题型二 填空多解题 2025年中考数学重难题型分类练含答案

题型二填空多解题2025年中考数学重难题型分类练题型二填空多解题类型一代数类问题1.(2023巴中)规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”.例如：函数y=x+3与y=−x+3互为“Y函数”.若函数y=k4x2.(2023绍兴)在平面直角坐标系xOy中，一个图形上的点都在一边平行于x轴的矩形内部(包括边界)，这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形.例如：如图，函数y=x−220≤x≤3的图象(抛物线中的实线部分)，它的关联矩形为矩形OABC.若二次函数y=3.(2023眉山)如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为((−8,6).过点B分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点C，点A.直线y=-2x-6与AB交于点D,与y轴交于点E.动点M在线段BC上,动点N在直线y=−2x−6上，若△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的坐标为.类型二点位置不确定类问题4.(2024牡丹江)矩形ABCD的面积是90,对角线AC,BD交于点O,点E是BC边的三等分点，连接DE，点P是DE的中点，(OP=3,连接CP,则PC+PE的值为.5.(2024新疆)如图,在Rt△ABC中，∠C=90∘,∠A=30∘,AB=8.

6.(2024绥化)在矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,点E在直线AD上,且DE=2cm，则点E到矩形对角线所在直线的距离是cm.7.(2024江西)如图,AB是⊙O的直径,AB=2,点C在线段AB上运动,过点C的弦DE⊥AB,将DBE沿DE翻折交直线AB于点F，当DE的长为正整数时，线段FB的长为.8.(2023沈阳)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=3,点D在直线AC上,AD=1,过点D作DE∥AB交直线BC于点E,连接BD,点O是线段BD的中点，连接OE，则OE的长为.9.(2024自贡改编)如图,在▱ABCD中,∠B=60°,AB=6cm,BC=12cm.点P从点A出发,以1cm/s的速度沿A→D运动,同时点Q从点C出发,以3cm/s的速度沿C→B→C→⋯往复运动,当点P到达端点D时，点Q随之停止运动.在此运动过程中，当PQ=CD时,t的值为s.类型三图形形状不确定类问题10.(2022通辽)在Rt△ABC中,∠C=90°,有一个锐角为60°,AB=6.若点P在直线AB上(不与点A,B重合),且∠PCB=30°,则AP的长为.11.(2024齐齐哈尔)已知矩形纸片ABCD,AB=5,BC=4,点P在边BC上，连接AP，将△ABP沿AP所在的直线折叠，点B的对应点为B',把纸片展平,连接BB',CB',当△BCB'为直角三角形时,线段CP的长为.12.(2023宁波)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,E为AB边上一点,以AE为直径的半圆O与BC相切于点D，连接AD，BE=3,BD=35,P是AB边上的动点，当△ADP为等腰三角形时，AP的长为13.(2023龙东地区)矩形ABCD中,AB=3,AD=9,将矩形ABCD沿过点A的直线折叠，使点B落在点E处，若△ADE是直角三角形，则点E到直线BC的距离是.14.(2023江西)如图,在▱ABCD中,∠B=60°,BC=2AB,将AB绕点A逆时针旋转角α(0°<α<360°)得到AP,连接PC,PD.当△PCD为直角三角形时，旋转角α的度数为.类型四图形变换方式不确定类问题15.(2024雅安)如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,∠BAC=∠DAE=40°,将△ADE绕点A顺时针旋转一定角度,当AD∥BC时,∠BAE的度数是.16.(2024龙东地区)矩形ABCD中,AB=3,BC=4,将AB沿过点A的一条直线折叠，折痕交直线BC于点P(点P不与点B重合)，点B的对称点落在矩形对角线所在的直线上，则PC长为.17.(2024上海)在平行四边形ABCD中,∠ABC是锐角,将CD沿直线l翻折至AB所在直线,对应点分别为Q',D',若AC':AB:BC=1:3;7,则cos∠ABC=.18.(2024盐城)如图,在△ABC中,.∠ACB=90∘,AC=BC=219.(2023绥化)已知等腰△ABC,∠A=120°,AB=2.现将△ABC以点B为旋转中心旋转45°，得到△A′BC′,题型二填空多解题1.(3,0)或(4,0)【解析】根据题意知,互为“Y函数”上的对应点也关于y轴对称.①当k=0时，函数的解析式为y=-x-3，此时函数的图象与x轴只有一个交点成立,当y=0时,解得x=-3,∴函数y=-x-3的图象与x轴的交点坐标为(-3,0);②当k≠0时,∵函数y=k4x2+k−1x+k−3的图象与x轴只有一个交点，∴b2−4ac=0,即k−12.712或.−2512【解析】由y=x−220≤slantx≤3可知，当x=0时,y=4,则C(0,4),A(3,0),∵四边形OABC是矩形,∴B(3,4),①当抛物线经过点O,B时,将点O(0,0),B(3,4)代入y=14x2+bx+c0≤slantx≤slant3,得{c=014×9+3b+c=4,3.(-8,6)或−823【解析】①当点N在线段AM的下方时，如解图①，∵△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，∴点N在以AM为直径的⊙H上，MN=AN,∴点N是⊙H与直线y=-2x-6的交点,此时M,B重合,∵B(-8,6),则lH(-4,6),N(-4,2),∴MH=AH=NH=4,符合题意,∴M(-8,6);②当点N在线段AM的上方时，如解图②，过点N作NJ⊥y轴于点J,延长MB交JN的延长线于点K,则∠NJA=∠MKN=90°,JK=AB=8,∴∠NAJ+∠ANJ=90°,∵AN=MN,∠ANM=90°,∴∠MNK+∠ANJ=90°,∴∠MNK=∠NAJ,∴△MNK≌△NAJ,∴MK=NJ,NK=AJ,设N(x,-2x-6),∴MK=NJ=-x,KN=AJ=-2x-6-6=-2x-12,而KJ=AB=8,∴-2x-12-x=8,解得x=−20∴M−8234.13或109【解析】根据题意可知，点E分两种情况,①当CE>BE时,如解图①,∵四边形ABCD是矩形,∴点O是BD的中点,∵点P是DE的中点,∴BE=2OP=6,CP=PE=PD,∵点E是BC边的三等分点,∴CE=2BE=12,BC=3BE=18,∵矩形ABCD的面积是90,∴BC×CD=90,∴CD=5,∴DE=5²+12²=13,∴PC+PE=DE=13;②当CE<BE时,如解图②,同理BE=2OP=6,CP=PE=PD,∵点E是BC边的三等分点.∴CE=12BE=3,BC=3+6=9,·矩形ABCD的面积是90,∴BC×CD=90,∴CD=10,∴DE=3²+10²=1095.6或12【解析】∵∠ACB=90°,∠A=30°,AB=8,∴∠ABC=60∘,BC=1解题技巧点在直线上分三类讨论：(如E是直线AB上一点)①点E在线段AB上;②点E在AB的延长线上；③点E在BA的延长线上.6.255或655或25【解析】∵四边形ABCD是矩形,AB=4,BC=8,∴AD=BC=8,CD=AB=4,∴AC=AD2+CD2=82+42=45,∴sin∠CAD=CDAC=445=55,tan∠CAD=47.2或2−3或2+3【解析】∵DE的长为正整数，∴根据题意可知,DE=1或2.分情况讨论:①当DE=2时，此时DE为⊙O的直径，如解图①，此时点C与点O重合,点F与点A重合,∴FB=AB=2;②当DE=1时，分两种情况：当点C在圆心O的右侧时，如解图②,连接OD,∵CD=12DE=12,OD=12AB=1,在Rt△ODC中,OC=OD2−CD2=32,∴BC=BO−OC=解题技巧在圆中，弦长≤直径长，根据DE为正整数可得到DE=1或2.而DE=1时在圆上有两个位置，因此共有三种情况，再结合垂径定理以及勾股定理，利用折叠的性质即可求解此题.8.52412【解析】当点D在线段AC上时，如解图①,过点O作AC的平行线,交BC于点F,∵AC=BC=3,AD=1,∴CD=2,∵∠ACB=90°,OF∥AC,点O是线段BD的中点，∴∠OFB=90∘,OF=12CD=1,BF=12BC=329.解题思路要使PQ=CD，则分两种情况：①当四边形CDPQ是平行四边形时；②当四边形CDPQ是等腰梯形时.32或3或6或9【解析】在▱ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,∴CD=AB=6cm,AD=BC=12cm,AD∥BC,∵点P从点A出发,以1cm/s的速度沿A→D运动,∴点P从点A出发到达D点的时间为12÷1=12(s),∵点Q从点C出发,以3cm/s的速度沿C→B→C→…往复运动，∴点Q从点C出发到B点的时间为12÷3=4(s),如解图①,当0<t≤4,四边形CDPQ为平行四边形,PQ=CD时,12-t=3t,∴t=3;如解图②,PQ=AB=CD,此时四边形ABQP是等腰梯形,∴∠PQN=∠B,过点A,P分别作BC的垂线,分别交BC于点M,N,∴四边形AMNP是矩形,∴MN=AP=t,AM=PN,∵∠BAM=90°-∠B,∠QPN=90°-∠PQN,∴∠BAM=∠QPN,在△ABM与△PQN中,{AM=PN∠BAM=∠QPN,∴AB=PQ△ABM≌△PQN,∴BM=QN,在Rt△ABM中,∠B=60°,AB=6cm,∴∠BAM=90°-∠B=30°,∴BM=12AB=3cm,∴QN=BM=3cm,∴t=12-3t-3-3,∴t=10.92或9或3【解析】如解图①,当∠ABC=60°时,则BC=12AB=3,当点P在线段AB上时,∵∠PCB=30°,∴CP⊥AB,则∴P'B=BC=3,∴AP'=AB+BP11.32或2【解析】∵四边形ABCD为矩形,∴∠BCD=∠ADC=∠ABC=∠BAD=90°,AB=CD=5,AD=BC=4,当∠BCB'=90∘°时,如解图①,∵∠BCD=90°,∴点B'在CD上,根据折叠可知AB'=AB=5,BP=B'P,设CP=x,则lBP=B'P=4−x,∴DB'=AB'2−AD2=12.6或230【解析】如解图,连接OD,DE,∵BD是半圆O的切线,∴∠ODB=90°,∴∠BDE+∠ODE=90°.∵AE是半圆O的直径,∴∠ADE=90°,∠ODE+∠ODA=90°,∵OA=OD,∴∠ODA=∠BAD.∴∠BAD=∠BDE,又∵∠DBE=∠ABD,∴△BDE∽△BAD.∴BDBE=BABD,解得AB=15.∴AE=AB-BE=12.当点P与点O重合时，△APD是等腰三角形，.∴AP1=AO=12AE=6;∵∠C=90∘,∠ODB=90∘,∴OD‖AC,∴BD类题通法等腰三角形存在性问题：问题：如图，已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△PAB为等腰三角形.分情况:分三种情况讨论,①AB=AP;②AB=BP;③AP=BP.作图找点：①情况一：以AB为腰，分别以点A，B为圆心，以AB长为半径画圆，与直线l的交点P₁，P₂，P₃，P₄即为所求；②情况二：以AB为底，作线段AB的垂直平分线与直线l的交点P₅即为所求.13.3+22或3-22或6【解析】由题意，得矩形ABCD沿过点A的直线折叠，使点B落在点E处，可知点E在以点A为圆心，AB长为半径的圆上运动，如解图①,延长BA交⊙A的另一侧于点E,则此时△ADE是直角三角形，点E到直线BC的距离为BE的长度，即BE=2AB=6；当过点D的直线与圆相切于点E时，△ADE是直角三角形，分两种情况：①如解图②，过点E作EH⊥BC交BC于点H,交AD于点G,∵四边形ABCD是矩形,∴EG⊥AD,∴四边形ABHG是矩形,GH=AB=3,∵AE=AB=3,AE⊥DE,AD=9,由勾股定理可得DE=92−32=62.∵S△AED=12AE·DE=1214.90°或180°或270°【解析】如解图,点P的运动轨迹在以A为圆心，AB长为半径的圆上，连接AC交⊙A于点P₁,延长CA交⊙A于点P₂,延长BA交⊙A于点P₃,连接P₁D,P₂D,P₃D,P₃C.∵∠B=60°,BC=2AB,∴∠BAC=90°,①∵AB∥CD,∴∠BAC=∠P₁CD=90°,△P₁CD为直角三角形,∵点P₁在AC上,∴α=∠BAP₁=90°;②∠P₂CD=90°,△P₂CD为直角三角形，即可求得(α=360∘−∠P15.30°或150°【解析】如解图①,∵AB=AC,∠BAC=40°,∴∠B=∠C=70°,∵AD∥BC,∴∠DAB=∠B=70°,∴∠BAE=∠DAB-∠DAE=70°-40°=30°;如解图②,∵AD∥BC,∴∠BAD+∠B=180°,∴∠BAD=180°-70°=110°,∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=110°+40解题技巧对于图形旋转问题，当没有规定旋转角时，应该考虑旋转一周中出现的所有情况.16.52或74或10【解析】①点B的对称点落在矩形对角线BD上,如解图①,∵在矩形ABCD中,AB=CD=3,BC=AD=4,由折叠性质可知BB'⊥AP,∴∠BAP+∠BPA=∠BPA+∠CBD,∴∠BAP=∠CBD,∴tan∠BAP=tan∠CBD=CDBC=③点B的对称点B'落在矩形对角线CA延长线上，如解图③,∵在矩形ABCD中,AB=CD=3,B