2024-2025学年山东省济南市历城第一中学高一下学期第一次阶段性测试数学试卷（4月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年山东省济南市历城第一中学高一下学期第一次阶段性测试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知一组数据12,17,15,x,20的平均数为16，则这组数据的第60百分位数为(

)A.17 B.16.5 C.16 D.15.52.若复数z=a−i1+ia∈R是纯虚数，则A.−1 B.−i C.i D.13.如图所示，在▵ABC中，点D是线段AC上靠近A的三等分点，点E是线段AB的中点，则DE=(

)

A.−13BA−16BC B.4.已知非零向量a，b满足|a|=3|b|，cosaA.−3 B.−13 C.−2 5.已知在△ABC中，a=x,b=2,B=45°，若三角形有两解，则x的取值范围是(

)A.x>2 B.x<2 C.6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a−b=ccosB−ccosA，则△ABCA.等腰三角形 B.等边三角形

C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形7.嵩岳寺塔位于河南郑州登封市嵩岳寺内，历经1400多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存最早的砖塔.如图，为测量塔的总高度AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD=30∘，∠BDC=45∘，CD=4，在C点测得塔顶A的仰角为60A.12−42 B.12−43 C.8.▵ABC中，AB=2，∠ACB=π4，O是▵A.1 B.2+1 C.3 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.某高中有学生500人，其中男生300人，女生200人，为获得该校学生的身高(单位：cm)信息，按比例分配的分层随机抽样的方法抽取一个样本量为50的样本.经计算得到样本中男生身高的平均数为170，方差为17；女生身高的平均数力160，方差30.下列说法中正确的是(

)A.样本中男生的人数为30 B.每个女生入样的概率均为25

C.样本的平均数为166 D.样本的方差为10.设z1，z2是复数，则下列说法正确的是(

)A.若z1是纯虚数，则z12<0 B.若z12+z22=0，则z11.对于△ABC，其外心为O，重心为G，垂心为H，则下列结论正确的是(

)A.OA⋅OB=OA⋅OC=OB⋅OC

B.AO⋅AB=12AB2

C.向量AH与AB|AB|cosB三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图.若第一组至第六组数据的频率之比为2:3:4:6:413.在▵ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且asinB=3bcosA.若14.在▵ABC中，AC=2，D为AB的中点，CD=12BC=7，P为CD上一点，且AP四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分在复平面内，复数z对应的点的坐标为(m,−1)(m∈R)，且z(1+3i)(1)求m的值；(2)复数z1=a+i16.(本小题15分)在2025年八省联考结束后，某学校为了解高三学生的联考情况，随机抽取了100名学生的联考数学成绩作为样本，并按照分数段[50,70),(1)求出图中a的值并估计本次考试及格率(“及格率”指得分为90分及以上的学生所占比例)；(2)估计该校学生联考数学成绩的第80百分位数；(3)估计该校学生联考数学成绩的众数、平均数．17.(本小题15分已知▵ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，▵ABC的面积为2(1)求cosA(2)若bsinB+csinC=418.(本小题17分如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AD⊥AB，AB=AD=2CD=4，

(1)求AE⋅(2)连接BD，交AE于点M，求AM；(3)若P1，P2，P3，…，Pn为BC边上的n+1等分点，当n=10019.(本小题17分在▵ABC中，∠A,∠(1)求A；(2)奥古斯丁⋅路易斯･柯西，法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用．①用向量证明二维柯西不等式：x1②已知三维分式型柯西不等式：y1,y2,y3∈R∗,x12y1+x2参考答案1.B

2.C

3.B

4.D

5.C

6.D

7.B

8.C

9.AC

10.ACD

11.BCD

12.120

13.21

14.1915.解：(1)复数z=m−i(m∈R)，且z⋅(1+3i)=(m+解得m=3．(2)i复数z1∴解得a>3．∴实数a的取值范围是

16.解：(1)由频率分布直方图的性质，可得(0.004+a+0.013+0.014+0.016)×20=1，解得所以及格率为(0.016+0.014+0.003)×(2)得分在110分以下的学生所占比例为(0.004+0.013+0.016)×得分在130分以下的学生所占比例为0.66+0.014×所以第80百分位数位于[110,130)由110+20×0.8−0.660.94−0.66=120，估计第(3)由图可得，众数估计值为100分．平均数估计值为0.08×60+0.26×17.解：(1)根据余弦定理可得，3a⋅a2所以cosA=(2)因为0<A<π又▵ABC的面积为22，所以1因为bsinB+csin又b2+c2−所以b2所以(b+c)2=所以▵ABC的周长为a+b+c=2+2

18.解：(1)因为AB⊥AD，所以以A为坐标原点，AB为x轴，AD为建立如图所示平面直角坐标系，则A(0,0),B(4,0),C(2,4),E(3,2)，AE=(3,2),BE=(−1,2)

(2)设AM=λAE,AM−BM=λ所以(4,0)=λ(3,2)−μ(−4,4)=(3λ+4μ,2λ−4μ)，所以3λ+4μ=42λ−4μ=0，解得所以|AM(3)在▵MBC中，因为E为BC中点，所以MC又因为P1,P2,MP所以MP所以M由(2)得ME=所以ME⋅所以MP19.解：(1)在▵ABC中，b由正弦定理得，sinB因为A∈0,π所以sinB+所以sinBcosA+因为A+B=π所以sinC=2因为C∈0,π故cosA=12，又A(2)①设a=x1,y从而x1x2②T=|AB|又S▵∴c由三维分式型