，p3错，p2，p4正确．22．对随意复数z＝x＋yi(x，y∈R)，则下列结论正确的是()(A)|z－eq\x\to(z)|＝2y (B)z2＝x2＋y2(C)|z－eq\x\to(z)|≥2x (D)|z|≤|x|＋|y|答案：D23．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋mi＝0有实数根，则实数m的值为()(A)2eq\r(2) (B)－2eq\r(2)(C)－2eq\r(2)或2eq\r(2) (D)2C解析：设x＝k(k∈R)是方程的实数根，则k2＋(m＋2i)k＋2＋mi＝0，即(k2＋km＋2)＋(2k＋m)i＝0.依据复数相等的定义得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k2＋km＋2＝0，,2k＋m＝0.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝\r(2)，,m＝－2\r(2)，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝－\r(2)，,m＝2\r(2).))24．(2024泸州模拟)假如复数z＝eq\f(2,－1＋i)(i是虚数单位)，则复数z的虚部为________．解析：因为z＝eq\f(2,－1＋i)＝eq\f(2－1－i,－1＋i－1－i)＝eq\f(2－1－i,2)＝－1－i，所以复数z的虚部为－1.答案：－125．(2024福州一模)已知a，b∈R，i为虚数单位，若a－i＝2＋bi，则(a＋bi)2＝________.解析：由a－i＝2＋bi，得a＝2，b＝－1，所以(a＋bi)2＝(2－i)2＝3－4i.答案：3－4i26．已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y.解：设x＝a＋bi(a，b∈R)，则y＝a－bi，x＋y＝2a，xy＝a2＋b2代入原式，得(2a)2－3(a2＋b2依据复数相等得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a2＝4,－3a2＋b2＝－6))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1,b＝1))或eq\b\lc\{\rc\