新课标2024高考数学大一轮复习第七章不等式及推理与证明题组层级快练45合情推理与演绎推理文含解析

PAGEPAGE7题组层级快练(四十五)1．把1，3，6，10，15，21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如下图)，试求第七个三角形数是()A．27 B．28C．29 D．30答案B解析视察归纳可知第n个三角形数为1＋2＋3＋4＋…＋n＝eq\f(n（n＋1）,2)，∴第七个三角形数为eq\f(7×（7＋1）,2)＝28.2．(2024·深圳一摸)已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a2019＝()A．3 B．－3C．6 D．－6答案A解析∵a1＝3，a2＝6，∴a3＝3，a4＝－3，a5＝－6，a6＝－3，a7＝3，…，∴{an}是以6为周期的周期数列．又2019＝6×336＋3，∴a2019＝a3＝3.选A.3．定义一种运算“*”：对于自然数n满意以下运算性质：①1*1＝1，②(n＋1)*1＝n*1＋1，则n*1等于()A．n B．n＋1C．n－1 D．n2答案A解析由(n＋1)*1＝n*1＋1，得n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝…＝1*1＋(n－1)．又∵1*1＝1，∴n*1＝n.4．(2024·邯郸一中月考)两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是()窗口12过道345窗口6789101112131415……………A.48，49 B．62，63C．75，76 D．84，85答案D解析由已知图中座位的排序规律可知，被5除余1的数和能被5整除的座位号靠窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的4组座位号知，只有D项符合条件．5．视察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满意f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝()A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)答案D解析由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数，因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．6．视察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()A．28 B．76C．123 D．199答案C解析记an＋bn＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过视察不难发觉f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.7．如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N*)个点，相应的图案中总的点数记为an，则eq\f(9,a2a3)＋eq\f(9,a3a4)＋eq\f(9,a4a5)＋…＋eq\f(9,a2017a2018)＝()A.eq\f(2015,2016) B.eq\f(2016,2017)C.eq\f(2017,2018) D.eq\f(2018,2017)答案B解析由图案可得第n个图案中的点数为3n，则an＝3n－3，∴eq\f(9,3（n－1）×3n)＝eq\f(1,n（n－1）)＝eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n)，∴eq\f(9,a2a3)＋eq\f(9,a3a4)＋eq\f(9,a4a5)＋…＋eq\f(9,a2017a2018)＝(eq\f(1,1)－eq\f(1,2))＋(eq\f(1,2)－eq\f(1,3))＋…＋(eq\f(1,2016)－eq\f(1,2017))＝1－eq\f(1,2017)＝eq\f(2016,2017)，故选B.8．如图，依据图中的数构成的规律，a表示的数是()122343412124548a485A．12 B．48C．60 D．144答案D9．(2024·辽宁丹东联考)已知“整数对”按如下规律排列：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，…，则第70个“整数对”为()A．(3，9) B．(4，8)C．(3，10) D．(4，9)答案D解析因为1＋2＋…＋11＝66，所以第67个“整数对”是(1，12)，第68个“整数对”是(2，11)，第69个“整数对”是(3，10)，第70个“整数对”是(4，9)．故选D.10．已知a，b，c是△ABC的内角A，B，C对应的三边，若满意a2＋b2＝c2，即(eq\f(a,c))2＋(eq\f(b,c))2＝1，则△ABC为直角三角形，类比此结论可知，若满意an＋bn＝cn(n∈N，n≥3)，则△ABC的形态为()A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．以上都有可能答案A解析由题意知角C最大，an＋bn＝cn(n∈N，n≥3)即(eq\f(a,c))n＋(eq\f(b,c))n＝1(n∈N，n≥3)，又c>a，c>b，所以(eq\f(a,c))2＋(eq\f(b,c))2>(eq\f(a,c))n＋(eq\f(b,c))n＝1，即a2＋b2>c2，所以cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)>0，所以0<C<eq\f(π,2)，故△ABC为锐角三角形．11．学习合情推理后，甲、乙两位同学各举了一个例子．甲：由“若三角形周长为l，面积为S，则其内切圆半径r＝eq\f(2S,l)”，类比可得“若三棱锥表面积为S，体积为V，则其内切球半径r＝eq\f(3V,S)”；乙：由“若直角三角形两直角边长分别为a，b，则其外接圆半径r＝eq\f(\r(a2＋b2),2)”，类比可得“若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为a，b，c，则其外接球半径r＝eq\f(\r(a2＋b2＋c2),3)”．这两位同学类比得出的结论是()A．两人都对 B．甲错、乙对C．甲对、乙错 D．两人都错答案C解析利用等面积与等体积法可推得甲同学类比推理的结论是正确的；把三条侧棱两两垂直的三棱锥补成一个长方体，则此三棱锥的外接球半径等于长方体的外接球半径，可求得其半径r＝eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2)，因此乙同学类比推理的结论是错误的，故选C.12．(2024·青岛质检一)中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放有纵横两种形式，如图，表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式须要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是，则8335用算筹可表示为()答案B解析由题意得千位和十位用横式表示，百位和个数用纵式表示，所以千位的8表示为，百位的3表示为，十位的3表示为，个位的5表示为，故选B.13．为提高信息在传输中的抗干扰实力，通常在原信息中按肯定规则加入相关数据组成传输信息．设确定原信息为a0a1a2，ai∈{0，1}(i＝0，1，2)，传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0＝a0⊕a1，h1＝h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0＝0，0⊕1＝1，1⊕0＝1，1⊕1＝0，例如原信息为111，则传输信息为01111.传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息肯定有误的是()A．11010 B．01100C．10111 D．00011答案C解析对于选项C，传输信息是10111，对应的原信息是011，由题目中运算规则知h0＝0⊕1＝1，而h1＝h0⊕a2＝1⊕1＝0，故传输信息应是10110.14．(2024·河北冀州中学期末)如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列{an}(n∈N*)的前12项，如下表所示：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y6按如此规律下去，则a2017＝()A．502 B．503C．504 D．505答案D解析由a1，a3，a5，a7，…组成的数列恰好对应数列{xn}，即xn＝a2n－1，当n为奇数时，xn＝eq\f(n＋1,2).所以a2017＝x1009＝505.15．(2024·太原模拟)有一个嬉戏：将标有数字1，2，3，4的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁4个人，每人一张，并请这4个人在看自己的卡片之前进行预料：甲说：乙或丙拿到标有3的卡片；乙说：甲或丙拿到标有2的卡片；丙说：标有1的卡片在甲手中；丁说：甲拿到标有3的卡片．结果显示：甲、乙、丙、丁4个人的预料都不正确，那么甲、乙、丙、丁4个人拿到卡片上的数字依次为______．答案4，2，1，3解析由甲、丁的预料不正确可得丁拿到标有3的卡片，由乙的预料不正确可得乙拿到标有2的卡片，由丙的预料不正确可知甲拿到标有4的卡片，故丙拿到标有1的卡片，即甲、乙、丙、丁4个人拿到卡片上的数字依次为4，2，1，3.16．(2024·皖南八校联考)对∀a，b∈R，定义运算：a⊕b＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥b，,b，a<b；))a⊗b＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b，a≥b，,b－a，a<b.))则下列推断正确的是________．①2015⊕(2014⊗2015)＝2014；②(a⊕a)⊗a＝0； ③(a⊕b)⊗a＝a⊕(b⊗a)．答案②解析对于①，由定义的运算可知，2014⊗2015＝2015－2014＝1，故2015⊕(2014⊗2015)＝2015⊕1＝2015，故①错误．对于②，因为a⊕a＝a，故(a⊕a)⊗a＝a⊗a＝a－a＝0，故②正确．由于③，当a≥b时，a⊕b＝a，故(a⊕b)⊗a＝a⊗a＝0，而b⊗a＝a－b，故a⊕(b⊗a)＝a⊕(a－b)．明显，若b≥0，则a≥a－b，所以a⊕(a－b)＝a，若b<0，则a<a－b，所以a⊕(a－b)＝a－b.故(a⊕b)⊗a≠a⊕(b⊗a)．故③错误．17．顾客请一位工艺师把A，B两件玉石原料各制成一件工艺品．工艺师带一位徒弟完成这项任务．每件原