2024-2025学年高中数学第3章直线与方程3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离公式课时作业含解析新人教A版必修2

PAGEPAGE13.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离公式A级基础巩固一、选择题1．点M(1,2)关于y轴的对称点N到原点的距离为(C)A．2 B．1C．eq\r(5) D．5[解析]N(－1,2)，|ON|＝eq\r(－12＋22)＝eq\r(5).故选C．2．已知A(2,1)、B(－1，b)，|AB|＝5，则b等于(C)A．－3 B．5C．－3或5 D．－1或－3[解析]由两点间的距离公式知|AB|＝eq\r(－1－22＋b－12)＝eq\r(b2－2b＋10)，由5＝eq\r(b2－2b＋10)，解得b＝－3或b＝5.3．经过两点A(－2,5)、B(1，－4)的直线l与x轴的交点的坐标是(A)A．(－eq\f(1,3)，0) B．(－3,0)C．(eq\f(1,3)，0) D．(3,0)[解析]过点A(－2,5)和B(1，－4)的直线方程为3x＋y＋1＝0，故它与x轴的交点的坐标为(－eq\f(1,3)，0)．4．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y＝1，和x＋ky＝0相交于一点，则k的值等于(B)A．－2 B．－eq\f(1,2)C．2 D．eq\f(1,2)[解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝1,2x＋3y＋8＝0))，得交点(－1，－2)，代入x＋ky＝0得k＝－eq\f(1,2)，故选B．5．一条平行于x轴的线段长是5个单位，它的一个端点是A(2,1)，则它的另一个端点B的坐标为(A)A．(－3,1)或(7,1) B．(2，－2)或(2,7)C．(－3,1)或(5,1) D．(2，－3)或(2,5)[解析]∵AB∥x轴，∴设B(a,1)，又|AB|＝5，∴a＝－3或7.6．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于(C)A．5 B．4eq\r(2)C．2eq\r(5) D．2eq\r(10)[解析]设A(x,0)、B(0，y)，由中点公式得x＝4，y＝－2，则由两点间的距离公式得|AB|＝eq\r(0－42＋－2－02)＝eq\r(20)＝2eq\r(5).二、填空题7．已知A(1，－1)、B(a,3)、C(4,5)，且|AB|＝|BC|，则a＝eq\f(1,2).[解析]eq\r(a－12＋3＋12)＝eq\r(4－a2＋5－32)，解得a＝eq\f(1,2).8．直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与直线(a＋2)x＋(2a＋3)y＋2＝0不相交，则实数a＝－2或－eq\f(2,3).[解析]由题意，得(a＋2)(2a＋3)－(1－a)(a＋2)＝0，解得a＝－2或－eq\f(2,3).三、解答题9．(2024～2024·哈尔滨高一检测)求平行于直线2x－y＋3＝0，且与两坐标轴围成的直角三角形面积为9的直线方程．[解析]设所求的直线方程为2x－y＋c＝0，令y＝0，x＝－eq\f(c,2)，令x＝0，y＝c，所以eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(c·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(c,2)))))＝9，解得c＝±6，故所求直线方程为2x－y±6＝0.解法2：设所求直线方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1.变形得bx＋ay－ab＝0.由条件知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)＝\f(a,－1)①,\f(1,2)|ab|＝9②))由①得b＝－2a代入②得a2＝9，∴a＝±3.当a＝3时，b＝－6，当a＝－3时，b＝6，∴所求直线方程为2x－y±6＝0.10．已知直线x＋y－3m＝0和2x－y＋2m－1＝0的交点M在第四象限，求实数m的取值范围．[解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－3m＝0,2x－y＋2m－1＝0))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(m＋1,3),y＝\f(8m－1,3))).∴交点M的坐标为(eq\f(m＋1,3)，eq\f(8m－1,3))．∵交点M在第四象限，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m＋1,3)>0,\f(8m－1,3)<0))，解得－1<m<eq\f(1,8).∴m的取值范围是(－1，eq\f(1,8))．B级素养提升一、选择题1．已知点A(2,3)和B(－4,1)，则线段AB的长及中点坐标分别是(C)A．2eq\r(10)，(1,2) B．2eq\r(10)，(－1，－2)C．2eq\r(10)，(－1,2) D．2eq\r(10)，(1，－2)[解析]|AB|＝eq\r(－4－22＋1－32)＝2eq\r(10)，中点坐标为(eq\f(2－4,2)，eq\f(3＋1,2))，即(－1,2)，故选C．2．已知两点P(m,1)和Q(1,2m)之间的距离大于eq\r(10)，则实数m的范围是(B)A．－eq\f(4,5)＜m＜2 B．m＜－eq\f(4,5)或m＞2C．m＜－2或m＞eq\f(4,5) D．－2＜m＜eq\f(4,5)[解析]依据两点间的距离公式|PQ|＝eq\r(m－12＋1－2m2)＝eq\r(5m2－6m＋2)＞eq\r(10)，∴5m2－6m－8＞0，∴m＜－eq\f(4,5)或m＞2.3．已知直线上两点A(a，b)，B(c，d)，且eq\r(a2＋b2)－eq\r(c2＋d2)＝0，则(D)A．原点肯定是线段AB的中点B．A，B两点肯定都与原点重合C．原点肯定在线段AB上，但不是线段AB的中点D．原点肯定在线段AB的垂直平分线上[解析]由eq\r(a2＋b2)－eq\r(c2＋d2)＝0得eq\r(a2＋b2)＝eq\r(c2＋d2)，即A，B两点到坐标原点的距离相等，故选D．4．已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0相互垂直，垂足为(1，p)，则m－n＋p为(B)A．24 B．20C．0 D．－4[解析]∵两直线相互垂直，∴k1·k2＝－1，∴－eq\f(m,4)·eq\f(2,5)＝－1，∴m＝10.又∵垂足为(1，p)，∴代入直线10x＋4y－2＝0得p＝－2，将(1，－2)代入直线2x－5y＋n＝0得n＝－12，∴m－n＋p＝20.二、填空题5．已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围是－eq\f(3,2)<a<2.[解析]解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＋4y＝2a＋1,2x＋3y＝a))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2a＋3,7),y＝\f(a－2,7))).交点在第四象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2a＋3,7)>0,\f(a－2,7)<0))，解得－eq\f(3,2)<a<2.6．(2024·吉林检测)已知点A(1,1)，B(4,3)，点P在x轴上，则|PA|＋|PB|的最小值为5.[解析]如图所示，作点A关于x轴的对称点A′(1，－1)，则|PA′|＝|PA|.∴|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|.∵|A′B|＝eq\r(1－42＋－1－32)＝5，∴|PA|＋|PB|≥5.故|PA|＋|PB|的最小值为5.7．(2024·河北省保定市质检)函数y＝eq\r(x2－2x＋3)＋eq\r(x2＋4x＋8)的值域为[eq\r(15＋4\r(2))，＋∞).[解析]将原函数解析式配方整理得y＝eq\r(x－12＋2)＋eq\r(x＋22＋4)，eq\r(x－12＋2)＝eq\r(x－12＋0－\r(2)2)表示点P(x,0)到点A(1，eq\r(2))的距离，eq\r(x＋22＋4)＝eq\r(x＋22＋[0－－2]2)表示点P(x,0)到点B(－2，－2)的距离．故y表示x轴上的点P(x,0)到两定点A(1，eq\r(2))，B(－2，－2)的距离之和．由平面几何学问可知，当点P为直线AB与x轴的交点时，ymin＝d(A，B)＝eq\r(1＋22＋\r(2)＋22)＝eq\r(15＋4\r(2)).而当点P沿x轴的正方向或负方向离直线AB与x轴的交点越来越远时，y越来越大，且趋于无穷大．所以函数的值域为[eq\r(15＋4\r(2))，＋∞)．三、解答题8．直线l过定点P(0,1)，且与直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0分别交于A、B两点．若线段AB的中点为P，求直线l的方程．[解析]解法一：设A(x0，y0)，由中点公式，有B(－x0，2－y0)，∵A在l1上，B在l2上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0－3y0＋10＝0,－2x0＋2－y0－8＝0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－4,y0＝2))，∴kAP＝eq\f(1－2,0＋4)＝－eq\f(1,4)，故所求直线l的方程为：y＝－eq\f(1,4)x＋1，即x＋4y－4＝0.解法二：设所求直线l方程为：y＝kx＋1，l与l1、l2分别交于M、N.解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1,x－3y＋10＝0))，得M(eq\f(7,3k－1)，eq\f(10k－1,3k－1))．解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1,2x＋y－8＝0))，得N(eq\f(7,k＋2)，eq\f(8k＋2,k＋2))．∵M、N的中点为P(0,1)则有：eq\f(1,2)(eq\f(7,3k－1)＋eq\f(7,k＋2))＝0，解得∴k＝－eq\f(1,4).故所求直线l的方程为x＋4y－4＝0.9．如下图所示，一个矩形花园里须要铺设两条笔直的小路，已知矩形花园的长AD＝5m，宽AB＝3m，其中一条小路定为AC，另一条小路过点D，问是否在BC上存在一点M，使得两条小路AC与DM相互垂直？若存在，则求出小路DM的长．[解析]以B为坐标原点，BC、BA所在直线为x、y轴建立如图所示的平面